Hàm số liên tục | Điều kiện, cách xét và bài tập lớp 11

Hàm số liên tục là một chuyên đề quan trọng trong Toán 11, làm nền tảng cho các nội dung về giới hạn và giải tích trong chương trình THPT.

Bài viết trình bày định nghĩa hàm số liên tục, điều kiện để hàm số liên tục tại một điểm, trên khoảng và trên R, cách xét và chứng minh hàm số liên tục, nhận biết hàm số không liên tục, cùng các dạng bài như tìm tham số để hàm số liên tục và bài tập hàm số liên tục lớp 11.

Hàm số liên tục là gì?

Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm \(x_0\) nếu \(\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)\). [1]

Người học cần ghi nhớ định nghĩa và cách tính giới hạn của hàm số tại một điểm (ví dụ: \(\lim_{x\to2}f(x),f(x)=x^2-1\)). Việc nắm được kiến thức về giới hạn của hàm số tại một điểm là một tiền đề quan trọng, giúp người học tiếp cận kiến thức về hàm số liên tục một cách dễ dàng hơn.

Ví dụ, ta có hàm số \(f\left(x\right)=x^2-1\) xác định trên R. Ta có giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến tới 2 như sau:

\[\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}(x^2-1)=2^2-1=3\]

Tuy nhiên, để ý rằng f(2) = 3, vậy nên ta có: \(\lim_{x\to2}f(x)=f(2)\). Khi đó ta nói hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2.

Hàm số liên tục tại một điểm là gì?

Điều kiện để hàm số f(x) liên tục tại điểm \(x_0\) là:

• Hàm số f(x) xác định tại điểm \(x_0\).

• Tồn tại giới hạn hữu hạn của f(x) khi \(x\rightarrow x_0\).

• Giới hạn của f(x) khi \(x\rightarrow x_0\) bằng giá trị của f(x) tại điểm \(x_0\).

Nếu một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn (hay hàm số f(x) không liên tục tại điểm \(x_0\)), ta nói hàm số f(x) gián đoạn tại điểm \(x_0\)[1]. Ví dụ, với hàm số \(f\left(x\right)=\frac{1}{x}\), ta nói f(x) bị gián đoạn tại điểm x = 0 do f(x) không xác định tại điểm x = 0.

Ngoài ra, người học có thể xác định xem hàm số f(x) có liên tục tại điểm \(x_0\) hay không bằng cách sử dụng điều kiện cần và đủ sau:

\[\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)\]

Ví dụ, đối với hàm số sau:

\[f(x)=\begin{cases}3x^2-6x+2 & \text{nếu }x<2\\ 2x+1 & \text{nếu }x\ge2\end{cases}\]

Nhận thấy:

• \(\lim_{x\to2^{-}}f(x)=\lim_{x\to2^{-}}(3x^2-6x+2)=2\)

• \(\lim_{x\to2^{+}}f(x)=\lim_{x\to2^{+}}(2x+1)=5\ne\lim_{x\to2^{-}}f(x)\)

Do đó, hàm số f(x) gián đoạn tại x = 2.

Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn và trên R

Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b).

Đối với một đoạn giá trị, ta nói hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] nếu hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và \(\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\) và \(\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)\).

Như vậy, bản chất của tính liên tục trên một khoảng/đoạn của hàm số là tính liên tục trên tất cả các điểm nằm trên khoảng/đoạn đó. Ví dụ, ta có hàm số \(f\left(x\right)=x^2-1\) xác định trên R. Nhận thấy với mọi \(x_0 \in \mathbb{R}\) thì:

\[\lim_{x \to x_0} f(x) = x_0^2 - 1 = f(x_0)\]

Do đó ta nói f(x) liên tục trên R. Nếu vẽ trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có được đồ thị hàm số f(x) có dạng là một đường liền trên R.

Đồ thị hàm số f(x) [2]

Như vậy có thể nói rằng, nếu hàm số f(x) liên tục trên một khoảng thì đồ thị hàm số f(x) trên mặt phẳng tọa độ Oxy sẽ là một đường liền trên khoảng đó. Do đó người học cần chú ý vẽ đồ thị các hàm số liên tục một cách chính xác.

Hàm số liên tục trên R khi nào?

Một hàm số f(x) được gọi là liên tục trên R nếu hàm số xác định và liên tục tại mọi điểm \(x_0\in\mathbb{R}\). Để chứng minh hàm số liên tục trên R, người học có thể dựa vào tính liên tục của các hàm sơ cấp trên miền xác định hoặc kiểm tra điều kiện liên tục tại các điểm ghép đối với hàm số cho bởi nhiều công thức.

