Đạo hàm hàm hợp | Công thức, quy tắc và cách tính f(g(x))

Khi học bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm thuộc chương IX: Đạo hàm (Toán 11 Kết nối tri thức), chúng ta đã biết cách tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản. Tuy nhiên, thực tế học tập sẽ xuất hiện những hàm số dạng lồng nhau phức tạp hơn như \(y = (x^2 + x)^8\) hay \(y=\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)\).

Để xử lý nhanh gọn các biểu thức này, việc làm chủ công thức đạo hàm hàm hợp chính là chìa khóa quan trọng nhất giúp bạn bứt phá điểm số và tự tin giải quyết mọi dạng toán nâng cao.

Hàm hợp là gì?

Hàm hợp là hàm số được tạo thành khi giá trị của một hàm được dùng làm đầu vào cho một hàm khác. Nếu \(u=g(x)\) và \(y=f(u)\), thì hàm số

\(y=f(g(x))\)được gọi là hàm hợp của hàm số \(y=f(u)\) với \(u=g(x)\). Trong đó, \(g(x)\) thường được gọi là hàm trong, còn \(f(u)\) là hàm ngoài.

Theo Toán 11 Kết nối tri thức, nếu \(u=g(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) và nhận giá trị trong khoảng \((c;d)\), đồng thời \(y=f(u)\) xác định trên \((c;d)\), thì \(y=f(g(x))\) là hàm hợp của hai hàm số trên [1].

Ví dụ 1: Cho hai hàm số \(y = f(u) = 2u\) và hàm trung gian \(u = u(x) = 5x + 1\). Viết hàm hợp \(h(x)\) của hàm số \(f\) qua hàm số trung gian \(u\)

• Khi ta thế biểu thức \(u(x)\) vào vị trí của biến \(u\) trong hàm số \(f(u)\), ta thu được: \[f[u(x)] = 2(5x + 1) = 10x + 2\]

• Đặt \(h(x)=f[u(x)]=10x+2\). Hàm số \(h(x)\) thu được chính là hàm số hợp của hàm số \(f\) qua hàm số trung gian \(u\).

Ví dụ 2: Nhận diện hàm hợp \(y=(2x+3)^2\)

Hàm số này có cấu trúc “bình phương của một biểu thức chứa x”, nên là một hàm hợp.

Đặt: \(u=2x+3\). Khi đó: \(y=u^2\).

Ta có:

• Hàm trong: \(g(x)=2x+3\);

• Hàm ngoài: \(f(u)=u^2\);

• Biến trung gian: \(u=2x+3\).

Do đó: \(y=f[g(x)]=(2x+3)^2\)

Vai trò của hàm số trung gian

Trong cấu trúc của hàm số hợp, hàm số \(u = g(x)\) đóng vai trò là hàm số trung gian (hoặc biến số trung gian). Hàm trung gian này có hai vai trò cốt lõi:

• Cầu nối giá trị: Biến trung gian \(u\) giúp chuyển dịch dòng biến đổi từ biến độc lập gốc \(x\) sang giá trị đầu ra cuối cùng \(y\).

• Quyết định điều kiện xác định: Tập xác định của hàm hợp là tập hợp tất cả các giá trị của \(x\) sao cho biểu thức trung gian \(u = g(x)\)có nghĩa và giá trị \(u\) phải thuộc tập xác định của hàm ngoài \(f(u)\) để biểu thức \(f\left\lbrack g(x)\right\rbrack\) hoàn toàn có nghĩa.

Đạo hàm hàm hợp là gì?

Đạo hàm hàm hợp là đạo hàm của hàm số có dạng \(y=f(g(x))\), trong đó \(g(x)\) là hàm trong và \(f(u)\) là hàm ngoài.

Để tính đạo hàm của hàm hợp, ta lấy đạo hàm của hàm ngoài theo biến trung gian rồi nhân với đạo hàm của hàm trong. Nếu đặt \(u=g(x)\) và \(y=f(u)\), thì:

\[y'=f'(g(x))\cdot g'(x)\]

Công thức này còn được gọi là quy tắc đạo hàm hàm hợp hoặc quy tắc dây chuyền. Khi áp dụng, học sinh cần xác định đúng hàm trong, hàm ngoài và đạo hàm từng phần trước khi nhân lại với nhau.

Công thức đạo hàm hàm hợp

Nếu hàm số \(u = g(x)\) có đạo hàm \(u_{x}^{\prime}\) tại \(x\) và hàm số \(y = f(u)\) có đạo hàm \(y_{u}^{\prime}\) tại \(u\) thì hàm số hợp \(y = f[g(x)]\) có đạo hàm \(y_{x}^{\prime}\) tại \(x\) là: \[y'_x = y'_u \cdot u'_x\]

Theo Toán 11 Kết nối tri thức, công thức trên là quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp [1].

Lỗi thường gặp: Chỉ lấy đạo hàm của hàm ngoài mà quên nhân thêm đạo hàm của hàm trong \(u'_x\) ở phía sau.

Công thức chỉ ra rằng: Đạo hàm của hàm hợp đối với biến số \(x\) bằng tích của đạo hàm của hàm ngoài đối với biến trung gian \(u\) và đạo hàm của hàm trong đối với biến số \(x\).

