Hình lục giác đều | Tính chất, đường chéo và cách vẽ

Hình lục giác đều là đa giác có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau, mỗi góc trong bằng \(120^\circ\). Trong chương trình Toán 6 Kết nối tri thức, học sinh cần nhận biết các cạnh, góc, đường chéo và những tính chất của hình lục giác đều, đồng thời hiểu mối liên hệ giữa lục giác đều và sáu tam giác đều.

Bài viết hệ thống kiến thức về hình lục giác đều, gồm định nghĩa, tính chất, góc, trục đối xứng, đường chéo, công thức tính chu vi hình lục giác đều, cách vẽ và các bài tập vận dụng. Ngoài ra, phần mở rộng trình bày diện tích hình lục giác đều và công thức tính độ dài đường chéo khi biết cạnh.

Lục giác đều là gì?

Theo Sách giáo khoa Toán 6 – Kết nối tri thức (Bài 18) [1], hình lục giác đều là hình có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau.

Xét hình lục giác đều ABCDEF với tâm O như hình dưới đây: các đỉnh A, B, C, D, E, F cách đều điểm O; sáu cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA có độ dài bằng nhau và sáu góc trong tại các đỉnh cũng bằng nhau.

So với lục giác thường chỉ có sáu cạnh nhưng độ dài các cạnh và số đo các góc không nhất thiết bằng nhau, lục giác đều có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau.

Đặc điểm và tính chất của hình lục giác đều

Theo Sách giáo khoa Toán 6 – Kết nối tri thức (Bài 18) [1], hình lục giác đều có các tính chất cơ bản: sáu cạnh bằng nhau; sáu góc bằng nhau, mỗi góc trong bằng \(120°\).

Như vậy, nếu được hỏi hình lục giác đều có mấy cạnh hoặc lục giác đều có bao nhiêu góc, có thể xác định ngay hình có 6 cạnh bằng nhau và 6 góc bằng nhau, mỗi góc có số đo 120°.

Hình lục giác đều ABCDEF tâm O được tạo thành từ sáu tam giác đều ghép lại (OAB, OBC, OCD, ODE, OEF, OFA). Do đó, độ dài cạnh của lục giác đều bằng đúng bán kính đường tròn ngoại tiếp đi qua sáu đỉnh.

Ngoài ra, hình lục giác đều còn có tâm đối xứng tại điểm O: khi quay lục giác đều 180° quanh O, hình không đổi.

Hình lục giác đều có bao nhiêu trục đối xứng?

Hình lục giác đều có 6 trục đối xứng. Trong đó, ba trục đi qua các cặp đỉnh đối diện và ba trục còn lại đi qua trung điểm của các cặp cạnh đối diện.

Bên cạnh đó, tâm O của lục giác đều cũng là tâm đối xứng của hình. Khi quay hình một góc 180° quanh tâm O, lục giác đều trùng với chính nó.

Công thức tính chu vi hình lục giác đều

Chu vi hình lục giác đều bằng tổng độ dài sáu cạnh. Vì các cạnh bằng nhau nên chu vi hình lục giác đều được tính theo công thức \(P = 6a\), trong đó \(a\) là độ dài một cạnh của lục giác đều.

Ví dụ, nếu hình lục giác đều có cạnh dài \(a = 5\) cm thì chu vi là \(P = 6 \times 5 = 30\) (cm).

Công thức tính diện tích hình lục giác đều

Vì hình lục giác đều có thể chia thành sáu tam giác đều bằng nhau nên diện tích hình lục giác đều cạnh \(a\) được tính theo công thức:

\[S=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}a^2\]

Trong đó, \(a\) là độ dài một cạnh của lục giác đều. Đây là kiến thức mở rộng giúp học sinh vận dụng tính chất sáu tam giác đều để tính diện tích lục giác đều khi biết cạnh.

Đường chéo của hình lục giác đều ABCDEF

Đường chéo chính của hình lục giác đều

Đường chéo chính là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện nhau của lục giác đều. Hình lục giác đều ABCDEF có ba đường chéo chính là AD, BE, CF; ba đường chéo này có độ dài bằng nhau và đều đi qua tâm O.

Đường chéo phụ của hình lục giác đều

Đường chéo phụ là đoạn thẳng nối hai đỉnh cách nhau một đỉnh của lục giác đều. Hình lục giác đều ABCDEF có sáu đường chéo phụ là AC, BD, CE, DF, EA, FB.

Lục giác đều có bao nhiêu đường chéo?

Tổng số đường chéo của lục giác đều gồm cả đường chéo chính và đường chéo phụ. Với đa giác có \(n\) cạnh, tổng số đường chéo được tính theo công thức \(\dfrac{n(n-3)}{2}\).

Với lục giác đều (\(n = 6\)), tổng số đường chéo là \(\dfrac{6 \times 3}{2} = 9\), gồm 3 đường chéo chính và 6 đường chéo phụ.

Độ dài đường chéo của hình lục giác đều

Xét lục giác đều ABCDEF cạnh \(a\). Vì lục giác đều được tạo thành từ sáu tam giác đều cạnh \(a\) có chung đỉnh O nên đường chéo chính AD chính là đường kính đường tròn ngoại tiếp, có độ dài \(AD = 2a\).