Tính chất và các định lí về hàm số liên tục

Tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản

Một số hàm sơ cấp cơ bản ta thường gặp trong các bài toán là đa thức (là tổng của các đơn thức bậc nguyên không âm của x, ví dụ: \(f\left(x\right)=3x^2-6x+2\)), hàm lượng giác, hàm phân thức hữu tỉ (thương của phép chia hai đa thức), hàm số mũ, hàm số logarit,...

Hàm đa thức liên tục trên R; hàm phân thức hữu tỉ và các hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng thuộc tập xác định của chúng. Hàm số mũ liên tục trên R, còn hàm số logarit liên tục trên khoảng xác định.

Ví dụ, ta có hàm phân thức \(f(x) = \frac{2x + 1}{x - 2}\). Hàm số này xác định trên \(D=(-\infty;2)\cup(2;+\infty)\), do đó ta có thể khẳng định hàm số này liên tục trên các khoảng \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).

Trong chương trình phổ thông, khi xét tính liên tục của hàm phân thức, người học nên chỉ rõ từng khoảng liên tục. Với hàm số trên, các khoảng liên tục là \((-\infty;2)\) và \((2;+\infty)\).

Phép toán trên các hàm số liên tục

Cho hai hàm số f(x) và g(x) cùng liên tục tại một điểm \(x_0\). Khi đó ta có:

• Hàm số tổng, hiệu, tích của hai hàm số f(x) và g(x) cũng liên tục tại điểm \(x_0\).

• Hàm số \(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\) liên tục tại điểm \(x_0\), với điều kiện \(g\left(x_0\right)\ne0\).

Ví dụ: Hai hàm số f(x) = x + 1 và g(x) = lnx đều liên tục tại x = 1. Khi đó:

• Hàm số f(x) + g(x), f(x) - g(x), và f(x).g(x) liên tục tại x = 1.

• Hàm số \(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\) không liên tục tại x = 1 vì g(1) = 0 làm thương không xác định tại điểm này.

Định lí về sự tồn tại nghiệm của phương trình

Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn \([a;b]\) và \(f(a)f(b)<0\), thì tồn tại ít nhất một điểm \(c\in(a;b)\) sao cho \(f(c)=0\). Định lí này thường được dùng để chứng minh một phương trình có ít nhất một nghiệm trên một khoảng.

Một số dạng bài tập liên quan đến hàm số liên tục

Dạng 1: Xét và chứng minh hàm số liên tục tại một điểm hoặc trên R

Dạng toán này yêu cầu người học xét hoặc chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng hoặc trên R. Người học cần lưu ý áp dụng chính xác điều kiện cần và đủ của một hàm số liên tục, và tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản để giải bài toán.

Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 3:

\[f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3} & \text{khi } x \neq 3 \\ 2 & \text{khi } x = 3 \end{cases}\]

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Đề bài cho hàm số f(x), được xác định bởi hai biểu thức riêng biệt khi x = 3 và khi \(x\ne3\). Do đó, với trường hợp \(x\ne3\), ta có thể tính giới hạn của f(x) khi x → 3, kết hợp với giá trị của f(x) tại x = 3 để đối chiếu và đưa ra kết luận.

Giải:

Khi \(x\ne3\) thì hàm số f(x) có dạng: \(f(x) = \frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3} = \frac{(x - 2)(x - 3)}{x - 3} = x - 2\). Do đó ta có:

\[\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} (x - 2) = 3 - 2 = 1\]

Mà khi x = 3 thì f(x) = 2, do đó \(\lim_{x \to 3} f(x) \neq f(3)\).

Vậy hàm số f(x) gián đoạn tại điểm x = 3.

Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số g(x) tại x = 2:

\[g(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{2x + 5} - 3}{x - 2} & \text{khi } x > 2 \\ \frac{1}{3} & \text{khi } x \le 2 \end{cases}\]

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Đề bài cho hàm số g(x), được xác định bởi hai biểu thức riêng lẻ khi x > 2 và \(x\le2\). Đối với bài toán này, người học có thể tính giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của g(x) khi x → 2, kết hợp với giá trị của g(x) tại x = 2 để đưa ra kết luận cho bài toán.

Giải: Khi x > 2 thì hàm số có dạng \[g(x) = \frac{\sqrt{2x + 5} - 3}{x - 2} = \frac{2(x - 2)}{(\sqrt{2x + 5} + 3)(x - 2)} = \frac{2}{\sqrt{2x + 5} + 3}\]

Do đó ta có:

\[\lim_{x\to2^{+}}g(x)=\lim_{x\to2^{+}}\frac{2}{\sqrt{2x + 5} + 3}=\frac{2}{\sqrt{2\cdot2+5}+3}=\frac{1}{3}\]

Khi \(x\le2\) thì \(g\left(x\right)=\frac13\), do đó \(\lim_{x \to 2^-} g(x) = g(2) = \frac{1}{3}\).

