Key takeaways
Công thức tổng quát đạo hàm logarit cơ số a:
\(y' = (\log_{a} u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x)\ln a}\)
Công thức tổng quát với cơ số \(a\) giúp xử lý nhanh các dạng đạo hàm log, logarit và hàm hợp.
Cần phân biệt công thức đạo hàm của \(\ln u\) với \(\log_a u\) để tránh thiếu thừa hệ số \(\ln a\).
Bảng đạo hàm logarit giúp hệ thống công thức, áp dụng vào các bài tính đạo hàm, xét biến thiên và bài toán liên quan.
Trong chương trình THPT, đạo hàm logarit là nội dung trọng tâm khi học về hàm số mũ và hàm số logarit. Bài viết tập trung hệ thống công thức đạo hàm logarit, gồm đạo hàm ln, đạo hàm log, đạo hàm ln u, đạo hàm log u, đồng thời hướng dẫn cách tính đạo hàm của hàm số logarit và vận dụng vào các dạng bài tập thường gặp.
Logarit cơ số a của M (kí hiệu là \(\log_{a} M\)) là một số thực sao cho:
\[\alpha = \log_{a} M \Leftrightarrow a^{\alpha} = M\]
Lưu ý ở đây Logarit cơ số a của M chỉ tồn tại khi M là một số thực dương, a là số thực dương và khác 1. (hay \(M > 0, a > 0, a \neq 1\)) Giá trị của logarit có thể là số âm.
Cho a là một số thực dương khác 1. Hàm số logarit cơ số a được xác định như sau:
\(y = \log_{a} x\) (với mọi x là số thực dương)
Đối với hàm số logarit, người học cần lưu ý các tính chất sau:
Với 0 < a < 1, hàm số \(y = \log_{a} x\) là hàm nghịch biến trên \((0; +\infty)\).
Với a > 1, hàm số \(y = \log_{a} x\) là hàm đồng biến trên \((0; +\infty)\).
Đạo hàm logarit là đạo hàm của các hàm số có chứa biểu thức logarit, phổ biến nhất là \(y=\log_a x\), \(y=\log_a u(x)\), \(y=\ln x\) và \(y=\ln u(x)\). Khi tính đạo hàm của hàm số logarit, học sinh cần xác định đúng cơ số, biểu thức bên trong logarit và áp dụng công thức đạo hàm tương ứng.
Với hàm số logarit cơ số \(a\), trong đó \(a>0,\ a\neq1\), xét hàm hợp:
\(y=\log_a u(x)\)
Trong đó \(u(x)\) khả vi và \(u(x)>0\) trên khoảng đang xét. Khi đó, công thức đạo hàm logarit được xác định bởi:
\[y'=(\log_a u(x))'=\frac{u'(x)}{u(x)\ln a}\]
Đây là công thức tổng quát để tính đạo hàm của hàm số logarit. Từ công thức trên có thể suy ra các trường hợp thường gặp như đạo hàm log x, đạo hàm log u, đạo hàm ln x và đạo hàm ln u. [1]
Cụ thể:
Đạo hàm logarit cơ số a: \((\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}\).
Đạo hàm log u: \((\log_a u)'=\frac{u'}{u\ln a}\).
Đạo hàm ln x: \((\ln x)'=\frac1x\).
Đạo hàm ln u: \((\ln u)'=\frac{u'}u\).
Khi tính đạo hàm logarit, học sinh cần xác định đúng cơ số a, biểu thức \(u(x)\) bên trong logarit và đạo hàm \(u'(x)\), sau đó áp dụng công thức tương ứng.
