Khoảng tứ phân vị | Công thức, cách tính và ví dụ có lời giải

Khoảng tứ phân vị đo độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu và thường ít bị ảnh hưởng bởi giá trị cực đoan. Chẳng hạn, hai lớp cùng có điểm trung bình môn Toán là 7,0 vẫn có thể khác nhau về mức độ đồng đều. Bài viết giải thích khái niệm, công thức và cách tìm Q₁, Q₃ cho mẫu không ghép nhóm, mẫu số liệu ghép nhóm trong Toán 12, giúp học sinh so sánh độ phân tán và xác định giá trị ngoại lệ qua ví dụ có lời giải.

Khoảng tứ phân vị là gì?

Khoảng tứ phân vị, ký hiệu \(\Delta_Q\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất

\(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\)

Mẫu số liệu và trung vị

Trước khi học khoảng tứ phân vị, học sinh cần nhớ lại hai khái niệm quen thuộc về mẫu số liệu và trung vị:

Mẫu số liệu là tập hợp các giá trị mà thu thập được, chẳng hạn điểm kiểm tra của một nhóm học sinh hay chiều cao của các học sinh trong lớp. Số giá trị trong mẫu gọi là cỡ mẫu, ký hiệu là \(n\). Ví dụ, điểm của \(5\) học sinh là \(6; 8; 7; 9; 5\) thì \(n = 5\).

Trung vị là mốc ở giữa mẫu đã sắp xếp theo thứ tự không giảm. Nếu cỡ mẫu lẻ, trung vị là giá trị chính giữa; nếu cỡ mẫu chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa. Hai nửa được chia theo vị trí trong dãy, không theo điều kiện giá trị nhỏ hơn hay lớn hơn trung vị.

• Nếu \(n\) lẻ, trung vị là giá trị ở chính giữa. Ví dụ: mẫu \(5; 6; 7; 8; 9\) có trung vị là \(7\).

• Nếu n chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở chính giữa. Ví dụ: mẫu \(5; 6; 8; 9\) có trung vị là \((6 + 8)/2 = 7\).

Trung vị cho biết giá trị “ở giữa” của mẫu, nhưng chưa cho biết các giá trị đang tập trung gần nhau hay trải ra rất xa nhau. Để biết điều đó, cần một đại lượng đo độ phân tán, và khoảng tứ phân vị là một trong những đại lượng như vậy.

Nhắc lại khái niệm tứ phân vị

Ba tứ phân vị \(Q_1,Q_2,Q_3\) là các mốc chia mẫu đã sắp xếp thành bốn phần theo thứ tự. \(Q_2\) là trung vị của cả mẫu; \(Q_1\) và \(Q_3\) lần lượt là trung vị của nửa dưới và nửa trên.

Khi cỡ mẫu n lẻ, bỏ giá trị ở vị trí trung tâm trước khi chia hai nửa để tìm Q₁ và Q₃. Cách diễn đạt 25%, 50%, 75% mô tả vị trí phân chia theo thứ tự; khi cỡ mẫu nhỏ hoặc có nhiều giá trị lặp, số quan sát nằm trong một đoạn đóng có thể không đúng các tỉ lệ này.

Hãy xem một ví dụ cụ thể. Xét mẫu đã sắp xếp gồm các \(8\) giá trị: \(2; 4; 5; 7; 8; 10; 12; 15\).

• Trung vị là \(Q_2 = \dfrac{7+8}{2} = 7{,}5\). Nó chia mẫu thành nửa dưới \((2; 4; 5; 7)\) và nửa trên \((8; 10; 12; 15)\).

• Q1 là trung vị của nửa dưới nên \(Q_1 = \dfrac{4+5}{2} = 4{,}5\).

• Q3 là trung vị của nửa trên nên \(Q_3 = \dfrac{10+12}{2} = 11\).

Ba mốc \(4{,}5; 7{,}5\) và \(11\) chia mẫu thành bốn phần, mỗi phần có 2 giá trị: \((2; 4), (5; 7), (8; 10)\) và \((12; 15)\). Cách tìm các mốc này sẽ được hướng dẫn kỹ hơn ở phần sau của bài viết.

Ví dụ và tính chất của khoảng tứ phân vị

Với mẫu 8 giá trị ở ví dụ được nêu trên: \(2; 4; 5; 7; 8; 10; 12; 15\), có \(\Delta_Q = 11 - 4{,}5 = 6{,}5\).

Ba điều cần nhớ về khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q\):

• \(\Delta_Q\) là độ dài của đoạn từ \(Q_1\) đến \(Q_3\). Trên đoạn này có khoảng \(50\%\) số liệu nằm chính giữa mẫu (đã bỏ đi \(25\%\)giá trị nhỏ nhất và \(25\%\)giá trị lớn nhất).

• \(\Delta_Q\) luôn không âm, vì \(Q_3\) không bao giờ nhỏ hơn \(Q_1\). Nếu học sinh tính ra \(\Delta_Q\) âm thì chắc chắn đã có nhầm lẫn.

• \(\Delta_Q\) có cùng đơn vị với số liệu. Nếu số liệu là điểm thì \(\Delta_Q\) tính bằng điểm, nếu số liệu là phút thì \(\Delta_Q\) tính bằng phút.

Phân biệt khoảng tứ phân vị và khoảng biến thiên

Để đo mức độ phân tán của một mẫu số liệu, cách đơn giản nhất là dùng khoảng biến thiên:

Định nghĩa: Khoảng biến thiên, ký hiệu \(R\), là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu:

\(R=x_{max}-x_{min}\)

Với mẫu ghép nhóm, R là hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối có tần số khác 0 và đầu mút trái của nhóm đầu có tần số khác 0. Đây là giá trị xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu gốc.

