Cách vẽ tia phân giác bằng thước đo góc và compa

Cách vẽ tia phân giác là kiến thức hình học lớp 7, giúp học sinh chia một góc thành hai góc có số đo bằng nhau. Bài viết hướng dẫn cách vẽ tia phân giác bằng thước đo góc, thước thẳng và compa theo từng bước, kết hợp ví dụ minh họa, cách vẽ đường phân giác trong tam giác, phân giác ngoài và bài tập vận dụng.

Tia phân giác của một góc là gì? Cách nhận biết

Theo chương trình Hình học lớp 7, tia phân giác của một góc được định nghĩa là tia nằm ở bên trong góc đó và tạo với hai cạnh của góc hai góc có số đo bằng nhau. [1]

Có hai cách vẽ tia phân giác thông dụng: dùng thước đo góc để xác định một nửa số đo góc, hoặc dùng compa kết hợp thước thẳng để dựng tia chia góc thành hai góc bằng nhau.

Giả sử \(Oz\) là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\), ta có hệ thức toán học:\[\widehat{xOz}=\widehat{zOy}=\frac{1}{2}\widehat{xOy}\]

Để khẳng định một tia là tia phân giác của một góc, học sinh bắt buộc phải kiểm tra đầy đủ hai điều kiện cốt lõi sau đây:

• Tia đó phải nằm ở miền trong của góc (nằm giữa hai cạnh).

• Tia đó phải tạo ra hai góc con có số đo bằng nhau.

Cách vẽ tia phân giác bằng thước đo góc

Phương pháp sử dụng thước đo góc là cách làm truyền thống, trực quan và rất phổ biến khi đã biết trước số đo của góc. Quy trình chuẩn gồm 6 bước thực hiện chi tiết:

• Bước 1: Sử dụng thước đo góc để đo và xác định chính xác tổng số đo của \(\widehat{xOy}\).

• Bước 2: Thực hiện phép tính chia số đo góc vừa đo được cho 2 để tìm ra số đo của góc con.

• Bước 3: Đặt tâm của thước đo góc trùng với đỉnh O của góc, sao cho vạch \(0^\circ\) của thước nằm trùng khớp với một cạnh của góc (ví dụ cạnh \(Ox\)).

• Bước 4: Quan sát trên thang đo của thước, tìm và đánh dấu một điểm nhỏ bằng bút chì ứng với giá trị một nửa số đo góc đã tính ở Bước 2.

• Bước 5: Dùng thước thẳng vẽ tia xuất phát từ đỉnh O đi qua điểm vừa đánh dấu trên giấy, thu được tia phân giác cần tìm.

• Bước 6: Đo lại số đo của hai góc nhỏ vừa được tạo thành để kiểm tra độ chính xác của thao tác.

Ví dụ minh họa cụ thể: Cho \(\widehat{xOy}=68^{\circ}\). Thực hiện chia đôi số đo: \(68^\circ : 2 = 34^\circ\). Đặt thước đo góc và đánh dấu vạch \(34^\circ\), sau đó vẽ tia đi qua điểm đó, mỗi góc nhỏ thu được sẽ có số đo bằng \(34^\circ\).

Lưu ý quan trọng: Người học cần đọc đúng thang đo trên thước đo góc (thang đo trong hay thang đo ngoài) tùy thuộc vào hướng đặt cạnh của góc để tránh nhầm lẫn số đo.

Cách vẽ tia phân giác bằng compa và thước thẳng

Phương pháp dựng hình bằng compa và thước thẳng là phương pháp hình học chuẩn mực, không phụ thuộc vào số đo góc. Quy trình thực hiện gồm 3 bước:

Bước 1: Đặt mũi nhọn của compa tại đỉnh O của góc, quay một cung tròn có bán kính bất kỳ sao cho cung tròn này cắt hai cạnh \(Ox\) và \(Oy\) lần lượt tại hai điểm phân biệt, gọi là điểm A và điểm B.

Bước 2: Giữ nguyên độ mở của compa (cùng một bán kính), lần lượt đặt mũi nhọn compa tại điểm A và điểm B, vẽ hai cung tròn có bán kính bằng nhau và đủ lớn để chúng cắt nhau tại một điểm nằm ở bên trong góc, gọi giao điểm đó là điểm C.

Bước 3: Dùng thước thẳng vẽ tia đi từ đỉnh O qua điểm C, ta được tia OC. Tia OC chính là tia phân giác cần vẽ.

Giải thích cơ sở toán học của phương pháp:

• Có \(OA = OB\) (vì cùng bán kính cung tròn tâm O).

