Cách chứng minh hình bình hành | 5 dấu hiệu và bài tập lớp 8

cach chung minh hinh binh hanh 5 dau hieu va bai tap lop 8

Key takeaways

Cách chứng minh hình bình hành dựa trên 5 dấu hiệu về cạnh, góc và đường chéo.
Có thể chứng minh tứ giác là hình bình hành bằng các dấu hiệu về cạnh đối, góc đối hoặc hai đường chéo.
Khi làm bài, cần chọn dấu hiệu phù hợp với dữ kiện đề cho.

Trong chương trình Hình học 8, cách chứng minh hình bình hành là nội dung quan trọng khi giải các bài toán về tứ giác. Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành, học sinh cần nắm vững các dấu hiệu nhận biết hình bình hành dựa trên cạnh đối, góc đối và hai đường chéo.

Bài viết hệ thống các cách chứng minh hình bình hành lớp 8, phân biệt rõ tính chất với dấu hiệu nhận biết và cung cấp bài tập chứng minh hình bình hành có hướng dẫn chi tiết.

Hình bình hành là gì?

Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song [1].

Tính chất của hình bình hành:

Trong hình bình hành:

Các cạnh đối bằng nhau;
Các góc đối bằng nhau;
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Nhận xét: Trong hình bình hành, hai góc kề một cạnh bất kì thì bù nhau. [1]

Phân biệt tính chất và dấu hiệu nhận biết hình bình hành

Trong quá trình giải bài tập hình học, học sinh thường nhầm lẫn giữa tính chất và dấu hiệu nhận biết của hình bình hành.

Tính chất: Là những kết quả suy ra được khi đã biết chắc chắn tứ giác đó là hình bình hành. Chiều suy luận đi từ giả thiết "Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành" đến kết luận về tính chất các cạnh đối, góc đối hoặc hai đường chéo.
Dấu hiệu nhận biết: Là các điều kiện cần và đủ dùng để chứng minh một tứ giác ban đầu là hình bình hành. Chiều suy luận đi từ các yếu tố cho trước của tứ giác để đi đến kết luận "Tứ giác đó là hình bình hành".

Tiêu chí	Tính chất hình bình hành	Dấu hiệu nhận biết hình bình hành
Giả thiết	Đã biết tứ giác là hình bình hành.	Chưa biết tứ giác là hình bình hành.
Mục đích sử dụng	Suy ra cạnh bằng nhau, góc bằng nhau.	Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
Chiều suy luận	Hình bình hành $\rightarrow$ Tính chất.	Đủ điều kiện $\rightarrow$ Hình bình hành.

Phân biệt tính chất và dấu hiệu nhận biết hình bình hành

Các cách chứng minh hình bình hành

Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành, học sinh có thể dựa vào 5 dấu hiệu nhận biết: hai cặp cạnh đối song song; hai cặp cạnh đối bằng nhau; một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau; hai góc đối bằng nhau; hoặc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Việc lựa chọn cách chứng minh hình bình hành phụ thuộc vào dữ kiện mà đề bài cung cấp.

Dấu hiệu về cạnh đối song song

Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành

Dấu hiệu về cạnh đối bằng nhau

Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

Dấu hiệu về một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau

Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành

Dấu hiệu về góc đối bằng nhau

Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành

Dấu hiệu về hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành

Ví dụ 1: Trong ba tứ giác dưới đây, tứ giác nào là hình bình hành, tứ giác nào không là hình bình hành? Vì sao? [1]

Ví dụ cách chứng minh hình bình hành — Ví dụ về cách chứng minh hình bình hành

Hướng dẫn giải
Hình a và c là hình bình hành do:

Hình a có các cặp cạnh đối bằng nhau.