Tuy cùng đo độ phân tán của một mẫu số liệu, nhưng khoảng tứ phân vị và khoảng biến thiên lại có ý nghĩa khác biệt trong thống kê. Có ví dụ sau để dễ dàng hiểu về sự khác biệt giữa hai đại lượng này:

Có thể hình dung mẫu đã sắp xếp như các vị trí trên một trục số. Khoảng biến thiên đo từ giá trị nhỏ nhất đến lớn nhất; khoảng tứ phân vị đo từ Q₁ đến Q₃. Nếu chỉ một giá trị cực đoan dịch ra xa mà các giá trị quyết định Q₁, Q₃ không đổi thì R thay đổi, còn khoảng tứ phân vị giữ nguyên.

Với mẫu 2; 4; 5; 7; 8; 10; 12; 15, khoảng biến thiên là \(R=15-2=13\), còn \(\Delta_Q=11-4{,}5=6{,}5\). Hai đại lượng đo độ phân tán theo phạm vi khác nhau; khoảng tứ phân vị nhỏ hơn không có nghĩa là sai số đo thấp hơn.

Bảng dưới đây tóm tắt sự khác nhau giữa hai đại lượng:

Cách tính khoảng tứ phân vị của mẫu không ghép nhóm

Mẫu số liệu không ghép nhóm là mẫu mà biết rõ từng giá trị cụ thể, được liệt kê ra hoặc cho dưới dạng bảng tần số. Ở phần này, học sinh sẽ học cách tìm \(Q_1, Q_3\) và \(\Delta_Q\) cho loại mẫu đó.

Các bước tính khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Giả sử mẫu có \(n\) giá trị. Thực hiện theo bốn bước sau:

1. Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm và đếm cỡ mẫu n.

2. Tìm trung vị Q₂ của cả mẫu.

3. Nếu n chẵn, lấy n/2 giá trị đầu và n/2 giá trị cuối. Nếu n lẻ, bỏ giá trị ở vị trí trung tâm rồi chia hai nửa. Tìm Q₁, Q₃ là trung vị của từng nửa.

4. Tính \(\Delta_Q=Q_3-Q_1\).

Cách tìm khoảng tứ phân vị với hai trường hợp: n chẵn và n lẻ

Cách tìm trung vị \(Q_2\) và cách chia nửa phụ thuộc vào việc \(n\) là số chẵn hay số lẻ. Gọi \(x_{1} \le x_{2} \le \ldots \le x_n\) là các giá trị đã sắp xếp theo thứ tự không giảm. Có bảng sau để tìm trung vị và các nửa giá trị của mẫu theo hai trường hợp cỡ mẫu chẵn và lẻ:

Như vậy, theo quan sát, có thể thấy điểm chú ý là khi \(n\) lẻ, giá trị \(Q_2\) không thuộc nửa dưới và cũng không thuộc nửa trên.

Sau khi chia nửa, tiếp tục tìm trung vị của mỗi nửa theo cùng quy tắc: nửa có số giá trị lẻ thì lấy giá trị ở giữa, nửa có số giá trị chẵn thì lấy trung bình cộng của hai giá trị ở giữa.

Bảng tra nhanh dưới đây cho biết vị trí của các tứ phân vị với \(n\) từ \(8\) đến \(12\) (\(x_k\)là giá trị thứ \(k\) trong dãy đã sắp xếp):

Chẳng hạn, với \(n = 11\), nửa dưới là \(x_{1}, \ldots , x_{5}\) và nửa trên là \(x_{7}, \ldots , x_{11}\). Mỗi nửa có \(5\) giá trị nên trung vị của nó là giá trị ở giữa, tức \(Q_1 = x_{3}\) và \(Q_3 = x_{9}\).

Ví dụ tìm khoảng tứ phân vị với trường hợp n chẵn

Đề bài: Điểm kiểm tra 15 phút của 10 học sinh là: \(7; 5; 9; 6; 8; 10; 4; 7; 8; 6\). Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

Lời giải:

• Bước 1: Sắp xếp các giá trị của mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: \(4; 5; 6; 6; 7; 7; 8; 8; 9; 10\).

• Bước 2: Tìm trung vị \(Q_2\) của mẫu: Có giá trị cỡ mẫu: \(n = 10\) là số chẵn nên \(Q_2\) là trung bình cộng của giá trị thứ \(5\) và thứ \(6\). Cả hai giá trị này đều bằng \(7\), do đó \(Q_2 =\dfrac{7+7}{2} = 7\).

• Bước 3: Tìm trung vị của nửa trên và nửa dưới \(Q_1\) và \(Q_3\): Nửa dưới gồm 5 giá trị đầu: \(4; 5; 6; 6; 7\). Giá trị ở giữa nửa này là giá trị thứ 3, nên \(Q_1 = 6\). Nửa trên gồm 5 giá trị cuối: \(7; 8; 8; 9; 10\). Giá trị ở giữa là 8, nên \(Q_3 = 8\).

• Bước 4: Tính khoảng tứ phân vị của mẫu \(\Delta_Q\): \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1 = 8 - 6 = 2\).

Nhận xét: Q₁ = 6 và Q₃ = 8 nên khoảng giữa hai tứ phân vị có độ dài 2 điểm. Muốn đánh giá mức độ đồng đều cần so sánh với mẫu cùng thang điểm hoặc tiêu chí cụ thể.

Ví dụ tìm khoảng tứ phân vị với trường hợp n lẻ

Đề bài: Số giờ tự học thêm trong một tuần của 11 học sinh là: \(5; 7; 4; 20; 6; 3; 8; 5; 7; 4; 6\). Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

Lời giải:

• Bước 1: Sắp xếp các giá trị của mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: \(3; 4; 4; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 8; 20\).

