Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật và diện tích toàn phần | Công thức tính chi tiết

Diện tích toàn phần và diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật là hai công thức trọng tâm trong chương trình Toán lớp 5. Muốn tính diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật, học sinh lấy chu vi đáy nhân với chiều cao; muốn tính diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật, học sinh lấy diện tích xung quanh cộng thêm diện tích 2 mặt đáy (tổng diện tích đáy hình chữ nhật ở trên và dưới).

Bài viết hệ thống lý thuyết, công thức chuẩn và bài tập áp dụng để người học dễ ghi nhớ và vận dụng.

Hình hộp chữ nhật là gì?

Hình hộp chữ nhật là một hình khối không gian bao gồm 6 mặt đều là hình chữ nhật, 8 đỉnh và 12 cạnh. Để tính được diện tích toàn phần và diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật, học sinh cần nắm rõ thành phần và kích thước đặc trưng sau:

• Mặt đáy: Hình hộp chữ nhật có 2 mặt đáy nằm ở hai vị trí đối diện nhau (thường gọi là mặt đáy trên và mặt đáy dưới). Hai mặt đáy này là hai hình chữ nhật song song và bằng nhau.

• Mặt bên: Hình hộp chữ nhật có 4 mặt bên bao quanh, kết nối hai mặt đáy. Các mặt bên đối diện luôn song song và bằng nhau từng đôi một.

• Chiều dài (a): Độ dài cạnh dài của hình chữ nhật mặt đáy.

• Chiều rộng (b): Độ dài cạnh ngắn của hình chữ nhật mặt đáy.

• Chiều cao (h): Độ dài cạnh bên vuông góc với mặt đáy, thể hiện khoảng cách giữa hai mặt đáy.

Bảng tóm tắt các thành phần của hình hộp chữ nhật

Diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật là gì?

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật được xác định là tổng diện tích của 4 mặt bên của hình hộp chữ nhật đó (không tính diện tích của 2 mặt đáy). Về mặt bản chất hình học, khi trải phẳng 4 mặt bên của hình hộp chữ nhật lên cùng một mặt phẳng, nó chính là tổng diện tích bề mặt thu được.

Công thức tính diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật

Vì diện tích hình chữ nhật bằng chiều dài nhân với chiều rộng, nên diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là:

\[S_{xq} = 2 \times (a + b) \times h\]Hoặc viết gọn:

\[\mathbf{S_{xq} = P_{\text{đáy}} \times h}\]

Nhận xét: Muốn tính \(S_{xq}\) của hình hộp chữ nhật, ta lấy chu vi mặt đáy nhân với chiều cao của cùng đơn vị đo.

Xét một hình hộp chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b và chiều cao h.

Khi trải phẳng bốn mặt bên của hình hộp chữ nhật, ta thu được một hình chữ nhật lớn:

• Chiều rộng của hình chữ nhật lớn bằng chiều cao của hình hộp (h).

• Chiều dài của hình chữ nhật lớn bằng tổng độ dài bốn cạnh của mặt đáy:

\[a + b + a + b = 2 \times (a + b)\]Biểu thức \(2\times\left(a+b\right)\) chính là chu vi của mặt đáy \(\left(P_{đáy}\right)\).

Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật là gì?

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật được xác định là tổng diện tích của toàn bộ 6 mặt cấu tạo nên hình hộp (bao gồm 4 mặt bên và 2 mặt đáy).

Mối quan hệ toán học giữa hai đại lượng diện tích toàn phần và diện tích xung quanh được biểu diễn qua đẳng thức:

\[S_{tp} = S_{xq} + S_{2đáy}\]Trong đó:

• \(S_{2đáy}\): Tổng diện tích của hai mặt đáy.

Công thức tính diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật

Diện tích toàn phần bao gồm diện tích xung quanh và diện tích của hai mặt đáy.

• Diện tích một mặt đáy: \(S_{1\text{ đáy}} = a \times b\)

• Diện tích hai mặt đáy: \(S_{2\text{ đáy}} = 2 \times a \times b\)

Do đó:

\[S_{tp} = S_{xq} + 2 \times a \times b\]Thay công thức \(S_{xq}\) vào, ta có:

\[S_{tp} = 2 \times (a + b) \times h + 2 \times a \times b\]Hoặc rút gọn thành:

\[\mathbf{S_{tp} = 2 \times (a \times b + a \times h + b \times h)}\]

Nhận xét: Muốn tính diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật, ta lấy diện tích xung quanh cộng với diện tích của hai mặt đáy.

