Biến cố xung khắc là hai biến cố không thể đồng thời xảy ra, tức\(A \cap B = \varnothing\).
Với hai biến cố xung khắc, công thức cộng xác suất là \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\).
Biến cố xung khắc và biến cố độc lập khác nhau, phân biệt dựa trên điều kiện giao và xác suất.
Xác định đúng mối quan hệ giữa các biến cố trước khi áp dụng công thức xác suất.
Biến cố xung khắc | Công thức, ví dụ và bài tập Toán 11
Biến cố xung khắc là gì? Tìm hiểu điều kiện A ∩ B = ∅, công thức cộng xác suất, ví dụ và cách phân biệt với biến cố độc lập trong Toán 11.
Key takeaways
Trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức, biến cố xung khắc là khái niệm được sử dụng khi xét hai biến cố không thể đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử ngẫu nhiên. Chẳng hạn, khi gieo một con xúc xắc một lần, biến cố “xuất hiện mặt chẵn” và biến cố “xuất hiện mặt lẻ” là hai biến cố xung khắc.
Nội dung này thuộc Bài 29: Công thức cộng xác suất, tập trung vào cách nhận biết hai biến cố xung khắc, điều kiện \(A \cap B = \varnothing\) và cách áp dụng công thức cộng xác suất để giải các bài toán liên quan.
Biến cố xung khắc là gì?
Trong một phép thử ngẫu nhiên, hai biến cố A và B được gọi là biến cố xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra [1].
Nói cách khác, khi biến cố A xảy ra thì biến cố B không thể xảy ra, và ngược lại. Hai biến cố xung khắc không có kết quả nào cùng thuộc cả A và B.
Ví dụ, gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Xét hai biến cố:
A: “Xuất hiện mặt có số chẵn”.
B: “Xuất hiện mặt có số lẻ”.
Sau một lần gieo, kết quả chỉ có thể là một trong sáu số 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6. Một số không thể vừa chẵn vừa lẻ nên A và B không thể xảy ra đồng thời. Vì vậy, A và B là hai biến cố xung khắc.
Khái niệm biến cố xung khắc được sử dụng trực tiếp trong công thức cộng xác suất. Với hai biến cố xung khắc, xác suất của biến cố hợp được tính bằng tổng xác suất của từng biến cố vì không có phần giao bị tính trùng.
Mỗi biến cố có thể được mô tả bởi một tập hợp gồm các kết quả thuận lợi cho biến cố đó.
Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc khi hai tập hợp mô tả chúng không có phần tử chung. Khi đó:
\(A\cap B=\emptyset\), [1]
Trong đó:
\(A\cap B\): là giao của hai biến cố A và B, biểu thị trường hợp A và B cùng xảy ra.
∅: là tập rỗng, tức tập hợp không chứa phần tử nào.
Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên không tồn tại kết quả nào vừa làm cho A xảy ra vừa làm cho B xảy ra. Do đó, giao của hai tập hợp mô tả A và B là tập rỗng.
Chẳng hạn, với phép thử gieo một con xúc xắc:
A = {2; 4; 6}
B = {1; 3; 5}
Ta có:
\(A\cap B=\emptyset\)
Vì vậy, A và B là hai biến cố xung khắc.
Ngược lại, nếu hai biến cố có ít nhất một kết quả chung thì giao của chúng khác tập rỗng và hai biến cố đó không xung khắc.
Ví dụ:
A = {2; 4; 6}
B = {4; 5; 6}
Khi đó:
\(A\cap B\)= {4; 6} ≠ ∅
Do A và B có hai kết quả chung là 4 và 6 nên chúng không phải là hai biến cố xung khắc.
Minh họa hai biến cố xung khắc bằng sơ đồ Venn
Sự khác biệt giữa hai biến cố xung khắc và không xung khắc có thể được biểu diễn trực quan thông qua phần giao của hai tập hợp A và B:
Dấu hiệu nhận biết hai biến cố xung khắc
Cách kiểm tra hai biến cố có xung khắc
Để xác định hai biến cố A và B có xung khắc hay không, học sinh có thể xét câu hỏi:
“Khi biến cố A xảy ra, biến cố B có thể đồng thời xảy ra không?”
Nếu không thể, A và B là hai biến cố xung khắc.
