Hệ trục tọa độ trong không gian | Công thức, bài tập có đáp án

Hệ trục tọa độ trong không gian là công cụ nền tảng của Toán 12, giúp chuyển bài toán hình học thành các phép tính với tọa độ điểm và vectơ. Bài viết hệ thống lý thuyết về hệ tọa độ Oxyz, các công thức trọng tâm và phương pháp giải bài tập thường gặp. Qua đó, học sinh có thể xác định tọa độ, tìm hình chiếu, tính khoảng cách và góc, đồng thời nhận diện những lỗi sai cần tránh.

Hệ trục tọa độ trong không gian là gì?

Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz gồm ba trục số Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O.

• Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes góc vuông Oxyz, gọi tắt là hệ tọa độ Oxyz.

• Gốc O được gọi là gốc tọa độ.

• Các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là trục hoành, trục tung và trục cao.

• Trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt lấy các vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\) sao cho độ dài của mỗi vectơ bằng 1. Các vectơ này gọi là vectơ đơn vị. Mỗi vectơ cùng hướng với chiều dương của trục tương ứng; tọa độ lần lượt là (1;0;0), (0;1;0), (0;0;1).

• Các mặt phẳng tọa độ: Các mặt phẳng chứa từng cặp trục tọa độ được gọi là các mặt phẳng tọa độ, gồm mặt phẳng (Oxy), mặt phẳng (Oyz) và mặt phẳng (Ozx). Các mặt phẳng này đôi một vuông góc với nhau.

• Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz. [1]

So sánh ngắn gọn với hệ tọa độ trong mặt phẳng Oxy đã học ở lớp 10, hệ trục tọa độ Oxyz được bổ sung thêm trục Oz vuông góc với mặt phẳng (Oxy), nâng từ hai chiều lên ba chiều để khảo sát các hình khối không gian một cách chính xác.

Tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong không gian Oxyz

Tọa độ của điểm trong không gian Oxyz

Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Bộ ba số \((x;y,z)\) duy nhất sao cho \[\begin{aligned}&\overrightarrow{OM}\\&=x\cdot\overrightarrow{i}+y\cdot\overrightarrow{j}+z\cdot\overrightarrow{k}\end{aligned}\]

được gọi là tọa độ của điểm M trên hệ tọa độ Oxyz, ký hiệu là \(M(x;y;z)\). Trong đó, x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của điểm M [1].

Trường hợp đặc biệt: Gốc tọa độ O có tọa độ là \(\left(0;0;0\right)\).

Hình chiếu của điểm lên các trục và mặt phẳng tọa độ

Hình chiếu vuông góc của M(x;y;z) lên Ox, Oy, Oz lần lượt có tọa độ (x;0;0), (0;y;0), (0;0;z). Hình chiếu của M lên (Oxy), (Oyz), (Oxz) lần lượt có tọa độ (x;y;0), (0;y;z), (x;0;z).

Từ hình chiếu của 1 điểm trên trục và mặt phẳng tọa độ, có thể suy ra được:

• M(x;y;z) thuộc Ox khi y = z = 0; thuộc Oy khi x = z = 0; thuộc Oz khi x = y = 0.

• M(x;y;z) thuộc (Oxy) khi z = 0; thuộc (Oyz) khi x = 0; thuộc (Oxz) khi y = 0. Các tọa độ còn lại có thể nhận giá trị thực bất kì.

Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi ba tọa độ tương ứng bằng nhau. Các công thức trung điểm, trọng tâm, phép toán vectơ và tích vô hướng dưới đây mở rộng sang Bài 8: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong Toán 12 Kết nối tri thức.

Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Cho 3 điểm \(A(x_{A};y_{A};z_{A})\), \(B(x_{B};y_{B};z_{B})\) và \(C(x_{C};y_{C};z_{C})\). Khi đó:

• Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là \(\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2};\frac{z_{A}+z_{B}}{2}\right)\). Tương tự, có thể chỉ ra được tọa độ của trung điểm của đoạn BC và AC.

