Hình lăng trụ đứng tam giác | Công thức, thể tích và bài tập lớp 7

Trong chương trình Toán 7, hình lăng trụ đứng tam giác là dạng hình lăng trụ đứng có hai đáy là hai tam giác bằng nhau và các mặt bên là hình chữ nhật. Nội dung trọng tâm gồm đặc điểm của hình lăng trụ, các yếu tố như mặt đáy, mặt bên, cạnh bên, chiều cao, cùng công thức tính diện tích và thể tích hình lăng trụ đứng tam giác để vận dụng vào các bài toán liên quan.

Hình lăng trụ đứng tam giác là gì?

Hình lăng trụ đứng tam giác là hình khối không gian có hai mặt đáy là hai tam giác song song và bằng nhau, các mặt bên là các hình chữ nhật. [1]

Các đặc tính quan trọng của hình lăng trụ đứng tam giác bao gồm:

• Hai mặt đáy: Đều là hình tam giác (có thể là tam giác thường, tam giác vuông, tam giác cân hoặc tam giác đều), nằm trên hai mặt phẳng song song và bằng nhau.

• Các mặt bên: Tất cả các mặt bên đều là những hình chữ nhật nằm vuông góc với hai mặt đáy.

• Các cạnh bên: Các đoạn thẳng nối các đỉnh tương ứng của hai đáy được gọi là các cạnh bên. Các cạnh bên có độ dài bằng nhau và song song với nhau. Độ dài của một cạnh bên chính là chiều cao của hình lăng trụ đứng. [1]

Ví dụ minh họa

Để người học dễ dàng trực quan hóa cấu trúc hình học, hình vẽ mô phỏng lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) được mô tả rõ ràng thông qua các yếu tố chú thích dưới đây:

• Hai mặt đáy: Mặt đáy dưới \(\triangle ABC\) và mặt đáy trên \(\triangle A'B'C'\).

• Các mặt bên: Ba hình chữ nhật bao quanh bao gồm \(ABB'A'\), \(BCC'B'\), và \(ACC'A'\).

• Các đỉnh: Gồm 6 đỉnh là \(A, B, C, A', B', C'\).

• Các cạnh đáy: Ba cạnh đáy dưới (\(AB, BC, CA\)) và ba cạnh đáy trên (\(A'B', B'C', C'A'\)).

• Cạnh bên và chiều cao: Ba đoạn thẳng vuông góc với hai đáy là \(AA', BB', CC'\).

Các yếu tố của hình lăng trụ đứng tam giác

Tên gọi các yếu tố trên hình lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\)

Xét hình lăng trụ đứng tam giác kí hiệu là \(ABC.A'B'C'\):

1. Các đỉnh: Hình lăng trụ đứng tam giác có tổng cộng 6 đỉnh, chia làm hai nhóm tương ứng với hai mặt đáy:

   • Các đỉnh thuộc đáy dưới: \(A, B, C\).

   • Các đỉnh thuộc đáy trên: \(A', B', C'\).

2. Mặt đáy: Có 2 mặt đáy:

   • Mặt đáy \(\triangle ABC\) và mặt đáy \(\triangle A'B'C'\).

   • Hai tam giác này bằng nhau: \(\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'\).

3. Mặt bên: Có 3 mặt bên:

   • Hình chữ nhật \(ABB'A'\).

   • Hình chữ nhật \(BCC'B'\).

   • Hình chữ nhật \(ACC'A'\).

4. Cạnh đáy: Có 6 cạnh đáy có độ dài tương ứng bằng nhau giữa hai đáy:

   • \(AB = A'B'\).

   • \(BC = B'C'\).

   • \(AC = A'C'\).

5. Cạnh bên (Chiều cao): Có 3 cạnh bên:

   • \(AA', BB', CC'\).

   • Các cạnh bên có độ dài bằng nhau: \(AA' = BB' = CC' = h\) với \(h\) là chiều cao của hình lăng trụ đứng tam giác.

Cách vẽ hình lăng trụ đứng tam giác

Khi biểu diễn hình lăng trụ đứng tam giác trên mặt phẳng, có thể thực hiện theo các bước sau:

• Vẽ hai tam giác bằng nhau, tương ứng với hai mặt đáy và đặt lệch nhau để thể hiện không gian.