• Bước 2: Tìm trung vị \(Q_2\) của mẫu: Có giá trị cỡ mẫu: \(n = 11\) là số lẻ nên \(Q_2\) là giá trị thứ \(\dfrac{11+1}{2}=6\), tức \(Q_2 = 6\).

• Bước 3: Tìm trung vị của nửa trên và nửa dưới \(Q_1\) và \(Q_3\): Giá trị \(Q_2\) không thuộc nửa nào. Nửa dưới gồm 5 giá trị đứng trước \(Q_2\): \(3; 4; 4; 5; 5\). Giá trị ở giữa là 4 nên \(Q_1 = 4\). Nửa trên gồm 5 giá trị đứng sau \(Q_2\): \(6; 7; 7; 8; 20\). Giá trị ở giữa là 7 nên \(Q_3 = 7\).

• Bước 4: Tính khoảng tứ phân vị của mẫu \(\Delta_Q\): \(\Delta_Q = 7 - 4 = 3\).

Nhận xét: Một học sinh học tới 20 giờ, cao hơn hẳn các học sinh còn lại. Nếu tính khoảng biến thiên thì \(R = 20 - 3 = 17\), bị giá trị 20 kéo giãn rất nhiều. Còn \(\Delta_Q = 3\) vẫn phản ánh độ phân tán của nửa giữa mẫu.

Ví dụ tìm khoảng tứ phân vị với trường hợp mẫu cho dưới dạng bảng tần số

Đề bài: Bảng sau cho điểm kiểm tra của 20 học sinh. Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

Lời giải:

• Bước 1: Sắp xếp các giá trị của mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: Bảng cho biết có 3 điểm 5, 4 điểm 6, 6 điểm 7, 5 điểm 8 và 2 điểm 9. Vậy dãy gồm 20 giá trị là: \(5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 9\).

• Bước 2: Tìm trung vị \(Q_2\) của mẫu: Có giá trị cỡ mẫu: \(n = 20\) là số chẵn nên \(Q_2 = (x_{10} + x_{11})/2\). Đếm vị trí: \(x_{1}\) đến \(x_{3}\) là điểm 5, \(x_{4}\) đến \(x_{7}\) là điểm 6, \(x_{8}\) đến \(x_{13}\) là điểm 7. Vậy \(x_{10} = x_{11} = 7\) và \(Q_2 = 7\).

• Bước 3: Tìm trung vị của nửa trên và nửa dưới \(Q_1\) và \(Q_3\): Nửa dưới gồm \(x_{1}, \ldots , x_{10}\) (10 giá trị) nên \(Q_1 = (x_{5} + x_{6})/2\). Hai giá trị này đều là điểm 6, nên \(Q_1 = 6\). Nửa trên gồm \(x_{11}, \ldots , x_{20}\) (10 giá trị) nên \(Q_3 = (x_{15} + x_{16})/2\). Vì \(x_{14}\) đến \(x_{18}\) là điểm 8 nên \(Q_3 = (8 + 8)/2 = 8\).

• Bước 4: Tính khoảng tứ phân vị của mẫu \(\Delta_Q\): \(\Delta_Q = 8 - 6 = 2\).

Phương pháp dùng tần số tích lũy: Không nhất thiết liệt kê toàn bộ dãy. Cộng dồn các tần số thành 3; 7; 13; 18; 20 để xác định vị trí. Chẳng hạn, cột điểm 6 chiếm các vị trí từ 4 đến 7 nên giá trị thứ 5 và thứ 6 đều bằng 6.

Một số lưu ý khi tính khoảng tứ phân vị của mẫu không ghép nhóm

• Các giá trị lặp lại vẫn được tính từng giá trị một. Ví dụ như hai điểm 6 là hai giá trị riêng biệt khi xác định vị trí.

• Sau khi tính xong, hãy kiểm tra \(Q_1 \le Q_2 \le Q_3\) và \(\Delta_Q \ge 0\). Nếu không thỏa mãn thì chắc chắn có bước bị nhầm.

• Q1 và Q3 luôn là một giá trị của mẫu hoặc là trung bình cộng của hai giá trị liền nhau trong mẫu. Nếu học sinh ra một số “lạ” nằm ngoài khoảng của dữ liệu thì cần tính lại.

Công thức tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Mẫu số liệu ghép nhóm là gì?

Khi số liệu quá nhiều hoặc quá phân tán (chẳng hạn cân nặng của hàng trăm học sinh), thường không liệt kê từng giá trị mà chia chúng vào các nhóm liên tiếp, rồi đếm xem mỗi nhóm có bao nhiêu giá trị. Bảng thu được gọi là bảng số liệu ghép nhóm. Ví dụ, bảng sau cho cân nặng của 20 học sinh: [1]

Học sinh cần nắm các khái niệm sau:

• Nhóm [a; b) gồm các giá trị từ a đến nhỏ hơn b; giá trị đúng bằng b thuộc nhóm tiếp theo. Số a là đầu mút trái, số b là đầu mút phải, còn \(b - a\) là độ dài của nhóm (ở ví dụ trên, mỗi nhóm trải dài trong khoảng 5 kg).

• Tần số của nhóm là số giá trị thuộc nhóm đó. Nếu có \(k\) nhóm thì ký hiệu các tần số là \(n_{1}, n_{2}, \ldots , n_k\).

• Cỡ mẫu \(n\) là tổng tất cả các tần số: \(n = n_{1} + n_{2} + \ldots + n_k\). Ở ví dụ trên \(n = 3 + 7 + 6 + 4 = 20\).

• Tần số tích lũy của một nhóm là tổng tần số của nhóm đó và của tất cả các nhóm đứng trước nó.

Bảng tần số tích lũy của ví dụ trên như sau:

Chẳng hạn, tần số tích lũy của nhóm [50; 55) là 16, nghĩa là có 16 học sinh nặng dưới 55 kg. Tần số tích lũy của nhóm cuối cùng luôn bằng n.

