Hai đường thẳng song song | Tính chất và dấu hiệu nhận biết

Trong Toán 7, hai đường thẳng song song là nội dung hình học nền tảng. Học sinh cần nắm rõ hai đường thẳng song song là gì, kí hiệu song song, dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song và tính chất hai đường thẳng song song thông qua các mối quan hệ về góc đồng vị, góc so le trong. Bài viết cũng hướng dẫn cách chứng minh hai đường thẳng song song lớp 7 và cung cấp bài tập có lời giải để củng cố kiến thức.

Hai đường thẳng song song là gì?

Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung nào. [1]

Khi hai đường thẳng a và b song song, khoảng cách giữa chúng luôn không đổi tại mọi vị trí. Nếu hai đường thẳng có ít nhất hai điểm chung phân biệt thì chúng trùng nhau. Do đó, đối với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng, học sinh chỉ cần xét hai khả năng: hoặc cắt nhau tại một điểm, hoặc song song với nhau.

Trong mặt phẳng hình học, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt được chia thành hai trường hợp cơ bản: cắt nhau (có duy nhất một điểm chung) hoặc không cắt nhau (không có điểm chung nào).

Kí hiệu hai đường thẳng song song và cách đọc

Để biểu diễn mối quan hệ song song giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\), quy ước toán học sử dụng ký hiệu \(//\).

• Cách viết: \(a // b\) hoặc \(b // a\).

• Cách đọc: "Đường thẳng \(a\) song song với đường thẳng \(b\)" hoặc "Đường thẳng \(b\) song song với đường thẳng \(a\)".

• Trình bày trong bài tập: Khi chứng minh hoặc liệt kê giả thiết, người học có thể ghi:

  • Giả thiết: \(a // b\).

  • Hoặc lập luận: "Do \(a // b\), nên..."

Sơ đồ phân biệt hai đường thẳng song song và hai đường thẳng cắt nhau

Dưới đây là sơ đồ tóm tắt trực quan giúp người học phân biệt hai đường thẳng song song và hai đường thẳng cắt nhau:

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

Để xác định hai đường thẳng có song song với nhau hay không, người học không thể chỉ dựa vào trực quan quan sát mà phải căn cứ vào các dấu hiệu nhận biết mang tính định lý trong hình học.

Giả sử có một đường thẳng \(c\) cắt hai đường thẳng \(a\) và \(b\) lần lượt tại hai điểm \(A\) và \(B\). Đường thẳng \(c\) khi đó được gọi là cát tuyến của hai đường thẳng \(a\) và \(b\). Tại mỗi đỉnh \(A\) và \(B\), đường thẳng \(c\) tạo thành 4 góc (tổng cộng 8 góc). Các vị trí góc tương quan giữa đỉnh \(A\) và đỉnh \(B\) được định nghĩa như sau:

• Cặp góc so le trong: Nằm ở phía trong giữa hai đường thẳng và ở hai phía đối nhau của cát tuyến.

• Cặp góc đồng vị: Nằm ở vị trí tương ứng giống nhau tại hai giao điểm của cát tuyến với hai đường thẳng.

• Cặp góc trong cùng phía: Nằm ở phía trong giữa hai đường thẳng và cùng một phía của cát tuyến.

Dựa vào định nghĩa hai đường thẳng song song

Theo định nghĩa, nếu hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung thì chúng song song. Trong bài tập lớp 7, việc chứng minh trực tiếp hai đường thẳng không có điểm chung thường khó, vì vậy học sinh chủ yếu sử dụng các dấu hiệu về góc hoặc quan hệ vuông góc để kết luận hai đường thẳng song song.

Dựa vào cặp góc so le trong

Dấu hiệu: Nếu đường thẳng \(c\) cắt hai đường thẳng \(a\) và \(b\), và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau, thì đường thẳng \(a\) song song với đường thẳng \(b\).

Công thức diễn đạt:

\[\text{Nếu }c\text{ cắt }a,b\text{ tại }A,B\text{ và }\widehat{A}_1=\widehat{B}_2\text{ thì }a//b.\]

Dựa vào cặp góc đồng vị

Dấu hiệu: Nếu đường thẳng \(c\) cắt hai đường thẳng \(a\) và \(b\), và trong các góc tạo thành có một cặp góc đồng vị bằng nhau, thì đường thẳng \(a\) song song với đường thẳng \(b\).

Dựa vào cặp góc trong cùng phía (mở rộng)

Dấu hiệu mở rộng: Nếu đường thẳng \(c\) cắt hai đường thẳng \(a\) và \(b\), và trong các góc tạo thành có một cặp góc trong cùng phía bù nhau (tổng số đo của hai góc bằng \(180^\circ\)), thì đường thẳng \(a\) song song với đường thẳng \(b\).

Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Đây là một dấu hiệu thường dùng khi chứng minh hai đường thẳng song song lớp 7.

Dựa vào hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba

Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Đây là một dấu hiệu thường dùng khi chứng minh hai đường thẳng song song lớp 7.

Tiên đề Euclid về đường thẳng song song

Tiên đề Euclid được phát biểu như sau: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó. [1]

Hệ quả thường dùng: nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại.

Ý nghĩa của tiên đề Euclid trong hình học

• Khẳng định tính duy nhất: Cho trước một đường thẳng \(a\) và điểm \(M\) nằm ngoài \(a\), đường thẳng đi qua \(M\) và song song với \(a\) là duy nhất.

• Cơ sở chứng minh ba điểm thẳng hàng: Nếu qua điểm \(M\), người học chứng minh được cả \(MB\) và \(MC\) đều song song với đường thẳng \(a\), thì \(MB\) và \(MC\) phải trùng nhau, suy ra ba điểm \(M, B, C\) thẳng hàng.

• Cơ sở chứng minh hai đường thẳng trùng nhau: Hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng song song với đường thẳng thứ ba thì bắt buộc phải trùng nhau.

Tính chất hai đường thẳng song song

Nhiều học sinh thường nhầm lẫn giữa dấu hiệu nhận biết và tính chất của hai đường thẳng song song. Người học cần phân biệt rõ sự khác biệt về logic:

• Dấu hiệu nhận biết: Xuất phát từ quan hệ giữa các góc \(\rightarrow\) Kết luận hai đường thẳng song song (\(a // b\)).

• Tính chất: Xuất phát từ giả thiết đã biết hai đường thẳng song song (\(a // b\)) \(\rightarrow\) Suy ra các quan hệ giữa các góc hoặc quan hệ vuông góc.

Tính chất về góc khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song

Định lý về hai đường thẳng song song: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì: [1]

• Hai góc so le trong bằng nhau.

• Hai góc đồng vị bằng nhau.

• Hai góc trong cùng phía bù nhau.

Tóm tắt bằng ký hiệu toán học:

Cho \(a // b\) và đường thẳng \(c\) cắt \(a, b\) lần lượt tại \(A, B\):

\[\begin{cases} a // b \\ c \cap a = \{A\}, c \cap b = \{B\} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \widehat{A}_{\text{so le trong}} = \widehat{B}_{\text{so le trong}} \\ \widehat{A}_{\text{đồng vị}} = \widehat{B}_{\text{đồng vị}} \\ \widehat{A}_{\text{trong cùng phía}} + \widehat{B}_{\text{trong cùng phía}} = 180^\circ \end{cases}\]

Tính chất quan hệ giữa tính vuông góc và tính song song

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song

Định lý: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.

Phát biểu: Nếu \(c \perp a, a \mathbin{/\!/} b\) thì \(c \perp b\)

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba

Định lý: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Phát biểu: Nếu \(a \mathbin{/\!/} b\), \(b \mathbin{/\!/} c\) thì \(a \mathbin{/\!/} c\).

Cách chứng minh hai đường thẳng song song

Trong các bài toán tam giác lớp 7, cách chứng minh song song thường kết hợp dấu hiệu góc so le trong, góc đồng vị với tổng ba góc trong tam giác, góc kề bù, góc đối đỉnh hoặc tia phân giác.

Chứng minh bằng dấu hiệu góc so le trong hoặc đồng vị

Quy trình 4 bước:

• Bước 1: Xác định hai đường thẳng cần chứng minh song song (gọi là a và b) và đường thẳng thứ ba cắt cả hai đường thẳng đó (cát tuyến c).

• Bước 2: Tìm một cặp góc tại hai đỉnh giao điểm nằm ở vị trí so le trong hoặc đồng vị hoặc trong cùng phía.

• Bước 3: Sử dụng các tính chất toán học: góc đối đỉnh, góc kề bù, tổng các góc trong tam giác, hoặc giả thiết đề bài, … để tính toán và chứng minh hai góc đó bằng nhau hoặc bù nhau (đối với trong cùng phía).

• Bước 4: Trình bày đủ điều kiện và kết luận hai đường thẳng song song theo dấu hiệu nhận biết.

Mẫu trình bày chuẩn:

Xét hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cùng cắt đường thẳng \(c\) tại \(A\) và \(B\).

Ta có: \(\widehat{A}_1 = \dots\) và \(\widehat{B}_1 = \dots \Rightarrow \widehat{A}_1 = \widehat{B}_1\).