• Trọng tâm tam giác ABC có tọa độ là \[\left(\frac{x_{A}+x_{B}+x_{C}}{3};\frac{y_{A}+y_{B}+y_{C}}{3};\frac{z_{A}+z_{B}+z_{C}}{3}\right)\]

Tọa độ của vectơ trong không gian Oxyz

Trong không gian Oxyz, cho vectơ u. Khi phân tích vectơ u theo ba vectơ đơn vị \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\) dưới dạng \(\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\), bộ ba số (x;y;z) được gọi là tọa độ của vectơ u, ký hiệu là \(\overrightarrow{u}=(x;y;z)\). Đặc biệt, vectơ \((0;0;0)\) được quy ước là “vectơ không”, kí hiệu \(\overrightarrow{0}\). [1]

Một số tính chất của phép toán vectơ theo tọa độ

Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(x_1;y_1;z_1)\) và \(\overrightarrow{b}=(x_2;y_2;z_2)\) cùng số thực \(k\in R\) bất kì, luôn có các phép toán sau: [1]

• Tổng của 2 vectơ là 1 vectơ mới với tọa độ là tổng tọa độ của 2 vectơ ban đầu: \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(x_1+x_2;y_1+y_2;z_1+z_2\right)\)

• Hiệu của 2 vectơ là 1 vectơ mới với tọa độ là hiệu tọa độ của 2 vectơ ban đầu: \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\left(x_1-x_2;y_1-y_2;z_1-z_2\right)\)

• Tích của 1 số thực với 1 vectơ là 1 vectơ mới với tọa độ gấp k lần tọa độ ban đầu: \(k\overrightarrow{a}=(kx_1;ky_1;kz_1)\)

• Tích vô hướng của 2 vectơ là 1 giá trị số thực được tính bởi công thức: \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2+z_1\cdot z_2\)

• Góc của 2 vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) khác \(\overrightarrow{0}\) được tính trung gian qua giá trị cos của nó, công thức: \[\begin{aligned}&\cos\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)\\&=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b}\right|}\\&=\frac{x_1\cdot x_2+y_1\cdot y_2+z_1\cdot z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}\end{aligned}\]

• Độ dài của một vectơ \(\overrightarrow{a}\) là độ dài của một đoạn thẳng có hướng biểu diễn vectơ đó, kí hiệu \(\left|\overrightarrow{a}\right|\). Công thức tính: \(\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\)

Liên hệ giữa vectơ và điểm trong hệ tọa độ Oxyz

Cho 2 điểm \(M_1(x_1;y_1;z_1)\) và \(M_2(x_2;y_2;z_2)\) bất kì trong hệ trục tọa độ. Khi đó luôn có:

• Vectơ \(\overrightarrow{M_1M_2}\) nối 2 điểm \(M_1\) và \(M_2\) có tọa độ được tính bằng cách lấy tọa độ điểm \(M_2\) trừ đi tọa độ điểm \(M_1\) theo công thức sau:\(\overrightarrow{M_1M_2}=\left(x_2-x_1;y_2-y_1;z_2-z_1\right)\). (Phương pháp ghi nhớ: lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu của vectơ).

• Tọa độ của điểm \(M_1\) và \(M_2\) chính là tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{OM_1}\) và \(\overrightarrow{OM_2}\) bởi gốc tọa độ O có tọa độ là \(\left(0;0;0\right)\).

• Các vectơ được tạo ra bởi 2 điểm trên trục tọa độ tuân theo các quy tắc chung của vectơ cũng như các phép toán của vectơ trong hệ trục tọa độ ở trên.

Nhận xét: Có thể thấy rằng các tính chất trên đây của điểm và vectơ trong hệ trục tọa độ Oxyz hoàn toàn tương tự với các tính chất mà học sinh đã làm quen ở mặt phẳng 2 chiều với trục tọa độ Oxy, chỉ khác biệt ở việc thêm vào các công thức, các phép tính chỉ số cao độ z.

Bảng công thức hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz

Dưới đây là bảng tổng hợp một số công thức toán học trong hệ trục tọa độ Oxyz mà học sinh cần ghi nhớ [1]

Các dạng bài tập hệ trục tọa độ trong không gian thường gặp

Tìm tọa độ vectơ từ biểu thức tổ hợp

Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất của phép toán vectơ như tổng, hiệu vectơ và tích của vectơ với một số thực để biến đổi và tìm tọa độ của vectơ cần tính thông qua hệ trục tọa độ trong không gian [1].

