Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 | Cách nhận biết và bài tập

Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 giúp học sinh nhận biết nhanh một số có chia hết cho 2, chia hết cho 5 hoặc chia hết cho cả 2 và 5 dựa vào chữ số tận cùng. Bài viết hệ thống dấu hiệu chia hết cho 2, dấu hiệu chia hết cho 5, cách xác định các số chia hết cho 2, các số chia hết cho 5 và vận dụng vào các dạng bài tập chia hết thường gặp.

Dấu hiệu chia hết cho 2 là gì?

Để xác định một số tự nhiên bất kỳ có chia hết cho 2 hay không mà không cần thực hiện phép chia dài dòng, học sinh lớp 6 cần nắm vững quy tắc cơ bản liên quan đến cấu trúc chữ số như sau:

• Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2.

• Ngược lại, những số có chữ số tận cùng là các số lẻ như 1, 3, 5, 7, 9 thì tuyệt đối không chia hết cho 2 [1].

Ví dụ minh họa chi tiết:

• Xét số 438: Khi quan sát số này, học sinh dễ dàng nhận thấy chữ số hàng đơn vị là 8. Vì 8 thuộc tập hợp các chữ số chẵn (0, 2, 4, 6, 8), nên số 438 chắc chắn chia hết cho 2.

• Xét số 1.985: Có thể thấy rằng chữ số hàng đơn vị là 5 (chữ số lẻ), do đó số 1.985 không chia hết cho 2.

Quy tắc xét chữ số thuộc hàng đơn vị để kết luận tính chia hết cho 2 này áp dụng đồng nhất cho mọi số tự nhiên, bất kể số đó có bao nhiêu chữ số.

Dấu hiệu chia hết cho 5

Bên cạnh phép chia cho 2, việc nhận biết các bội số của 5 cũng đóng vai trò vô cùng quan trọng trong chương trình đại số bậc trung học cơ sở. Quy tắc chia hết cho 5 thường xuyên xuất hiện trong các bài toán thực tế như chia quà, phân nhóm đồ vật hay quy đổi các đơn vị đo lường. Khi học sinh đã quen thuộc với việc quan sát chữ số tận cùng, phản xạ toán học sẽ được cải thiện đáng kể.

Quy tắc nhận biết số chia hết cho 5 hay không được phát biểu tổng quát như sau:

• Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5.

• Tất cả những số tự nhiên sở hữu chữ số tận cùng khác 0 và 5 chắc chắn sẽ còn dư khi thực hiện phép chia cho 5 [1].

Ví dụ minh họa chi tiết:

• Xét số 750. Chữ số tận cùng ở hàng đơn vị của số này là 0, do đó số 750 chia hết cho 5 một cách hoàn toàn.

• Xét số 2.025, chữ số tận cùng là 5, nên số này cũng chia hết cho 5.

• Xét số 342 có chữ số tận cùng là 2, không nằm trong danh sách các chữ số 0 hoặc 5, nên số 342 không chia hết cho 5.

Việc nắm chắc các nguyên lý về dấu hiệu chia hết cho số 2 và số 5 sẽ giúp học sinh nhanh chóng đưa ra kết luận chính xác mà không gặp bất kỳ rào cản tính toán nào.

Tổng kết lại, học sinh có thể quan sát bảng hệ thống kiến thức dưới đây để có cái nhìn tổng quan nhất về việc phân loại các số chia hết cho 2 và cho 5:

Thông qua bảng tóm tắt trên, học sinh có thể dễ dàng so sánh điểm tương đồng và khác biệt giữa các điều kiện chia hết, từ đó xây dựng tư duy phân loại số một cách khoa học và chính xác. Các kiến thức cơ bản về dấu hiệu chia hết cho số 2 và số 5 luôn được xây dựng dựa trên nền tảng của các chữ số hàng đơn vị này.

Vì sao chỉ cần xét chữ số tận cùng để xác định dấu hiệu chia hết cho 2 và 5?

Sở dĩ có thể xác định được tính chia hết cho 2 hoặc cho 5 của một số mà chỉ cần tập trung quan sát chữ số cuối cùng, không cần quan tâm đến giá trị của các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn hay hàng chục nghìn nằm phía trước là bởi vì tính chất của cấu tạo của số tự nhiên dựa trên hệ thống ghi số thập phân.