Cách tính khoảng tứ phân vị bằng nội suy

Với mẫu ghép nhóm, chỉ biết số quan sát trong từng khoảng mà chưa biết từng giá trị cụ thể. Cách tính khoảng tứ phân vị gồm bốn bước dưới đây; các mốc n/4 và 3n/4 được dùng để nội suy, không phải lúc nào cũng là chỉ số của một quan sát.

1. Tính hai mốc nội suy \(n/4\) và \(3n/4\).

2. Dựa vào tần số tích lũy để chọn nhóm tương ứng.

3. Nội suy tuyến tính trong mỗi nhóm, coi tần số phân bố đều trong khoảng để ước lượng Q₁ và Q₃ của mẫu gốc.

4. Tính \(\Delta_Q=Q_3-Q_1\).

Áp dụng các bước này cho bảng cân nặng ở ví dụ trên \((n = 20)\)để hiểu rõ cách tính:

Bước 1: Xác định mốc nội suy của các tứ phân vị trong dãy số liệu:

• Mốc nội suy của Q1 là: \(\frac{n}{4} = 5\)

• Mốc nội suy của Q3 là: \(\frac{3n}{4} = 15\)

Bước 2: Xác định nhóm chứa tứ phân vị dựa vào tần số tích lũy:

• Vì vị trí thứ 5 lớn hơn tần số tích lũy của nhóm trước đó, nên \(Q_{1}\) sẽ rơi vào nhóm \([45; 50)\).

• Vì vị trí thứ 15 vượt qua mốc tích lũy của các nhóm trước, nên \(Q_{3}\) sẽ thuộc về nhóm \([50; 55)\).

Bước 3: Tính toán giá trị cụ thể dựa trên độ dài nhóm:

• Đối với Q1: Tính đến trước nhóm \([45; 50)\) đã có sẵn 3 học sinh. Để chạm tới vị trí thứ 5, cần đếm thêm \(5 - 3 = 2\) học sinh nữa trong tổng số 7 học sinh thuộc nhóm này. Điều đó đồng nghĩa với việc cần tiến thêm \(\frac{2}{7}\) độ dài của nhóm tính từ đầu mút trái. Như vậy, nhóm chứa \(Q_{1}\) là \([45; 50)\), có đầu mút trái là 45 và độ dài nhóm là 5. Do cần đi thêm \(\frac{2}{7}\) độ dài nhóm, có phép tính: \(Q_1 = 45 + (2/7) \times 5 ≈ 46{,}43\) (kg)

• Đối với Q3: Tính đến trước nhóm \([50; 55)\) đã có tổng cộng 10 học sinh. Để đạt đến vị trí thứ 15, cần đi tiếp \(15 - 10 = 5\) học sinh nữa trong số 6 học sinh của nhóm này, tức là tiến thêm \(\frac{5}{6}\) độ dài của nhóm. Như vậy, nhóm chứa \(Q_{3}\) là \([50; 55)\), có đầu mút trái là 50 và độ dài nhóm cũng là 5. Do cần đi thêm \(\frac{5}{6}\) độ dài nhóm, có phép tính: \(Q_3 = 50 + (5/6) \times 5 ≈ 54{,}17\) (kg)

Bước 4: Tính giá trị khoảng tứ phân vị: \(\Delta_Q ≈ 54{,}17 - 46{,}43 = 7{,}74\) (kg)

Công thức nội suy Q₁, Q₃ và khoảng tứ phân vị

Công thức nội suy dưới đây giúp tính Q₁ và Q₃ từ đầu mút nhóm, tần số nhóm và tần số tích lũy. Sau đó lấy hiệu để tìm khoảng tứ phân vị.

Tứ phân vị thứ \(i (i = 1, 2, 3)\) của mẫu ghép nhóm có thể được dễ dàng tìm được bằng công thức sau:

\[\begin{aligned}Q_i&=L+\frac{in/4-F}{f}\,h,\\\Delta_Q&=Q_3-Q_1.\end{aligned}\]

Trong đó:

• i = 1, 2, 3 tương ứng với Q₁, Q₂, Q₃; n là tổng tần số.

• L là đầu mút trái, h là độ dài nhóm dùng để nội suy.

• f là tần số của nhóm đó; F là tần số tích lũy trước nhóm (F = 0 nếu là nhóm đầu).

• Đối chiếu ký hiệu trong lời giải: \(L=u_m,\quad h=u_{m+1}-u_m\), \(f=n_m,\quad F=C\).

Đối chiếu với ví dụ ở phần trên, thay vì phải xác định và nội suy giá trị phức tạp, có thể tính tứ phân vị \(Q_1\) và \(Q_3\) bằng cách áp dụng công thức:

• Tính \(Q_1\): Có i = 1, \(u_m=45\), \(i\cdot\dfrac{n}{4}=1\cdot\dfrac{20}{4}=5\), \(C = 3\), \(n_m=7\) và \(u_{m+1}-u_m=5\). Thay vào công thức, thu được phép tính: \(Q_1 = 45 + (5 - 3)/7 \times 5 \approx46{,}43\) (kg) đúng như trên.

• Tính \(Q_3\): Có i = 3, \(u_{m}=50\), \(i\cdot\dfrac{n}{4}=3\cdot\dfrac{20}{4}=15\), \(C=10\), \(n_{m}=6\) và \(u_{m+1}-u_m=5\). Thay vào công thức, thu được phép tính: \(Q_3=50+(15-10)/6\times5\approx54{,}17\) (kg) đúng như trên.

Các thành phần của công thức có ý nghĩa như sau:

• \(in/4-F\) là phần tần số tính từ trước nhóm đến mốc nội suy.