Ví dụ minh họa 1: Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(1;-2;3)\) và \(\overrightarrow{b}=(2;1;-1).\) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\).

Hướng dẫn giải chi tiết:

• Bước 1: Tính vectơ \(2\overrightarrow{a}=2\cdot(1;-2;3)=(2;-4;6)\); Tính vectơ \(3\overrightarrow{b}=3\cdot(2;1;-1)=(6;3;-3)\).

• Bước 2: Áp dụng công thức hiệu hai vectơ: \[\begin{aligned}&\overrightarrow{u}\\&=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}\\&=\left(2-6;-4-3;6-(-3)\right)\\&=(-4;-7;9)\end{aligned}\]

• Bước 3: Kết luận: \(\overrightarrow{u}=(-4;-7;9)\).

Ví dụ minh họa 2: Cho điểm \(A(1;3;-1)\), điểm \(B(-2;-3;1)\) và gốc tọa độ O. Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{u}=3\overrightarrow{AB}+5\overrightarrow{BO}\).

Hướng dẫn giải chi tiết:

• Bước 1: Tính vectơ \(\overrightarrow{AB}=\left(-2-1;-3-3;1-\left(-1\right)\right)=\left(-3;-6;2\right)\); Tính vectơ \[\begin{aligned}&\overrightarrow{BO}\\&=\left(0-\left(-2\right);0-\left(-3\right);0-1\right)\\&=\left(2;3;-1\right)\end{aligned}\]

• Bước 2: Tính vectơ \(3\overrightarrow{AB}=3\cdot\left(-3;-6;2\right)=\left(-9;-18;6\right)\); Tính vectơ \(5\overrightarrow{BO}=5\cdot\left(2;3;-1\right)=\left(10;15;-5\right)\).

• Bước 3: Áp dụng công thức tổng hai vectơ: \[\begin{aligned}&\overrightarrow{u}\\&=3\overrightarrow{AB}+5\overrightarrow{BO}\\&=\left(-9+10;-18+15;6+\left(-5\right)\right)\\&=\left(1;-3;1\right)\end{aligned}\]

• Bước 4: Kết luận: \(\overrightarrow{u}=\left(1;-3;1\right)\).

Tìm tọa độ điểm bằng tính chất hình học

Phương pháp giải: Áp dụng công thức tọa độ trung điểm, trọng tâm tam giác hoặc thiết lập phương trình tọa độ dựa vào tính chất hình học của hình bình hành, hình hộp.

Ví dụ minh họa: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;-1;1), B(-1;4;2) và trọng tâm G(1;2;2). Tìm tọa độ đỉnh C.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Gọi tọa độ đỉnh C là \(C(x_{C};y_{C};z_{C})\).

Theo công thức trọng tâm:

\[\begin{aligned}x_C&=3x_G-x_A-x_B,\\y_C&=3y_G-y_A-y_B,\\z_C&=3z_G-z_A-z_B.\end{aligned}\]

• \[x_C=3\cdot1-2-(-1)=2.\]

• \[y_C=3\cdot2-(-1)-4=3.\]

• \[z_C=3\cdot2-1-2=3.\]

Vậy C(2;3;3). Kiểm tra: trung bình cộng từng tọa độ của A, B, C lần lượt bằng 1, 2, 2, đúng với G.

Tính khoảng cách và góc giữa hai vectơ

Phương pháp giải: Áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm và công thức tính tích vô hướng để tính góc.

Ví dụ minh họa: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A(1;2;2)\) và \(B(2;-1;3)\).

a. Viết tọa độ vectơ \(\overrightarrow{AB}\). Từ đó tính độ dài đoạn thẳng AB.

b. Tìm tọa độ trung điểm của AB.

c. Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OB}\).

Hướng dẫn giải chi tiết:

a. Tọa độ vectơ \(\overrightarrow{AB}=(2-1;-1-2;3-2)=(1;-3;1)\).

Độ dài đoạn thẳng \(AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+3^2+1^2}=\sqrt{11}\).

b. Trung điểm của đoạn thẳng AB sẽ có tọa độ là \[\begin{aligned}&\left(\frac{1+2}{2},\frac{2+\left(-1\right)}{2},\frac{2+3}{2}\right)\\&=\left(\frac32,\frac12,\frac52\right)\end{aligned}\]

c. \(\overrightarrow{OA}=\left(1;2;2\right)\), \(\overrightarrow{OB}=(2;-1;3)\).

