Khoảng biến thiên | Công thức, cách tính và bài tập có đáp án

Khoảng biến thiên là đại lượng đo độ phân tán, được tính bằng hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu không ghép nhóm. Khi chỉ nhìn vào số trung bình, người học chưa thấy hết sự chênh lệch giữa các giá trị. Vì vậy, thống kê sử dụng thêm những đại lượng như khoảng biến thiên để mô tả dữ liệu.

Bài viết giải thích khoảng biến thiên là gì, công thức và cách tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu không ghép nhóm, bảng tần số và mẫu số liệu ghép nhóm. Qua các ví dụ, bài tập có đáp án và nội dung khoảng biến thiên lớp 12, học sinh có thể xác định đúng các giá trị hoặc đầu mút cần dùng, đồng thời tránh những lỗi thường gặp khi đọc bảng.

Khoảng biến thiên là gì?

Khoảng biến thiên (tiếng Anh: range) của một mẫu số liệu không ghép nhóm là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu, kí hiệu là \(R\).

\[R=x_{\max}-x_{\min}.\]

Chẳng hạn, hai học sinh An và Bình cùng có điểm trung bình môn Toán là 8. Điểm kiểm tra của An là \(8; 8; 7; 9; 8\), còn điểm của Bình là \(10; 6; 10; 5; 9\). Nếu chỉ nhìn số trung bình, chưa thể nhận ra sự khác biệt về độ trải rộng của hai mẫu điểm.

Đặt tất cả giá trị của mẫu lên một trục số, khoảng biến thiên chính là độ dài đoạn thẳng nhỏ nhất chứa toàn bộ các giá trị đó. Đoạn thẳng càng dài thì dữ liệu càng trải rộng giữa hai đầu.

Với ví dụ trên:

• Điểm của An: giá trị lớn nhất là 9, nhỏ nhất là 7, nên \(R_{\text{An}}=9-7=2\) điểm.

• Điểm của Bình: giá trị lớn nhất là 10, nhỏ nhất là 5, nên \(R_{\text{Bình}}=10-5=5\) điểm.

Hai học sinh có cùng điểm trung bình, nhưng điểm cao nhất và thấp nhất của Bình chênh lệch nhiều hơn.

Bảng công thức tính khoảng biến thiên

Lưu ý: Với mẫu ghép nhóm, không lấy hiệu hai giá trị đại diện của nhóm và không lấy hiệu hai tần số.

Khoảng biến thiên cho biết điều gì?

Khoảng biến thiên cho biết dữ liệu trải rộng bao nhiêu giữa hai đầu của mẫu. Khi so sánh những mẫu cùng đại lượng và cùng đơn vị, mẫu có \(R\) lớn hơn có độ trải rộng giữa hai đầu lớn hơn.

Ví dụ, một mẫu điểm có \(R=2\) nghĩa là điểm cao nhất hơn điểm thấp nhất 2 điểm. Mẫu có \(R=8\) có chênh lệch giữa hai điểm cực trị là 8 điểm. Tuy nhiên, chỉ từ \(R\) chưa thể biết các điểm còn lại tập trung hay phân bố như thế nào.

Phân biệt với các đại lượng đo độ phân tán khác

Ngoài khoảng biến thiên, học sinh cần phân biệt các đại lượng sau:

• Khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q\): đo độ trải rộng của nửa giữa mẫu số liệu.

• Phương sai \(s^2\): trong cách tính của chương trình phổ thông, là trung bình cộng các bình phương độ lệch của giá trị so với số trung bình.

• Độ lệch chuẩn \(s\): là căn bậc hai của phương sai, \(s=\sqrt{s^2}\), có cùng đơn vị với dữ liệu.

Khoảng biến thiên chỉ xét hai cực trị; khoảng tứ phân vị tập trung vào phần giữa; phương sai và độ lệch chuẩn sử dụng mọi giá trị trong mẫu. Vì vậy, mỗi đại lượng cung cấp một góc nhìn khác nhau về độ phân tán.