• Nối các đỉnh tương ứng của hai tam giác để tạo ba cạnh bên; các cạnh bên song song và bằng nhau.

• Dùng nét đứt cho các cạnh bị khuất nếu cần để hình vẽ thể hiện rõ cấu trúc của lăng trụ.

Phân biệt hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác

Nhằm tránh sự nhầm lẫn trong quá trình làm bài tập, học sinh có thể tham khảo bảng so sánh chi tiết giữa hình lăng trụ đứng tam giác và hình lăng trụ đứng tứ giác dưới đây:

Công thức tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng tam giác

Quy tắc: Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng tam giác bằng tích của chu vi đáy với chiều cao của hình lăng trụ. [1]

Công thức:

\[S_{xq} = C_{đáy} \cdot h\]

Trong đó:

• \(S_{xq}\): Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng tam giác (đơn vị diện tích: \(\text{cm}^2, \text{m}^2,\dots\)).

• \(C_{đáy}\): Chu vi của mặt đáy tam giác, \(C_{đáy} = a + b + c\), với \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của tam giác đáy.

• \(h\): Chiều cao của hình lăng trụ đứng hay còn gọi là độ dài cạnh bên.

Mở rộng - Diện tích toàn phần:

Diện tích toàn phần (\(S_{tp}\)) của hình lăng trụ đứng tam giác bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích của hai mặt đáy:

\[S_{tp} = S_{xq} + 2 \cdot S_{đáy}\]

Ví dụ minh họa tính diện tích xung quanh

Bài toán 1: Một hộp đèn gỗ dùng trang trí có dạng hình lăng trụ đứng tam giác. Mặt đáy của hộp đèn là một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là \(6\text{ cm}\) và \(8\text{ cm}\), cạnh huyền bằng \(10\text{ cm}\). Chiều cao của hộp đèn bằng \(20\text{ cm}\). Tính diện tích xung quanh của hộp đèn gỗ đó.

Phân tích bài toán:

Yêu cầu: Tính diện tích xung quanh (\(S_{xq}\)).

Định hướng giải:

• Áp dụng công thức tổng quát: \(S_{xq} = C_{đáy} \cdot h\).

• Xác định chiều cao lăng trụ: Đề bài đã cho \(h = 20\text{ cm}\).

• Xác định chu vi đáy: Đề bài chưa cho trực tiếp chu vi, nhưng đã cung cấp độ dài 3 cạnh của tam giác đáy lần lượt là \(6\text{ cm}\), \(8\text{ cm}\) và \(10\text{ cm}\). Do đó, học sinh cần tính chu vi đáy trước bằng tổng độ dài 3 cạnh này.

• Thực hiện phép nhân giữa chu vi đáy vừa tính với chiều cao để tìm ra kết quả cuối cùng.

Lời giải:

Bước 1: Tính chu vi mặt đáy của hộp đèn.

• Chu vi đáy là:

  \[C_{đáy} = 6 + 8 + 10 = 24\text{ (cm)}\]

Bước 2: Tính diện tích xung quanh của hộp đèn hình lăng trụ đứng tam giác.

• Áp dụng công thức \(S_{xq} = C_{đáy} \cdot h\), với chiều cao \(h = 20\text{ cm}\):

\[S_{xq} = 24 \cdot 20 = 480\text{ (cm}^2\text{)}\]

Kết luận: Diện tích xung quanh của hộp đèn gỗ là \(480\text{ cm}^2\).

Công thức tính thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác

Cách tính thể tích hình lăng trụ đứng tam giác dựa trên diện tích mặt đáy và chiều cao của lăng trụ.

Quy tắc: Thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác bằng tích của diện tích đáy với chiều cao của hình lăng trụ. [1]

Công thức:

\[V = S_{đáy} \cdot h\]

Trong đó:

• \(V\): Thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác (đơn vị thể tích: \(\text{cm}^3, \text{m}^3,\dots\)).

• \(S_{đáy}\): Diện tích của mặt đáy tam giác.

• \(h\): Chiều cao của hình lăng trụ đứng tam giác.

