Bảng tần số và biểu đồ tần số lớp 9 | Cách lập và bài tập vận dụng

Trong chương trình Toán lớp 9, nội dung bảng tần số và biểu đồ tần số được trình bày tại Bài 22 sách Kết nối tri thức. Bài học giúp học sinh hiểu tần số là gì, biết cách xác định số lần xuất hiện của mỗi giá trị trong mẫu số liệu, lập bảng và lựa chọn biểu đồ tần số phù hợp để biểu diễn dữ liệu. Qua các dạng bài tập bảng tần số và biểu đồ tần số, học sinh có thể rèn luyện kỹ năng phân tích số liệu và rút ra kết luận từ bảng hoặc biểu đồ.

Mẫu dữ liệu là gì?

Mẫu dữ liệu là tập hợp các dữ liệu thu thập được theo một tiêu chí cho trước. Điều quan trọng cần lưu ý là một mẫu dữ liệu luôn gắn liền với một tiêu chí cụ thể — nếu không xác định rõ tiêu chí, dữ liệu thu thập được sẽ không có ý nghĩa để phân tích.

Ví dụ điểm kiểm tra của một lớp học, số lượng thành viên trong các hộ gia đình của một khu phố, hay số áo được bán ra mỗi ngày trong một tháng của một cửa hàng.

Tần số của một giá trị là gì?

Tần số của một giá trị là số lần xuất hiện của giá trị đó trong mẫu dữ liệu.

Ví dụ, nếu trong danh sách điểm kiểm tra của một lớp có 5 học sinh đạt điểm 8, thì tần số của giá trị 8 là 5.

Cần phân biệt rõ: tần số gắn với một giá trị cụ thể, chứ không phải là tổng số phần tử của mẫu (tổng số phần tử của mẫu được gọi là cỡ mẫu, thường ký hiệu là N).

Bảng tần số là gì?

Bảng tần số là bảng thống kê dùng để ghi lại tần số tương ứng với mỗi giá trị xuất hiện trong mẫu dữ liệu. Có hai cách trình bày phổ biến:

• Bảng ngang: dòng trên cùng ghi các giá trị của mẫu dữ liệu, dòng dưới ghi tần số tương ứng.

• Bảng dọc: cột bên trái ghi các giá trị, cột bên phải ghi tần số tương ứng — cách trình bày này thường được dùng khi số lượng giá trị khác nhau lớn, giúp bảng gọn và dễ đọc theo chiều dọc hơn.

Vì sao cần lập bảng tần số và biểu đồ tần số — góc nhìn tư duy: Nếu có một dãy dữ liệu thô gồm hàng chục, hàng trăm con số rời rạc, việc nhìn vào dãy số đó để trả lời các câu hỏi như "giá trị nào xuất hiện nhiều nhất", "có bao nhiêu học sinh đạt điểm trên 8" là rất khó và dễ sai sót.

Bảng tần số giải quyết vấn đề này bằng cách tổ chức lại dữ liệu thô theo từng giá trị riêng biệt kèm số lần xuất hiện, giúp người đọc chỉ cần nhìn vào bảng là có thể trả lời ngay các câu hỏi trên mà không cần đếm lại từ đầu. Đây chính là ý nghĩa cốt lõi của bảng tần số: là bước trung gian xử lý dữ liệu, biến dữ liệu thô khó quan sát thành dạng cô đọng, dễ khai thác.

Cách lập bảng tần số từ dữ liệu thô

Quy trình lập bảng tần số gồm ba bước, nhưng điều quan trọng là hiểu vì sao phải làm theo đúng thứ tự này chứ không chỉ học thuộc các bước.

Bước 1: Liệt kê tất cả các giá trị khác nhau xuất hiện trong mẫu dữ liệu

Đây là bước xác định "trục dọc" của bảng tần số — tức là tập hợp các giá trị sẽ xuất hiện trong cột hoặc dòng đầu tiên. Về mặt tư duy, bước này tương đương với việc trả lời câu hỏi: "Mẫu dữ liệu này có bao nhiêu loại giá trị khác nhau, và đó là những giá trị nào?".

