Điểm thuộc mặt phẳng trong không gian | Cách xác định và chứng minh

Trong hình học không gian lớp 11, việc xác định một điểm có thuộc một mặt phẳng cho trước hay không là bước quan trọng để giải nhiều dạng bài toán như tìm giao tuyến, giao điểm hoặc chứng minh ba điểm thẳng hàng. Khái niệm tưởng chừng đơn giản này lại rất dễ bị áp dụng sai nếu học sinh không nắm vững các tính chất nền tảng.

Mục tiêu của bài viết này là giúp học sinh làm rõ định nghĩa, các tính chất được thừa nhận thừa nhận của điểm thuộc mặt phẳng cùng các phương pháp xác định một điểm có nằm trên mặt phẳng hay không một cách chính xác nhất.

Điểm thuộc mặt phẳng là gì?

Nhắc lại về mặt phẳng: Mặt phẳng là định nghĩa toán học chỉ bề mặt có tính phẳng, hai chiều, kéo dài vô hạn về mọi hướng và không có bề dày. Chẳng hạn như mặt bảng, mặt nước tĩnh lặng là các mặt phẳng.

Trong hình học không gian, mặt phẳng thường được biểu diễn bởi 1 hình bình hành, và được kí hiệu bằng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hy Lạp nằm trong 2 dấu ngoặc “()”, chẳng hạn như (P), (Q), \(\left(\alpha\right)\).

Điểm thuộc mặt phẳng được định nghĩa và biểu diễn toán học như sau:

• Định nghĩa: Điểm A thuộc mặt phẳng (P) khi điểm A nằm trên mặt phẳng (P), ký hiệu là \(A ∈ (P)\). Ngược lại, điểm A không thuộc mặt phẳng (P) được ký hiệu là \(A ∉ (P)\) [1].

• Các cách diễn đạt tương đương: Các cụm từ như "điểm A nằm trên mặt phẳng (P)", "mặt phẳng (P) chứa điểm A", hoặc "mặt phẳng (P) đi qua điểm A" đều có cùng ý nghĩa toán học với ký hiệu A ∈ (P).

• Tính loại trừ: Với mỗi điểm A và một mặt phẳng (P) bất kỳ trong không gian, 2 mệnh đề sau không thể cùng xảy ra: \(A ∈ (P)\) và \(A ∉ (P)\), tức là hoặc điểm A thuộc mặt phẳng (P), hoặc điểm A không thuộc mặt phẳng (P).

• Khái niệm đồng phẳng: Trong hình học không gian, các điểm đồng phẳng được định nghĩa là tập hợp nhiều điểm cùng nằm trên một mặt phẳng. Nếu không tồn tại bất kỳ mặt phẳng nào chứa tất cả các điểm đó thì hệ điểm đó được gọi là không đồng phẳng [1].

Các tính chất thừa nhận liên quan đến điểm thuộc mặt phẳng

Hệ thống kiến thức của hình học không gian Euclid được xây dựng dựa trên các tính chất thừa nhận cơ bản sau [1]:

• Tính chất 1: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Nếu như biết được 3 điểm trong không gian không thẳng hàng thì khi đó mặt phẳng đi qua 3 điểm này là hoàn toàn xác định.

• Tính chất 2: Nếu trên một đường thẳng d tồn tại 2 điểm phân biệt A và B và 2 điểm này thuộc mặt phẳng (P) xác định, thì mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P). Hay nói cách khác, toàn bộ đường thẳng d nằm trong (P), kí hiệu \(d\subset\left(P\right)\). Đây là tính chất nền tảng quan trọng dùng để suy ra mối quan hệ liên kết giữa điểm và mặt phẳng.

• Tính chất 3: Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Tính chất này đảm bảo không gian có ba chiều thực sự, phân biệt hoàn toàn với hình học phẳng.

• Hệ quả thường dùng trong bài tập: Tính chất 2 là tính chất áp dụng nhiều trong bài tập nhất với hệ quả như sau: Nếu điểm M nằm trên đường thẳng của đoạn AB kéo dài mà hai điểm A và B thuộc mặt phẳng (P) thì điểm M cũng chắc chắn thuộc mặt phẳng (P).

Ví dụ: Cho 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Do đó mặt phẳng chứa 3 điểm (ABC) là duy nhất. Trên đường thẳng của đoạn AB kéo dài lấy 1 điểm M bất kì. Theo tính chất 2, điểm M cũng thuộc mặt phẳng (ABC).