Công thức và cách tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu không ghép nhóm

Các bước tính khoảng biến thiên

1. Quan sát hoặc sắp xếp mẫu: Có thể sắp xếp theo thứ tự không giảm để dễ tìm hai cực trị. Việc sắp xếp không bắt buộc.

2. Xác định hai giá trị: Tìm giá trị lớn nhất \(x_{\max}\) và giá trị nhỏ nhất \(x_{\min}\).

3. Tính hiệu: Áp dụng \(R=x_{\max}-x_{\min}\) và ghi đơn vị nếu có.

Nếu mẫu được sắp xếp thành \(x_1\le x_2\le\cdots\le x_n\), công thức khoảng biến thiên được viết là:

\[R=x_n-x_1.\]

Lưu ý khi đọc kết quả

• \(R\ge0\). Kết quả âm cho thấy phép trừ đã bị đảo thứ tự.

• Với mẫu không ghép nhóm có ít nhất một giá trị, \(R=0\) khi và chỉ khi mọi giá trị bằng nhau.

• \(R\) có cùng đơn vị với dữ liệu: điểm, cm, kg, phút...

• Số lần xuất hiện của từng giá trị không làm thay đổi \(R\) nếu giá trị nhỏ nhất và lớn nhất vẫn giữ nguyên.

Ví dụ minh họa với mẫu số liệu không ghép nhóm

Ví dụ 1. Điểm kiểm tra môn Toán của 10 học sinh là:

\(6; 7; 8; 5; 9; 7; 8; 6; 9; 7\).

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu.

Lời giải:

1. Sắp xếp mẫu: \(5; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 8; 9; 9\).

2. Xác định \(x_{\min}=5\), \(x_{\max}=9\).

3. Tính \(R=9-5=4\) điểm.

Nhận xét: Điểm cao nhất và thấp nhất chênh lệch 4 điểm.

Ví dụ 2. Chiều cao, tính bằng cm, của 6 học sinh là:

\(158; 162; 155; 170; 165; 160\).

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu.

Lời giải: Dãy đã sắp xếp là \(155; 158; 160; 162; 165; 170\). Giá trị nhỏ nhất là 155, giá trị lớn nhất là 170. Do đó:

\[R=170-155=15\text{ cm}.\]

Học sinh cao nhất hơn học sinh thấp nhất 15 cm.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

Mẫu số liệu ghép nhóm là gì?

Khi cần trình bày nhiều số liệu, có thể chia dữ liệu thành các nhóm và đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm. Số giá trị trong một nhóm gọi là tần số. Các bảng minh họa dưới đây sử dụng những nhóm có độ dài bằng nhau, dạng \([a_i;a_{i+1})\).

Trong đó:

• \(a_i\) và \(a_{i+1}\) lần lượt là đầu mút trái và đầu mút phải của nhóm thứ \(i\).

• \(n_i\) là số nguyên không âm; nhóm có \(n_i=0\) không chứa dữ liệu.

• Cỡ mẫu là \(n=n_1+n_2+\cdots+n_m>0\).

Ví dụ, nhóm \([150;155)\) chứa những giá trị từ 150 đến dưới 155.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng có chứa dữ liệu và đầu mút trái của nhóm đầu tiên có chứa dữ liệu.

Nếu hai nhóm đầu và cuối trong bảng đều có tần số dương, công thức là:

\[R=a_{m+1}-a_1.\]

Nếu nhóm đầu hoặc cuối bảng có tần số bằng 0, cần bỏ qua các nhóm đó khi xác định hai đầu mút. Gọi \(a\) là đầu mút trái của nhóm đầu tiên có dữ liệu, \(b\) là đầu mút phải của nhóm cuối cùng có dữ liệu, khi đó:

\[R=b-a.\]

Phân biệt: Kết quả trên là khoảng biến thiên được tính từ bảng ghép nhóm và là giá trị xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu gốc. Nó không cho biết chính xác giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đã quan sát.

Các bước tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

1. Đọc tần số: Xác định nhóm đầu tiên và cuối cùng có tần số lớn hơn 0.

2. Chọn đầu mút: Lấy đầu mút trái \(a\) của nhóm đầu và đầu mút phải \(b\) của nhóm cuối.

3. Tính và ghi đơn vị: Áp dụng \(R=b-a\).

Lưu ý quan trọng

• Không dùng nhóm có tần số 0 ở hai đầu bảng.

• Không lấy giá trị đại diện của nhóm để thay cho đầu mút.

• Nhóm tần số 0 nằm giữa không làm thay đổi hai đầu mút nếu các nhóm đầu và cuối có dữ liệu vẫn giữ nguyên.

• Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm không nhỏ hơn khoảng biến thiên của mẫu gốc vì hai đầu mút bao trọn các giá trị đã quan sát.

• Tần số không trực tiếp xuất hiện trong phép trừ, nhưng cần được kiểm tra để biết nhóm nào thực sự chứa dữ liệu.

Ví dụ minh họa với mẫu số liệu ghép nhóm

Ví dụ 1. Chiều cao của 38 học sinh được ghép nhóm như sau:

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm.

Lời giải: Các nhóm đều có tần số dương. Nhóm đầu là \([150;155)\), nhóm cuối là \([170;175)\), nên:

\[R=175-150=25\text{ cm}.\]

Đây là khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm. Chưa thể kết luận chiều cao thực tế lớn nhất và nhỏ nhất chênh lệch đúng 25 cm.

Ví dụ 2. Khối lượng của 30 quả cam được ghép nhóm:

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm.

Lời giải: Bỏ qua hai nhóm có tần số 0 ở hai đầu. Nhóm đầu có dữ liệu là \([120;140)\), nhóm cuối là \([160;180)\). Do đó:

\[R=180-120=60\text{ g}.\]

Ý nghĩa, ưu điểm và hạn chế của khoảng biến thiên

Ý nghĩa thống kê và ứng dụng thực tế

Khoảng biến thiên giúp đánh giá nhanh độ trải rộng giữa hai đầu của mẫu. Khi so sánh các mẫu cùng đại lượng và đơn vị, mẫu có \(R\) nhỏ hơn được xem là ít phân tán hơn nếu xét theo khoảng biến thiên. Kết luận này chưa mô tả toàn bộ phân bố dữ liệu.

Ví dụ với mẫu không ghép nhóm: Thời gian chạy 100 m, tính bằng giây, của hai vận động viên trong 5 lần tập:

• A: \(14{,}2; 14{,}0; 14{,}1; 14{,}3; 14{,}4\).

• B: \(13{,}5; 14{,}8; 14{,}0; 15{,}1; 13{,}6\).

Cả hai có thời gian trung bình bằng \(14{,}2\) giây, nhưng:

\[\begin{aligned} R_A&=14{,}4-14{,}0=0{,}4\text{ giây},\\ R_B&=15{,}1-13{,}5=1{,}6\text{ giây}. \end{aligned}\]

Thời gian chạy của A có độ trải rộng nhỏ hơn; nếu xét theo khoảng biến thiên, kết quả của A ổn định hơn.

Ví dụ với mẫu ghép nhóm: Thời gian tự học mỗi ngày của học sinh hai lớp:

• Lớp 12A: \(R_A=90-30=60\) phút.

• Lớp 12B: \(R_B=120-0=120\) phút.

Vì \(R_A<R_B\), thời gian tự học của lớp 12A ít phân tán hơn nếu đánh giá bằng khoảng biến thiên của hai bảng ghép nhóm có cùng cách chia nhóm.

Ứng dụng thực tế:

• Học tập: Mô tả chênh lệch giữa điểm cao nhất và thấp nhất.

• Khí tượng: Tính phạm vi dao động của một chỉ tiêu nhiệt độ trong thời gian khảo sát.

• Kinh doanh: Xác định chênh lệch giữa doanh thu hoặc mức giá cao nhất và thấp nhất.

• Sản xuất: Theo dõi độ trải rộng của khối lượng, kích thước sản phẩm trong mẫu kiểm tra.

Ưu điểm của khoảng biến thiên

• Dễ hiểu: Cho biết chênh lệch giữa hai đầu của mẫu.

• Dễ tính: Chỉ cần tìm hai cực trị hoặc hai đầu mút thích hợp rồi thực hiện phép trừ.

• Cho kết quả nhanh: Hữu ích khi cần đánh giá sơ bộ phạm vi dao động.

• Không cần dùng toàn bộ tần số trong phép tính: Kết quả giữ nguyên nếu hai cực trị, hoặc hai nhóm ngoài cùng có dữ liệu, không thay đổi.

Hạn chế: Không phản ánh phân bố ở giữa

Xét hai mẫu:

• A: \(1; 5; 5; 5; 5; 5; 9\).

• B: \(1; 2; 4; 5; 6; 8; 9\).