Cần lưu ý sắp xếp các giá trị theo thứ tự tăng dần (nếu là dữ liệu số) để bảng dễ đọc và dễ đối chiếu về sau.

Bước 2: Kiểm đếm số lần xuất hiện của từng giá trị

Với mỗi giá trị đã liệt kê ở bước 1, ta rà soát lại toàn bộ mẫu dữ liệu để đếm xem giá trị đó xuất hiện bao nhiêu lần.

Để tránh đếm sót hoặc đếm trùng — đặc biệt khi mẫu dữ liệu có kích thước lớn — một kỹ thuật thường dùng là vạch đếm (Tally mark): Mỗi lần gặp giá trị cần đếm trong dãy dữ liệu thô, học sinh đánh một vạch tương ứng; sau khi rà soát hết dữ liệu, đếm số vạch để ra tần số. Kỹ thuật này giúp quá trình đếm trở nên có hệ thống, giảm thiểu sai sót so với việc đếm nhẩm.

Bước 3: Điền vào bảng

Sau khi đã có đầy đủ cặp (giá trị; tần số), học sinh trình bày lại theo dạng bảng ngang hoặc bảng dọc như đã nêu ở mục 1.

Bước 4: Kiểm tra bắt buộc sau khi lập bảng

Một thao tác tư duy quan trọng nhưng thường bị bỏ qua là: Sau khi lập xong bảng tần số, cần cộng tổng tất cả các tần số và đối chiếu với cỡ mẫu N (hay tổng số phần tử ban đầu của dãy dữ liệu).

Nếu tổng tần số không bằng N, chắc chắn đã có sai sót trong quá trình liệt kê hoặc đếm — có thể là bỏ sót một giá trị ở bước 1, hoặc đếm sai ở bước 2. Đây là cách tự kiểm tra kết quả mà không cần người khác đối chiếu, và nên trở thành thói quen bắt buộc mỗi khi lập bảng tần số, đặc biệt trong các bài kiểm tra.

Lưu ý về tính đồng nhất của dữ liệu: Trước khi lập bảng, cần đảm bảo tất cả dữ liệu trong mẫu được đo bằng cùng một đơn vị và cùng một cách làm tròn (nếu là dữ liệu liên tục được làm tròn).

Ví dụ, nếu mẫu dữ liệu về chiều cao có lẫn cả đơn vị mét và cm, cần quy đổi đồng nhất về một đơn vị trước khi liệt kê giá trị, nếu không bảng tần số sẽ phản ánh sai lệch cấu trúc thực của dữ liệu.

Các dạng biểu đồ tần số và cách vẽ

Bảng tần số là dạng trình bày bằng số liệu, còn biểu đồ tần số là cách trình bày cùng nội dung đó dưới dạng hình ảnh trực quan, giúp người xem nắm bắt xu hướng phân bố của dữ liệu nhanh hơn nhiều so với đọc bảng số.

Dạng 1: Biểu đồ tần số dạng cột

Cách vẽ: Trục hoành (nằm ngang) ghi các giá trị của mẫu dữ liệu, trục tung (thẳng đứng) ghi tần số tương ứng. Với mỗi giá trị trên trục hoành, ta vẽ một cột thẳng đứng có chiều cao đúng bằng tần số của giá trị đó.

Các bước vẽ cụ thể theo hướng dẫn SGK gồm:

1. Vẽ hai trục vuông góc: Trục hoành ghi giá trị, trục tung ghi tần số;

2. Xác định đơn vị chia hợp lý trên trục tung (dựa vào tần số lớn nhất trong bảng) để các cột không quá cao hoặc quá thấp so với khung biểu đồ;

3. Với mỗi giá trị, dựng một cột có chiều rộng bằng nhau và chiều cao bằng tần số tương ứng;

4. Ghi tên biểu đồ, chú thích trục hoành và trục tung đầy đủ.

Tư duy khi chọn biểu đồ cột: Biểu đồ cột phù hợp khi ta muốn so sánh trực quan độ lớn tần số giữa các giá trị khác nhau, vì chiều cao các cột dễ dàng đối chiếu bằng mắt thường. Ví dụ:

Dạng 2: Biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng

Cách vẽ: Thay vì dựng cột, ta xác định các điểm có tọa độ (giá trị; tần số) trên hệ trục, sau đó nối các điểm liên tiếp lại với nhau bằng đoạn thẳng theo thứ tự giá trị tăng dần. Cần ghi đầy đủ chú giải hai trục và tiêu đề biểu đồ tương tự như biểu đồ cột.