Để tính đạo hàm hàm hợp, học sinh thực hiện theo hai bước chính:

• Tính đạo hàm của lớp vỏ ngoài giống như khi bạn tính đạo hàm cho hàm sơ cấp cơ bản, nhưng giữ nguyên biểu thức bên trong làm biến (tính theo \(u\)).

• Nhân thêm đạo hàm của hàm trong (tính theo biến \(x\)).

Điều kiện tồn tại đạo hàm của hàm hợp

Học sinh cần lưu ý điều kiện để áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp, đặc biệt với các hàm có điều kiện xác định như căn thức hoặc logarit.

Nếu hàm trong \(u=g(x)\) có đạo hàm tại \(x_0\) và hàm ngoài \(y=f(u)\) có đạo hàm tại \(u_0=g(x_0)\), thì hàm hợp \(y=f(g(x))\) có đạo hàm tại \(x_0\). Đây là điều kiện đủ để áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

Ví dụ: Xét điều kiện tồn tại đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt{x - 1}\).

1. Phân tích cấu trúc hàm hợp

• Hàm số trong (biến trung gian): \(u=u(x)=x-1\).

• Hàm số ngoài: \(y = f(u) = \sqrt{u}\).

• Tập xác định của hàm số: \(D = [1; +\infty)\)

  (Điều kiện để biểu thức dưới căn có nghĩa: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)).

2. Điều kiện tồn tại đạo hàm

• Đạo hàm hàm trong u(x) theo biến x: \(u_{x}^{\prime}=1\). Hàm u(x) có đạo hàm với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

• Đạo hàm hàm ngoài f(u) theo biến u: \(y_{u}^{\prime}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\). Hàm f(u) có đạo hàm với mọi \(u>0\).

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có: \(y_{x}^{\prime}=y_{u}^{\prime}\cdot u_{x}^{\prime}=\frac{1}{2\sqrt{u}}.1=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\)

Kết hợp cả hai điều kiện để hàm trong và hàm ngoài có đạo hàm thì \(u=x-1>0\Leftrightarrow x>1\)

Vậy hàm số \(y = \sqrt{x - 1}\) có đạo hàm với \(x>1\).

Tổng hợp công thức đạo hàm hàm hợp thường gặp

Đối với các hàm số hợp, học sinh có thể dựa trên các công thức đạo hàm cơ bản đã biết. Nếu trong công thức cơ bản, biến \(x\) được thay bởi một hàm số \(u=u(x)\), thì khi lấy đạo hàm cần nhân thêm với \(u'\).

Điều kiện cần lưu ý: với \(\sqrt{u}\) cần \(u>0\) tại điểm lấy đạo hàm; với \(\ln u\) cần \(u>0\); với \(\tan u\) cần \(\cos u\ne0\); và với \(a^u\) cần \(a>0,\ a\ne1\).

Cách xác định hàm ngoài và hàm trong khi tính đạo hàm hàm hợp

Để xác định hàm ngoài và hàm trong, học sinh nên phân tích biểu thức theo từng lớp từ ngoài vào trong.

• Hàm ngoài: Là cấu trúc bao ngoài của toàn bộ biểu thức (ví dụ: lũy thừa \((\dots)^n\), căn thức \(\sqrt{\dots}\), hay các hàm lượng giác \(\sin(\dots)\).

• Hàm trong: Là biểu thức nằm bên trong hàm ngoài, thường là một đa thức hoặc một hàm số khác.

  Với hàm hợp nhiều lớp, cần lần lượt xử lý từ hàm ngoài vào hàm trong cho đến biến \(x\). Cách phân tích theo thứ tự này giúp áp dụng đúng quy tắc đạo hàm hàm hợp.

Bảng sau minh họa một số dạng hàm hợp thường gặp và cách xác định hàm ngoài, hàm trong:

Với hàm hợp có nhiều lớp, có thể áp dụng quy trình 3 bước sau đây:

1. Xác định lớp vỏ ngoài cùng: Xác định cấu trúc bao ngoài như lũy thừa, căn thức, hàm lượng giác, hàm mũ hoặc hàm logarit.

2. Đạo hàm từ ngoài vào: Giữ nguyên biểu thức bên trong khi lấy đạo hàm của hàm ngoài.

3. Nhân liên hoàn: Sau mỗi lớp, nhân thêm đạo hàm của hàm bên trong tương ứng và tiếp tục cho đến biến\(x\).

Ví dụ: Tính đạo hàm của \(y = \cos^3(3x)\)

Hàm số này có ba lớp, có thể phân tích như sau:

• Lớp 1 (hàm ngoài): Lũy thừa \(u^3\). Đạo hàm sẽ là \(3u^2\).

• Lớp 2 (hàm trung gian): Hàm \(\cos(v)\). Đạo hàm sẽ là \(-\sin(v)\) .

• Lớp 3 (hàm trong): Đa thức \(3x\). Đạo hàm sẽ là 3.