Hình c có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Ví dụ minh họa cách chứng minh hình bình hành

Ví dụ 1: Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Trên tia đối của tia $MA$ lấy điểm $D$ sao cho $MD = MA$. Chứng minh tứ giác $ABDC$ là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Ví dụ minh họa cách chứng minh hình bình hành

Xét tứ giác $ABDC$ có hai đường chéo là $AD$ và $BC$.
Theo giả thiết, $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MB = MC$.
Mặt khác, điểm $D$ thuộc tia đối của tia $MA$ và $MD = MA$ nên $M$ cũng là trung điểm của đoạn thẳng $AD$.
Tứ giác $ABDC$ có hai đường chéo $AD$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường.
Do đó, tứ giác $ABDC$ là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm).

Ví dụ 2: Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $E$ là trung điểm của $AB, F$ là trung điểm của $CD$. Chứng minh tứ giác $AECF$ là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB//CD$ và $AB = CD$.

Do $E$ thuộc $AB$ và $F$ thuộc $CD$ nên $AE//CF$.

Mặt khác, $E$ là trung điểm của $AB$ nên $AE=\frac12AB$; $F$ là trung điểm của $CD$ nên $CF=\frac12CD$

Vì $AB = CD$ nên $AE = CF$.

Xét tứ giác $AECF$ có $AE//CF$ và $AE = CF$.

Vậy tứ giác $AECF$ là hình bình hành (theo dấu hiệu một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau)

Ví dụ 3: Cho hình bình hành $ABCD\left(AB>BC\right)$. Tia phân giác của góc $D$ cắt $AB$ tại $E$ và tia phân giác của góc $B$ cắt $CD$ tại $F$

a) Chứng minh hai tam giác $ADE$ và $CBF$ là những tam giác cân, bằng nhau

b) Tứ giác $DEBF$ là hình gì? Tại sao?

Chứng minh tứ giác DEBF là hình bình hành

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\widehat {ADE} = \widehat {EDC}$($DE$ là phân giác góc $D$)

Mà $AB//DC$ nên $\widehat {AED} = \widehat {EDC}$ (so le trong)

Suy ra $\widehat {AED} = \widehat {ADE}$ nên tam giác $ADE$ là tam giác cân

Tương tự, ta chứng minh được tam giác $CBF$ cân tại $C$, nên $CF=CB$. Tam giác $ADE$ cân tại $A$, nên $AE=AD$. Vì $AD=CB$ nên $AE=CF$.

b) Xét tam giác $ADE$ và $CBF$ ta có:

$AD = CB$

$\widehat{DAE}=\widehat{BCF}$ (do $AD//BC$ và $AE//CF$)

$AE = CF$

Suy ra $\Delta ADE = \Delta CBF$(c.g.c) suy ra $DE = BF$(1)

Ta có: $\widehat {EDF} = \widehat {CBF};\,\,\widehat {CBF} = \widehat {CFB}$

Suy ra $\widehat {EDF} = \widehat {CFB}$. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị suy ra $DE//BF$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $DEBF$ là hình bình hành.

Ví dụ 4: Chia một sợi dây xích thành bốn đoạn: hai đoạn dài bằng nhau, hai đoạn ngắn bằng nhau và đoạn dài, đoạn ngắn xen kẽ nhau. Hỏi khi móc hai đầu mút của sợi dây xích đó lại để được một tứ giác $ABCD$ (có các đỉnh tại các điểm chia) như hình vẽ thì tứ giác $ABCD$ là hình gì? Tại sao? [1]

Cách chứng minh hình bình hành bằng hai cặp cạnh đối bằng nhau — Minh họa cách chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành khi hai cặp cạnh đối bằng nhau

Hướng dẫn giải

Đoạn dây xích được chia thành:

Hai đoạn dài có độ dài bằng nhau, tức là $AB=CD$;
Hai đoạn ngắn có độ dài bằng nhau, tức là $AD=BC$.

Tứ giác $ABCD$ có $AB=CD;$$AD=BC$ nên tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Bài tập cách chứng minh hình bình hành lớp 8

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn. Vẽ đoạn thẳng $AD$ song song và bằng $BC$ (sao cho $D$ và $C$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $AB$). Chứng minh tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành

Xét tứ giác $ABCD$ có $AD//BC$ và $AD = BC$ (theo giả thiết).