Tư duy khi chọn biểu đồ đoạn thẳng: Dạng biểu đồ này nhấn mạnh vào xu hướng biến thiên của tần số khi giá trị thay đổi (tăng, giảm, hay dao động), vì đường nối các điểm giúp mắt người đọc dễ dàng nhận ra chiều lên xuống của dữ liệu — điều mà biểu đồ cột (các cột đứng độc lập) không thể hiện rõ bằng.

Kết hợp hai dạng biểu đồ trên cùng một hình

Trong một số trường hợp, người ta vẽ đồng thời cả cột và đoạn thẳng nối đỉnh các cột trên cùng một biểu đồ, nhằm tận dụng ưu điểm của cả hai: Vừa dễ so sánh độ lớn tần số từng giá trị (nhờ cột), vừa dễ quan sát xu hướng biến thiên tổng thể (nhờ đường nối).

Khi đọc một biểu đồ kết hợp như vậy, cần xác định rõ thành phần nào (cột hay đoạn thẳng) đang thể hiện thông tin gì trước khi rút ra nhận xét, tránh nhầm lẫn giữa việc so sánh cột với việc theo dõi xu hướng đường nối.

Ví dụ minh hoạ bảng tần số và biểu đồ tần số

Ví dụ 1: Lập bảng tần số từ dãy số liệu điểm kiểm tra

Điểm kiểm tra Toán của 15 học sinh trong một lớp như sau: 7, 8, 6, 9, 8, 7, 10, 8, 6, 7, 9, 8, 7, 8, 9.

Lời giải:

Bước 1, liệt kê các giá trị khác nhau xuất hiện trong dãy: 6, 7, 8, 9, 10.

Bước 2, đếm số lần xuất hiện của từng giá trị bằng cách rà soát lại dãy số:

• Giá trị 6 xuất hiện ở vị trí thứ 3 và thứ 9 → tần số 2;

• Giá trị 7 xuất hiện ở vị trí thứ 1, 6, 10, 13 → tần số 4;

• Giá trị 8 xuất hiện ở vị trí thứ 2, 5, 8, 12, 14 → tần số 5;

• Giá trị 9 xuất hiện ở vị trí thứ 4, 11, 15 → tần số 3;

• Giá trị 10 xuất hiện ở vị trí thứ 7 → tần số 1.

Bước 3, lập bảng tần số dạng ngang:

Kiểm tra: tổng tần số = 2 + 4 + 5 + 3 + 1 = 15, đúng bằng cỡ mẫu N = 15 (số học sinh). Vậy bảng tần số lập đúng.

Ví dụ 2: Vẽ biểu đồ tần số dạng cột từ bảng tần số ở ví dụ 1

Dựa vào bảng trên, trục hoành ghi các giá trị điểm số 6, 7, 8, 9, 10; trục tung ghi tần số với đơn vị chia là 1 (vì tần số lớn nhất là 5, không quá lớn). Dựng 5 cột lần lượt có chiều cao 2, 4, 5, 3, 1 tương ứng với các giá trị 6, 7, 8, 9, 10. Cột cao nhất ứng với giá trị 8 (chiều cao 5), thể hiện đây là điểm số xuất hiện nhiều nhất trong lớp.

Ví dụ 3: Vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng và kết hợp với biểu đồ cột

Từ cùng bảng tần số trên, ta xác định 5 điểm có tọa độ: (6; 2), (7; 4), (8; 5), (9; 3), (10; 1), rồi nối các điểm này lại theo thứ tự tăng dần của giá trị. Đường nối sẽ có xu hướng đi lên từ điểm (6;2) đến đỉnh cao nhất tại (8;5), sau đó đi xuống dần đến (10;1) — cho thấy trực quan rằng tần số tăng dần rồi giảm dần, đạt đỉnh tại điểm số 8.