Mà \(\widehat{A}_1\) và \(\widehat{B}_1\) là hai góc ở vị trí so le trong (hoặc đồng vị).

Suy ra: \(a // b\) (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).

Chứng minh bằng quan hệ vuông góc và song song

Dạng 1: Cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba

Học sinh tìm một đường thẳng \(c\) sao cho \(c\) vừa vuông góc với \(a\), vừa vuông góc với \(b\).

Mẫu trình bày:

\[\left. \begin{aligned} a &\perp c \text{ (giả thiết)} \\ b &\perp c \text{ (giả thiết)} \end{aligned} \right\} \Rightarrow a \mathbin{/\!/} b \text{ (vì cùng vuông góc với } c)\].

Dạng 2: Cùng song song với một đường thẳng thứ ba

Học sinh tìm một đường thẳng trung gian \(c\) sao cho \(a // c\) và \(b // c\).

Mẫu trình bày:

\[\left. \begin{aligned} a &\mathbin{/\!/} c \text{ (giả thiết hoặc chứng minh trên)} \\ b &\mathbin{/\!/} c \text{ (giả thiết hoặc chứng minh trên)} \end{aligned} \right\} \Rightarrow a \mathbin{/\!/} b \text{ (vì cùng song song với } c)\]

Bài tập vận dụng dấu hiệu và tính chất hai đường thẳng song song

Dạng 1: Nhận biết hai đường thẳng song song dựa vào số đo góc

Bài toán 1: Cho hình vẽ dưới đây, biết đường thẳng \(c\) cắt hai đường thẳng \(x\) và \(y\) lần lượt tại \(A\) và \(B\). Cho số đo góc \(\widehat{A}_1 = 60^\circ\) và góc \(\widehat{B}_2 = 120^\circ\). Hãy kiểm tra xem đường thẳng \(x\) và đường thẳng \(y\) có song song với nhau hay không.

Lời giải chi tiết:

Cho đường thẳng \(c\) cắt hai đường thẳng \(x\) và \(y\) lần lượt tại \(A\) và \(B\).

Ta có:

\[\widehat{A}_1 + \widehat{B}_2 = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ\]
Mà \(\widehat{A}_1\) và \(\widehat{B}_2\) là hai góc trong cùng phía

\[\Rightarrow x \mathbin{/\!/} y \text{ (hai góc trong cùng phía bù nhau)}\]

Kết luận: \(x \mathbin{/\!/} y\).

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng song song trong hình vẽ có đường phụ

Bài toán 2: Cho góc \(\widehat{xOy} = 70^\circ\). Trên tia \(Ox\) lấy điểm \(A\). Qua \(A\) vẽ tia \(Az\) nằm trong góc \(\widehat{xOy}\) sao cho \(\widehat{OAz} = 110^\circ\). Vẽ tia \(Az'\) là tia đối của tia \(Az\).

1. Chứng minh rằng đường thẳng \(zz'\) song song với tia \(Oy\).

2. Kẻ tia \(Om\) là tia phân giác của góc \(\widehat{xOy}\) và tia \(An\) là tia phân giác của góc \(\widehat{xAz'}\). Chứng minh rằng \(Om // An\).

Lời giải chi tiết:

1. Chứng minh \(zz' // Oy\)

Bước 1: Xác định hai góc cần xét

Xét hai đường thẳng \(zz'\) và \(Oy\) bị cắt bởi cát tuyến \(OA\).

Hai góc \(\widehat{OAz}\) và \(\widehat{xOy}\) nằm ở vị trí trong cùng phía đối với cát tuyến \(OA\).

Bước 2: Tính tổng hai góc trong cùng phía

Theo giả thiết: \(\widehat{OAz} = 110^\circ\) và \(\widehat{xOy} = 70^\circ\).

Tổng số đo của hai góc là:

\[\widehat{OAz} + \widehat{xOy} = 110^\circ + 70^\circ = 180^\circ\]

Vì hai góc trong cùng phía có tổng bằng \(180^\circ\)

\(\Rightarrow zz^{\prime}//Oy\).