Tứ giác $ABCD$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên $ABCD$ là hình bình hành

Bài 2. Cho hình bình hành $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O$. Lấy điểm $M$ trên đoạn $OA$ và điểm $N$ trên đoạn $OC$ sao cho $AM = CN$. Chứng minh tứ giác $MBND$ là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Chứng minh tứ giác MBND là hình bình hành

Vì $ABCD$ là hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$, suy ra $OA = OC$ và $OB = OD$.

Ta có $OM = OA - AM$ và $ON = OC - CN$. Mà $OA = OC$ và $AM = CN$ nên $OM = ON$.

Suy ra $O$ là trung điểm của $MN$.

Xét tứ giác $MBND$ có hai đường chéo $MN$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường nên $MBND$ là hình bình hành

Bài 3. Cho tam giác $ABC$. Từ một điểm $M$ tùy ý trên cạnh $BC$, kẻ đường thẳng song song với $AB$, cắt cạnh $AC$ tại $N$ và kẻ đường thẳng song song với $AC$, cắt cạnh $AB$ tại $P$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn $NP$. Chứng minh rằng $I$ cũng là trung điểm của đoạn thẳng $AM$.

Hướng dẫn giải

Chứng minh rằng I cũng là trung điểm của đoạn thẳng AM

Ta có:

$AB//MN$ suy ra $MN//AP$ (1)

$MP//AC$ suy ra $MP//AN$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $ANMP$ là hình bình hành.

Do đó, hai đường chéo của hình bình hành $ANMP$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà $I$ là trung điểm của đường chéo $NP$ nên $I$ cũng là trung điểm của đường chéo $AM$.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ và $H$ là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $B$, vuông góc với $AC$ tại $C$ cắt nhau ở $D$. Chứng minh tứ giác $BDCH$ là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Vì $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ nên $CH \bot AB$ mà $AB \bot BD$ (giả thiết)

Suy ra $CH//BD$ (1)

Tương tự ta có $BH \bot AC$ mà $AC \bot CD$ (giả thiết)

Suy ra $BH//CD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $BHCD$ là hình bình hành.

Bài 5. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$. Một đường thẳng đi qua $O$ lần lượt cắt các cạnh $AB,CD$ của hình bình hành tại hai điểm $M,N$. Chứng minh $\Delta OAM=\Delta OCN$. Từ đó suy ra tứ giác $MBND$ là hình bình hành. [1]

Hướng dẫn giải

Vì $O$ là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $BD$ và $AC$.

Lại có: $AB//CD$ nên $\widehat {OCN} = \widehat {OAM}$

Xét $\Delta OAM$ và $\Delta OCN$ có:

$\widehat {OCN} = \widehat {OAM}$ (chứng minh trên)

$OA = OC$ ($O$ là trung điểm $AC$)

$\widehat {AOM} = \widehat {CON}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó $\Delta OAM = \Delta OCN$ (góc-cạnh-góc)

Suy ra $OM = ON$ hay $O$ là trung điểm $MN$.

Xét tứ giác $MBND$ có hai đường chéo $MN$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường, suy ra tứ giác $MBND$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Bài viết đã hệ thống cách chứng minh hình bình hành dựa trên cạnh, góc và đường chéo. Khi nắm vững các dấu hiệu này và luyện tập thường xuyên các dạng chứng minh tứ giác là hình bình hành, học sinh sẽ xử lý hiệu quả hơn các bài tập hình học lớp 8. Người học có thể tham khảo thêm các kiến thức liên quan trong chuyên đề Toán 8 để củng cố nền tảng và vận dụng tốt hơn vào bài tập.

Nguồn tham khảo

Hà Huy Khoái (Tổng Chủ biên), Cung Thế Anh, Nguyễn Huy Đoan (đồng Chủ biên), Nguyễn Cao Cường, Trần Mạnh Cường, Doãn Minh Cường, Trần Phương Dung, Sĩ Đức Quang, Lưu Bá Thắng, Đặng Hùng Thắng. “Toán 8, tập một – Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương III: Tứ giác, Bài 12: Hình bình hành, tr. 57–61.” Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, Accessed 28 September 2026.