• Chia cho f để được tỉ lệ độ dài nhóm, rồi nhân với h và cộng L.

Sau khi tìm được \(Q_1 (i = 1)\) và \(Q_3 (i = 3)\), tính \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\) như thường lệ.

Vì công thức coi các giá trị rải đều trong từng nhóm nên kết quả chỉ là giá trị xấp xỉ. Học sinh nên giữ nguyên phân số hoặc giữ nhiều chữ số thập phân trong quá trình tính, và chỉ làm tròn (thường đến hai chữ số thập phân) ở kết quả cuối cùng.

Cách xác định nhóm chứa Q1 và Q3

Lỗi hay gặp nhất ở dạng bài này là chọn sai nhóm, nên học sinh hãy làm theo đúng các bước sau:

• Bước 1: Lập thêm cột tần số tích lũy và kiểm tra tần số tích lũy của nhóm cuối cùng có bằng \(n\) hay không.

• Bước 2: Tính \(n/4\) và \(3n/4\). Hai số này có thể không nguyên, điều đó không sao vì chúng chỉ là vị trí dùng để chọn nhóm và để tính toán.

• Bước 3: Nhóm chứa \(Q_1\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(n/4\). Nhóm chứa \(Q_3\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(3n/4\).

• Bước 4: Lấy \(C\) là tần số tích lũy của nhóm đứng ngay trước nhóm vừa tìm được.

Trường hợp mốc nội suy trùng tần số tích lũy: Có thể tính bằng nhóm ngay trước ranh giới, khi đó \(in/4-F=f\) và \(Q_i=L+h\). Đây là đầu mút phải của nhóm trước, cũng là đầu mút trái của nhóm kề sau nếu các nhóm liên tiếp. Giá trị tại ranh giới không nằm trong khoảng nửa kín bên trái; cần phân biệt nhóm dùng để nội suy với khoảng thực sự chứa giá trị đó.

Quy trình tính khoảng tứ phân vị lớp 12

Bước 1: Lập bảng tần số tích lũy.

Bước 2: Tính hai mốc nội suy \(n/4\) và \(3n/4\).

Bước 3: Xác định nhóm chứa \(Q_1\) và \(Q_3\) dựa trên các bước ở phần trên:

• Nhóm chứa \(Q\)1 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy \(\ge \frac{n}{4}\).

• Nhóm chứa \(Q_3\) là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy \(\ge \frac{3n}{4}\).

Bước 4: Lấy L, F, f, h cho từng nhóm đã xác định rồi tính:

\[Q_i=L+\frac{in/4-F}{f}\,h\quad(i=1{,}3).\]

Bước 5: Tìm giá trị khoảng tứ phân vị bằng công thức: \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\).

Ví dụ tìm khoảng tứ phân vị của mẫu ghép nhóm

Ví dụ với cỡ mẫu n chia hết cho 4

Đề bài: Thời gian hoàn thành bài tập về nhà môn Toán của 40 học sinh được cho trong bảng sau. Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

Lời giải:

Bước 1 – Lập bảng tần số tích lũy. Cỡ mẫu là \(n = 5 + 12 + 14 + 6 + 3 = 40\).

Bước 2 – Tính mốc nội suy của \(Q_1\) và \(Q_3\): \(n/4 = 10\) và \(3n/4 = 30\).

Bước 3 – Xác định nhóm chứa \(Q_1\) và \(Q_3\):

• Nhóm chứa \(Q_1\): Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10 là [20; 30) (tần số tích lũy 17).

• Nhóm chứa \(Q_3\): Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30 là [30; 40) (tần số tích lũy 31).

Bước 4 – Tính \(Q_1\) và \(Q_3\) theo công thức:

• Tính \(Q_1\): Theo bảng tần số: \(u_m=20\), \(u_{m+1}=30\), \(n_m=12\) và \(C = 5\) (tần số tích lũy của nhóm trước nhóm chứa \(Q_1\): nhóm [10; 20)). Áp dụng công thức, có: \[Q_1 = 20 + (10 - 5)/12 \times (30 - 20) = 20 + 50/12 ≈ 24{,}17\]

• Tính \(Q_3\): Theo bảng tần số: \(u_{m}=30\), \(u_{m+1}=40\), \(n_{m}=14\) và \(C=17\) (tần số tích lũy của nhóm trước nhóm chứa \(Q_3\): nhóm [20; 30)). Áp dụng công thức, có: \[Q_3 = 30 + (30 - 17)/14 \times (40 - 30) = 30 + 130/14 ≈ 39{,}29\]

Bước 5: Giữ giá trị chưa làm tròn:

• \[\begin{aligned}\Delta_Q&=\left(30+\frac{130}{14}\right)-\left(20+\frac{50}{12}\right)\\&=\frac{635}{42}\approx15{,}12\ \text{phút}.\end{aligned}\]

Kiểm tra và nhận xét: \(Q_1 ≈ 24{,}17\) nằm trong \([20; 30)\) và \(Q_3 ≈ 39{,}29\) nằm trong \([30; 40)\), đúng với các nhóm đã chọn. Như vậy, nửa số học sinh ở giữa có thời gian làm bài trải trên đoạn dài khoảng 15,12 phút. Để so sánh, khoảng biến thiên của mẫu là \(R = 60 - 10 = 50\) phút, lớn hơn nhiều so với \(\Delta_Q\).

Ví dụ với cỡ mẫu n không chia hết cho 4

Đề bài: Quãng đường từ nhà đến trường của 30 học sinh được cho trong bảng sau. Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

Lời giải:

Bước 1 – Lập bảng tần số tích lũy. Cỡ mẫu \(n = 4 + 9 + 8 + 6 + 3 = 30\).