Theo công thức tích vô hướng:

\[\begin{aligned}\cos\bigl(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\bigr)&=\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|\,|\overrightarrow{OB}|}\\&=\frac{2-2+6}{3\sqrt{14}}\\&=\frac{\sqrt{14}}7.\end{aligned}\]

Do đó góc giữa hai vectơ là \(\arccos\!\left(\frac{\sqrt{14}}7\right)\approx57{,}69^\circ\) (tương đương khoảng 1,0069 rad).

Chứng minh ba điểm thẳng hàng, hai vectơ cùng phương

Phương pháp giải: Với ba điểm phân biệt A, B, C, chứng minh chúng thẳng hàng bằng cách tìm số thực k sao cho \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\). Khi xét hai vectơ bất kì, dùng điều kiện cùng phương trong bảng công thức; tránh lập tỉ số khi có tọa độ mẫu bằng 0.

Ví dụ minh họa: Chứng minh rằng ba điểm \(A(1;1;1)\), \(B(2;3;2)\) và \(C(3;5;3)\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow{AB}=(2-1;3-1;2-1)=(1;2;1)\).

Tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow{AC}=(3-1;5-1;3-1)=(2;4;2)\).

Nhận thấy \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}\) và 2 vectơ này khác \(\overrightarrow{0}\), suy ra hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) cùng phương.

Do 2 vectơ cùng phương trên có chung điểm A, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Lỗi thường gặp khi giải bài tập tọa độ Oxyz

Trong các dạng bài tập về hệ trục tọa độ trong không gian, học sinh thường mắc phải các lỗi sau:Đối chiếu công thức và điều kiện áp dụng ở Bài 7–8 KNTT. [1]

• Nhầm lẫn thứ tự tọa độ: Viết nhầm thứ tự hoành độ, tung độ, cao độ (x;y;z) khi phân tích vectơ hoặc xác định tọa độ điểm.

• Sai dấu khi tính tọa độ vectơ: Khi tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow{AB}\), học sinh thường lấy điểm đầu trừ điểm cuối thay vì lấy điểm cuối trừ điểm đầu \(\left(x_{A}-x_{B};y_{A}-y_{B};z_{A}-z_{B}\right)\) thay vì \(\left(x_{B}-x_{A};y_{B}-y_{A};z_{B}-z_{A}\right)\).

• Nhầm điều kiện điểm thuộc trục hoặc mặt phẳng: Nhầm lẫn giữa điều kiện điểm thuộc trục (ví dụ thuộc trục Ox thì \(y=0,z=0\)) với điều kiện điểm thuộc mặt phẳng (thuộc (Oxy) thì \(z=0\)).

• Quên kiểm tra điều kiện: Công thức tính góc yêu cầu cả hai vectơ khác vectơ không. Khi xét cùng phương bằng tỉ số tọa độ, phải kiểm tra các mẫu số khác 0; nếu không, dùng biểu thức vectơ này bằng k lần vectơ kia.

• Áp dụng sai công thức tích vô hướng: Tính sai tổng tích các thành phần tương ứng hoặc nhầm lẫn công thức độ dài mẫu số khi tính góc.

Việc lưu ý các lỗi sai và nguyên nhân dẫn đến lỗi sai thường gặp sẽ giúp cho học sinh làm bài cẩn thận, chính xác hơn, thuận tiện hơn trong việc kiểm tra, rà soát lại lỗi sai trong lời giải khi không ra được đáp án

Bài tập hệ trục tọa độ trong không gian có đáp án

Các câu hỏi dưới đây giúp luyện tọa độ điểm, hình chiếu và các phép toán vectơ đã trình bày ở Bài 7–8 KNTT. [1]

Phần 1: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1 (Nhận biết): Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M(2;-3;5)\). Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là:

A. \((2;-3;0)\). B. \((0;-3;5)\). C. \(\left(2;0;5\right)\). D. \((2;-3;-5)\).

Đáp án: A. Hình chiếu của điểm \(M(x;y;z)\) bất kì lên mặt phẳng (Oxy) giữ nguyên hoành độ và tung độ, cao độ bằng 0 → Hình chiếu của \(M(2;-3;5)\) là \((2;-3;0)\).