Nếu vẽ kết hợp với biểu đồ cột ở Ví dụ 2, đường đoạn thẳng này sẽ đi qua đúng đỉnh của mỗi cột tương ứng.

Ví dụ 4: Đọc và nhận xét biểu đồ tần số cho sẵn

Giả sử một biểu đồ tần số dạng cột cho biết số lượng xe được bán ra tại một cửa hàng trong 6 ngày, với tần số (số xe bán mỗi mức giá) như sau: mức giá 300 triệu có tần số 3, mức giá 350 triệu có tần số 7, mức giá 400 triệu có tần số 4, mức giá 450 triệu có tần số 2.

Nhận xét: Nhìn vào biểu đồ, cột cao nhất ứng với mức giá 350 triệu (tần số 7), cho thấy đây là mức giá được khách hàng lựa chọn nhiều nhất trong giai đoạn khảo sát. Cột thấp nhất ứng với mức giá 450 triệu (tần số 2), cho thấy đây là mức giá ít được lựa chọn nhất, có thể do giá thành cao hơn. Từ đây, cửa hàng có thể rút ra định hướng kinh doanh: Tập trung nhập thêm xe ở phân khúc giá 350 triệu để đáp ứng nhu cầu thị trường.

Đây chính là minh họa cho việc mục tiêu cuối cùng của việc đọc biểu đồ không phải là liệt kê lại số liệu, mà là rút ra được ý nghĩa thực tế từ những con số đó.

Phân biệt bảng tần số và biểu đồ tần số với bảng tần số tương đối

Một điểm dễ gây nhầm lẫn khi mới học chương Thống kê là sự khác biệt giữa tần số và tần số tương đối — hai khái niệm nghe có vẻ giống nhau nhưng mang ý nghĩa và cách sử dụng khác nhau.

Điểm khác biệt cơ bản: Tần số là số lần xuất hiện tuyệt đối của một giá trị trong mẫu dữ liệu (ví dụ: giá trị 8 xuất hiện 5 lần). Trong khi đó, tần số tương đối là tỉ lệ phần trăm mà số lần xuất hiện đó chiếm trong tổng số phần tử của mẫu, được tính bằng công thức:

\[\text{Tần số tương đối} = \frac{\text{tần số}}{\text{cỡ mẫu } N} \times 100\%\]Ví dụ, với bảng tần số ở Ví dụ 1 (cỡ mẫu N = 15), tần số tương đối của giá trị 8 (tần số 5) sẽ là (5/15) × 100% ≈ 33,3%.

Khi nào nên dùng tần số, khi nào nên dùng tần số tương đối — góc nhìn tư duy

Tần số tuyệt đối phù hợp khi ta chỉ cần biết số lượng cụ thể trong một mẫu dữ liệu duy nhất (ví dụ: lớp có bao nhiêu bạn đạt điểm 8). Tuy nhiên, khi cần so sánh đặc điểm giữa hai hay nhiều mẫu dữ liệu có cỡ mẫu khác nhau, việc so sánh tần số tuyệt đối sẽ gây hiểu lầm.

Ví dụ, nếu lớp A (40 học sinh) có 10 bạn đạt điểm giỏi, còn lớp B (25 học sinh) có 8 bạn đạt điểm giỏi, thì nhìn vào tần số tuyệt đối dễ nhầm tưởng lớp A "giỏi hơn" (10 > 8). Nhưng khi tính tần số tương đối: lớp A có (10/40) × 100% = 25%, còn lớp B có (8/25) × 100% = 32%, cho thấy thực chất tỉ lệ học sinh giỏi của lớp B cao hơn. Đây chính là lý do vì sao tần số tương đối là công cụ cần thiết khi so sánh giữa các mẫu có quy mô khác nhau — điều mà bảng tần số tuyệt đối không thể phản ánh chính xác.