Nếu có thể, A và B không xung khắc.
Về mặt tập hợp, có thể kiểm tra bằng cách xét giao của hai biến cố:
\(A\cap B=\emptyset\) → A và B là hai biến cố xung khắc.
\(A\cap B\ne\emptyset\) → A và B không xung khắc.
Khi làm bài, học sinh nên chú ý đến cụm từ mô tả biến cố. Những trường hợp như “xuất hiện số chẵn” và “xuất hiện số lẻ” trong cùng một lần gieo thường dễ nhận biết là xung khắc. Ngược lại, các biến cố như “xuất hiện số chẵn” và “xuất hiện số lớn hơn 3” có thể xảy ra đồng thời nên không xung khắc.
Ví dụ về hai biến cố xung khắc
Ví dụ: Gieo một con xúc xắc một lần. Xét:
A: “Xuất hiện mặt 1 chấm”.
B: “Xuất hiện mặt 6 chấm”.
Một lần gieo chỉ cho một kết quả duy nhất. Vì vậy, không thể đồng thời xuất hiện mặt 1 chấm và mặt 6 chấm.
Có thể mô tả:
A = {1}
B = {6}
Suy ra:
\(A\cap B=\emptyset\)
Vậy A và B là hai biến cố xung khắc.
Ví dụ về hai biến cố không xung khắc
Ví dụ: Gieo một con xúc xắc một lần. Xét:
A: “Xuất hiện mặt có số chẵn”.
B: “Xuất hiện mặt có số lớn hơn 3”.
Ta có:
A = {2; 4; 6}
B = {4; 5; 6}
Hai biến cố có các kết quả chung là 4 và 6. Do đó:
\(A\cap B\)= {4; 6} \(\ne\emptyset\)
Vì A và B có thể cùng xảy ra nên đây là hai biến cố không xung khắc.
Qua hai ví dụ trên, có thể rút ra rằng: không phải cứ có hai biến cố khác nhau thì chúng xung khắc. Muốn kết luận, cần kiểm tra xem hai biến cố có thể cùng xảy ra hay không.
Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc
Cho hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc. Khi đó, xác suất để A hoặc B xảy ra được tính bằng:
P(\(A\cup B\)) = P(A) + P(B)
Trong đó:
A ∪ B là biến cố hợp của A và B, biểu thị trường hợp ít nhất một trong hai biến cố xảy ra.
P(A) là xác suất của biến cố A.
P(B) là xác suất của biến cố B.
Đây là công thức cộng xác suất dành cho trường hợp hai biến cố xung khắc. Khi áp dụng, điều quan trọng đầu tiên là phải kiểm tra điều kiện xung khắc trước khi cộng hai xác suất [1].
Với hai biến cố không xung khắc, có thể tồn tại kết quả làm cho cả A và B cùng xảy ra. Nếu cộng trực tiếp P(A) và P(B), phần giao của hai biến cố sẽ bị tính hai lần. Vì vậy, trong trường hợp tổng quát, phải loại phần giao khi tính xác suất của biến cố hợp.
\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]
[1].
Ngược lại, với hai biến cố xung khắc:
\(A\cap B=\emptyset\)
Hai biến cố không có kết quả chung nên không tồn tại phần xác suất bị tính trùng. Vì vậy, chỉ cần cộng xác suất của A và B:
P(\(A\cup B\)) = P(A) + P(B)
Mối quan hệ trên có thể tóm tắt như sau:
Xung khắc → không có phần chung → không bị tính trùng → cộng trực tiếp
Ví dụ
Một hộp có 10 viên bi, gồm 3 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi. Gọi:
A: “Lấy được viên bi đỏ”.
B: “Lấy được viên bi xanh”.
Hai biến cố AA và BB xung khắc, vì một viên bi không thể vừa đỏ vừa xanh.
Ta có:
P(A) = \(\frac{3}{10}\)
P(B) = \(\frac{2}{10}\)
Theo công thức:
P(A∪B) = P(A) + P(B) = \(\frac{3}{10}\) + \(\frac{2}{10}\) = \(\frac{5}{10}\) = \(\frac12\)
Vậy xác suất lấy được viên bi đỏ hoặc xanh là \(\frac12\)
Mở rộng cho nhiều biến cố đôi một xung khắc
Không chỉ hai biến cố, công thức cộng xác suất còn có thể mở rộng cho nhiều biến cố đôi một xung khắc.