Bước 2 – Tính mốc nội suy của \(Q_1\) và \(Q_3\): \(n/4 = 7{,}5\) và \(3n/4 = 22{,}5\). Các số này không nguyên nhưng vẫn dùng bình thường.

Bước 3 – Xác định nhóm chứa \(Q_1\) và \(Q_3\):

• Nhóm chứa \(Q_1\): Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 7,5 là [2; 4) (tần số tích lũy 13).

• Nhóm chứa \(Q_3\): Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 22,5 là [6; 8) (tần số tích lũy 27).

Bước 4 – Tính \(Q_1\) và \(Q_3\) theo công thức:

• Tính \(Q_1\): Theo bảng tần số: \(u_{m}=2\), \(u_{m+1}=4\), \(n_{m}=9\) và \(C=4\) (tần số tích lũy của nhóm trước nhóm chứa \(Q_1\): nhóm [0; 2)). Áp dụng công thức, có: \[Q_1 = 2 + (7{,}5 - 4)/9 \times 2 = 2 + 7/9 ≈ 2{,}78\]

• Tính \(Q_3\): Theo bảng tần số: \(u_{m}=6\), \(u_{m+1}=8\), \(n_{m}=6\) và \(C=21\) (tần số tích lũy của nhóm trước nhóm chứa \(Q_3\): nhóm [4; 6)). Áp dụng công thức, có: \[Q_3 = 6 + (22{,}5 - 21)/6 \times 2 = 6 + 0{,}5 = 6{,}5\]

Bước 5:

\[\Delta_Q=\frac{13}{2}-\frac{25}{9}=\frac{67}{18}\approx3{,}72\ \text{km}.\]

Nhận xét: Nửa số học sinh ở giữa có quãng đường đi học trải trên đoạn dài khoảng 3,72 km, trong khi khoảng biến thiên của cả mẫu là \(R = 10 - 0 = 10\) km.

Ý nghĩa của khoảng tứ phân vị trong phân tích thống kê

Khoảng tứ phân vị đo độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu

• Độ phân tán của một mẫu số liệu cho biết các giá trị đang tập trung gần nhau hay trải ra xa nhau. Có nhiều đại lượng để đo độ phân tán, như khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị hay độ lệch chuẩn.

• Khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q\) đo độ phân tán của \(50\%\) số liệu nằm chính giữa mẫu, tức là các giá trị từ \(Q_1\) đến \(Q_3\). Nó bỏ qua \(25\%\) giá trị nhỏ nhất và \(25\%\) giá trị lớn nhất, nên phản ánh “phần lõi” của mẫu. Chẳng hạn, nếu \(\Delta_Q\) của điểm thi là 1,5 thì điểm của nửa số học sinh ở giữa nằm gọn trong một đoạn dài 1,5 điểm.

\(\Delta_Q\) lớn hay nhỏ cho biết điều gì?

• ΔQ càng nhỏ: nửa giữa mẫu số liệu càng tập trung.

• ΔQ càng lớn: nửa giữa mẫu số liệu càng phân tán.

Ví dụ, xét trên một nhóm gồm điểm số của học sinh có \(Q_1 = 7\) và \(Q_3 = 8\) thì \(\Delta_Q = 1\): nửa số học sinh ở giữa đều có điểm quanh mức 7 đến 8. Một nhóm khác có \(Q_1 = 5\) và \(Q_3 = 9\) thì \(\Delta_Q = 4\): điểm của các học sinh ở giữa chênh nhau khá nhiều. [1]

Chỉ nên so sánh độ lớn của khoảng tứ phân vị giữa các mẫu cùng đại lượng và đơn vị đo. Chẳng hạn, không so trực tiếp ΔQ = 5 điểm với ΔQ = 5 bước chân. Bản thân chỉ số này không cho biết toàn bộ hình dạng phân bố.

Ưu điểm của khoảng tứ phân vị: ít bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ

Xét hai mẫu chỉ khác nhau ở giá trị cuối cùng: giá trị 11 ở mẫu A được thay bằng 40 ở mẫu B. Cả hai mẫu đều có \(n = 7\) giá trị, nên \(Q_2\) là giá trị thứ 4 và mỗi nửa có 3 giá trị.

Trong ví dụ này, thay 11 bằng 40 làm R tăng từ 6 lên 35 nhưng Q₁ = 6, Q₃ = 10 vẫn giữ nguyên nên ΔQ = 4. Nhìn chung, khoảng tứ phân vị ít nhạy với giá trị cực đoan hơn khoảng biến thiên; điều đó không có nghĩa chỉ số luôn bất biến khi dữ liệu thay đổi.

Hạn chế của ΔQ là không mô tả đầy đủ hai đuôi của mẫu. Để nhận diện giá trị ngoại lệ, cần tính thêm hai ngưỡng từ Q₁, Q₃ và ΔQ rồi đối chiếu với từng giá trị của mẫu.

Ứng dụng thực tế của khoảng tứ phân vị: so sánh mức độ đồng đều

Chỉ nhìn vào trung bình hay trung vị, nhiều khi không phân biệt được hai nhóm. Khoảng tứ phân vị giúp so sánh mức độ đồng đều của hai nhóm học sinh, hai lớp học hoặc hai mẫu khảo sát.

Ví dụ: Điểm kiểm tra của hai tổ, mỗi tổ 7 học sinh:

• Tổ 1: 6; 7; 7; 8; 8; 8; 9.

• Tổ 2: 4; 6; 7; 8; 9; 10; 10.

Cả hai dãy đã được sắp xếp và có \(n = 7\) (lẻ), nên \(Q_2\) là giá trị thứ 4 và mỗi nửa có 3 giá trị.

• Tổ 1: \(Q_2 = 8\). Nửa dưới 6; 7; 7 cho \(Q_1 = 7\). Nửa trên 8; 8; 9 cho \(Q_3 = 8\). Vậy \(\Delta_Q = 8 - 7 = 1\).

