Công thức Heron | Cách tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh

Trong chương trình Toán 10, công thức Heron là một trong các công thức tính diện tích tam giác khi biết độ dài ba cạnh. Với tam giác có ba cạnh \(a, b, c\) và nửa chu vi \(p=\frac{a+b+c}{2}\), hệ thức Heron cho phép xác định diện tích mà không cần biết chiều cao hay số đo góc.

Bài viết trình bày công thức Heron trong tam giác, cách tính nửa chu vi, cách tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh và các dạng bài tập vận dụng thường gặp.

Công thức Heron là gì?

Công thức Heron (còn gọi là công thức Hê-rông) là công thức dùng để tính diện tích của một tam giác khi biết độ dài ba cạnh. Đây là một trong các công thức diện tích tam giác thường dùng khi đề bài không cho trực tiếp chiều cao hoặc số đo góc.

Quy ước kí hiệu:

• \(a,b,c\): độ dài ba cạnh của tam giác, với \(a,b,c>0\).

• \(p\): nửa chu vi tam giác, với \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\).

• \(S\): diện tích tam giác.

Công thức Heron: [1]

\[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

Hệ thức Heron cũng có thể viết trực tiếp theo ba cạnh:

\[S=\dfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}\]

Chứng minh công thức Heron

Cho tam giác \(ABC\) có \(BC=a\), \(CA=b\) và \(AB=c\). Gọi \(S\) là diện tích tam giác và \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) là nửa chu vi.

Sử dụng định lí côsin, công thức diện tích tam giác theo hai cạnh và góc xen giữa, cùng hệ thức lượng giác cơ bản:

• \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\).

• \(S=\dfrac{1}{2}ab\sin C\).

• \(\sin^2C+\cos^2C=1\).

Từ định lí côsin:

\(\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.\)

Vì \(0, có \sin C>0. Do đó:\)

\[\sin C=\sqrt{1-\cos^2C}=\dfrac{\sqrt{(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2}}{2ab}.\]

Phân tích hiệu hai bình phương:

\[(2ab)^2-(a^2+b^2-c^2)^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b).\]

Thay vào công thức \(S=\dfrac{1}{2}ab\sin C\), thu được:

\[S=\dfrac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}.\]

Với \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\), có:

• \(a+b+c=2p\).

• \(a+b-c=2(p-c)\).

• \(b+c-a=2(p-a)\).

• \(c+a-b=2(p-b)\).

Thay các biểu thức trên vào công thức diện tích:

\[S=\dfrac{1}{4}\sqrt{16p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.\]

Cách tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh bằng công thức Heron

Để tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh bằng công thức Heron, học sinh có thể thực hiện theo ba bước sau:

Bước 1: Kiểm tra độ dài ba cạnh của tam giác

Ba cạnh \(a,b,c\) phải cùng đơn vị đo và thỏa mãn bất đẳng thức tam giác:

\[a+b>c,\qquad a+c>b,\qquad b+c>a.\]

Bước 2: Tính nửa chu vi của tam giác

Áp dụng:

\(p=\dfrac{a+b+c}{2}.\)

Với một tam giác hợp lệ, các giá trị \(p-a\), \(p-b\) và \(p-c\) đều dương.

Bước 3: Tính diện tích tam giác

Thay \(p,a,b,c\) vào công thức:

\[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}.\]

Ví dụ minh họa: Tính diện tích tam giác \(ABC\) có ba cạnh \(a=10\text{ cm}\), \(b=13\text{ cm}\), \(c=13\text{ cm}\).

Lời giải:

Ba cạnh thỏa mãn bất đẳng thức tam giác. Nửa chu vi là:

\[p=\dfrac{10+13+13}{2}=18\text{ cm}.\]

Áp dụng công thức Heron:

\[S=\sqrt{18(18-10)(18-13)(18-13)}=\sqrt{3600}=60\text{ cm}^2.\]

Kết luận: Diện tích tam giác \(ABC\) là \(60\text{ cm}^2\).

Mối liên hệ giữa công thức Heron và các công thức diện tích tam giác

Công thức Heron có thể kết hợp với các công thức diện tích tam giác khác để xác định đường cao, bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp khi đã biết ba cạnh.

Mối liên hệ với độ dài các đường cao của tam giác

Cho tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh lần lượt là \(BC=a,AC=b\) và \(AB=c\). Gọi \(h_{a},h_{b},h_{c}\) lần lượt là độ dài các đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C của tam giác.

Từ công thức diện tích tam giác theo cạnh đáy và đường cao tương ứng:

\[S=\dfrac12a\cdot h_{a}=\dfrac12b\cdot h_{b}=\dfrac12c\cdot h_{c}\]

(1)

Liên hệ với công thức Heron, có: \[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

(2)

Xét riêng cạnh \(BC=a\), từ (1) và (2) suy ra:

\[S=\dfrac12a\cdot h_{a}=\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\]

tính được độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác \(ABC\) là:

\[h_{a}=2\dfrac{\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}{a}\]

Tương tự, tính được độ dài hai đường cao còn lại lần lượt là:

\(h_{b}=2\dfrac{\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}{b}\) và \(h_{c}=2\dfrac{\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}{c}\).