Giả sử A₁, A₂, ..., Aₙ là các biến cố đôi một xung khắc, nghĩa là bất kỳ hai biến cố khác nhau nào trong số đó cũng không thể đồng thời xảy ra.
Khi đó:
P(A₁ \(\cup\) A₂ \(\cup\)... \(\cup\)Aₙ) = P(A₁) + P(A₂) + ... + P(Aₙ)
Ví dụ, khi gieo một con xúc xắc, các biến cố:
A₁: “Xuất hiện mặt 1 chấm”.
A₂: “Xuất hiện mặt 2 chấm”.
A₃: “Xuất hiện mặt 3 chấm”.
là các biến cố đôi một xung khắc. Không thể trong một lần gieo mà đồng thời xuất hiện hai kết quả khác nhau.
Do đó:
P(A₁\(\cup\)A₂\(\cup\)A₃) = P(A₁) + P(A₂) + P(A₃)
Việc mở rộng này giúp học sinh giải quyết những bài toán có nhiều khả năng thuận lợi mà các khả năng đó không thể xảy ra cùng lúc.
Ví dụ tính xác suất của biến cố hợp
Bài toán: Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Gọi A là biến cố “xuất hiện mặt 1 hoặc 2 chấm”, B là biến cố “xuất hiện mặt 5 hoặc 6 chấm”. Tính xác suất của biến cố A \(\cup\) B.
Lời giải:
Ta có:
A = {1; 2}
B = {5; 6}
Hai biến cố A và B không thể đồng thời xảy ra vì một lần gieo xúc xắc chỉ cho một kết quả. Do đó:
\(A\cap B=\emptyset\)
Suy ra A và B là hai biến cố xung khắc.
Xác suất của A là:
P(A) = \(\frac26\) = \(\frac13\)
Xác suất của B là:
P(B) = \(\frac26\) = \(\frac13\)
Áp dụng công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc:
P(A \(\cup\) B) = P(A) + P(B)
= \(\frac13\) + \(\frac13\)= \(\frac23\)
Vậy xác suất để xuất hiện mặt 1, 2, 5 hoặc 6 chấm là:
P(A \(\cup\) B) = \(\frac23\)
Ví dụ này minh họa trực tiếp cách xác định điều kiện xung khắc trước khi áp dụng công thức cộng xác suất.
Phân biệt biến cố xung khắc và biến cố độc lập
Biến cố xung khắc và đặc điểm
Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra.
Đặc điểm quan trọng của hai biến cố gọi là xung khắc:
\(A\cap B=\emptyset\)
Khái niệm này tập trung vào khả năng xảy ra đồng thời của hai biến cố.
Ví dụ, trong một lần gieo xúc xắc:
A: “Xuất hiện số chẵn”.
B: “Xuất hiện số lẻ”.
A và B là hai biến cố xung khắc vì một kết quả không thể vừa chẵn vừa lẻ.
Biến cố độc lập và đặc điểm
Hai biến cố được gọi là độc lập khi việc xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia.
Với hai biến cố độc lập A và B, ta có:
P(A \(\cap\) B) = P(A) × P(B)
Khái niệm độc lập vì vậy tập trung vào mối quan hệ về xác suất, cụ thể là việc xảy ra của biến cố này có ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố kia hay không.
Ví dụ, gieo một đồng xu và một con xúc xắc. Gọi:
A: “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa”.
B: “Xúc xắc xuất hiện mặt 6”.
Kết quả của phép gieo đồng xu không ảnh hưởng đến kết quả gieo xúc xắc; do đó, hai biến cố này độc lập.
So sánh biến cố xung khắc và biến cố độc lập
Tiêu chí | Biến cố xung khắc | Biến cố độc lập |
|---|---|---|
Bản chất | Không thể đồng thời xảy ra | Việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến biến cố kia |
Điều kiện đặc trưng | \(A\cap B=\emptyset\) | P(A \(\cap\) B) = P(A) × P(B) |
Có thể cùng xảy ra không? | Không | Có thể |
Nội dung cần xét | Khả năng xảy ra đồng thời | Mối quan hệ giữa xác suất của các biến cố |
Hai khái niệm này đều mô tả mối quan hệ giữa các biến cố nhưng dựa trên những tiêu chí khác nhau. Có thể phân biệt như sau:
Xung khắc → “Không thể cùng xảy ra”.