• Tổ 2: \(Q_2 = 8\). Nửa dưới 4; 6; 7 cho \(Q_1 = 6\). Nửa trên 9; 10; 10 cho \(Q_3 = 10\). Vậy \(\Delta_Q = 10 - 6 = 4\).

Hai tổ có cùng trung vị là 8 và điểm trung bình gần như nhau (khoảng 7,57 và 7,71). Tuy nhiên, \(\Delta_Q\) của tổ 1 nhỏ hơn nhiều, nên điểm của tổ 1 đồng đều hơn, còn điểm của tổ 2 phân tán hơn.

Ngoài điểm số, có thể dùng khoảng tứ phân vị để so sánh mức phân tán của thời gian giao hàng, giá thuê phòng hoặc thời gian chờ giữa các mẫu cùng đại lượng. ΔQ nhỏ hơn cho thấy nửa giữa tập trung hơn, chưa đủ để kết luận toàn bộ dữ liệu ổn định hoặc dự báo chắc chắn kết quả tương lai.

Xác định giá trị ngoại lệ dựa vào khoảng tứ phân vị

Giá trị ngoại lệ là gì?

Giá trị ngoại lệ là quan sát nằm xa phần lớn dữ liệu theo tiêu chí đang dùng. Trong bài này, tiêu chí là quy tắc 1,5 lần khoảng tứ phân vị.

Ngoại lệ có thể do đo hoặc nhập sai, hoặc là quan sát hợp lệ ít gặp. Không suy ra nguyên nhân chỉ từ điểm số và không tự động loại bỏ quan sát đó.

Quy tắc xác định giá trị ngoại lệ

Một giá trị \(x\) của mẫu là giá trị ngoại lệ nếu:

• \(x > Q_3 + 1{,}5\Delta_Q\) hoặc

• \(x < Q_1 - 1{,}5\Delta_Q\)

Để áp dụng quy tắc, học sinh làm theo các bước sau:

• Bước 1: Tính \(Q_1, Q_3\) và \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\).

• Bước 2: Tính hai điểm chặn: điểm chặn dưới là \(Q_1 - 1{,}5\Delta_Q\), điểm chặn trên là \(Q_3 + 1{,}5\Delta_Q\).

• Bước 3: Nhận xét: Giá trị nào nằm ngoài đoạn từ điểm chặn dưới đến điểm chặn trên thì là giá trị ngoại lệ. Vì dãy đã được sắp xếp nên học sinh chỉ cần xét các giá trị ở hai đầu.

Lưu ý quy tắc dùng dấu bất đẳng thức chặt: một giá trị nằm đúng trên điểm chặn thì chưa bị coi là ngoại lệ.

Giải thích trực quan về giá trị ngoại lệ

• Trên trục số, đoạn từ Q₁ đến Q₃ có độ dài ΔQ. Mở rộng sang trái và phải mỗi phía 1,5ΔQ để được hai ngưỡng xét ngoại lệ.

• Hệ số 1,5 là quy ước của quy tắc này; giá trị ngoài ngưỡng cần được kiểm tra thêm, không mặc nhiên là sai.

Cần nhớ rằng “ngoại lệ” không có nghĩa là “sai”. Khi tìm thấy giá trị ngoại lệ, nên xem xét nguyên nhân (đo nhầm, nhập nhầm hay trường hợp đặc biệt thật) rồi mới quyết định giữ hay loại bỏ. Ngoài ra, quy tắc này chỉ dùng để so sánh giá trị với chính mẫu đang xét.

Với số liệu ghép nhóm: Các ngưỡng tính được mang tính ước lượng. Nếu một nhóm cắt qua ngưỡng, chỉ từ bảng tần số chưa thể biết chính xác quan sát nào trong nhóm là ngoại lệ; cần số liệu gốc để kết luận cho từng giá trị.

Ví dụ về xác định giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu

Ví dụ 1: Với mẫu điểm 7; 5; 9; 6; 8; 10; 4; 7; 8; 6 đã tính ở trên, hãy xác định các giá trị ngoại lệ.

Lời giải:

Bước 1: Tìm \(Q_1, Q_3\) và \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\): Ở lời giải phía trên, đã có \(Q_1 = 6\), \(Q_3 = 8\) và \(\Delta_Q = 2\), nên \(1{,}5\Delta_Q = 3\).

Bước 2: Tính hai điểm chặn:

• Điểm chặn dưới: \(Q_1 - 1{,}5\Delta_Q = 6 - 3 = 3\).

• Điểm chặn trên: \(Q_3 + 1{,}5\Delta_Q = 8 + 3 = 11\).

Bước 3: Nhận xét: Mọi điểm từ 4 đến 10 đều nằm giữa hai điểm chặn, nên mẫu này không có giá trị ngoại lệ.

Ví dụ 2: Với mẫu số giờ tự học 5; 7; 4; 20; 6; 3; 8; 5; 7; 4; 6 đã tính ở trên, hãy xác định các giá trị ngoại lệ.

Lời giải:

Bước 1: Tìm \(Q_1, Q_3\) và \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\): Ở lời giải phía trên, đã có \(Q_1 = 4\), \(Q_3 = 7\) và \(\Delta_Q = 3\), nên \(1{,}5\Delta_Q = 4{,}5\).

Bước 2: Tính hai điểm chặn:

• Điểm chặn dưới: \(Q_1 - 1{,}5\Delta_Q = 4 - 4{,}5 = -0{,}5\).

• Điểm chặn trên: \(Q_3 + 1{,}5\Delta_Q = 7 + 4{,}5 = 11{,}5\).