Suy ra \(\lim_{x \to 2^-} g(x) = \lim_{x \to 2^+} g(x) = g(2) = \frac{1}{3}\).

Vậy hàm số g(x) liên tục tại điểm x = 2.

Dạng 2: Tìm tham số để hàm số liên tục

Dạng toán này cho trước một hàm số f(x) chứa tham số (thường là hàm phân nhánh) và yêu cầu tìm tham số để hàm số liên tục (thường là tại một điểm \(x_0\) nào đó). Đối với dạng toán này, người học cần tính giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của hàm số khi x → \(x_0\), kết hợp với giá trị của f(\(x_0\)) để tìm giá trị của tham số.

Ví dụ 1: Tìm giá trị của tham số m để hàm số f(x) liên tục trên R:

\[f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2} & \text{khi } x > 2 \\ mx + 3 & \text{khi } x \le 2 \end{cases}\]

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Đề bài cho hàm số f(x), được xác định bởi hai biểu thức riêng biệt khi x > 2 và \(x\le2\). Có thể thấy hai biểu thức này đều là các hàm sơ cấp cơ bản nên hai biểu thức này liên tục trên tập xác định của chúng, do đó người học chỉ cần xét tính liên tục của f(x) tại điểm x = 2.

Giải:

Khi x > 2, ta có \(f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x - 1)}{x - 2} = x - 1\). Do đó:

\[\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x - 1) = 1\]

Khi \(x\le2\), ta có f(x) = mx + 3. Do đó:

\[\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (mx + 3) = 2m + 3 = f(2)\]

Để hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2:

\[\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = f(2) \Rightarrow 1 = 2m + 3 \Rightarrow m = -1\]

Do đó hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2 khi m = -1, vậy ta có thể khẳng định hàm số f(x) liên tục trên R khi m = -1.

Ví dụ 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số f(x) liên tục trên R:

\[f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1} & \text{khi } x > 1 \\ m^2x - 3m & \text{khi } x \le 1 \end{cases}\]

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Tương tự như ví dụ 1, hàm số f(x) cũng được xác định bởi hai biểu thức riêng biệt, liên tục trên tập xác định của chúng. Do đó người học chỉ cần xác định tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x = 1.

Giải:

Khi x > 1 ta có:

\[\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^2 + 2x - 3}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} (x + 3) = 4\]

Khi \(x\le1\) ta có:

\[\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (m^2x - 3m) = m^2 - 3m = f(1)\]

Do đó để hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 1 thì:

\[\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) \Rightarrow 4 = m^2 - 3m \Rightarrow m \in \{-1; 4\}\]

Từ đây ta có hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 1 khi \(m\in\left\lbrace-1;4\right\rbrace\), vậy ta có thể khẳng định hàm số f(x) liên tục trên R khi \(m\in\left\lbrace-1;4\right\rbrace\).

Bài tập hàm số liên tục lớp 11

Bài 1: Hàm số nào sau đây liên tục trên R?

A. \(y = \frac{2x - 1}{x + 1}\)

B. y = tan x

C. \(y=\sqrt{x-1}\)

D. \(y = x^3 - 3x^2 + 2\)

Hướng dẫn giải:

Cả 4 hàm số trên đều là các hàm số sơ cấp cơ bản, do đó chúng liên tục trên tập xác định của mình. Vậy ta cần xét tập xác định của từng hàm số:

A. Hàm số \(y = \frac{2x - 1}{x + 1}\) xác định trên R \ {-1}.

B. Hàm số y = tan x xác định trên \(\mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\).

C. Hàm số \(y=\sqrt{x-1}\) xác định trên \([1;+\infty)\).

D. Hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + 2\) xác định trên R.

Do đó chỉ có hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + 2\) liên tục trên R.

Đáp án: D

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau:

\(f(x) = \frac{\sqrt{x + 3}}{x^2 - 4x - 5}\)

Hướng dẫn giải:

Hàm số f(x) là thương của một hàm căn thức và một hàm đa thức, do đó f(x) liên tục trên tập xác định của f(x).

Hàm số f(x) xác định khi hai điều này đồng thời xảy ra:

• \(x+3\ge0\Rightarrow x\ge-3\)

• \(x^2-4x-5\neq0\Rightarrow x\notin\{-1;5\}\)

Do đó tập xác định của hàm số là D = \([-3; -1) \cup (-1; 5) \cup (5; +\infty)\).

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng/nửa đoạn [-3;-1), (-1;5) và \(\left(5;+\infty\right)\).