Hai phương pháp xác định vị trí của điểm đối với mặt phẳng trong không gian

Để giải các bài tập hình học không gian, học sinh có thể áp dụng hai phương pháp xác định sau đây [1]:

Phương pháp 1 (trực tiếp)

Phương pháp này được áp dụng trong trường hợp mà điểm đang xét đến là một trong số các các điểm đã xác định mặt phẳng từ trước, ví dụ như đỉnh, điểm nằm trên cạnh, điểm nằm trong đa giác của mặt đáy hoặc mặt bên.

Phương pháp 2 (gián tiếp qua đường thẳng)

Chứng minh điểm cần xét nằm trên một đường thẳng d mà đường thẳng d đó đã được chứng minh hoặc đã biết nằm hoàn toàn trong mặt phẳng (P). Khi đó, điểm đó cũng thuộc mặt phẳng (P).

Quy trình áp dụng phương pháp 2 gồm 3 bước:

1. Bước 1: Xác định đường thẳng d đi qua điểm cần xét.

2. Bước 2: Chứng minh đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) bằng cách chỉ ra hai điểm phân biệt của d cùng thuộc mặt phẳng (P).

3. Bước 3: Kết luận điểm đang được xé thuộc mặt phẳng (P).

Ví dụ minh họa trên hình chóp S.ABCD: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh AC. Hãy xác định điểm M thuộc những mặt phẳng nào.

• Hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành là hình mà có A, B, C, D đồng phẳng và tạo nên hình bình hành, điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABCD).

• Các mặt phẳng trong hình chóp S.ABCD được xác định ngay lập tức: Các mặt bên (SAB), (SBC), (SCD), (SAD) và mặt đáy (ABCD).

• Xét điểm M có thể suy luận ra M thuộc các mặt phẳng sau:

  • Áp dụng phương pháp trực tiếp: Điểm M nằm trong hình hình hành ABCD nên M nằm trên mặt phẳng (ABCD). Vậy M thuộc (ABCD).

  • Áp dụng phương pháp gián tiếp: Xét 3 điểm S, A, C không thẳng hàng, 3 điểm này tạo nên mặt phẳng (SAC). Điểm A, C thuộc (SAC), M thuộc đường thẳng AC (trung điểm) nên M cũng thuộc (SAC). Đồng thời, theo tính chất hình bình hành, M là trung điểm AC thì cũng là trung điểm BD. Chứng minh tương tự với (SAC), thu được M cũng thộc (SBD).

• Kết luận: Điểm M thuộc mặt phẳng (ABCD) là mặt phẳng đã xác định trước (phương pháp trực tiếp), và ngoài ra còn thuộc mặt phẳng (SAC) và (SBD) (phương pháp gián tiếp).

Ý nghĩa của tính chất tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng

Tính chất tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng có ý nghĩa và ứng dụng toán học sâu sắc:

• Giải thích tính chất: Trong không gian, luôn luôn tồn tại ít nhất bốn điểm sao cho không có bất kỳ một mặt phẳng nào chứa được đồng thời cả bốn điểm đó.

• Ý nghĩa thực tiễn: Đây là tính chất then chốt để phân biệt hình học không gian với hình học phẳng.

  Trong hình học phẳng, mọi điểm hiển nhiên đồng phẳng. Tuy nhiên, trong không gian ba chiều, tính chất đó không còn đúng nữa. Luôn luôn có thể lấy được điểm thứ 4 nằm ngoài mặt phẳng chứa 3 điểm đã biết để tạo nên một hình học không gian 3 chiều.

• Ứng dụng: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. 4 điểm này tạo ra một hình học không gian 3 chiều gọi là tứ diện ABCD. Tứ diện ABCD tạo ra đúng bốn mặt phẳng khác nhau đi qua từng bộ ba đỉnh, minh họa cụ thể cho tính chất này.

• Liên hệ thực tế: Từ bốn điểm không đồng phẳng S, A, B, C, học sinh có thể thiết lập đúng bốn mặt phẳng phân biệt bao gồm: (SAB), (SAC), (SBC) và (ABC).

Bài tập vận dụng xác định điểm nằm trên mặt phẳng

Học sinh hãy ôn tập kiến thức về điểm nằm trên mặt phẳng qua các bài tập sau:

Bài tập 1 (mức cơ bản)

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'.

a) Xác định điểm B' thuộc những mặt phẳng nào của hình lăng trụ?

b) Điểm nào thuộc mặt phẳng (B'C'CB) nhưng không thuộc mặt phẳng (A'C'CA)?