Câu 2 (Thông hiểu): Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(1;2;-2)\) và \(\overrightarrow{b}=(2;-2;1).\) Tích vô hướng \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) bằng:

A. 4. B. 0. C. -4. D. 2.

Đáp án: C. \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\cdot2+2\cdot(-2)+(-2)\cdot1=2-4-2=-4\).

Phần 2: Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm \(A(1;2;3)\) và điểm\(B(7;4;-5)\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) là \((6;2;-2)\).

b) Độ dài đoạn thẳng AB bằng \(2\sqrt{26}\).

c) Tam giác OAB (với O là gốc trục tọa độ) là tam giác vuông.

Đáp án:

a) Sai. \(\overrightarrow{AB}=\left(6;2;-8\right)\).

b) Đúng. \(AB=\sqrt{6^2+2^2+8^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}\).

c) Đúng. \[\begin{aligned}&\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\\&=1\cdot7+2\cdot4+3\cdot\left(-5\right)\\&=7+8+\left(-15\right)\\&=0\end{aligned}\] nên \(\overrightarrow{OA}\) vuông góc với \(\overrightarrow{OB}\). Vậy tam giác OAB là tam giác vuông tại O.

Phần 3: Câu trả lời ngắn

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A(1;0;0)\), \(B(0;2;0)\) và \(C(0;0;3)\). Tính độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh A của tam giác ABC.

Đáp án: \(\frac{\sqrt{17}}{2}\).

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó \(M\left(0;1;\frac32\right)\). Độ dài trung tuyến là:

\[\begin{aligned}AM&=\sqrt{(0-1)^2+(1-0)^2+\left(\frac32\right)^2}\\&=\sqrt{\frac{17}{4}}=\frac{\sqrt{17}}2.\end{aligned}\]

Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;2;3), B(-1;2;1) và C(x;x;x). Gọi G là trọng tâm tam giác. Tìm x dương để \(\overrightarrow{AG}\perp\overrightarrow{BG}\).

Đáp án: \(x=\frac{4 + \sqrt{46}}{3}\)
Tọa độ trọng tâm G là:\[\begin{aligned}&\left(\frac{1+\left(-1\right)+x}{3};\frac{2+2+x}{3};\frac{3+1+x}{3}\right)\\&=\left(\frac{x}{3};\frac{x+4}{3};\frac{x+4}{3}\right)\end{aligned}\]

Vectơ:\[\begin{aligned}&\overrightarrow{AG}\\&=\left(\frac{x}{3}-1;\frac{x+4}{3}-2;\frac{x+4}{3}-3\right)\\&=\left(\frac{x-3}{3};\frac{x-2}{3};\frac{x-5}{3}\right)\end{aligned}\]

Vectơ: \[\begin{aligned}&\overrightarrow{BG}\\&=\left(\frac{x}{3}-(-1);\frac{x+4}{3}-2;\frac{x+4}{3}-1\right)\\&=\left(\frac{x+3}{3};\frac{x-2}{3};\frac{x+1}{3}\right)\end{aligned}\]

Vì \(\overrightarrow{AG}\perp\overrightarrow{BG}\) nên:

\[\begin{aligned}\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BG}&=0\\\frac{(x-3)(x+3)+(x-2)^2+(x-5)(x+1)}9&=0\\3x^2-8x-10&=0.\end{aligned}\]

Suy ra \(x=\frac{4+\sqrt{46}}3\) hoặc \(x=\frac{4-\sqrt{46}}3\). Chọn \(x=\frac{4+\sqrt{46}}3\) vì x dương.

Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz giúp biểu diễn điểm và vectơ dựa trên ba trục, các mặt phẳng tọa độ và vectơ đơn vị. Bài viết đã hệ thống công thức tọa độ vectơ, khoảng cách, trung điểm và tích vô hướng, kèm ví dụ, phương pháp giải và lỗi thường gặp. Học sinh nên luyện xác định tọa độ, hình chiếu trước khi vận dụng tính khoảng cách và góc, đồng thời củng cố kiến thức liên quan trong chuyên đề Toán 12 tại ZIM Academy.