Nhắc lại kiến thức tính diện tích tam giác đáy (\(S_{đáy}\)):

• Nếu đáy là tam giác thường có cạnh đáy \(a\) và chiều cao tương ứng \(h_a\):

  \[S_{đáy} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\]

• Nếu đáy là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông \(a\) và \(b\):

  \[S_{đáy} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

Lưu ý: \(h_a\) là chiều cao của tam giác đáy, còn \(h\) là chiều cao của hình lăng trụ đứng.

Ví dụ minh họa tính thể tích

Bài toán 2: Tính thể tích của một khối bê tông có dạng hình lăng trụ đứng tam giác. Biết mặt đáy của khối bê tông là một tam giác có độ dài một cạnh đáy là \(1,2\text{ m}\) và chiều cao tương ứng ứng với cạnh đáy đó là \(0,8\text{ m}\). Chiều cao của khối bê tông (độ dài cạnh bên lăng trụ) là \(2,5\text{ m}\).

Phân tích bài toán:

Yêu cầu: Tính thể tích của hình lăng trụ đứng tam giác.

Hướng giải:

1. Tính diện tích mặt đáy tam giác dựa vào độ dài cạnh đáy là \(1,2\text{ m}\) và chiều cao tương ứng là \(0,8\text{ m}\): \(S_{đáy} = \frac{1}{2} \cdot 1,2 \cdot 0,8\).

2. Nhân \(S_{đáy}\) vừa tính với chiều cao lăng trụ (\(h = 2,5\text{ m}\)) để tìm thể tích.

Lời giải:

Bước 1: Tính diện tích mặt đáy tam giác của khối bê tông:\[S_{đáy} = \frac{1}{2} \cdot 1,2 \cdot 0,8 = 0,48\text{ (m}^2\text{)}\]

Bước 2: Tính thể tích của khối bê tông hình lăng trụ đứng tam giác.

Áp dụng công thức \(V = S_{đáy} \cdot h\), với \(h = 2,5\text{ m}\):

\[V = 0,48 \cdot 2,5 = 1,2\text{ (m}^3\text{)}\]

Kết luận: Thể tích của khối bê tông là \(1,2\text{ m}^3\).

Ứng dụng tính diện tích, thể tích hình lăng trụ đứng tam giác trong bài toán thực tiễn

Tính diện tích vải bạt cần dùng để dựng lều cắm trại

Đề bài: Một lều trại dã chiến có dạng hình lăng trụ đứng tam giác với độ dài cạnh bên là 12 m và đáy là tam giác có độ dài ba cạnh là 5 m, 5 m và 8 m, đường cao của tam giác đáy có độ dài là 3 m. Nếu tất cả các mặt của lều trại này đều được phủ kín bằng vải bạt (mặt tiếp giáp đất cũng phủ vải bạt) thì cần tất cả bao nhiêu mét vuông vải bạt?

Lời giải:

Lều trại có dạng một hình lăng trụ đứng với: đáy của lăng trụ đứng này là tam giác có độ dài cạnh là 5 m, 5 m, 8 m; chiều cao của lăng trụ đứng này là 12 m. Từ đó, diện tích xung quanh của lều trại hình lăng trụ đứng này là:

\[S_{xq}=(5+5+8)\cdot12=216\text{ (m}^2\text{)}\]

Tam giác đáy của lều trại hình lăng trụ đứng này có độ dài một cạnh là 8 m và chiều cao tương ứng là 3 m. Từ đó, diện tích một tam giác đáy của lều trại hình lăng trụ đứng này là:

\[S_{đáy}=\frac12\cdot8\cdot3=12\text{ (m}^2\text{)}\]

Vậy, số mét vuông vải bạt cần dùng để bao kín toàn bộ lều trại (kể cả phần nền) là:

\[216+2\cdot12=240\text{ (m}^2\text{)}\]

Tính chi phí sơn một khối gỗ trang trí

Đề bài: Một khối gỗ hình lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác vuông với độ dài hai cạnh góc vuông là \(30\text{ cm}\) và \(40\text{ cm}\), cạnh còn lại của tam giác đáy là \(50\text{ cm}\). Chiều cao của khối gỗ là \(80\text{ cm}\). Toàn bộ bề mặt bên ngoài của khối gỗ cần được sơn.