Trắc nghiệm ôn tập

Câu 1: Điền từ thích hợp vào chỗ trống để hoàn thành quy tắc:

"Muốn tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật, ta lấy .......... nhân với chiều cao (cùng một đơn vị đo)."

A. Diện tích một mặt đáy

B. Chu vi mặt đáy

C. Chiều dài mặt đáy

D. Tổng diện tích hai mặt đáy

Đáp án: B. Chu vi mặt đáy

Giải thích: Theo quy tắc tính diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật: \(S_{xq} = P_{\text{đáy}} \times h\), trong đó \(P_{đáy}\) là chu vi mặt đáy và h là chiều cao.

Câu 2: Để tính diện tích tôn dùng làm một chiếc thùng dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, công thức nào sau đây là đúng?

A. \(S = S_{xq} + S_{1\text{đáy}}\)

B. \(S = S_{xq} + S_{2\text{đáy}}\)

C. \(S = S_{xq} \times 2\)

D. \(S = S_{1\text{đáy}} \times 5\)

Đáp án: A. \(S = S_{xq} + S_{1\text{đáy}}\)

Giải thích: Thùng không nắp chỉ gồm 5 mặt với 4 mặt bên và 1 mặt đáy dưới. Do đó, tổng diện tích tôn bằng diện tích xung quanh (\(S_{xq}\)) cộng với diện tích một mặt đáy (\(S_{1\text{ đáy}}\)).

Câu 3: Một hình hộp chữ nhật có chu vi mặt đáy là 20 cm và chiều cao là 5 cm. Diện tích xung quanh (\(S_{xq}\)) của hình hộp chữ nhật đó là:

A. 50 cm²

B. 80 cm²

C. 100 cm²

D. 200 cm²

Đáp án: C. 100 cm²

Giải thích: Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh: \(S_{xq}=P_{đáy}\times h=20\times5=100\operatorname{\mathrm{cm}}^2\).

Câu 4: Một hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh \(S_{xq}=80\operatorname{\mathrm{cm}}^2\) và diện tích một mặt đáy \(S_{1\text{đáy}} = 15\) cm². \(S_{tp}\) của hình hộp chữ nhật đó là:

A. 95 cm²

B. 110 cm²

C. 125 cm²

D. 140 cm²

Đáp án: B. 110 cm²

Giải thích: Diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích hai mặt đáy: \(S_{tp} = S_{xq} + S_{2\text{đáy}} = 80 + (15 \times 2) = 110\) cm².

Bài tập minh họa về diện tích toàn phần và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật có lời giải

Bài 1: Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần khi khác đơn vị đo

Đề bài: Một hình hộp chữ nhật có chiều dài 1,5 m, chiều rộng 8 dm và chiều cao 6 dm. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật đó.

Phân tích đề bài:

Chiều dài 1,5 m khác đơn vị đo với chiều rộng và chiều cao (dm). Bước đầu tiên bắt buộc phải quy đổi về cùng đơn vị dm, sau đó lần lượt áp dụng công thức tính \(S_{xq}\) và \(S_{tp}\).

Hướng dẫn giải:

Đổi: \(1{,}5\text{ m} = 15\text{ dm}\).

Chu vi mặt đáy của hình hộp chữ nhật là:

\[(15 + 8) \times 2 = 46\text{ (dm)}\]

Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là:

\[46 \times 6 = 276\text{ (dm}^2\text{)}\]

Diện tích một mặt đáy của hình hộp chữ nhật là:

\[15 \times 8 = 120\text{ (dm}^2\text{)}\]

Diện tích hai mặt đáy của hình hộp chữ nhật là:

\[120 \times 2 = 240\text{ (dm}^2\text{)}\]

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là:

\[276 + 240 = 516\text{ (dm}^2\text{)}\]Đáp số:

• Diện tích xung quanh: \(276\text{ dm}^2\)

• Diện tích toàn phần: \(516\text{ dm}^2\)

Lưu ý: Học sinh cần hoàn thành việc quy đổi đồng nhất đơn vị đo trước khi áp dụng công thức tính toán.