Ví dụ, với hàm \(u(x) = x^{2} \ (x \neq 0)\), đạo hàm hàm logarit \(y = \log_{a} x^{2}\) có dạng như sau:
\[y' = (\log_{a} x^{2})' = \frac{(x^{2})'}{x^{2}\ln a} = \frac{2x}{x^{2}\ln a} = \frac{2}{x\ln a}\]
Bài tập: Tính đạo hàm một số hàm logarit sau đây:
\(y = \log_{2}(5x - 4)\)
\(y = \log_{3}(x^{2} - 2x + 5)\)
\(y = \ln(3x^{2} + 1)\)
Hướng dẫn giải:
Ta xác định được a = 2 và u(x) = 5x - 4, khi đó:
\[y' = (\log_{2}(5x - 4))' = \frac{(5x - 4)'}{(5x - 4)\ln 2} = \frac{5}{(5x - 4)\ln 2}\]
Ta xác định được a = 3 và \({u\left(x\right)=x}^2-2x+5\), khi đó:
\[y' = (\log_{3}(x^{2} - 2x + 5))' = \frac{(x^{2} - 2x + 5)'}{(x^{2} - 2x + 5)\ln 3} = \frac{2x - 2}{(x^{2} - 2x + 5)\ln 3}\]
Ta xác định được a = e và \(u\left(x\right)=3x^2+1\), khi đó:
\[y' = (\ln(3x^{2} + 1))' = \frac{(3x^{2} + 1)'}{(3x^{2} + 1)\ln e} = \frac{6x}{3x^{2} + 1}\]
Chú ý: Với u(x) = x (với x xác định trên tập số thực dương), đạo hàm hàm logarit có dạng:
\[y' = (\log_{a} x)' = \frac{x'}{x\ln a} = \frac{1}{x\ln a}\]
Đặc biệt, nếu thêm điều kiện a = e, đạo hàm hàm logarit sẽ trở thành:
\(y' = (\ln x)' = \frac{1}{x}\)
Hai công thức trên là các công thức cơ bản của đạo hàm logarit và thường được sử dụng trong các bài tập tính đạo hàm. Các công thức này cũng là trường hợp riêng của quy tắc đạo hàm hàm hợp đối với hàm logarit. [1] [3]
Để thuận tiện khi tính đạo hàm logarit, học sinh có thể hệ thống các công thức đạo hàm log, công thức đạo hàm ln và đạo hàm hàm mũ liên quan trong bảng sau. Với các công thức chứa hàm u = u(x), giả sử u khả vi và thỏa mãn điều kiện xác định tương ứng. [1] [3]
Hàm số | Công thức đạo hàm | Điều kiện |
|---|---|---|
\(\ln x\) | \[(\ln x)'=\frac{1}{x}\] | \[x>0\] |
\(\ln u\) | \[(\ln u)'=\frac{u'}{u}\] | \[u>0\] |
\(\log_a x\) | \[(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}\] | \[x>0,\ a>0,\ a\neq1\] |
\(\log_a u\) | \[(\log_a u)'=\frac{u'}{u\ln a}\] | \[u>0,\ a>0,\ a\neq1\] |
\(\log x=\log_{10}x\) | \[(\log x)'=\frac{1}{x\ln 10}\] | \[x>0\] |
\(e^x\) | \[(e^x)'=e^x\] | Mọi x thực |
\(e^u\) | \[(e^u)'=u'e^u\] | u khả vi |
\(a^u\) | \[(a^u)'=u'a^u\ln a\] | \[a>0,\ a\neq1\] |
Trong đó, đạo hàm ln x, đạo hàm ln u, đạo hàm log x và đạo hàm log u là những dạng thường gặp nhất. Khi biểu thức bên trong logarit là một hàm u(x), cần nhân thêm đạo hàm u'(x) theo quy tắc hàm hợp.
Dạng toán này yêu cầu người học viết công thức của đạo hàm của một hàm logarit (thường được viết dưới dạng hàm hợp), hoặc tính giá trị của đạo hàm hàm logarit dựa trên giá trị biến x cho trước. Với dạng bài tập này, người học cần xác định đúng cơ số a của hàm logarit và hàm hợp u(x) nằm trong logarit, và áp dụng công thức tổng quát của đạo hàm hàm logarit cơ số a.
Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số sau tại x = 0: \(y = \ln(e^{x} + x)\).
Phân tích đề bài: Bài toán đã cho hàm số \(y=\ln(e^{x}+x)\), hay viết cách khác là \(y=\log_{e}\left(e^{x}+x\right)\). Có thể thấy hàm số y được viết dưới dạng hàm hợp của hàm số logarit, với cơ số a = e và \(u\left(x\right)=e^{x}+x\). Do đó ta có thể tính được đạo hàm hàm y.
Giải: Áp dụng công thức tổng quát đạo hàm hàm logarit cơ số a ta có:
\[y' = (\ln(e^{x} + x))' = \frac{(e^{x} + x)'}{e^{x} + x} = \frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}\]
Khi đó \(y'(0) = \frac{e^{0} + 1}{e^{0} + 0} = \frac{1 + 1}{1} = 2\).
Dạng toán này yêu cầu người học tìm nghiệm của phương trình/bất phương trình chứa đạo hàm một hàm logarit cho trước. Đối với dạng toán này, người học cần chú ý:
Tìm tập xác định D của hàm số.
Tính đạo hàm của hàm logarit đã cho (sử dụng công thức tổng quát của đạo hàm hàm logarit).
Tìm nghiệm/khoảng nghiệm của phương trình/bất phương trình, kết hợp với tập xác định của hàm số để đưa ra kết luận.