2. Chứng minh \(Om // An\)

Bước 1: Tính số đo góc \(\widehat{xOm}\)

Vì \(Om\) là tia phân giác của góc \(\widehat{xOy}\) nên số đo góc \(\widehat{xOm}\) là:

\[\widehat{xOm} = \frac{\widehat{xOy}}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ\]

Bước 2: Tính số đo góc \(\widehat{xAz'}\) và góc \(\widehat{xAn}\)

Do \(zz' // Oy\) (chứng minh trên), hai góc \(\widehat{xAz'}\) và \(\widehat{xOy}\) nằm ở vị trí đồng vị, nên:

\[\widehat{xAz'} = \widehat{xOy} = 70^\circ\]

Vì \(An\) là tia phân giác của góc \(\widehat{xAz'}\) nên số đo góc \(\widehat{xAn}\) là:

\[\widehat{xAn} = \frac{\widehat{xAz'}}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ\]

Bước 3: So sánh cặp góc đồng vị và kết luận

Xét hai đường thẳng \(Om\) và \(An\) bị cắt bởi cát tuyến \(Ox\):

Góc \(\widehat{xOm}\) và góc \(\widehat{xAn}\) nằm ở vị trí đồng vị.

Mặt khác:

\[\widehat{xOm} = 35^\circ \text{ và } \widehat{xAn} = 35^\circ \Rightarrow \widehat{xOm} = \widehat{xAn} = 35^\circ\]

Vì hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau nên \(Om // An\).

Dạng 3: Tính số đo góc dựa vào tính chất của hai đường thẳng song song

Bài toán 3: Cho hình vẽ dưới đây, biết rằng \(AB // CD\) và \(CD // EF\). Cho số đo các góc \(\widehat{BAC} = 130^\circ\) và \(\widehat{CEF} = 140^\circ\). Tính số đo góc \(\widehat{ACE}\).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính số đo góc \(\widehat{ACD}\)

Theo giả thiết, \(AB // CD\).

Hai góc \(\widehat{BAC}\) và \(\widehat{ACD}\) là hai góc ở vị trí trong cùng phía đối với cát tuyến \(AC\).

Áp dụng tính chất hai đường thẳng song song:

\[\widehat{BAC} + \widehat{ACD} = 180^\circ\]

\[\Rightarrow 130^\circ + \widehat{ACD} = 180^\circ\]

\[\Rightarrow \widehat{ACD} = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ\]

Bước 2: Tính số đo góc \(\widehat{ECD}\)

Theo giả thiết, \(CD // EF\).

Hai góc \(\widehat{CEF}\) và \(\widehat{ECD}\) là hai góc ở vị trí trong cùng phía đối với cát tuyến \(CE\).

Áp dụng tính chất hai đường thẳng song song:

\[\widehat{CEF} + \widehat{ECD} = 180^\circ\]

\[\Rightarrow 140^\circ + \widehat{ECD} = 180^\circ\]

\[\Rightarrow \widehat{ECD} = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\]

Bước 3: Tính số đo góc \(\widehat{ACE}\)

Quan sát hình vẽ, tia \(CD\) nằm giữa hai tia \(CA\) và \(CE\).

Do đó:

\(\widehat{ACE} = \widehat{ACD} + \widehat{ECD}\)

\(\Rightarrow \widehat{ACE} = 50^\circ + 40^\circ = 90^\circ\)

Vậy số đo góc \(\widehat{ACE} = 90^\circ\) (hay \(AC \perp CE\)).

Bài toán 4: Cho hình vẽ sau

Biết \(ME//ND\), \(\widehat{EMO} = 30^\circ\), \(\widehat{DNO} = 150^\circ\).

a) Tính \(\widehat{MON}\).

b) Tia \(OP\) có phải là phân giác của \(\widehat{MON}\) không? Vì sao?

Lời giải chi tiết:

a) Kẻ \(OP\) sao cho \(OP // ME\).

Ta có: \(OP // ME \Rightarrow \widehat{M} = \widehat{O}_1 = 30^\circ\) (2 góc so le trong)

Lại có: \[\begin{cases} OP // ME \\ ME // DN \end{cases} (gt) \Rightarrow PO // DN\]

\(\Rightarrow \widehat{O}_2 + \widehat{N} = 180^\circ\) (2 góc trong cùng phía bù nhau)

\(\Rightarrow \widehat{O}_2 = 180^\circ - \widehat{N} = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\)

Ta có: \(\widehat{MON} = \widehat{O}_1 + \widehat{O}_2 = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ\)

b) Vì tia \(OP\) nằm giữa hai tia \(OM\) và \(ON\), lại có \(\widehat{O}_1=\widehat{O}_2=30^{\circ}\)

Suy ra tia \(OP\) là phân giác của \(\widehat{MON}\).

Việc nắm vững định nghĩa, dấu hiệu nhận biết, tiên đề Euclid và tính chất hai đường thẳng song song giúp học sinh phân biệt rõ khi nào cần chứng minh hai đường thẳng song song và khi nào có thể suy ra các quan hệ về góc. Người học có thể tham khảo thêm các kiến thức liên quan trong chuyên đề Toán 7 để củng cố nền tảng hình học và vận dụng tốt hơn vào bài tập.