Cả hai có số trung bình bằng 5 và \(R=9-1=8\). Tuy nhiên, mẫu A có nhiều giá trị tập trung ở 5, còn mẫu B trải rộng hơn quanh trung tâm. Khoảng biến thiên không phân biệt được đặc điểm này.

Với số liệu ghép nhóm, xét điểm của hai lớp, mỗi lớp có 20 học sinh:

Cả hai bảng có \(R=10-0=10\) điểm. Dù vậy, lớp A có 14 học sinh thuộc nhóm \([4;6)\), còn lớp B có tần số bằng nhau ở các nhóm. Cùng khoảng biến thiên không có nghĩa là cùng phân bố điểm.

Hạn chế: Nhạy với giá trị ngoại lệ

Xét mẫu \(5;6;6;7;7;8;8;9\), có \(R=9-5=4\). Khi thêm giá trị 40, khoảng biến thiên trở thành:

\[R=40-5=35.\]

Độ trải rộng của toàn mẫu thực sự tăng, nhưng phần lớn giá trị vẫn nằm từ 5 đến 9. Vì vậy, không nên dùng riêng \(R\) để mô tả độ phân tán của phần dữ liệu tập trung ở giữa.

Ví dụ thời gian đến trường của 20 học sinh:

Bảng có \(R=30-0=30\) phút. Nếu bỏ quan sát duy nhất ở nhóm \([25;30)\), nhóm cuối có dữ liệu là \([10;15)\), khi đó \(R=15\) phút.

Cách bổ sung đánh giá: Có thể sử dụng khoảng tứ phân vị để mô tả độ trải rộng của nửa giữa mẫu. Đại lượng này thường ít nhạy với các giá trị cực đoan hơn khoảng biến thiên, nhưng không nên nói hoàn toàn không bị ảnh hưởng.

Hạn chế: Mẫu ghép nhóm không giữ lại hai cực trị chính xác

Giả sử chiều cao nhỏ nhất và lớn nhất của mẫu gốc lần lượt là 152 cm và 173 cm. Sau khi ghép nhóm, hai nhóm ngoài cùng có dữ liệu là \([150;155)\) và \([170;175)\).

• Mẫu gốc: \(R_{\text{gốc}}=173-152=21\) cm.

• Mẫu ghép nhóm: \(R_{\text{ghép}}=175-150=25\) cm.

Hai kết quả chênh 4 cm. Độ chênh phụ thuộc vị trí thực tế của hai cực trị trong các nhóm ngoài cùng; không thể kết luận nhóm rộng hơn thì sai lệch thực tế luôn lớn hơn trong mọi trường hợp.

Khi nào nên dùng khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn?

Các đại lượng này phản ánh những khía cạnh khác nhau của độ phân tán. Khi giải bài tập, trước hết cần tính đúng đại lượng được yêu cầu; khi phân tích dữ liệu, lựa chọn phụ thuộc mục đích mô tả.

Trường hợp 1: Dùng khoảng biến thiên

Nhiệt độ cao nhất trong 7 ngày là \(28;31;30;27;33;32;29\), tính bằng °C. Khoảng biến thiên:

\[R=33-27=6\,^\circ\mathrm{C}.\]

Kết quả cho biết chênh lệch giữa nhiệt độ cao nhất và thấp nhất trong dãy ghi nhận là 6 °C.

Trường hợp 2: Dùng khoảng tứ phân vị

Xét thu nhập hằng tháng, tính bằng triệu đồng, của 9 nhân viên:

\(5;6;6;7;7;8;8;9;40\).

• Trung vị: \(Q_2=7\).

• Nửa dưới: \(5;6;6;7\), nên \(Q_1=6\).

• Nửa trên: \(8;8;9;40\), nên \(Q_3=8{,}5\).

Do đó, \(\Delta_Q=8{,}5-6=2{,}5\) triệu đồng, còn \(R=40-5=35\) triệu đồng.

Hai đại lượng không mâu thuẫn: \(R\) mô tả toàn bộ độ trải rộng, còn \(\Delta_Q\) tập trung vào nửa giữa mẫu.