Liên hệ với bán kính đường tròn ngoại tiếp R

Theo định lý \(\sin\) mở rộng trong tam giác, diện tích tam giác có liên hệ trực tiếp với bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\) qua công thức: \(S = \frac{abc}{4R}\). [1]

Suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp có độ dài là: \(R=\dfrac{abc}{4S}\). (3)

Áp dụng công thức Heron, thay \(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\) vào (3), thu được:

\[R=\dfrac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}\]

Liên hệ với bán kính đường tròn nội tiếp r

Nếu chia tam giác \(ABC\) thành ba tam giác nhỏ có chung đỉnh là tâm đường tròn nội tiếp \(I\) (\(\triangle IBC, \triangle ICA, \triangle IAB\)), có tổng diện tích \(\triangle ABC\) bằng:

\[S = \frac{1}{2} r \cdot a + \frac{1}{2} r \cdot b + \frac{1}{2} r \cdot c = \left(\frac{a+b+c}{2}\right) r = p \cdot r\]

(4)

Áp dụng công thức Heron, thay \(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\) vào (4), thu được:

\[\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}=p\cdot r\]

Suy ra được:

\[r=\dfrac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}=\sqrt{\dfrac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}\]

Ví dụ minh hoạ:
Đề bài: Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh lần lượt là \(a = 10, b = 13, c = 13\).

Hãy tính: diện tích \(S\), chiều cao \(h_a\), bán kính ngoại tiếp \(R\) và bán kính nội tiếp \(r\) của tam giác.

Lời giải:

Tính nửa chu vi của tam giác:

\[p = \dfrac{10 + 13 + 13}{2} = 18\]

Tính diện tích tam giác bằng công thức Heron:

\[S = \sqrt{18(18 - 10)(18 - 13)(18 - 13)} = \sqrt{18 \times 8 \times 5 \times 5} = \sqrt{3600} = 60\]

Tính chiều cao \(h_a\):

\[h_a = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \times 60}{10}=12\]

Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp \(R\):

\[R = \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{10 \times 13 \times 13}{4 \times 60}=\dfrac{169}{24}\]

Tính bán kính đường tròn nội tiếp \(r\):

\[r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{60}{18}=\dfrac{10}{3}\]

Bài tập công thức Heron tính diện tích tam giác

Dạng 1: Tính diện tích tam giác khi biết độ dài ba cạnh

Đề bài: Cho tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh lần lượt là \(a=9\), \(b=10\), \(c=17\). Tính diện tích tam giác \(ABC\).

Lời giải:

Bước 1: Ba cạnh thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

Bước 2: Nửa chu vi là:

\[p=\dfrac{9+10+17}{2}=18.\]

Bước 3: Áp dụng công thức Heron:

\[S=\sqrt{18(18-9)(18-10)(18-17)}=\sqrt{1296}=36.\]

Kết luận: Diện tích tam giác \(ABC\) là \(S=36\) đơn vị diện tích.

Dạng 2: Kết hợp định lí côsin để tìm cạnh còn thiếu trước khi tính diện tích

Đề bài: Cho tam giác \(ABC\) có \(AC=b=8\text{ cm}\), \(AB=c=15\text{ cm}\) và \(A=60^\circ\). Tính cạnh \(BC=a\) và diện tích tam giác bằng công thức Heron.

Lời giải:

Áp dụng định lí côsin:

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=8^2+15^2-2\cdot8\cdot15\cdot\dfrac{1}{2}=169.\]

Suy ra \(a=13\text{ cm}\).

Nửa chu vi tam giác là:

\[p=\dfrac{13+8+15}{2}=18\text{ cm}\]Áp dụng công thức Heron:

\[S=\sqrt{18(18-13)(18-8)(18-15)}=\sqrt{2700}=30\sqrt{3}\text{ cm}^2.\]

Kết luận: \(BC=13\text{ cm}\) và diện tích tam giác là \(S=30\sqrt{3}\text{ cm}^2\).

Dạng 3: Bài toán thực tế tính diện tích khu đất hình tam giác

Đề bài: Một mảnh đất hình tam giác có ba cạnh dài 20 m, 21 m và 29 m. Chi phí trồng hoa là 75.000 đồng/m². Tính tổng chi phí trồng hoa trên toàn bộ mảnh đất.

Lời giải:

Nửa chu vi khu đất là:

\[p=\dfrac{20+21+29}{2}=35\text{ m}.\]

Diện tích khu đất theo công thức Heron:

\[S=\sqrt{35(35-20)(35-21)(35-29)}=\sqrt{44\,100}=210\text{ m}^2.\]

Tổng chi phí trồng hoa là:\[210\cdot75\,000=15\,750\,000\text{ đồng}.\]

Kết luận: Tổng chi phí trồng hoa là 15.750.000 đồng.

Công thức Heron cho phép tính diện tích tam giác khi biết độ dài ba cạnh thông qua nửa chu vi \(p\), đồng thời có thể kết hợp với các hệ thức diện tích để xác định đường cao, bán kính đường tròn ngoại tiếp R và bán kính đường tròn nội tiếp r. Việc nắm vững cách tính diện tích tam giác khi biết 3 cạnh, điều kiện áp dụng và các bước biến đổi giúp học sinh vận dụng chính xác hệ thức Heron trong các dạng bài thuộc Hệ thức lượng trong tam giác. Người học có thể tiếp tục hệ thống kiến thức và bài tập liên quan trong chuyên đề Toán 10 tại ZIM Academy.