Độc lập → “Xảy ra cái này không làm thay đổi khả năng xảy ra cái kia”.
Ví dụ phân biệt biến cố xung khắc và biến cố độc lập
Xét một lần gieo con xúc xắc cân đối.
Gọi:
A: “Xuất hiện số chẵn”.
B: “Xuất hiện số lẻ”.
Ta có:
P(A) = \(\frac36\) = \(\frac12\)
P(B) = \(\frac36\) = \(\frac12\)
Vì một số không thể vừa chẵn vừa lẻ nên:
P(A \(\cap\) B) = 0
Do đó:
P(A \(\cap\) B) ≠ P(A) × P(B)
vì:
0 ≠ \(\frac12\) × \(\frac12\) = \(\frac14\)
Vậy A và B xung khắc nhưng không độc lập.
Điều này cho thấy hai khái niệm không đồng nghĩa. Trong trường hợp hai biến cố xung khắc có xác suất dương, chúng không thể đồng thời độc lập. Khi phân biệt hai khái niệm, học sinh cần dựa trên định nghĩa và điều kiện toán học tương ứng.
Bài tập vận dụng biến cố xung khắc
Xác định hai biến cố có xung khắc hay không
Bài tập 1: Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Xét hai biến cố:
A: “Xuất hiện số nguyên tố”.
B: “Xuất hiện số lớn hơn 4”.
Hai biến cố A và B có xung khắc không?
Lời giải
Không gian mẫu:
\(\Omega\) = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Các số nguyên tố trong Ω là 2, 3 và 5 nên:
A = {2; 3; 5}
Biến cố B là “xuất hiện số lớn hơn 4”, do đó:
B = {5; 6}
Ta có:
A \(\cap\) B = {5} ≠ \(∅\)
Vì A và B có kết quả chung là 5 nên chúng có thể đồng thời xảy ra.
Kết luận: A và B không xung khắc.
Bài tập 2: Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Gọi:
A: “Xuất hiện mặt có số chẵn”.
B: “Xuất hiện mặt có số lẻ”.
Hai biến cố A và B có xung khắc không?
Lời giải
Ta có:
A = {2; 4; 6}
B = {1; 3; 5}
Không có kết quả nào vừa thuộc A vừa thuộc B nên:
\(A\cap B=\emptyset\)
Do đó, A và B không thể đồng thời xảy ra.
Kết luận: A và B là hai biến cố xung khắc.
Bài tập 3: Một hộp có 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên một thẻ. Gọi:
A: “Rút được thẻ mang số chia hết cho 2”.
B: “Rút được thẻ mang số chia hết cho 5”.
Hai biến cố A và B có xung khắc không?
Lời giải
Ta có:
A = {2; 4; 6; 8; 10}
B = {5; 10}
Suy ra:
A \(\cap\) B = {10} ≠ \(∅\)
Kết quả 10 đồng thời thỏa mãn cả A và B. Vì vậy, hai biến cố có thể cùng xảy ra.
Kết luận: A và B không xung khắc.
Áp dụng công thức cộng xác suất
Bài tập 1: Một hộp có 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên một thẻ. Gọi A là biến cố “rút được thẻ mang số 2, 4 hoặc 6”, B là biến cố “rút được thẻ mang số 1 hoặc 9”.
Tính xác suất của biến cố A ∪ B.
Lời giải
Ta có:
P(A) = \(\frac{3}{10}\)
và:
P(B) = \(\frac{2}{10}\) = \(\frac15\)
Các kết quả thuận lợi cho A và B không trùng nhau nên:
\(A\cap B=\emptyset\)
Do đó, A và B là hai biến cố xung khắc.
Áp dụng công thức cộng xác suất:
P(A \(\cup\) B) = P(A) + P(B)
= \(\frac{3}{10}\)+ \(\frac{2}{10}\)
= \(\frac{5}{10}\) = \(\frac12\)
Kết luận: Xác suất của biến cố A ∪ B là \(\frac12\)
Bài tập 2: Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Gọi:
A: “Xuất hiện mặt 1 hoặc 2 chấm”.