Ví dụ: Giải phương trình/bất phương trình sau:
a. \(y' = 0, \ y = \ln(x^{2} - 5x + 4)\)
b. \(y' = 0, \ y = \ln(x^{3} - 3x + 2)\)
c. \(y' > 2, \ y = \ln(e^{x} - 1)\)
Hướng dẫn giải:
Phân tích đề bài: Bài toán đã cho phương trình hàm số y và yêu cầu người học giải phương trình/bất phương trình chứa đạo hàm hàm y. Do đó để giải được, người học cần tính được đạo hàm của hàm số y, dựa trên cách xác định đạo hàm hàm số logarit ở dạng 1, để đưa phương trình/bất phương trình về dạng một ẩn x.
a. \(y^{\prime}=0,\ y=\ln(x^2-5x+4)\)
Bước 1: Xác định tập xác định D của hàm số
Để hàm số \(y=\ln(x^2-5x+4)\) xác định thì:
\[x^2-5x+4>0 \Leftrightarrow (x-1)(x-4)>0 \Leftrightarrow x\in(-\infty;1)\cup(4;+\infty)\]
Vậy tập xác định của hàm số D = \((-\infty;1)\cup(4;+\infty)\)
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số đã cho
\[y^{\prime}=(\ln(x^2-5x+4))^{\prime}=\frac{(x^{2} - 5x + 4)'}{x^{2} - 5x + 4}=\frac{2x - 5}{x^{2} - 5x + 4}\]
Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình, kết luận
\[y' = 0 \Leftrightarrow \frac{2x - 5}{x^{2} - 5x + 4} = 0 \Leftrightarrow 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\]
Nhận thấy \(\frac{5}{2} \notin (-\infty; 1) \cup (4; +\infty)\), do đó x = \(\frac52\) không phải là nghiệm của phương trình.
Vậy phương trình y’ = 0 vô nghiệm.
b. \(y' = 0, \ y = \ln(x^{3} - 3x + 2)\)
Bước 1: Xác định tập xác định D của hàm số
Để hàm số \(\ y=\ln(x^3-3x+2)\) xác định thì:
\[x^{3} - 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2}(x + 2) > 0 \Leftrightarrow x \in (-2; +\infty) \setminus \{1\}\]
Vậy tập xác định của hàm số D = \((-2;+\infty)\setminus\{1\}\).
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số đã cho.
\[y' = (\ln(x^{3} - 3x + 2))' = \frac{(x^{3} - 3x + 2)'}{x^{3} - 3x + 2} = \frac{3x^{2} - 3}{x^{3} - 3x + 2}\]
Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình, kết luận
\[y' = 0 \Leftrightarrow \frac{3x^{2} - 3}{x^{3} - 3x + 2} = 0 \Leftrightarrow 3x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1.\]
Nhận thấy \(-1 \in (-2; +\infty) \setminus \{1\}\) và \(1 \notin (-2; +\infty) \setminus \{1\}\), do đó x = -1 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Vậy tập nghiệm của phương trình y’ = 0 là S = {-1}.
c. \(y' > 2, \ y = \ln(e^{x} - 1)\)
Bước 1: Xác định tập xác định D của hàm số
Để hàm số \(y=\ln(e^{x}-1)\) xác định thì:
\[e^{x} - 1 > 0 \Leftrightarrow e^{x} > 1 \Leftrightarrow x \in (0; +\infty)\]
Vậy tập xác định của hàm số D = \((0;+\infty)\)
Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số đã cho.
\[y' = (\ln(e^{x} - 1))' = \frac{(e^{x} - 1)'}{e^{x} - 1} = \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}\]
Bước 3: Tìm nghiệm của bất phương trình, kết luận
\[y' > 2 \Leftrightarrow \frac{e^{x}}{e^{x} - 1} > 2 \Leftrightarrow e^{x} > 2(e^{x} - 1) \Leftrightarrow 2 > e^{x} \Leftrightarrow x \in (-\infty; \ln 2)\]
Kết hợp với điều kiện \(x\in(0;+\infty)\) ta có:
\[x \in (-\infty; \ln 2) \cap (0; +\infty) \Rightarrow x \in (0; \ln 2)\]
Vậy tập nghiệm của bất phương trình y’ > 2 là S = (0; ln2).
Dạng toán này yêu cầu người học khảo sát tính đơn điệu và tìm cực trị của một hàm số logarit cho trước (thường là logarit của hàm hợp). Người học cần lưu ý:
Tìm tập xác định D của hàm số cần xét.