Cụ thể, xem xét 1 số tự nhiên bất kỳ: Mọi số tự nhiên đều thành tổng của một số tròn chục (hoặc tròn trăm, tròn nghìn) kết hợp với chữ số đứng ở hàng đơn vị: \[\overline{abc\ldots xyz}=\overline{abc\ldots xy0}+z\]Tiếp đó, vì khi 1 số nhân với 10 thì chỉ cần viết thêm số 0 vào bên phải của chữ số hàng đơn vị của số đó. Do đó, ngược lại thì với 1 số có chữ số hàng đơn vị là 0, luôn viết được số đó thành tích của 10 và số tự nhiên thu được khi bỏ chữ số 0 ở vị trí cuối cùng bên phải của số ban đầu:

\[\overline{abc\ldots xyz}=\overline{abc\ldots xy}\cdot10+z\]Trong biểu thức phân tích trên, số 10 là một số đặc biệt vì 10 vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5 (do \(10=2\cdot5\)). Do đó, tích \(\overline{abc\ldots xy}\cdot10\) chắc chắn luôn chia hết cho cả 2 và 5, bất kể các chữ số của số \(\overline{abc\ldots xy}\) nhận giá trị là bao nhiêu trong tập hợp các số tự nhiên.

Vì số hạng đầu tiên đã chia hết cho cả 2 và 5, nên tính chất chia hết của toàn bộ tổng \(\overline{abc\ldots xy}\cdot10+z\) đối với 2 hoặc 5 hoàn toàn phụ thuộc vào số hạng còn lại, tức là chữ số z nằm ở hàng đơn vị.

Nếu chữ số z chia hết cho 2, toàn bộ số \(\overline{abc\ldots xyz}\) sẽ chia hết cho 2. Nếu chữ số z chia hết cho 5, toàn bộ số \(\overline{abc\ldots xyz}\) sẽ chia hết cho 5. Đây chính là cơ sở lý luận toán học vô cùng chặt chẽ và thuyết phục, chứng minh vì sao các quy tắc về dấu hiệu chia hết cho số 2 và số 5 lại chỉ tập trung vào việc quan sát chữ số tận cùng của số đó.

Bài tập vận dụng về dấu hiệu chia hết cho 2 và 5

Để củng cố và khắc sâu các kiến thức lý thuyết đã học ở trên, học sinh cần bắt tay vào giải các bài tập thực hành theo các dạng bài tiêu chuẩn trong sách giáo khoa. Việc thực hành thường xuyên các bài tập liên quan đến dấu hiệu chia hết cho số 2 và số 5 sẽ giúp học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích, nhận biết và xử lý tình huống toán học một cách thành thạo.

Bài tập 1: Cho danh sách các số tự nhiên sau đây: 124, 335, 420, 517, 892, 1.000, 2.345, 6.786. Trong các số đã cho, hãy xác định xem số nào chia hết cho 2, số nào chia hết cho 5 và số nào chia hết cho cả 2 và 5?

Phân tích đề bài: Đây là dạng bài nhận biết yêu cầu học sinh nắm được dấu hiệu chia hết cho số 2, số 5 và cả 2 số. Đồng thời học sinh cần xét chữ số hàng đơn vị 1 cách chính xác để rút ra được các số thỏa mãn yêu cầu của đề bài.

Lời giải và giải thích chi tiết:

• Các số chia hết cho 2 bao gồm: 124, 420, 892, 1.000, 6.786. Giải thích: Các số này có chữ số tận cùng lần lượt là 4, 0, 2, 0, 6 (đều thuộc các chữ số chẵn 0, 2, 4, 6, 8).

• Các số chia hết cho 5 bao gồm: 335, 420, 1.000, 2.345. Giải thích: Các số này có chữ số tận cùng lần lượt là 5, 0, 0, 5 (đều thỏa mãn điều kiện kết thúc bằng 0 hoặc 5).

• Các số chia hết cho cả 2 và 5 bao gồm: 420, 1.000. Giải thích: Các số này có chữ số tận cùng là 0, vừa thỏa mãn điều kiện chia hết cho 2 vừa thỏa mãn điều kiện chia hết cho 5.

Bài tập 2: Điền chữ số thích hợp vào dấu sao để số \(\overline{72\star}\) thỏa mãn điều kiện:

a) Chia hết cho 2.

b) Chia hết cho 5.

c) Chia hết cho cả 2 và 5.

Phân tích đề bài: Đây là dạng bài nhận biết, yêu cầu học sinh nắm được dấu hiệu chia hết cho số 2, số 5 và cả 2 số, từ đó thay vào số sao bị ẩn đi trong số \(\overline{72\star}\)
để thu được đáp án.