a) Tính diện tích toàn phần cần sơn của khối gỗ.

b) Biết chi phí sơn mỗi mét vuông (\(1\text{ m}^2\)) là \(150.000\) đồng. Hỏi tổng chi phí sơn khối gỗ đó là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Tính diện tích toàn phần của khối gỗ:

• Chu vi đáy của khối gỗ là:

  \[C_{đáy} = 30 + 40 + 50 = 120\text{ (cm)}\]

• Diện tích xung quanh của khối gỗ là:

  \[S_{xq}=C_{đáy}\cdot h=120\cdot80=9600\text{ (cm}^2\text{)}\]

• Diện tích một mặt đáy tam giác vuông là:

  \[S_{đáy} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600\text{ (cm}^2\text{)}\]

• Diện tích toàn phần của khối gỗ là:

  \[S_{tp}=S_{xq}+2\cdot S_{đáy}=9600+2\cdot600=10800\text{ (cm}^2\text{)}\]

b) Tính chi phí sơn:

• Đổi đơn vị diện tích từ \(\text{cm}^2\) sang \(\text{m}^2\):

  \[10.800\text{ cm}^2 = 1,08\text{ m}^2\]

• Tổng chi phí sơn toàn bộ khối gỗ là:

  \[\text{Chi phí}=1,08\cdot150000=162000\text{ (đồng)}\]

Kết luận:

a) Diện tích toàn phần cần sơn là \(10800\text{ cm}^2\) (hay \(1,08\text{ m}^2\)).

b) Chi phí sơn toàn bộ khối gỗ là \(162.000\) đồng.

Bài tập vận dụng về hình lăng trụ đứng tam giác

Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần

Bài tập 1: Cho một hình lăng trụ đứng tam giác có chiều cao \(h = 12\text{ cm}\). Mặt đáy là một tam giác đều có độ dài cạnh bằng \(5\text{ cm}\). Hãy tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng tam giác này.

Lời giải:

• Vì mặt đáy là tam giác đều có độ dài mỗi cạnh là \(5\text{ cm}\), nên chu vi mặt đáy là:

  \[C_{đáy} = 5 + 5 + 5 = 5 \cdot 3 = 15\text{ (cm)}\]

• Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng tam giác là:

  \[S_{xq} = C_{đáy} \cdot h = 15 \cdot 12 = 180\text{ (cm}^2\text{)}\]

Đáp số: \(180\text{ cm}^2\).

Bài tập 2: Một thanh gỗ dạng hình lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng \(6\text{ cm}\), cạnh huyền xấp xỉ \(8,5\text{ cm}\). Chiều cao của thanh gỗ bằng \(50\text{ cm}\). Tính diện tích toàn phần của thanh gỗ.

Lời giải:

• Đáy là tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông bằng nhau (\(6\text{ cm}\)) và cạnh huyền xấp xỉ \(8,5\text{ cm}\).

  Chu vi mặt đáy là:

  \[C_{đáy} = 6 + 6 + 8,5 \approx 20,5\text{ (cm)}\]

• Diện tích xung quanh của thanh gỗ là:

  \[S_{xq}=C_{đáy}\cdot h\approx20,5\cdot50=1025\text{ (cm}^2\text{)}\]

• Diện tích mặt đáy tam giác vuông cân là:

  \[S_{đáy} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18\text{ (cm}^2\text{)}\]

• Diện tích toàn phần của thanh gỗ là:

  \[S_{tp}=S_{xq}+2\cdot S_{đáy}\approx1025+2\cdot18=1061\text{ (cm}^2\text{)}\]

Đáp số: Xấp xỉ \(1061\text{ cm}^2\).

Tính thể tích và bài toán ngược

Bài tập 3: Một hình lăng trụ đứng tam giác có thể tích \(V = 180\text{ cm}^3\). Biết diện tích mặt đáy tam giác bằng \(15\text{ cm}^2\). Hãy tính chiều cao của hình lăng trụ đứng tam giác đó.

Lời giải:

• Từ công thức tính thể tích \(V = S_{đáy} \cdot h\), học sinh suy ra công thức tính chiều cao \(h\):

  \[h = \frac{V}{S_{đáy}}\]

• Thay các giá trị đã biết vào công thức:

  \[h = \frac{180}{15} = 12\text{ (cm)}\]

Đáp số: \(12\text{ cm}\).