• Có \(AC = BC\) (vì cùng bán kính cung tròn tâm A và tâm B).

• Đoạn thẳng \(OC\) là cạnh chung của hai tam giác: \(\Delta OAC\) và \(\Delta OBC\).

• Do đó, \(\Delta OAC\) bằng \(\Delta OBC\) theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c).

• Suy ra \(\widehat{AOC}=\widehat{COB}\) (hai góc tương ứng), chứng tỏ tia \(OC\) chính là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\).

Lưu ý bắt buộc: Khi vẽ hai cung tròn từ tâm A và tâm B ở bước 2, tuyệt đối phải giữ nguyên bán kính compa, không được thay đổi độ mở của compa dẫn đến sự chênh lệch độ dài các cạnh cần được vẽ bằng nhau. Nếu như học sinh thực hiện sai nguyên tắc này thì sẽ dẫn đến tia phân giác không còn được chính xác.

So sánh hai cách vẽ tia phân giác

Mỗi phương pháp vẽ hình đều sở hữu những đặc điểm riêng biệt phù hợp với từng ngữ cảnh bài toán khác nhau. Bảng tổng hợp dưới đây giúp người học phân biệt rõ ràng:

Cách vẽ đường phân giác trong tam giác

Trong một tam giác, khái niệm đường phân giác có sự liên kết chặt chẽ nhưng cần phân biệt rõ với khái niệm tia phân giác của một góc thông thường, bởi đây là một trường hợp cụ thể hơn của tia phân giác của góc.

Phân biệt bản chất: "Tia phân giác của một góc" là một tia có gốc xuất phát từ đỉnh và kéo dài không giới hạn theo một hướng, trong khi "đường phân giác trong tam giác" là một đoạn thẳng bị giới hạn bởi đỉnh của tam giác và giao điểm của tia phân giác với cạnh đối diện.

Cách vẽ chung cho đường phân giác trong

Quy trình vẽ đường phân giác trong tam giác xuất phát từ một đỉnh bất kì với 1 tam giác bất kì được thực hiện như sau:

• Chọn một đỉnh của tam giác (ví dụ đỉnh A của tam giác ABC).

• Sử dụng thước đo góc hoặc compa để dựng tia phân giác của góc tại đỉnh đó (\(\widehat{BAC}\)).

• Xác định điểm giao cắt của tia phân giác đó với cạnh đối diện (BC). Gọi giao điểm này là điểm D.

• Đoạn thẳng nối từ đỉnh A đến điểm giao D chính là đường phân giác trong của tam giác xuất phát từ đỉnh A.

Cách vẽ đường phân giác trong với một số trường hợp đặc biệt

Bên cạnh cách vẽ đường phân giác tiêu chuẩn có thể dùng với tất cả các trường hợp, học sinh còn có thể vẽ nhanh đường phân giác trong tam giác với các trường hợp đặc biệt, có dữ kiện cho trước như sau:

Trường hợp 1: Vẽ đường phân giác tại đỉnh cân A của một tam giác cân ABC (hoặc tam giác đều ABC): Kẻ đường trung tuyến/đường cao AD. Khi đó AD chính là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\).

Giải thích cơ sở toán học: Học sinh có thể tự chứng minh được rằng \(\Delta ADC\) và \(\Delta ADB\) là 2 tam giác bằng nhau (cạnh - cạnh - cạnh nếu D là trung điểm BC và cạnh huyền - cạnh góc vuông nếu D là chân đường cao). Do đó \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)(2 góc tương ứng). Vậy AD chính là phân giác của \(\widehat{BAC}\).

Trường hợp 2: Vẽ đường phân giác tại 3 đỉnh của \(\Delta ABC\) khi đã có đường tròn nội tiếp \(\left(I\right)\). Theo định nghĩa tâm đường tròn nội tiếp của tam giác, điểm I chính là giao điểm của 3 đường phân giác trong \(\Delta ABC\)[2]. Như vậy nếu như tia AI, BI, CI lần lượt cắt 3 cạnh của tam giác là BC, CA, AB tại 3 điểm D, E, F thì AD, BE, CF chính là 3 đường phân giác trong của \(\Delta ABC\).

Trường hợp 3 (kiến thức mở rộng lớp 9): Vẽ đường phân giác tại đỉnh A của \(\Delta ABC\) khi đã có đường tròn ngoại tiếp \(\left(O\right)\). Từ tâm O kẻ đường vuông góc với cạnh BC cắt đường tròn ở cung tròn BC không chứa điểm A tại điểm E. Đoạn AE cắt đoạn BC tại điểm D thì AD chính là đường phân giác trong góc \(\widehat{BAC}\) của \(\Delta ABC\). Có thể xác định đường phân giác của \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{BCA}\) bằng cách tương tự.