B: “Xuất hiện mặt 5 hoặc 6 chấm”.
Tính xác suất của biến cố A ∪ B.
Lời giải
Ta có:
P(A) = \(\frac26\) = \(\frac13\)
P(B) = \(\frac26\) = \(\frac13\)
A và B là hai biến cố xung khắc vì không thể đồng thời xuất hiện một mặt thuộc {1; 2} và một mặt thuộc {5; 6}.
Áp dụng công thức:
P(A \(\cup\) B) = P(A) + P(B)
= \(\frac13\) + \(\frac13\) = \(\frac23\)
Kết luận: P(A \(\cup\) B) = \(\frac23\)
Bài tập 3: Một lớp có 40 học sinh, trong đó 22 học sinh thích môn Toán, 12 học sinh thích môn Vật lí và không có học sinh nào vừa được chọn vào nhóm “thích Toán” vừa được chọn vào nhóm “thích Vật lí”. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp.
Gọi A là biến cố “học sinh được chọn thích Toán”, B là biến cố “học sinh được chọn thích Vật lí”. Tính xác suất của biến cố A ∪ B.
Lời giải
Theo đề bài:
P(A) = \(\frac{22}{40}\)
P(B) = \(\frac{12}{40}\)
Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nên:
P(A \(\cup\) B) = P(A) + P(B)
= \(\frac{22}{40}\) + \(\frac{12}{40}\)
= \(\frac{34}{40}\) = \(\frac{17}{20}\)
Kết luận: Xác suất để học sinh được chọn thích Toán hoặc thích Vật lí là \(\frac{17}{20}\)
Vận dụng biến cố đôi một xung khắc
Bài tập 1: Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Gọi:
A₁: “Xuất hiện mặt 1 chấm”.
A₂: “Xuất hiện mặt 2 chấm”.
A₃: “Xuất hiện mặt 3 chấm”.
A₄: “Xuất hiện mặt 4 chấm”.
Tính xác suất của biến cố A₁ \(\cup\) A₂ \(\cup\) A₃ \(\cup\) A₄.
Lời giải
Bốn biến cố A₁, A₂, A₃ và A₄ đôi một xung khắc vì trong một lần gieo xúc xắc chỉ có thể xuất hiện một mặt.
Ta có:
P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = P(A₄) = \(\frac16\)
Theo công thức cộng xác suất cho các biến cố đôi một xung khắc:
P(A₁ \(\cup\) A₂ \(\cup\) A₃ \(\cup\) A₄)
= P(A₁) + P(A₂) + P(A₃) + P(A₄)
= \(\frac16\) + \(\frac16\) + \(\frac16\) + \(\frac16\)
= \(\frac46\) = \(\frac23\)
Kết luận: Xác suất để xúc xắc xuất hiện một trong các mặt 1, 2, 3 hoặc 4 chấm là \(\frac23\)
Bài tập 2: Một hộp có 12 viên bi được đánh số từ 1 đến 12. Rút ngẫu nhiên một viên. Gọi:
A₁: “Rút được viên bi mang số 1”.
A₂: “Rút được viên bi mang số 4”.
A₃: “Rút được viên bi mang số 7”.
A₄: “Rút được viên bi mang số 10”.
Tính xác suất của biến cố A₁ \(\cup\) A₂ \(\cup\) A₃ \(\cup\) A₄.
Lời giải
Bốn biến cố đôi một xung khắc vì một lần rút chỉ có thể nhận được một viên bi.
Mỗi biến cố có xác suất:
P(Aᵢ) = \(\frac{1}{12}\)
Theo công thức cộng xác suất:
P(A₁ \(\cup\) A₂ \(\cup\) A₃ \(\cup\) A₄)
= 4 × \(\frac{1}{12}\) = \(\frac13\)
Kết luận: Xác suất cần tìm là \(\frac13\)
Bài tập 3: Một con xúc xắc cân đối được gieo một lần. Gọi:
A₁: “Xuất hiện mặt 1 chấm”.
A₂: “Xuất hiện mặt 2 chấm”.
A₃: “Xuất hiện mặt 3 chấm”.
A₄: “Xuất hiện mặt 4 chấm”.