Bài 2: Bài toán sơn phòng học 5 mặt và trừ diện tích cửa

Đề bài: Một phòng học dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài 8 m, chiều rộng 6 m và chiều cao 3,8 m. Người ta muốn sơn trần nhà và bốn bức tường phía trong phòng học. Biết tổng diện tích các cửa là \(12{,}5\text{ m}^2\). Tính diện tích thực tế cần quét sơn.

Phân tích đề bài:

Sơn phòng học chỉ tính 4 bức tường (\(S_{xq}\)) và trần nhà (\(S_{1đáy}\)), không sơn nền nhà. Diện tích thực tế cần sơn bằng tổng diện tích 5 mặt đó trừ đi diện tích các cửa.

Hướng dẫn giải:

Diện tích xung quanh của phòng học là:

\[(8 + 6) \times 2 \times 3{,}8 = 106{,}4\text{ (m}^2\text{)}\]

Diện tích trần nhà của phòng học là:

\[8 \times 6 = 48\text{ (m}^2\text{)}\]

Diện tích thực tế cần quét sơn là:

\[(106{,}4 + 48) - 12{,}5 = 141{,}9\text{ (m}^2\text{)}\]Đáp số: \(141{,}9\text{ m}^2\)

Lưu ý: Dạng bài sơn phòng tuyệt đối không cộng diện tích mặt sàn và nhớ trừ phần diện tích cửa.

Bài 3: Bài toán làm bể cá kính không nắp và tính chi phí

Đề bài: Người ta làm một bể cá bằng kính dạng hình hộp chữ nhật không có nắp với chiều dài 1,2 m, chiều rộng 0,8 m và chiều cao 0,5 m.

a) Tính diện tích kính dùng để làm bể cá (bỏ qua mép dán).

b) Biết giá tiền \(1\text{ m}^2\) kính là \(250\text{ }000\) đồng. Tính tổng số tiền mua kính.

Phân tích đề bài: Bể cá không nắp gồm 4 mặt bên và 1 mặt đáy. Tính tổng diện tích 5 mặt này ở câu a, sau đó lấy diện tích kính nhân với đơn giá \(250\text{ }000\) đồng ở câu b.

Bài giải:

a) Diện tích xung quanh của bể cá là:

\[(1{,}2 + 0{,}8) \times 2 \times 0{,}5 = 2\text{ (m}^2\text{)}\]

Diện tích mặt đáy của bể cá là:

\[1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96\text{ (m}^2\text{)}\]

Diện tích kính dùng để làm bể cá là:

\[2 + 0{,}96 = 2{,}96\text{ (m}^2\text{)}\]

b) Số tiền mua kính để làm bể cá là:

\[2{,}96 \times 250\text{ }000 = 740\text{ }000\text{ (đồng)}\]

Đáp số:

a) \(2{,}96\text{ m}^2\)

b) \(740\text{ }000\) đồng

Lưu ý: Đọc kỹ đề bài để xác định vật dụng có nắp hay không nắp (5 mặt hay 6 mặt).

Bài 4: Bài toán ngược tìm chiều cao khi biết diện tích xung quanh

Đề bài: Một chiếc thùng bằng tôn dạng hình hộp chữ nhật không có nắp có diện tích xung quanh là \(210\text{ cm}^2\). Biết mặt đáy của thùng có chiều dài 9 cm và chiều rộng 6 cm. Tính chiều cao của chiếc thùng tôn đó.

Phân tích đề bài:

Đây là dạng bài toán ngược. Từ công thức \(S_{xq} = P_{\text{đáy}} \times h\), muốn tìm chiều cao h, ta lấy diện tích xung quanh chia cho chu vi mặt đáy.

(\(h=S_{xq}:P_{\text{đáy}}\)).

Bài giải:

Chu vi mặt đáy của chiếc thùng tôn là:

\[(9 + 6) \times 2 = 30\text{ (cm)}\]

Chiều cao của chiếc thùng tôn là:

\[210 : 30 = 7\text{ (cm)}\]

Đáp số: 7 cm

Lưu ý: Ghi nhớ công thức biến đổi ngược: \(h = S_{xq} : P_{\text{đáy}}\).

Việc nắm vững công thức tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật giúp học sinh thực hiện chính xác các bài tập trong chương trình Toán lớp 5. Người học cần chú ý quy đổi cùng đơn vị đo và xác định đúng số mặt trong từng dạng bài cụ thể để áp dụng công thức phù hợp. Để tìm hiểu thêm các kiến thức và bài tập liên quan, người học có thể tham khảo chuyên đề Toán tại ZIM Academy.