Trường hợp 3: Dùng độ lệch chuẩn

Với mẫu không ghép nhóm, công thức dùng trong chương trình phổ thông là:

\[s=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.\]

Quay lại hai mẫu A và B ở phần hạn chế của khoảng biến thiên. Cả hai có \(\bar{x}=5\) và \(R=8\), nhưng:

\[\begin{aligned} s_A^2&=\frac{16+0+0+0+0+0+16}{7}\\ &=\frac{32}{7}\approx4{,}57,\\ s_A&\approx2{,}14. \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} s_B^2&=\frac{16+9+1+0+1+9+16}{7}\\ &=\frac{52}{7}\approx7{,}43,\\ s_B&\approx2{,}73. \end{aligned}\]

Theo độ lệch chuẩn, mẫu A ít phân tán hơn mẫu B. Khoảng tứ phân vị cũng phân biệt được hai mẫu: \(\Delta_{Q,A}=0\), còn \(\Delta_{Q,B}=6\).

Lưu ý: Độ lệch chuẩn cũng nhạy với giá trị cực đoan; không nên dùng nó như một cách tự động khắc phục mọi hạn chế của khoảng biến thiên.

Cách chọn đại lượng phù hợp

Với mẫu ghép nhóm, cần dùng công thức tương ứng và ghi rõ kết quả được tính từ dữ liệu ghép nhóm.

Các dạng bài tập khoảng biến thiên và cách giải

Các dạng bài dưới đây vận dụng định nghĩa và công thức đã trình bày. Với bảng tần số, luôn kiểm tra những giá trị hoặc nhóm thực sự có dữ liệu.

Dạng 1: Tính khoảng biến thiên từ mẫu số liệu rời

Phương pháp: Tìm hai cực trị rồi lấy giá trị lớn nhất trừ giá trị nhỏ nhất.

Ví dụ 1. Nhiệt độ cao nhất trong 7 ngày là \(28;34;30;27;33;32;29\), tính bằng °C. Tính khoảng biến thiên.

Lời giải: \(x_{\min}=27\), \(x_{\max}=34\), nên:

\[R=34-27=7\,^\circ\mathrm{C}.\]

Ví dụ 2. Số sách 8 học sinh đã đọc trong học kỳ là \(3;0;5;2;7;4;1;6\). Tính khoảng biến thiên.

Lời giải: \(x_{\min}=0\), \(x_{\max}=7\), nên \(R=7-0=7\) quyển.

Chú ý: Giá trị 0 có xuất hiện trong mẫu nên vẫn được xét khi tìm giá trị nhỏ nhất.

Dạng 2: Tính khoảng biến thiên từ bảng tần số

Phương pháp: Chọn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất có tần số dương, không lấy hiệu các tần số.

Ví dụ 1. Số bàn thắng của một đội bóng trong 20 trận:

Lời giải: Giá trị nhỏ nhất xuất hiện là 0, lớn nhất là 5. Do đó, \(R=5-0=5\) bàn thắng.

Ví dụ 2. Số con của 25 hộ gia đình:

Lời giải: Giá trị 0 có tần số 0 nên không xuất hiện trong mẫu. Giá trị nhỏ nhất xuất hiện là 1, lớn nhất là 4. Do đó, \(R=4-1=3\) người con.

Dạng 3: Tính khoảng biến thiên từ bảng tần số ghép nhóm

Phương pháp: Xác định hai nhóm ngoài cùng có tần số dương; lấy đầu mút phải của nhóm cuối trừ đầu mút trái của nhóm đầu.

Ví dụ 1. Thời gian tự học mỗi ngày của 18 học sinh:

Lời giải: Hai nhóm có dữ liệu ở ngoài cùng là \([20;40)\) và \([60;80)\). Vì vậy:

\[R=80-20=60\text{ phút}.\]

Không tính \(100-0\) vì hai nhóm ngoài cùng của bảng có tần số 0.

Ví dụ 2. Doanh thu mỗi ngày của cửa hàng trong 30 ngày:

Lời giải: Các nhóm đều có dữ liệu nên:

\[R=30-10=20\text{ triệu đồng}.\]

Dạng 4: So sánh khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu

Phương pháp: Tính từng khoảng biến thiên, so sánh rồi kết luận trong phạm vi đại lượng đang xét.

Ví dụ 1. Điểm kiểm tra của hai tổ:

• Tổ 1: \(7;8;8;9;8;7;9\).

• Tổ 2: \(4;6;7;9;10;10;8\).

Tổ nào có điểm ít phân tán hơn nếu xét theo khoảng biến thiên?