A₅: “Xuất hiện mặt 5 chấm”.
Tính xác suất để xuất hiện một trong các mặt từ 1 đến 5 chấm.
Lời giải
Năm biến cố A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ đôi một xung khắc.
Mỗi biến cố có xác suất \(\frac16\)
Do đó:
P(A₁ \(\cup\) A₂ \(\cup\) A₃ \(\cup\) A₄ \(\cup\) A₅)
= 5 × \(\frac16\) = \(\frac56\)
Kết luận: Xác suất cần tìm là \(\frac56\)
Bài tập tự luyện
Nhận biết biến cố xung khắc
Bài tập 1: Gieo một con xúc xắc một lần. Gọi A là biến cố “xuất hiện số nguyên tố” và B là biến cố “xuất hiện số 4”.
Hai biến cố A và B có xung khắc không?
Lời giải:
A = {2; 3; 5}, B = {4}.
Ta có:
\(A\cap B=\emptyset\)
Vậy A và B xung khắc.
Bài tập 2: Gieo một con xúc xắc một lần. Gọi A là biến cố “xuất hiện số chẵn” và B là biến cố “xuất hiện số lớn hơn 4”.
Hai biến cố A và B có xung khắc không?
Lời giải:
A = {2; 4; 6}, B = {5; 6}.
Ta có:
A \(\cap\) B = {6} \(\ne\) \(∅\)
Vậy A và B không xung khắc.
Bài tập 3: Một hộp có 15 thẻ được đánh số từ 1 đến 15. Gọi A là biến cố “rút được số chia hết cho 3” và B là biến cố “rút được số 5 hoặc 10”.
Hai biến cố A và B có xung khắc không?
Lời giải:
A = {3; 6; 9; 12; 15}
B = {5; 10}
Ta có:
\(A\cap B=\emptyset\)
Vậy A và B xung khắc.
Bài tập 4: Một hộp có 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Gọi A là biến cố “rút được số nguyên tố” và B là biến cố “rút được số lẻ”.
Hai biến cố A và B có xung khắc không?
Lời giải:
A = {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}
B = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19}
Có nhiều kết quả chung, chẳng hạn 3, 5, 7.
Do đó:
\(A\cap B\ne\emptyset\)
Vậy A và B không xung khắc.
Bài tập 5: Gieo một con xúc xắc một lần. Gọi A là biến cố “xuất hiện số nhỏ hơn 3” và B là biến cố “xuất hiện số lớn hơn 4”.
Hai biến cố A và B có xung khắc không?
Lời giải:
A = {1; 2}
B = {5; 6}
Hai tập hợp không có phần tử chung:
\(A\cap B=\emptyset\)
Vậy A và B xung khắc.
Tính xác suất của biến cố hợp
Bài tập 6: Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Gọi A là biến cố “xuất hiện số 1 hoặc 3”, B là biến cố “xuất hiện số 5”.
Tính P(A \(\cup\) B).
Lời giải:
A = {1; 3}, B = {5}.
Hai biến cố trên là hai biến cố xung khắc.
Do:
P(A) = \(\frac26\) = \(\frac13\)
P(B) = \(\frac16\)
nên:
P(A \(\cup\) B) = \(\frac13\) + \(\frac16\) = \(\frac12\)
Đáp số: \(\frac12\)
Bài tập 7: Một hộp có 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên một thẻ. Gọi A là biến cố “rút được số chia hết cho 5”, B là biến cố “rút được số 2 hoặc 4”.
Tính P(A \(\cup\) B).
Lời giải:
A = {5; 10; 15; 20} nên:
P(A) = \(\frac{4}{20}\)
B = {2; 4} nên:
P(B) = \(\frac{2}{20}\)
A và B là hai biến cố xung khắc.
Vậy:
P(A \(\cup\) B) = \(\frac{4}{20}\) + \(\frac{2}{20}\) = \(\frac{6}{20}\) = \(\frac{3}{10}\)
Đáp số: \(\frac{3}{10}\)
Bài tập 8: Một hộp có 30 viên bi được đánh số từ 1 đến 30. Gọi A là biến cố “rút được viên bi mang số chia hết cho 6”, B là biến cố “rút được viên bi mang số 5 hoặc 11”.
Tính P(A \(\cup\) B).