Lời giải và giải thích chi tiết:

a) Để số \(\overline{72\star}\) chia hết cho 2, chữ số tận cùng đại diện bởi dấu sao phải là các chữ số chẵn. Do đó, các chữ số thích hợp để điền vào dấu sao là 0, 2, 4, 6 hoặc 8. Vậy có các số thỏa mãn là 720, 722, 724, 726, 728.

b) Để số \(\overline{72\star}\) chia hết cho 5, chữ số tận cùng phải là 0 hoặc 5. Do đó, các chữ số thích hợp để điền vào dấu sao là 0 hoặc 5. Vậy có các số thỏa mãn là 720 và 725.

c) Để số \(\overline{72\star}\) vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 5, chữ số tận cùng phải thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện trên. Giao của hai tập hợp chữ số ở câu a và câu b là chữ số 0. Do đó, chữ số duy nhất thích hợp để điền vào dấu sao là 0. Số cần tìm là 720.

Bài tập 3: Cho 4 chữ số 0, 2, 4, 5.

a) Hãy lập tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau sao cho các số đó thỏa mãn quy tắc dấu hiệu chia hết cho số 2 và số 5.

b) Có tất cả bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau từ các chữ số trên chia hết cho 2.

Phân tích đề bài: Đây là dạng bài vận dụng cơ bản. Bên cạnh việc xác định chữ số hàng đơn vị là bao nhiêu để có thể thỏa mãn đề bài, học sinh còn cần suy luận ra cách chọn và sắp xếp các chữ số còn lại để thu được số cần tìm.

Lời giải và giải thích chi tiết:

a) Vì bài toán yêu cầu lập số có ba chữ số khác nhau dạng \(\overline{abcd}\), trong đó a phải khác 0. Các chữ số có thể chọn làm hàng nghìn a là 2, 4 hoặc 5.

Để số \(\overline{abcd}\) chia hết cho cả 2 và 5, chữ số tận cùng d bắt buộc phải là 0.

• Trường hợp 1: Chọn \(a = 2\). Khi đó \(d=0\), hai số còn lại bắt buộc phải là 4 và 5. Từ đó lập được số 2450 và 2540.

• Trường hợp 2: Chọn \(a=4\). Khi đó \(d=0\), hai số còn lại bắt buộc phải là 2 và 5. Từ đó lập được số 4250 và 4520.

• Trường hợp 2: Chọn \(a = 5\). Khi đó \(d=0\), hai số còn lại bắt buộc phải là 2 và 4. Từ đó lập được số 5420 và 5240.

Vậy tập hợp các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là {2450; 2540; 4250; 4520; 5420; 5240}.

b) Bên cạnh cách làm chỉ ra cụ thể tất cả các số thỏa mãn như phần a), học sinh có thể dùng phương pháp đếm để tính số có bốn chữ số thỏa mãn:

Vì các số cần tìm chia hết cho 2, nên chữ số hàng đơn vị của số đó chỉ có thể là 0, 4, 2. Trong đó, thấy rằng nếu như số 0 là chữ số hàng đơn vị thì 3 số còn lại không cần loại bỏ trường hợp số 0 đứng ở hàng nghìn. Vậy chia 2 trường hợp:

• Trường hợp 1: Số 0 là chữ số hàng đơn vị. Lúc này chữ số hàng nghìn có 3 cách chọn, sau khi đã chọn chữ số hàng nghìn thì chữ số hàng trăm chỉ còn 2 cách chọn, và chữ số hàng chục chỉ còn 1 cách chọn. Số lượng số thỏa mãn là: \(3\cdot2\cdot1=6\) (số).

• Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị là 2 hoặc 4 (2 cách chọn). Lúc này chữ số hàng nghìn có 2 cách chọn (không được chọn số 0), sau đó chữ số hàng trăm có 2 cách chọn (được chọn số 0) và chữ số hàng chục chỉ còn 1 cách chọn. Số lượng số thỏa mãn là: \(2\cdot2\cdot1\cdot2=8\) (số).

Vậy tổng số số có 4 chữ số tạo nên từ các chữ số 0, 2, 4, 5 thỏa mãn chia hết cho 2 là 14 số.

Qua bài học, học sinh cần ghi nhớ dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 dựa vào chữ số tận cùng, đồng thời biết nhận diện số chia hết cho 2, số chia hết cho 5 và số chia hết cho cả 2 và 5. Việc luyện tập các dạng bài nhận biết, điền chữ số và xét tính chia hết sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức và vận dụng tốt hơn trong chuyên đề Toán 6 tại ZIM Academy.