Đồ thị hàm số y = ax^2 | Cách vẽ và bài tập có lời giải

Trong Toán 9, đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) là parabol có đỉnh tại O (0; 0), trục đối xứng là trục Oy, mở lên khi a > 0 và mở xuống khi a < 0.

Bài viết hướng dẫn cách vẽ đồ thị hàm số y = ax² theo từng bước từ lập bảng giá trị, xác định các điểm đối xứng, biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy đến hoàn thiện parabol, đồng thời tổng hợp bài tập xác định hệ số a, điểm thuộc đồ thị, giao điểm và đọc đồ thị kèm lời giải.

Đồ thị hàm số y = \(ax^2\) là gì?

Trong toán học, đường cong biểu diễn hàm số bậc hai có những tính chất hình học vô cùng đặc biệt. Để nắm vững lý thuyết, người học cần chú ý các điểm sau:

• Định nghĩa đồ thị: đồ thị hàm số y = \(ax^2\) (a ≠ 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ O và nhận trục Oy làm trục đối xứng; đường cong đó gọi là parabol với đỉnh O.

• Hai trường hợp hình dáng: Học sinh cần ghi nhớ nguyên tắc: khi a > 0, đồ thị nằm phía trên trục hoành với bề lõm quay lên, O là điểm thấp nhất; khi a < 0, đồ thị nằm phía dưới trục hoành với bề lõm quay xuống, O là điểm cao nhất".

• Mối liên hệ với tính chất hàm số: Hình dáng đường cong minh họa trực quan tính đồng biến và nghịch biến của hàm số. Phần đường cong đi lên từ trái sang phải thể hiện hàm số đồng biến, phần đi xuống thể hiện hàm số nghịch biến.

• Ảnh hưởng của trị tuyệt đối của a: Một đặc điểm quan trọng cần lưu ý là trị tuyệt đối của a (tức là ∣a∣) càng lớn thì parabol càng hẹp và dốc. Ngược lại, giá trị ∣a∣ càng nhỏ thì parabol càng rộng và thoải.

  

Quy trình và cách vẽ đồ thị hàm số y = \(ax^2\)

Để biểu diễn chính xác đường cong parabol trên mặt phẳng tọa độ, học sinh cần tuân thủ một quy trình gồm ba bước logic dưới đây:

Bước 1: Lập bảng giá trị: Người làm bài cần chọn ít nhất 5 giá trị của hoành độ x sao cho chúng đối xứng nhau qua gốc tọa độ O (thường ưu tiên chọn các giá trị nguyên như x = −2; −1; 0; 1; 2). Sau đó, thay lần lượt các giá trị x này vào phương trình để tính tung độ y tương ứng.

Bước 2: Biểu diễn các điểm trên mặt phẳng tọa độ: Họ sinh tiến hành xác định và đánh dấu 5 cặp tọa độ (x; y) vừa tìm được lên mặt phẳng Oxy. Cần kiểm tra cẩn thận để đảm bảo các điểm (trừ gốc O) đều có tính đối xứng từng đôi một qua trục tung Oy.

Bước 3: Vẽ đường cong parabol: Sử dụng thước parabol chuyên dụng, người học nối các điểm đã đánh dấu lại với nhau để tạo thành một đường cong trơn liền mạch. Đường cong này chính là đồ thị cần tìm.

Lưu ý quan trọng khi vẽ đồ thị:

• Đường cong bắt buộc phải đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và phải là một đường trơn, tuyệt đối không được vẽ gãy khúc tại đỉnh.

• Trục hoành Ox và trục tung Oy phải có mũi tên chỉ chiều dương, đồng thời ghi đầy đủ tên trục và gốc tọa độ.

• Cần kéo dài đường cong vượt qua hai điểm ngoài cùng một chút để thể hiện tính vô tận của hàm số, không được dừng lại đột ngột ngay tại điểm đã chấm.

Ví dụ vẽ đồ thị minh họa

• Ví dụ 1 (Trường hợp a > 0): Vẽ đồ thị hàm số y = \(ax^2\) với phương trình y = \(2x^2\).

  • Học sinh lập bảng giá trị với x∈{−2; −1; 0; 1; 2}. Tính được các giá trị y tương ứng lần lượt là 8; 2; 0; 2; 8.

  • Xác định các điểm A(−2; 8), B(−1; 2), O(0; 0), C(1; 2), D(2; 8) trên mặt phẳng tọa độ.

  • Nối các điểm này lại, ta thu được một parabol có bề lõm hướng lên trên, nhận trục Oy làm trục đối xứng và O là điểm thấp nhất.

• Ví dụ 2 (Trường hợp a < 0): Vẽ đồ thị của hàm số y \(=x^2\).

  • Người học lập bảng giá trị tương tự. Khi x=−2, y=−4. Khi x=−1, y=−1. Khi x=0, y=0. Khi x=1, y=−1. Khi x=2, y=−4.

  • Biểu diễn các điểm lên hệ trục tọa độ, người làm bài sẽ thu được một đường cong parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành, bề lõm hướng xuống và O là điểm cao nhất.

• So sánh hai đồ thị: Khi đặt hai đồ thị vừa vẽ lên cùng một mặt phẳng tọa độ, học sinh dễ dàng thấy rõ tác động của dấu hệ số a đến hướng mở của parabol.

Cách đọc thông tin từ đồ thị hàm số y = \(ax^2\)

Từ hình dáng đồ thị, người học có thể khai thác được rất nhiều dữ kiện toán học quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan.