Lời giải:

• Tổ 1: \(R_1=9-7=2\) điểm.

• Tổ 2: \(R_2=10-4=6\) điểm.

Vì \(R_1<R_2\), xét theo khoảng biến thiên, điểm của tổ 1 ít phân tán hơn.

Ví dụ 2. Nhiệt độ trung bình trong 5 ngày tại hai thành phố:

• A: \(24;26;25;27;28\), tính bằng °C.

• B: \(20;30;25;22;28\), tính bằng °C.

So sánh độ trải rộng của hai mẫu nhiệt độ.

Lời giải: Nhiệt độ trung bình của A là 26 °C, của B là 25 °C. Khoảng biến thiên:

\[\begin{aligned} R_A&=28-24=4\,^\circ\mathrm{C},\\ R_B&=30-20=10\,^\circ\mathrm{C}. \end{aligned}\]

Nhiệt độ ghi nhận tại A có độ trải rộng nhỏ hơn. Chỉ từ kết quả này chưa thể kết luận về toàn bộ mức độ ổn định của thời tiết.

Dạng 5: Tìm giá trị ẩn khi biết khoảng biến thiên

Phương pháp: Xét vị trí của \(x\) so với hai cực trị đã biết, sau đó kiểm tra điều kiện của từng nghiệm.

Ví dụ 1. Mẫu \(3;7;x;12;5\) có khoảng biến thiên bằng 10. Tìm \(x\).

Lời giải: Không kể \(x\), giá trị nhỏ nhất là 3 và lớn nhất là 12.

• Nếu \(3\le x\le12\), \(R=12-3=9\ne10\), loại.

• Nếu \(x>12\), \(x-3=10\), suy ra \(x=13\), thỏa mãn.

• Nếu \(x<3\), \(12-x=10\), suy ra \(x=2\), thỏa mãn.

Kết luận: \(x=13\) hoặc \(x=2\).

Ví dụ 2. Mẫu \(8;10;x;14;9\) có khoảng biến thiên bằng 4. Tìm \(x\).

Lời giải: Các giá trị đã biết có khoảng biến thiên \(14-8=6\). Thêm một giá trị không thể làm khoảng biến thiên giảm từ 6 xuống 4.

Cũng có thể kiểm tra theo ba trường hợp:

• Nếu \(8\le x\le14\), \(R=6\ne4\).

• Nếu \(x>14\), \(x-8=4\), suy ra \(x=12\), không thỏa điều kiện.

• Nếu \(x<8\), \(14-x=4\), suy ra \(x=10\), không thỏa điều kiện.

Kết luận: Không có giá trị \(x\) thỏa mãn.

Những lỗi sai thường gặp

• Lấy số nhỏ trừ số lớn, dẫn đến kết quả âm.

• Nhầm giá trị dữ liệu với tần số.

• Bỏ qua giá trị 0 dù nó có xuất hiện trong mẫu.

• Lấy cả giá trị hoặc nhóm có tần số 0 ở hai đầu.

• Dùng giá trị đại diện thay đầu mút khi tính mẫu ghép nhóm.

• Quên đơn vị hoặc thiếu điều kiện khi tìm ẩn.

• Cho rằng cùng khoảng biến thiên thì cùng phân bố dữ liệu.

Bài tập tự luyện với các dạng bài

Bài 1. Tính khoảng biến thiên của mẫu:

\[12;15;9;20;18;11;14.\]

Bài 2. Khối lượng của 40 học sinh được ghép nhóm: \([40;45)\) có 6 học sinh; \([45;50)\) có 14; \([50;55)\) có 12; \([55;60)\) có 8. Đơn vị khối lượng là kg. Tính khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm.

Bài 3. Mẫu \(2;6;x;9;4\) có khoảng biến thiên bằng 8. Tìm \(x\).

Bài 4. Số bài kiểm tra đạt điểm 10 của học sinh trong lớp:

Tính khoảng biến thiên của mẫu.

Bài 5. Điểm qua 5 lần kiểm tra của Hà là \(6;7;8;9;10\), của Lan là \(7;8;8;8;9\). Kết quả của học sinh nào ít phân tán hơn nếu xét theo khoảng biến thiên?