Đối với đường chéo phụ, xét tam giác ABC với \(AB = BC = a\) và góc \(\widehat{ABC} = 120°\). Áp dụng định lý côsin:

\[AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos(120^{o})=3a^2\rightarrow AC=a\sqrt{3}\]

Như vậy, với lục giác đều cạnh \(a\): đường chéo chính dài \(2a\), đường chéo phụ dài \(a\sqrt{3}\).

Cách vẽ hình lục giác đều bằng compa và thước

Có thể vẽ hình lục giác đều dựa trên tính chất độ dài cạnh của lục giác đều bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp.

1. Vẽ đường tròn tâm O với bán kính tùy ý.

2. Chọn một điểm A nằm trên đường tròn.

3. Giữ nguyên độ mở compa bằng bán kính đường tròn, lần lượt xác định các điểm B, C, D, E, F trên đường tròn.

4. Nối lần lượt A, B, C, D, E, F rồi nối F với A.

Khi đó, ABCDEF là một hình lục giác đều. Sáu tam giác OAB, OBC, OCD, ODE, OEF và OFA đều là các tam giác đều bằng nhau.

Lưu ý khi nhận biết và tính toán với hình lục giác đều

Cần phân biệt hình lục giác đều với lục giác thường: lục giác thường chỉ có sáu cạnh nhưng không nhất thiết các cạnh bằng nhau hay các góc bằng nhau.

Trong thực tế, hình lục giác đều xuất hiện ở tổ ong, đai ốc lục giác, viên gạch lát nền và nhiều họa tiết trang trí.

Khi tính đường chéo của hình lục giác đều, cần xác định rõ đó là đường chéo chính (nối hai đỉnh đối diện, dài \(2a\)) hay đường chéo phụ (nối hai đỉnh cách nhau một đỉnh, dài \(a\sqrt{3}\)) trước khi áp dụng công thức.

Vì hình lục giác đều được tạo thành từ sáu tam giác đều nên có thể vận dụng tính chất của tam giác đều để kiểm tra lại kết quả tính toán.

Bài tập tự luyện về hình lục giác đều

Bài 1 — Tính chu vi hình lục giác đều khi biết cạnh

Đề bài: Một hình lục giác đều ABCDEF có độ dài cạnh 4 cm. Tính chu vi của hình lục giác đều đó.

Phân tích đề bài:
Dạng bài: tính chu vi hình lục giác đều khi biết độ dài cạnh.
Dữ kiện: \(a = 4\) cm.
Yêu cầu: tính chu vi P.

Kiến thức cần dùng:
Công thức chu vi lục giác đều: \(P = 6a\).

Giải chi tiết:
Áp dụng công thức: \(P = 6 \times 4 = 24\) (cm).
Vậy chu vi của hình lục giác đều ABCDEF là \(24\) cm.

Bài 2 — Tính đường chéo chính và phụ của hình lục giác đều

Đề bài: Hình lục giác đều ABCDEF có cạnh dài 3 cm. Tính độ dài đường chéo chính AD và đường chéo phụ AC.

Phân tích đề bài:
Dạng bài: tính đường chéo chính và đường chéo phụ của lục giác đều khi biết cạnh.
Dữ kiện: \(a = 3\) cm.
Yêu cầu: tính AD và AC.

Kiến thức cần dùng:
Đường chéo chính: \(AD = 2a\).
Đường chéo phụ: \(AC = a\sqrt{3}\).

Giải chi tiết:
Đường chéo chính: \(AD = 2 \times 3 = 6\) (cm).
Đường chéo phụ: \(AC = 3\sqrt{3}\) (cm), xấp xỉ \(5,2\) cm.

Kiểm tra lại: vì tam giác ABC cân tại B với \(AB = BC = 3\) cm, góc \(B = 120°\), kết quả \(AC = 3\sqrt{3}\) cm là hợp lý vì lớn hơn cạnh \(a\) nhưng nhỏ hơn đường chéo chính 6 cm.

Có thể kiểm tra thêm bằng công thức tổng quát: mọi đường chéo phụ của hình lục giác đều đều có độ dài \(a\sqrt{3}\).

Hình lục giác đều là đa giác có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau, mỗi góc trong bằng \(120^\circ\), được tạo thành từ sáu tam giác đều quanh tâm \(O\).

Chu vi hình lục giác đều tính theo công thức \(P = 6a\), còn đường chéo chính dài \(2a\) và đường chéo phụ dài \(a\sqrt{3}\).

Nắm vững các kiến thức về hình lục giác đều sẽ giúp học sinh lớp 6 tự tin nhận biết và giải tốt các bài toán liên quan. Từ định nghĩa, tính chất đến công thức chu vi và đường chéo, hình lục giác đều là chủ đề hình học trực quan, gắn liền với nhiều hình ảnh quen thuộc trong đời sống. Học sinh có thể tham khảo thêm các bài học tại chuyên đề Toán lớp 6 để củng cố kiến thức và luyện tập theo từng chủ đề.