Lời giải:
Các số chia hết cho 6 là:
6; 12; 18; 24; 30
Do đó:
P(A) = \(\frac{5}{30}\)
B có 2 kết quả:
P(B) = \(\frac{2}{30}\)
A và B là hai biến cố xung khắc.
Vậy:
P(A \(\cup\) B) = \(\frac{5}{30}\) + \(\frac{2}{30}\) = \(\frac{7}{30}\)
Đáp số: \(\frac{7}{30}\)
Bài tập 9: Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Gọi A là biến cố “xuất hiện số 2 hoặc 4”, B là biến cố “xuất hiện số 6”.
Tính P(A \(\cup\) B).
Lời giải:
A = {2; 4}, B = {6}.
Hai biến cố trên là hai biến cố xung khắc.
P(A) = \(\frac26\) = \(\frac13\)
P(B) = \(\frac16\)
Do đó:
P(A \(\cup\) B) = \(\frac13\) + \(\frac16\) = \(\frac12\)
Đáp số: \(\frac12\)
Nhiều biến cố đôi một xung khắc
Bài tập 10: Một hộp có 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên một thẻ. Gọi A₁, A₂, A₃ lần lượt là các biến cố rút được thẻ số 2, 5 hoặc 8.
Tính P(A₁ \(\cup\) A₂ \(\cup\) A₃).
Lời giải:
Ba biến cố đôi một xung khắc.
Mỗi biến cố có xác suất \(\frac{1}{10}\)
Do đó:
P(A₁ \(\cup\) A₂ \(\cup\) A₃) = 3 × \(\frac{1}{10}\) = \(\frac{3}{10}\)
Đáp số: \(\frac{3}{10}\)
Bài tập 11: Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Gọi A₁, A₂, A₃ lần lượt là các biến cố xuất hiện mặt 1, 3 và 5 chấm.
Tính P(A₁ \(\cup\) A₂ \(\cup\) A₃).
Lời giải:
Ba biến cố đôi một xung khắc.
Ta có:
P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = \(\frac16\)
Suy ra:
P(A₁ \(\cup\) A₂ \(\cup\) A₃) = 3 × \(\frac16\) = \(\frac12\)
Đáp số: \(\frac12\)
Bài tập 12: Một hộp có 12 thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Gọi A₁, A₂, A₃, A₄ lần lượt là các biến cố rút được thẻ mang số 3, 6, 9 hoặc 12.
Tính P(A₁ \(\cup\) A₂ \(\cup\) A₃ \(\cup\) A₄).
Lời giải:
Bốn biến cố đôi một xung khắc.
Mỗi biến cố có xác suất \(\frac{1}{12}\)
Vậy:
P(A₁ \(\cup\) A₂ \(\cup\) A₃ \(\cup\) A₄) = \(\frac{4}{12}\) = \(\frac13\)
Đáp số: \(\frac13\)
Bài tập 13: Một hộp có 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Gọi A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ lần lượt là các biến cố rút được thẻ mang số 2, 4, 6, 8 hoặc 10.
Tính P(A₁ \(\cup\) A₂ \(\cup\) A₃ \(\cup\) A₄ \(\cup\) A₅).
Lời giải:
Năm biến cố đôi một xung khắc.
Mỗi biến cố có xác suất \(\frac{1}{20}\)
Do đó:
P(A₁ \(\cup\) A₂ \(\cup\) A₃ \(\cup\) A₄ \(\cup\) A₅) = \(\frac{5}{20}\) = \(\frac14\)
Đáp số: \(\frac14\)
Tổng hợp
Bài tập 14: Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Gọi:
A: “Xuất hiện số chẵn”.
B: “Xuất hiện số 1”.
A và B có xung khắc không?
Tính P(A \(\cup\) B).
Lời giải:
Ta có:
A = {2; 4; 6}
B = {1}
Do:
\(A\cap B=\emptyset\)
nên A và B là hai biến cố xung khắc.
Mặt khác:
P(A) = \(\frac36\) = \(\frac12\)
P(B) = \(\frac16\)
Do đó:
P(A \(\cup\) B) = \(\frac12\) + \(\frac16\) = \(\frac23\)
Đáp số:
A và B là hai biến cố xung khắc.