Giải thích cơ sở toán học: Đây thực chất là 1 kết quả cơ bản của chủ đề “Đường tròn” ở Toán lớp 9. Học sinh lớp 7, lớp 8 chỉ nên tham khảo như 1 công cụ dựng tia phân giác nhanh chóng trong bài hình học về tam giác có đường tròn ngoại tiếp. Học sinh lớp 9 có thể tham khảo cách chứng minh như sau đây:

• Bằng việc vận dụng kiến thức về góc chắn cung đường tròn thì \(\widehat{BAE}=\widehat{BCE}\) và \(\widehat{CAE}=\widehat{CBE}\).

• Mà theo định nghĩa, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường trung trực của các cạnh tam giác [3], nên việc OE vuông góc với BC có nghĩa là OE chính là đường trung trực của BC, vậy \(\Delta EBC\) cân tại E và \(\widehat{CBE}=\widehat{BCE}\).

• Như vậy thì \(\widehat{BAE}=\widehat{CAE}\)(bằng \(\widehat{BCE}\)và \(\widehat{CBE}\)) nên AE là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\), D nằm trên AE và BC nên AD là đường phân giác của \(\widehat{BAC}\) trong \(\Delta ABC\).

Cách vẽ tia phân giác ngoài và tia phân giác của góc bẹt

Phân giác ngoài của tam giác

Phân giác ngoài của một tam giác tại một đỉnh là tia phân giác của góc ngoài của tam giác tại đỉnh đó. Cách thực hiện:

• Kéo dài một cạnh của tam giác qua đỉnh để tạo thành góc kề bù với góc trong của tam giác.

• Sử dụng thước đo góc hoặc compa để dựng tia phân giác của góc ngoài vừa tạo thành.

• Theo tính chất hình học, tia phân giác trong và tia phân giác ngoài tại cùng một đỉnh của tam giác luôn vuông góc với nhau.

Ví dụ minh họa: Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh A của \(\Delta ABC\):

Trước hết lấy tia \(Ax\) là tia đối của tia AC để lấy góc kề bù với \(\widehat{BAC}\) là \(\widehat{BAx}\), sau đó lấy phân giác \(\widehat{BAx}\), đây chính là phân giác ngoài của tam giác tại đỉnh A.

Nếu như E là điểm cắt của tia phân giác ngoài góc A với đường thẳng BC, AD là đường phân giác trong của \(\Delta ABC\) thì \(\widehat{DAE}=90^{\circ}\) vì :\[\widehat{DAE}=\widehat{DAB}+\widehat{BAE}=\frac12\widehat{BAC}+\frac12\widehat{BAx}=\frac12\left(\widehat{BAC}+\widehat{BAx}\right)=\frac12\cdot180^{\circ}=90^{\circ}\]

Tia phân giác của góc bẹt

Góc bẹt là góc có số đo bằng \(180^\circ\). Khi thực hiện vẽ tia phân giác cho một góc bẹt, có thể thấy rằng nếu chia số đo \(180^\circ\) cho 2 thì sẽ thu được góc \(90^\circ\). Vì vậy, tia phân giác của góc bẹt là một tia xuất phát từ đỉnh, vuông góc với đường thẳng chứa hai cạnh của góc và nằm trong miền trong góc bẹt đang xét. Tia đó chia góc bẹt thành hai góc vuông bằng nhau.

Bài tập cách vẽ tia phân giác có đáp án

Dạng 1: Vẽ tia phân giác khi biết số đo góc

Bài tập 1: Cho \(\widehat{mOn}=80^{\circ}\). Hãy vẽ tia phân giác \(Ot\) của góc đó bằng thước đo góc.

Lời giải: Tính số đo góc con: \(80^\circ : 2 = 40^\circ\). Đặt thước đo góc, đánh dấu vạch \(40^\circ\) và vẽ tia \(Ot\) từ đỉnh O.

Dạng 2: Vẽ bằng compa và thước thẳng

Bài tập 2: Cho góc nhọn \(\widehat{ABC}\). Hãy sử dụng compa và thước thẳng để dựng tia phân giác của \(\widehat{ABC}\).

Lời giải: Đặt mũi nhọn compa tại đỉnh B vẽ cung tròn cắt đường thẳng BA, BC tại hai điểm. Giữ nguyên bán kính, vẽ hai cung tròn từ hai điểm đó cắt nhau ở miền trong góc rồi nối từ B qua giao điểm.