• Xác định điểm thuộc đồ thị: Để kiểm tra một điểm M (x0​; y0​) có nằm trên đồ thị hay không, học sinh thay hoành độ x0​ vào hàm số. Nếu kết quả thu được bằng đúng tung độ y0​, điểm đó thuộc đồ thị.

• Xác định hệ số a: Nếu đề bài cho biết một điểm (khác gốc O) thuộc parabol, học sinh thay tọa độ điểm đó vào phương trình tổng quát y = \(ax^2\) để giải phương trình bậc nhất và tìm ra a.

• Đọc tính đồng biến và nghịch biến: Với a > 0, nhánh đồ thị bên phải trục tung đi lên từ trái sang phải, thể hiện hàm số đồng biến khi x > 0. Nhận xét này được áp dụng ngược lại với trường hợp a < 0.

• Xác định giá trị cực trị: Dựa vào vị trí đỉnh O(0; 0), người làm bài xác định được giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0 (khi a > 0) hoặc giá trị lớn nhất là y = 0 (khi a < 0).

Giao điểm của đồ thị hàm số y = \(ax^2\) với đường thẳng

• Phương pháp tìm giao điểm: Để tìm tọa độ giao điểm của parabol (P): y = \(ax^2\) và đường thẳng (d): y = mx+n, người học thiết lập phương trình hoành độ giao điểm có dạng \(ax^2\) = mx+n.

• Biện luận số giao điểm: Chuyển vế để đưa về phương trình bậc hai \(ax^2\)−mx−n=0 và xét biệt thức Δ.

  • Nếu Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt, (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm.

  • Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép, (P) và (d) tiếp xúc nhau tại một điểm.

  • Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm, (P) và (d) không có điểm chung.

• Dạng toán tìm tham số: Các bài toán nâng cao thường yêu cầu tìm hệ số a hoặc tham số m để (P) cắt (d) tại một điểm có hoành độ hoặc tung độ cho trước, đòi hỏi học sinh vận dụng linh hoạt hệ thức Vi-ét.

  

Bài tập minh họa có lời giải chi tiết

Bài tập 1 (Mức cơ bản): Vẽ đồ thị hàm số y = \(\frac13x^2\). Biết điểm A (4; m) thuộc đồ thị này, hãy tìm m.

• Lời giải: Lập bảng giá trị với x ∈ {−3; −1; 0; 1; 3} để dễ tính toán. Ta có các tọa độ (−3; 3), (−1; \(\frac{1}{3}\)), (0; 0), (1; \(\frac{1}{3}\)), (3; 3). Biểu diễn và vẽ đồ thị như quy trình.

• Vì điểm A (4; m) thuộc đồ thị, thay x = 4 và y = m vào hàm số, ta có phương trình: m = \(\frac13\cdot4^2\). Kết luận m = \(\frac{16}{3}\).

Bài tập 2 (Mức trung bình): Cho đồ thị hàm số y = \(ax^2\) đi qua điểm M (2; 2). Hãy tìm a. Sau đó, tìm tung độ của điểm thuộc đồ thị có hoành độ x =−2 và tọa độ các điểm có tung độ y = 8.

• Lời giải: Thay x = 2, y = 2 vào phương trình y = \(ax^2\), ta được \(2=a\cdot2^2\) ⇒ 4a = 2 ⇒ a = \(\frac12\). Hàm số là y = \(\frac12x^2\).

• Thay hoành độ x = −2 vào hàm số, ta tìm được tung độ tương ứng: y = \(\frac12\cdot\left(-2\right)^2\) = 2.

• Để tìm điểm có tung độ y = 8, giải phương trình \(\frac12x^2=8\) ⇒ \(x^2\) = 16 ⇒ x = ±4. Vậy có hai điểm cần tìm là (4; 8) và (−4;8).

Bài tập 3 (Mức nâng cao): Cho parabol (P): = \(2x^2\). Tìm tham số m để phương trình \(2x^2\)−m−5 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

• Lời giải: Biến đổi phương trình thành \(2x^2\) = m + 5. Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của parabol (P): y = 2x² và đường thẳng nằm ngang (d): y = m + 5.

• Vì parabol có hệ số a = 2 > 0 nên bề lõm quay lên, điểm thấp nhất là O (0; 0). Để đường thẳng cắt (P) tại hai điểm phân biệt, đường thẳng đó phải nằm hoàn toàn phía trên trục hoành.

• Điều kiện tương đương là: m + 5 > 0 ⇒ m > −5. Vậy với m > −5, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Bài viết đã tổng hợp một cách có hệ thống những kiến thức trọng tâm nhất về đồ thị hàm số y = \(ax^2\). Người học đã đi từ việc nắm vững định nghĩa parabol, nhận biết đặc điểm hình dáng thay đổi theo dấu của hệ số a, cho đến việc thành thạo quy trình 3 bước để vẽ hình chuẩn xác.

Đồng thời, phương pháp đọc các thông số quan trọng và kỹ năng thiết lập phương trình hoành độ giao điểm cũng đã được phân tích cặn kẽ thông qua các bài tập minh họa đa dạng. Làm chủ chuyên đề này chính là bước đệm thiết yếu để học sinh chinh phục thành công các bài toán phức tạp hơn.

Để tiếp tục rèn luyện kỹ năng biện luận số giao điểm, khai thác hệ thức Vi-ét và các chủ đề chuyên sâu khác, học sinh nên tham khảo hệ thống bài giảng được biên soạn bài bản tại chuyên mục Toán 9 của ZIM Academy. Với nền tảng vững chắc về đồ thị hàm số y = \(ax^2\), học sinh sẽ hoàn toàn tự tin đạt điểm tối đa trong mọi kỳ thi.