Mối liên hệ với các bài học tiếp theo trong chương

Nội dung tần số tương đối được trình bày chi tiết ở Bài 23 (theo sách Kết nối tri thức), phát triển trực tiếp từ khái niệm tần số đã học ở bài này. Sau đó, Bài 24 tiếp tục mở rộng sang kỹ thuật ghép nhóm dữ liệu — áp dụng khi mẫu dữ liệu có quá nhiều giá trị khác nhau hoặc là dữ liệu liên tục (như chiều cao, cân nặng), khiến việc lập bảng tần số cho từng giá trị riêng lẻ trở nên không hiệu quả. Nắm chắc khái niệm tần số ở bài này chính là nền tảng bắt buộc để tiếp cận trọn vẹn hai nội dung nói trên.

Bài tập tự luyện bảng tần số và biểu đồ tần số có đáp án

Bài tập mức cơ bản

Đề bài: Số lượng sách mượn mỗi ngày tại thư viện trường trong 10 ngày như sau: 12, 15, 12, 18, 15, 12, 20, 15, 18, 15. Lập bảng tần số và xác định giá trị có tần số lớn nhất, nhỏ nhất.

Bảng tần số:

Nhận xét: Tổng tần số = 3 + 4 + 2 + 1 = 10, đúng bằng cỡ mẫu (10 ngày). Giá trị có tần số lớn nhất là 15 (4 lần), giá trị có tần số nhỏ nhất là 20 (1 lần).

Bài tập mức trung bình

Đề bài: Từ bảng tần số ở bài tập trên, vẽ biểu đồ tần số dạng cột và biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng.

Bảng tần số (nhắc lại):

Đáp án gợi ý:

• Biểu đồ cột: gồm 4 cột dựng tại các giá trị 12, 15, 18, 20 trên trục hoành, với chiều cao lần lượt là 3, 4, 2, 1 (đơn vị: số ngày) trên trục tung.

• Biểu đồ đoạn thẳng: nối các điểm (12; 3), (15; 4), (18; 2), (20; 1) theo thứ tự tăng dần của trục hoành.

• Nhận xét chung: Cả hai biểu đồ đều cho thấy tần số tăng dần từ giá trị 12 lên đỉnh tại giá trị 15, sau đó giảm dần ở các giá trị 18 và 20.

  

  

  3. Bài tập mức nâng cao

Đề bài: Cho một biểu đồ tần số dạng cột thể hiện số lượng học sinh theo số buổi vắng học trong học kỳ: 0 buổi (tần số 12), 1 buổi (tần số 8), 2 buổi (tần số 5), 3 buổi (tần số 3), 4 buổi (tần số 2). Lập lại bảng tần số từ biểu đồ và rút ra nhận xét về tình hình chuyên cần của lớp.

Bảng tần số:

Nhận xét: Tổng tần số = 12 + 8 + 5 + 3 + 2 = 30, đúng bằng sĩ số lớp. Phần lớn học sinh (12/30, chiếm tỉ lệ cao nhất) không vắng buổi nào, và số học sinh giảm dần đều đặn khi số buổi vắng tăng lên. Điều này cho thấy tình hình chuyên cần của lớp nhìn chung khá tốt, chỉ có một số ít học sinh (2 em) vắng đến 4 buổi cần được giáo viên và phụ huynh quan tâm, nhắc nhở thêm.

Qua nội dung “Bảng tần số và biểu đồ tần số”, có thể tóm lại ba nội dung trọng tâm: Khái niệm tần số — số lần xuất hiện của một giá trị trong mẫu dữ liệu; quy trình lập bảng tần số gồm ba bước liệt kê, đếm và điền bảng, kèm bước kiểm tra bắt buộc là đối chiếu tổng tần số với cỡ mẫu; và hai dạng biểu đồ tần số chính — biểu đồ cột (thiên về so sánh độ lớn) và biểu đồ đoạn thẳng (thiên về thể hiện xu hướng biến thiên).

Bên cạnh đó, việc phân biệt rõ tần số tuyệt đối với tần số tương đối cũng là nền tảng quan trọng để tiếp cận các bài học tiếp theo trong cùng chương Thống kê. Để tham khảo thêm các bài viết với chủ đề liên quan, các bạn học sinh có thể tham khảo thêm tại chuyên mục Toán 9 của ZIM Academy.