Bài tập 4: Một bể nuôi cá cảnh bằng thủy tinh có dạng hình lăng trụ đứng tam giác (như hình vẽ mô phỏng). Mặt đáy bể là tam giác có một cạnh dài \(40\text{ cm}\) và chiều cao ứng với cạnh đó là \(25\text{ cm}\). Chiều cao của bể cá là \(60\text{ cm}\).

a) Tính thể tích tối đa của bể cá.

b) Nước được đổ vào bể sao cho lượng nước chiếm \(\frac{3}{4}\) thể tích bể. Hỏi cần đổ bao nhiêu lít nước? (Biết \(1\text{ dm}^3 = 1\text{ lít}\)).

Lời giải:

• Đổi đơn vị sang decimet (\(\text{dm}\)) để thuận tiện cho tính thể tích theo lít:

  \[a = 40\text{ cm} = 4\text{ dm}\]

  \[h_a = 25\text{ cm} = 2,5\text{ dm}\]

  \[h = 60\text{ cm} = 6\text{ dm}\]

• a)

  Diện tích mặt đáy của bể cá là:

  \[S_{đáy} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2,5 = 5\text{ (dm}^2\text{)}\]

  Thể tích của bể cá là:

  \[V = S_{đáy} \cdot h = 5 \cdot 6 = 30\text{ (dm}^3\text{)}\]

• b) Thể tích nước cần đổ vào bể là:

  \[V_{nước} = \frac{3}{4} \cdot V = \frac{3}{4} \cdot 30 = 22,5\text{ (dm}^3\text{)}\]

  Đổi đơn vị: \(22,5\text{ dm}^3 = 22,5\text{ lít}\).

Đáp số:

a) \(30\text{ dm}^3\).

b) \(22,5\text{ lít}\).

Bài tập kết hợp nhiều hình lăng trụ

Bài tập 5: Một ngôi nhà kho nhỏ có phần mái dạng hình lăng trụ đứng tam giác phía trên và phần thân dạng hình hộp chữ nhật (cũng là lăng trụ đứng tứ giác) phía dưới.

• Phần thân hình hộp chữ nhật có chiều dài \(6\text{ m}\), chiều rộng \(4\text{ m}\) và chiều cao \(3\text{ m}\).

• Phần mái hình lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác cân có cạnh đáy bằng \(4\text{ m}\), chiều cao tương ứng của tam giác đáy là \(1,5\text{ m}\), và chiều dài lăng trụ bằng chiều dài nhà kho (\(6\text{ m}\)).

Hãy tính tổng thể tích không gian bên trong của ngôi nhà kho đó.

Lời giải:

• Bước 1: Tính thể tích phần thân nhà kho là hình hộp chữ nhật:

  \[V_{thân} = 6 \cdot 4 \cdot 3 = 72\text{ (m}^3\text{)}\]

• Bước 2: Tính thể tích phần mái nhà kho là hình lăng trụ đứng tam giác:

  Diện tích mặt đáy tam giác của phần mái là:

  \[S_{đáy\_mái} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1,5 = 3\text{ (m}^2\text{)}\]

  Thể tích phần mái nhà kho là:

  \[V_{mái} = S_{đáy\_mái} \cdot 6 = 3 \cdot 6 = 18\text{ (m}^3\text{)}\]

• Bước 3: Tính tổng thể tích không gian nhà kho:

  \[V_{tổng} = V_{thân} + V_{mái} = 72 + 18 = 90\text{ (m}^3\text{)}\]

Đáp số: \(90\text{ m}^3\).

Hình lăng trụ đứng tam giác có hai đáy là hai tam giác bằng nhau, các mặt bên là hình chữ nhật và chiều cao bằng độ dài cạnh bên. Diện tích xung quanh được tính từ chu vi đáy và chiều cao, còn thể tích hình lăng trụ đứng tam giác được tính bằng tích của diện tích đáy với chiều cao. Người học có thể tham khảo thêm chuyên đề Toán 7 để hệ thống các kiến thức hình học liên quan.