Dạng 3: Tính số đo sau khi vẽ phân giác

Bài tập 3: Cho \(\widehat{uOv}=110^{\circ}\). Vẽ tia phân giác \(Ok\) của \(\widehat{uOv}\). Tính số đo các góc \(\widehat{uOk}\) và \(\widehat{kOv}\).

Lời giải: Vì \(Ok\) là tia phân giác của góc \(\widehat{uOv}\) nên có:\[\widehat{uOk}=\widehat{kOv}=\frac{\widehat{uOv}}{2}=\frac{110^\circ}{2}=55^{\circ}\]

Đáp số: \(\widehat{uOk}=55^{\circ};\widehat{kOv}=55^{\circ}\).

Dạng 4: Chứng minh một tia là tia phân giác

Bài tập 4: Cho \(\widehat{xOy}=70^{\circ}\). Trên miền trong góc lấy tia \(Oz\) sao cho góc \(\widehat{xOz}=35^{\circ}\). Hỏi tia \(Oz\) có phải là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\) không? Vì sao?

Lời giải:

• Vì tia \(Oz\) nằm trong góc \(\widehat{xOy}\)và góc \(\widehat{xOz}=35^{\circ}\), tính được góc \[\widehat{zOy}=\widehat{xOy}-\widehat{xOz}=70^{\circ}-35^{\circ}=35^{\circ}\]

• Vì \(\widehat{xOz}=\widehat{zOy}=35^{\circ}\) và tia \(Oz\) nằm giữa hai tia \(Ox, Oy\) nên tia \(Oz\) là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\).

Bài tập 5: Cho góc \(\widehat{xOy}\) nhọn. Trên tia \(Ox\) lấy điểm A, trên tia \(Oy\) lấy điểm B sao cho \(OA=OB\).

a. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với \(Ox\), qua B kẻ đường thẳng vuông góc với \(Oy\), 2 đường này cắt nhau tại K. Chứng minh rằng OK là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\)

b. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với \(Oy\), qua B kẻ đường thẳng vuông góc với \(Ox\), 2 đường này cắt nhau tại H. Chứng minh rằng OH là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\).

Lời giải:

a. Tam giác OAK và OBK là 2 tam giác vuông lần lượt tại A và B. Lại có \(OA=OB\)và cạnh chung OK nên 2 tam giác này bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Theo đó \(\widehat{AOK}=\widehat{BOK}\) (2 góc tương ứng) nên OK là phân giác của \(\widehat{AOB}\) hay chính là \(\widehat{xOy}\)

b. Xét tam giác OAB, có 2 đường cao kẻ từ B vuông góc với OA và kẻ từ A vuông góc với OB cắt nhau tại H, nên H là trực tâm của tam giác OAB. Do góc xOy nhọn và OA = OB, tam giác OAB là tam giác nhọn; H nằm trong tam giác, vì thế tia OH nằm giữa hai tia OA và OB. Vậy OH là đường cao ứng với cạnh AB của tam giác OAB.

Mà OAB là tam giác cân tại O (\(OA=OB\)) nên theo kết quả của trường hợp đặc biệt 1 phần “Cách vẽ đường phân giác trong với một số trường hợp đặc biệt” ở trên thì OH là đường phân giác của \(\widehat{AOB}\) hay chính là \(\widehat{xOy}\).

Những lỗi thường gặp khi vẽ tia phân giác

Trong quá trình làm bài kiểm tra hoặc thực hành vẽ hình, học sinh thường gặp một số lỗi phổ biến sau:

• Tính toán sai số đo góc dẫn đến việc xác định vị trí tia phân giác bị lệch.

• Đọc nhầm thang đo bên trong và bên ngoài của thước đo góc.

• Vẽ tia đi sai hướng khiến tia không nằm trong miền của góc.

• Sử dụng các bán kính compa khác nhau khi dựng hình bằng compa từ hai điểm mút.

• Chỉ chứng minh được hai góc bằng nhau nhưng quên mất điều kiện kiểm tra tia phải nằm giữa hai cạnh khi bài yêu cầu giải thích đầy đủ.

Tóm lại, cách vẽ tia phân giác bằng thước đo góc hoặc thước thẳng và compa giúp học sinh chia một góc thành hai góc có số đo bằng nhau. Để dựng hình chính xác, học sinh cần nắm vững các bước vẽ tia phân giác, cách nhận biết tia phân giác, đồng thời phân biệt đường phân giác trong tam giác và phân giác ngoài. Học sinh có thể tiếp tục luyện tập các dạng bài hình học tại chuyên đề Toán 7 tại ZIM Academy.