P(A \(\cup\) B) = \(\frac23\)
Bài tập 15: Một hộp có 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên một thẻ. Gọi A là biến cố “rút được số chia hết cho 4” và B là biến cố “rút được số 1, 2 hoặc 3”.
A và B có xung khắc không?
Tính P(A \(\cup\) B).
Lời giải:
Ta có:
A = {4; 8; 12; 16; 20}
B = {1; 2; 3}
Hai tập hợp không có phần tử chung nên:
\(A\cap B=\emptyset\)
Vậy A và B là hai biến cố xung khắc.
Ta có:
P(A) = \(\frac{5}{20}\)
P(B) = \(\frac{3}{20}\)
Suy ra:
P(A \(\cup\) B) = \(\frac{5}{20}\) + \(\frac{3}{20}\) = \(\frac{8}{20}\) = \(\frac25\)
Đáp số:
A và B là hai biến cố xung khắc.
P(A \(\cup\) B) = \(\frac25\)
Bài tập 16: Một hộp có 15 thẻ được đánh số từ 1 đến 15. Gọi A₁, A₂, A₃ lần lượt là các biến cố rút được thẻ mang số 1, 5 hoặc 10. Gọi B là biến cố “rút được thẻ mang số chia hết cho 3”.
Các biến cố A₁, A₂, A₃ có đôi một xung khắc không?
Biến cố A₁ \(\cup\) A₂ \(\cup\) A₃ có xung khắc với B không?
Tính P(A₁ \(\cup\) A₂ \(\cup\) A₃).
Lời giải:
Các biến cố A₁, A₂, A₃ tương ứng với ba kết quả khác nhau là 1, 5 và 10. Vì một lần rút chỉ lấy một thẻ nên chúng đôi một xung khắc.
Tuy nhiên, xét:
A₁ \(\cup\) A₂ \(\cup\) A₃ = {1; 5; 10}
và:
B = {3; 6; 9; 12; 15}
Hai tập hợp không có phần tử chung nên A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ và B cũng xung khắc.
Ta có:
P(A₁) = P(A₂) = P(A₃) = \(\frac{1}{15}\)
Do đó:
P(A₁ \(\cup\) A₂ \(\cup\) A₃) = \(\frac{3}{15}\) = \(\frac15\)
Đáp số:
Có.
Có.
\(\frac15\)
Bài tập 17: Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Gọi A là biến cố “xuất hiện số nhỏ hơn 4” và B là biến cố “xuất hiện số lớn hơn hoặc bằng 4”.
A và B có xung khắc không?
Tính P(A \(\cup\) B).
Hai biến cố A và B có tạo thành toàn bộ không gian mẫu không?
Lời giải:
Ta có:
A = {1; 2; 3}
B = {4; 5; 6}
Suy ra:
\(A\cap B=\emptyset\)
nên A và B là hai biến cố xung khắc.
Mặt khác:
P(A) = \(\frac36\) = \(\frac12\)
P(B) = \(\frac36\) = \(\frac12\)
Do đó:
P(A \(\cup\) B) = \(\frac12\) + \(\frac12\) = 1
Ngoài ra:
A \(\cup\) B = \(\Omega\)
vì A và B bao phủ toàn bộ sáu kết quả có thể xảy ra.
Đáp số:
Có.
P(A \(\cup\) B) = 1
Có, A \(\cup\) B = \(\Omega\)
Tham khảo thêm: Biến cố đối | Công thức tính xác suất và bài tập Toán 10.
Biến cố xung khắc là hai biến cố không thể đồng thời xảy ra, tương đương với điều kiện A ∩ B = ∅. Với hai biến cố xung khắc, xác suất của biến cố hợp được tính theo công thức P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Việc phân biệt biến cố xung khắc với biến cố độc lập giúp học sinh xác định đúng mối quan hệ giữa các biến cố và lựa chọn công thức xác suất phù hợp trong từng bài toán. Đây là cơ sở quan trọng để vận dụng chính xác công thức cộng xác suất trong chương trình Toán 11.
Nguồn tham khảo
1
“Toán 11, tập hai (Kết nối tri thức với cuộc sống).” Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, https://taphuan.nxbgd.vn/tap-huan?grade=11. Accessed 29 September 2026.
Bình luận - Hỏi đáp