Các bước tính:\[y^{\prime}=3\cdot\cos^2(3x)\cdot(\cos3x)^{\prime}=3\cdot\cos^2(3x)\cdot[-\sin(3x)\cdot(3x)^{\prime}]=3\cdot\cos^2(3x)\cdot[-\sin(3x)\cdot3]\]

Kết quả cuối cùng: \(y' = -9 \cdot \cos^2(3x) \cdot \sin(3x)\)

Ví dụ và bài tập đạo hàm hàm hợp

Các ví dụ dưới đây kết hợp quy tắc đạo hàm hàm hợp với các quy tắc đạo hàm của tích, thương và các hàm sơ cấp.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số \(y = (x^2 + x)^8\)

Lời giải:

• Bước 1: Nhận diện: Đây là dạng \(u^n\) với \(u = x^2 + x\) và \(n = 8\).

• Bước 2: Tính \(u'\): Ta có \(u' = (x^2 + x)' = 2x + 1\).

• Bước 3: Áp dụng công thức \((u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'\).

• Bước 4: Thay số: \(y' = 8 \cdot (x^2 + x)^7 \cdot (2x + 1)\)

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số \(y = 3^{2x^2 - x}\).

Lời giải:

• Bước 1: Nhận diện: Đây là dạng \(a^u\) với \(a=3\) và \(u=2x^2-x\).

• Bước 2: Tính \(u'\): Ta có \(u^{\prime}=\left(2x^2-x\right)^{\prime}=4x-1\).

• Bước 3: Áp dụng công thức \((a^{u})^{\prime}=u^{\prime}\cdot a^{u}\cdot\ln a\).

• Bước 4: Thay số: \(y' = (4x - 1) \cdot 3^{2x^2 - x} \cdot \ln 3\)

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số \(y = (2x + 1) \cdot \sqrt{x^2 + 1}\)

Lời giải:

• Phân tích: Đây là tích của hai hàm số \(u \cdot v\). Trong đó, \(v\) lại là một hàm hợp \(\sqrt{x^2+1}\).

• Bước 1: Áp dụng quy tắc tích \((uv)' = u'v + uv'\).

  • Gọi \(u = 2x+1 \implies u' = 2\).

  • Gọi \[v = \sqrt{x^2+1} \implies v' = \frac{(x^2+1)'}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\]

• Bước 2: Áp dụng quy tắc tích: \[y' = 2 \cdot \sqrt{x^2 + 1} + (2x + 1) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\]

• Bước 3: Quy đồng mẫu số để rút gọn kết quả: \[y' = \frac{2(x^2 + 1) + x(2x + 1)}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{4x^2 + x + 2}{\sqrt{x^2 + 1}}\]

Bài tập tự luyện đạo hàm hàm hợp

Câu 1: Tính đạo hàm của \(y = \sqrt{x^2 - 4x + 5}\) tại điểm \(x_0 = 2\).

A. \(y'(2) = 2\)

B. \(y'(2) = 4\)

C. \(y'(2) = 0\)

D. \(y'(2) = 1\)

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số\(y=\sin^2(5x)\).

A. \(y'=10\sin(5x)\)

B.\(y'=5\sin(10x)\)

C. \(y'=-5\sin(10x)\)

D.\(y'=2\sin(5x)\)

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số \(y=x^2\sin(3x)\).

A. \(y'=2x\sin(3x)+x^2\cos(3x)\)

B. \(y'=2x\sin(3x)-3x^2\cos(3x)\)

C.\(y'=2x\cos(3x)\)

D. \(y'=2x\sin(3x)+3x^2\cos(3x)\)

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm \(y=\frac{\cos(2x)}{x+1}\)​ với \(x\ne-1\).

A. \(y'=\frac{2(x+1)\sin(2x)-\cos(2x)}{(x+1)^2}\)​

B. \(y'=\frac{-2(x+1)\sin(2x)-\cos(2x)}{(x+1)^2}\)​

C. \(y^{\prime}=\frac{1-2\sin(2x)}{1}\)​

D. \(y'=\frac{-2(x+1)\sin(2x)+\cos(2x)}{(x+1)^2}\)​

Đáp án:

1. C

2. B

3. D

4. B

Tóm lại, hàm số hợp \(y = f[u(x)]\) được tạo thành từ hàm số ngoài \(y = f(u)\) và biến trung gian \(u = u(x)\). Để tính đạo hàm của hàm hợp, ta áp dụng công thức cốt lõi \(y'_x = y'_u \cdot u'_x\). Học sinh cần nắm vững các bước xác định hàm ngoài và hàm trong theo thứ tự từ ngoài vào trong, sau đó lấy đạo hàm hàm ngoài rồi nhân thêm \(u'\).

Nội dung về đạo hàm hàm hợp được trình bày trong SGK Toán 11 Kết nối tri thức tập 2 và là nền tảng quan trọng để học sinh tiếp tục học các kiến thức Giải tích. Vì vậy, học sinh nên thường xuyên luyện tập từ các dạng hàm cơ bản đến bài toán kết hợp, đồng thời hệ thống lại kiến thức trong chuyên đề Toán 11 để củng cố công thức, nâng cao tư duy và khả năng vận dụng đạo hàm khi giải bài toán.