Tính đạo hàm hàm logarit một cách chính xác để đánh giá tính đơn điệu của hàm số cần tính.
Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a. \(y = \log_{3}(x^{2} - 2x + 3)\)
b. \(y = \log_{0.5}(-x^{2} + 4x)\)
c. \(y = \ln\left(\frac{x + 1}{x - 2}\right)\)
Hướng dẫn giải:
Phân tích đề bài: Bài toán đã cho phương trình hàm số y, do đó để tìm các khoảng đơn điệu của hàm số, người học cần tính được đạo hàm hàm số y một cách chính xác, sau đó tìm nghiệm của phương trình y’ = 0 và vẽ bảng biến thiên của hàm số y dựa trên số nghiệm vừa tìm được.
a. Bước 1: Xác định tập xác định D của hàm số
Để hàm số xác định thì: \(x^2-2x+3>0\). Điều này đúng với mọi \(x\in R\). Do đó tập xác định của hàm số D = R.
Bước 2: Tính đạo hàm hàm số y, giải phương trình y’ = 0
Ta có:
\[y' = (\log_{3}(x^{2} - 2x + 3))' = \frac{(x^{2} - 2x + 3)'}{(x^{2} - 2x + 3)\ln 3} = \frac{2x - 2}{(x^{2} - 2x + 3)\ln 3}\]
Phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất tại x = 1.
Bước 3: Vẽ bảng biến thiên của hàm số y, kết luận
Nhận thấy \((x^{2} - 2x + 3)\ln 3 > 0\) với mọi x thuộc R, ta có bảng biến thiên của hàm số y như sau:
Từ bảng biến thiên ta có thể kết luận: Hàm số y nghịch biến trên khoảng \(\left(-\infty;1\right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left(1;+\infty\right)\).
b.
Bước 1: Xác định tập xác định D của hàm số
Để hàm số xác định thì \[-x^2+4x>0\rightarrow x.\left(4-x\right)>0\rightarrow x\in\left(0;4_{}\right)\]Vậy tập xác định của hàm số D = (0; 4).
Bước 2: Tính đạo hàm hàm số y, giải phương trình y’ = 0
Ta có:
\[y' = (\log_{0.5}(-x^{2} + 4x))' = \frac{(-x^{2} + 4x)'}{(-x^{2} + 4x)\ln 0.5} = \frac{-2x + 4}{(-x^{2} + 4x)\ln 0.5}\]
Phương trình y’ = 0 có nghiệm duy nhất tại x = 2.
Bước 3: Vẽ bảng biến thiên của hàm số y, kết luận
Do \(-x^2+4x>0\) và \(\ln0,5<0\), ta có bảng biến thiên của hàm số y như sau:
Từ bảng biến thiên ta có thể kết luận: hàm số y nghịch biến trên khoảng (0; 2) và đồng biến trên khoảng (2; 4).
c.
Bước 1: Xác định tập xác định D của hàm số
Để hàm số xác định thì \[\frac{x + 1}{x - 2} > 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty)\]
Vậy tập xác định của hàm số D = \((-\infty;-1)\cup(2;+\infty)\)
Bước 2: Tính đạo hàm hàm số y, giải phương trình y’ = 0
Ta có:
\[y' = \left(\ln\frac{x + 1}{x - 2}\right)' = \frac{\left(\frac{x + 1}{x - 2}\right)'}{\frac{x + 1}{x - 2}} = \frac{\frac{-3}{(x - 2)^{2}}}{\frac{x + 1}{x - 2}} = \frac{-3}{(x + 1)(x - 2)}\]
Phương trình y’ = 0 vô nghiệm do (x + 1)(x - 2) > 0 dẫn đến y’ < 0 với mọi x thuộc D.
Bước 3: Vẽ bảng biến thiên của hàm số y, kết luận
Do (x + 1)(x - 2) > 0 với mọi x thuộc \((-\infty;-1)\cup(2;+\infty)\), ta có bảng biến thiên của hàm số y như sau:
Từ đây ta có thể kết luận: Hàm số y nghịch biến trên hai khoảng \((-\infty;-1)\) và \((2;+\infty)\).
Chú ý: Ta không thể viết hàm số y nghịch biến trên \((-\infty;-1)\cup(2;+\infty)\).
Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số \(y = \log_{3}(x^{2} - x + 1)\) tại x = 2.
Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức tổng quát của đạo hàm hàm số logarit ta có:
\[y' = (\log_{3}(x^{2} - x + 1))' = \frac{(x^{2} - x + 1)'}{(x^{2} - x + 1)\ln 3} = \frac{2x - 1}{(x^{2} - x + 1)\ln 3}\]
Từ đây thay x = 2 ta được: \[y'(2) = \frac{2 \cdot 2 - 1}{(2^{2} - 2 + 1)\ln 3} = \frac{3}{3\ln 3} = \frac{1}{\ln 3}\].
Bài 2: Khảo sát cực trị của hàm số \(y = x^{2} - 2\ln x\).
Hướng dẫn giải:
Để hàm số y xác định thì x > 0, do đó tập xác định của hàm số D = \(\left(0;+\infty\right)\).
Ta có \[y' = (x^{2} - 2\ln x)' = 2x - 2 \cdot \frac{1}{x} = 2 \cdot \frac{x^{2} - 1}{x}\]
Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm \(x=\pm1\). Do \(-1\notin\left(0;+\infty\right)\) nên ta loại nghiệm x=-1. Ta có bảng biến thiên của hàm số y như sau:
Từ bảng biến thiên ta có thể kết luận: hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, với giá trị cực tiểu bằng 1.
Bài 3: Mức cường độ âm L (đơn vị: decibel - dB) mà tai người cảm nhận được liên hệ với cường độ âm vật lý I (đơn vị: W/m2) theo công thức:
\[L(I) = 10 \log_{10}\left(\frac{I}{I_{0}}\right)\]
Trong đó \(I_0=10^{-12}\) W/m2 là cường độ âm chuẩn. Đặt \(x=\frac{I}{I_0}\) là độ lớn tương đối của âm thanh. Tính tốc độ thay đổi mức cường độ âm thanh đối với x khi âm thanh được khuếch đại gấp 100 lần cường độ chuẩn.
Hướng dẫn giải: Tốc độ thay đổi mức cường độ âm thanh đối với x được tính bằng đạo hàm của hàm mức cường độ âm L (hay bằng L’(x)).
Ta có \[L'(x) = (10 \log_{10} x)' = \frac{10}{x\ln 10}\]
Âm thanh được khuếch đại gấp 100 lần cường độ chuẩn (I0), do đó x = 100.
Từ đó ta có: \[L'(100) = \frac{10}{100\ln 10} = \frac{1}{10\ln 10} \approx 0.043\]
Vậy tại x = 100, tốc độ thay đổi của mức cường độ âm theo x xấp xỉ 0,043 dB trên một đơn vị x.
Bài 4: Một công ty công nghệ chạy chiến dịch marketing quảng bá sản phẩm mới. Hàm lợi nhuận thu được L(x) (đơn vị: triệu đồng) phụ thuộc vào chi phí quảng cáo x (đơn vị: triệu đồng) được các chuyên gia dữ liệu mô hình hóa bởi công thức:
\[L(x)=200\ln(x+1)-2x,\ x>0\]
Xác định mức chi phí quảng cáo x để tốc độ tăng trưởng lợi nhuận bằng 0.
Hướng dẫn giải: Dễ thấy hàm số L(x) xác định với mọi x > 0.
Tốc độ tăng trưởng lợi nhuận được tính bằng đạo hàm hàm L(x), hay L’(x).
Ta có \[L'(x) = (200\ln(x + 1) - 2x)' = 200 \cdot \frac{1}{x + 1} - 2 = \frac{200 - 2x - 2}{x + 1} = \frac{198 - 2x}{x + 1}\]
Để L’(x) = 0 thì 198 - 2x = 0 hay x = 99 (thỏa mãn x > 0).
Vậy tốc độ tăng trưởng lợi nhuận bằng 0 khi x = 99 (triệu đồng).
Bài viết đã hệ thống công thức đạo hàm logarit, các dạng đạo hàm ln, đạo hàm log thường gặp và cách áp dụng trong từng dạng bài. Để tính đạo hàm của hàm số logarit chính xác, học sinh cần nắm vững công thức, xác định đúng hàm bên trong và thực hiện theo từng bước. Học sinh có thể tiếp tục củng cố kiến thức qua các chuyên đề Toán 11 tại ZIM Academy để luyện tập thêm các dạng bài đạo hàm liên quan.
Nguồn tham khảo
“Toán 11, tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống, Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm.” Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, Accessed 27 September 2026.
“Bài tập Toán 11, tập 2 – Kết nối tri thức với cuộc sống, Chương IX: Đạo hàm.” Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, Accessed 27 September 2026.
“Calculus Volume 1, Section 3.9: Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions.” OpenStax, https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-9-derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions. Accessed 27 September 2026.
Đánh giá
(0)Gửi đánh giá
Bình luận - Hỏi đáp