Gợi ý: a) Điểm B' là đỉnh chung nên thuộc các mặt phẳng (A'B'C'), (ABB'A') và (BCC'B'). b) Điểm B và B’ là 2 đỉnh của hình lăng trụ thuộc mặt phẳng (B'C'CB) nhưng không thuộc mặt phẳng (A'C'CA). Ngoài ra tất cả các điểm thuộc (B'C'CB) nhưng không nằm trên đường thẳng CC’ đều không thuộc mặt phẳng (A'C'CA).

Bài tập 2 (mức trung bình)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Điểm M thuộc cạnh SA.

a) Chứng minh điểm M thuộc mặt phẳng (SAB).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MBC) với mặt phẳng (ABCD)

Gợi ý: a) Điểm M thuộc cạnh SA, đường thẳng SA nằm trong mặt phẳng (SAB). Do đó, điểm M thuộc mặt phẳng (SAB). b) Hai mặt phẳng (MBC) và (ABCD) có hai điểm chung là B và C. Vì vậy, giao tuyến là đường thẳng BC.

Bài tập 3 (mức nâng cao)

Cho tứ diện ABCD, gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC. Biết MN không song song với BC, hãy xác định giao điểm K của đường thẳng MN với mặt phẳng (BCD) và chứng minh ba điểm B, C, K thẳng hàng.

Gợi ý: Xét mặt phẳng (ABC) có đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại 1 điểm, ta đặt điểm nó là K’. Lúc này K’ thuộc đường thẳng BC nên K’ thuộc (BCD), vậy giao điểm của MN với mặt phẳng (BCD) chính là giao điểm của MN và BC. Hiển nhên B, C, K thẳng hàng.

Những lỗi thường mắc phải khi xác định điểm thuộc mặt phẳng

Khi giải bài tập hình học không gian, học sinh thường mắc các lỗi sau và cần nắm chắc kiến thức để tránh được:

• Lỗi sai 1: Cho rằng một điểm M bất kỳ thuộc hình chóp thì tự động thuộc mặt phẳng đáy. Học sinh cần kiểm tra kỹ xem điểm M có thực sự nằm trên đường thẳng nào thuộc mặt phẳng đáy hay không.

• Lỗi sai 2: Nhầm lẫn giữa khái niệm đồng phẳng và khái niệm thẳng hàng. Trong hình học không gian 3 chiều, 3 điểm bất kỳ không thẳng hàng thì luôn luôn đồng phẳng (luôn xác định một mặt phẳng), chỉ thực sự cần xác định tính đồng phẳng với từ 4 điểm trở lên.

• Lỗi sai 3: Áp dụng tính chất "đường thẳng có hai điểm thuộc mặt phẳng" nhưng quên mất chưa chứng minh điểm thuộc đường thẳng. Với một số bài toán nâng cao, việc chứng minh nằm trên đường thẳng không quá hiển nhiên mà cần dùng đến các bổ đề toán học về thẳng hàng như định lý Menelaus, đường thẳng Euler, đường thẳng Simpson,…

• Lỗi sa 4: Trong hình biểu diễn trực quan, học sinh chỉ nhìn hình vẽ rồi vội vàng kết luận một điểm thuộc mặt phẳng mà không đưa ra lập luận logic bằng các tính chất thừa nhận hay bằng các kết quả toán học của hình học phẳng đã biết.

Tổng kết lại, bài viết đã hệ thống đầy đủ nội dung cốt lõi: định nghĩa điểm thuộc mặt phẳng và ký hiệu, các tính chất thừa nhận trong hình học không gian cùng hai phương pháp xác định điểm thuộc mặt phẳng. Kèm theo đó, cần lưu ý các lỗi sai thường gặp trong việc giải bài tập và khắc phục các lỗi sai đó.

Việc rèn luyện kỹ năng xác định một điểm thuộc mặt phẳng là kiến thức nền tảng không thể thiếu để giải quyết các bài toán hình học không gian lớp 11 nói riêng và hình học không gian nói chung. Để mở rộng kiến thức và củng cố các chuyên đề liên quan, bạn đọc có thể tham khảo thêm hệ thống bài giảng Toán 11 tại ZIM Academy.