Bài 3: Cho hàm số sau:

\[f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 25}{x - 5} & \text{khi } x \neq 5 \\ 2a + 4 & \text{khi } x = 5 \end{cases}\]

Xác định giá trị của a để f(x) liên tục tại điểm x = 5.

Hướng dẫn giải:

Khi \(x\ne5\) ta có:

\[\lim_{x\to5}f(x)=\lim_{x\to5}\frac{x^2 - 25}{x - 5}=\lim_{x\to5}(x+5)=10\]

Khi x = 5 ta có f(5) = 2a + 4.

Để hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 5 thì:

\[\lim_{x\to5}f(x)=f(5)\Rightarrow10=2a+4\Rightarrow a=3\]

Vậy a = 3 để hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 5.

Bài 4: Cho hàm số sau:

\[f(x) = \begin{cases} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} & \text{khi } x > 1 \\ ax + b & \text{khi } x \le 1 \end{cases}\]

Biết rằng đồ thị hàm số f(x) đi qua điểm M(-1; 3). Xác định a, b để hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 1.

Hướng dẫn giải:

Phân tích bài toán: Hàm số đã cho được xác định bởi hai biểu thức riêng lẻ khi x > 1 và \(x\le1\). Để xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x = 1 thì ta cần tính giới hạn bên trái và giới hạn bên phải của f(x) khi x → 1, kết hợp với các dữ kiện đề bài cho thêm để tìm a, b.

Giải: Do đồ thị hàm số f(x) đi qua M(-1; 3) nên f(-1) = 3, khi đó:

f(-1) = -a + b = 3 (*)

Khi x > 1 ta có:

\[\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}\]

\[\lim_{x \to 1^+} \frac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)}\]

\[\lim_{x \to 1^+} \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2} = \frac{1}{4}\]

Khi \(x\le1\) ta có:

\[\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (ax + b) = a + b = f(1)\]

Để hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 1 thì:

\[\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) \Rightarrow a + b = \frac{1}{4}\]

(**)

Từ (*) và (**) suy ra \(a=\frac{-11}{8},b=\frac{13}{8}\).

Vậy hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 1 khi \(a=\frac{-11}{8},b=\frac{13}{8}\).

Bài 5: Xác định giá trị của tham số m để hàm số f(x) liên tục trên R:

\[f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 3}{|x| + 1} & \text{khi } x \le -1 \\ m^2 + mx & \text{khi } -1 < x < 2 \\ \frac{4x}{x - 1} & \text{khi } x \ge 2 \end{cases}\]

Hướng dẫn giải:

Phân tích đề bài: Bài toán cho hàm số f(x) được xác định bởi ba biểu thức riêng biệt trên \((-\infty;-1]\), \((-1;2)\) và \([2;+\infty)\). Có thể nhận thấy ba biểu thức này đều liên tục trên tập xác định của chúng, do đó ta chỉ cần xét tính liên tục của hàm số tại từng điểm x = -1 và x = 2, sau đó đối chiếu kết quả của m vừa tìm được và kết luận.

Giải:

Khi \(x\le-1\) ta có:

\[\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} \frac{x^2 + 3}{|x| + 1} = 2 = f(-1)\]

Khi \(x\in\left(-1;2\right)\) ta có:

\[\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (m^2 + mx) = m^2 - m\]

\[\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (m^2 + mx) = m^2 + 2m\]

Để hàm số f(x) liên tục tại x = -1 thì:

\[\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x) = f(-1) \Rightarrow m^2 - m = 2 \Rightarrow m \in \{-1; 2\}(*)\]

Lại có khi \(x\ge2\) thì:

\[\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{4x}{x - 1} = 8 = f(2)\]

Để hàm số f(x) liên tục tại x = 2 thì:

\[\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) \Rightarrow m^2 + 2m = 8 \Rightarrow m \in \{-4; 2\} (**)\]

Từ (*) và (**) ta nhận thấy chỉ khi m = 2 thì hàm số f(x) liên tục tại cả hai điểm x = -1 và x = 2.

Vậy ta có thể khẳng định hàm số f(x) liên tục trên R khi m = 2.

Như vậy, bài viết đã cung cấp đầy đủ kiến thức trọng tâm về hàm số liên tục và cách giải một số dạng bài toán liên quan. Việc nắm rõ điều kiện và tính chất của hàm số liên tục sẽ giúp người học củng cố nền tảng kiến thức trong chương trình Toán 11, đồng thời hỗ trợ quá trình học các nội dung nâng cao hơn về hàm số trong chương trình Toán THPT. Vì vậy, người học nên thường xuyên luyện tập các dạng bài để rèn luyện kĩ năng tính toán, xét tính liên tục và nhận diện hàm số liên tục chính xác hơn.