Đáp án và lời giải:

1. Bài 1: Giá trị lớn nhất là 20, nhỏ nhất là 9, nên \(R=20-9=11\).

2. Bài 2: Hai nhóm ngoài cùng đều có dữ liệu, nên \(R=60-40=20\) kg.

3. Bài 3:

   • Nếu \(2\le x\le9\), \(R=7\), không thỏa mãn.

   • Nếu \(x>9\), \(x-2=8\), suy ra \(x=10\).

   • Nếu \(x<2,9-x=8\), suy ra \(x=1\).

   Vậy \(x=10\) hoặc \(x=1\).

4. Bài 4: Chỉ các giá trị 1, 2, 3 xuất hiện, nên \(R=3-1=2\) bài kiểm tra.

5. Bài 5: \(R_{\text{Hà}}=10-6=4\) điểm; \(R_{\text{Lan}}=9-7=2\) điểm. Xét theo khoảng biến thiên, điểm của Lan ít phân tán hơn.

Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị: So sánh và mối liên hệ

Nhắc lại khoảng tứ phân vị

Khoảng tứ phân vị là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và thứ nhất:

\[\Delta_Q=Q_3-Q_1.\]

Đại lượng này mô tả độ trải rộng của nửa giữa mẫu số liệu.

Với mẫu không ghép nhóm, cách xác định theo quy ước phổ thông:

1. Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm.

2. Tìm trung vị \(Q_2\).

3. Chia mẫu thành hai nửa theo vị trí: nếu số phần tử chẵn, mỗi nửa có một nửa số phần tử; nếu lẻ, không đưa phần tử ở vị trí trung vị vào hai nửa.

4. \(Q_1\) là trung vị của nửa dưới, \(Q_3\) là trung vị của nửa trên.

Lưu ý: Không loại tất cả các giá trị bằng \(Q_2\). Một giá trị bằng trung vị vẫn có thể thuộc nửa dưới hoặc nửa trên theo vị trí.

Ví dụ: Mẫu đã sắp xếp:

\[2;3;4;4;5;6;7;7;8;8;8;9;10;11.\]

• \(n=14\), nên \(Q_2=(7+7)/2=7\).

• Nửa dưới: \(2;3;4;4;5;6;7\), nên \(Q_1=4\).

• Nửa trên: \(7;8;8;8;9;10;11\) nên \(Q_3=8.\)

Do đó:

\[\Delta_Q=8-4=4.\]

Trong khi đó, khoảng biến thiên của mẫu là \(R=11-2=9\).

Bảng so sánh khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khi nào ưu tiên dùng khoảng tứ phân vị?

Khi cần mô tả phần giữa của mẫu hoặc hạn chế ảnh hưởng của một số giá trị cực đoan, khoảng tứ phân vị thường phù hợp hơn khoảng biến thiên. Tuy nhiên, không nên tự loại bỏ quan sát ngoại lệ hoặc bỏ qua yêu cầu của đề bài.

Mối liên hệ cần nhớ khi làm bài

Với cùng một mẫu không ghép nhóm, các tứ phân vị nằm giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất:

\[x_{\min}\le Q_1\le Q_3\le x_{\max}.\]

Do đó: \(0\le\Delta_Q\le R.\)Với mẫu ghép nhóm, cũng cần sử dụng các đại lượng được tính trên cùng bảng và theo đúng công thức tương ứng. Khi ôn tập, học sinh nên phân biệt rõ yêu cầu tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị.

Khoảng biến thiên giúp mô tả nhanh độ trải rộng của dữ liệu. Với mẫu không ghép nhóm, áp dụng \(R=x_{\max}-x_{\min}\). Với mẫu ghép nhóm, lấy đầu mút phải của nhóm cuối cùng có dữ liệu trừ đầu mút trái của nhóm đầu tiên có dữ liệu; không sử dụng các nhóm có tần số bằng 0 ở hai đầu bảng.

Đại lượng này dễ tính nhưng chỉ phản ánh hai đầu của mẫu và nhạy với giá trị ngoại lệ. Vì vậy, học sinh cần đối chiếu thêm khoảng tứ phân vị hoặc độ lệch chuẩn khi muốn tìm hiểu những khía cạnh khác của độ phân tán. Để tiếp tục củng cố kiến thức thống kê và luyện các dạng bài liên quan, học sinh có thể tham khảo chuyên mục Toán 12 tại ZIM Academy.