Bước 3: Nhận xét: Các giá trị từ 3 đến 8 đều nằm trong đoạn [–0,5; 11,5]. Riêng giá trị 20 lớn hơn 11,5. Vậy 20 là giá trị ngoại lệ duy nhất của mẫu.

Ví dụ 3. Đề bài: Số quyển sách đã đọc trong học kỳ của 9 học sinh là: 12; 9; 10; 8; 1; 13; 11; 9; 12. Hãy xác định giá trị ngoại lệ.

Lời giải:

Bước 1: Tìm \(Q_1, Q_3\) và \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\):

• Sắp xếp theo thứ tự không giảm: 1; 8; 9; 9; 10; 11; 12; 12; 13.

• Tìm tứ phân vị và khoảng tứ phân vị của mẫu:

  • Tìm \(Q_2\): \(n = 9\) (lẻ) nên Q2 là giá trị thứ 5, tức \(Q_2 = 10\).

  • Tìm \(Q_1\): Nửa dưới gồm 4 giá trị 1; 8; 9; 9, nên \(Q_1 = (8 + 9)/2 = 8{,}5\).

  • Tìm \(Q_3\): Nửa trên gồm 4 giá trị 11; 12; 12; 13, nên \(Q_3 = (12 + 12)/2 = 12\).

  • Tính \(\Delta_Q\): \(\Delta_Q = 12 - 8{,}5 = 3{,}5\), suy ra \(1{,}5\Delta_Q = 5{,}25\).

Bước 2: Tìm hai điểm chặn:

• Điểm chặn dưới: \(Q_1-1{,}5\Delta Q=8{,}5-5{,}25=3{,}25\)

• Điểm chặn trên: \(Q_3+1{,}5\Delta Q=12+5{,}25=17{,}25\).

Bước 3: Nhận xét: Giá trị 1 nhỏ hơn 3,25 nên là giá trị ngoại lệ. Các giá trị còn lại từ 8 đến 13 đều nằm trong đoạn [3,25; 17,25]. Vậy mẫu có đúng một giá trị ngoại lệ là 1.

Những điều cần lưu ý

• Phải kiểm tra cả hai phía: một giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ đều có thể là ngoại lệ.

• Một mẫu có thể có nhiều giá trị ngoại lệ, hoặc không có giá trị nào.

• Muốn dùng quy tắc, học sinh phải tính đúng Q1 và Q3 trước, vì chỉ cần sai một bước tính thì hai điểm chặn cũng sai theo.

Những sai lầm thường gặp khi tính khoảng tứ phân vị

Sai lầm 1: Không sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm trước khi tính

Lỗi sai: Lấy ngay giá trị ở giữa của dãy số mà đề bài cho để làm trung vị.

Ví dụ: Mẫu 9; 3; 7; 1; 5. Nếu không sắp xếp, sẽ lấy giá trị ở giữa là 7, và kết quả sau đó đều sai. Cách làm đúng là sắp xếp thành 1; 3; 5; 7; 9, khi đó \(Q_2 = 5\). Nửa dưới 1; 3 cho \(Q_1 = 2\), nửa trên 7; 9 cho \(Q_3 = 8\), và \(\Delta_Q = 6\).

Cách tránh: Luôn viết lại dãy đã sắp xếp ra giấy nháp trước khi làm bất cứ việc gì khác, rồi đếm lại xem số giá trị có đúng bằng n hay không.

Sai lầm 2: Nhầm cách xác định Q1 và Q3 giữa trường hợp n chẵn và n lẻ

Lỗi sai: Khi n lẻ, đưa luôn giá trị Q2 vào cả nửa dưới lẫn nửa trên; hoặc khi n chẵn, lại chia mẫu không đều thành hai nửa.

Ví dụ: Mẫu đã sắp xếp 2; 4; 6; 8; 10 có \(n = 5\)(lẻ).

• Cách làm sai: đưa \(Q_2 = 6\) vào cả hai nửa. Nửa dưới 2; 4; 6 cho \(Q_1 = 4\), nửa trên 6; 8; 10 cho \(Q_3 = 8\). Thu được \(\Delta_Q = 4\), tức là sai.

• Cách làm đúng: \(Q_2 = 6\) và không thuộc nửa nào. Nửa dưới 2; 4 cho \(Q_1 = 3\), nửa trên 8; 10 cho \(Q_3 = 9\). Vậy \(\Delta_Q = 6\).

Cách tránh: Việc đầu tiên là ghi rõ \(n\) chẵn hay \(n\) lẻ. Nếu n lẻ, hãy gạch bỏ giá trị \(Q_2\) rồi mới chia hai nửa. Nếu \(n\) chẵn, mỗi nửa có đúng \(n/2\) giá trị.

Sai lầm 3: Xác định sai nhóm chứa Q1 hoặc Q3 với mẫu ghép nhóm

Lỗi sai: Cộng sai tần số tích lũy; lấy \(C\) là tần số tích lũy của chính nhóm chứa \(Q_i\) thay vì nhóm đứng ngay trước nó; hoặc chọn nhóm có tần số lớn nhất thay vì dựa vào \(n/4\) và \(3n/4\).

Ví dụ: Ở phần tìm khoảng tứ phân vị mẫu ghép nhóm (n chia hết cho 4), nhóm chứa \(Q_1\) là \([20; 30)\) và \(C = 5\). Nếu lấy nhầm \(C = 17\) (tần số tích lũy của chính nhóm \([20; 30)\)) thì \(Q_1 = 20 + (10 - 17)/12 \times 10 ≈ 14{,}17\). Kết quả này nằm ngoài nhóm \([20; 30)\), đây là dấu hiệu cho thấy học sinh đã làm sai. Cách làm đúng cho \(Q_1 ≈ 24{,}17\).

Cách tránh: Luôn lập cột tần số tích lũy và kiểm tra nhóm cuối bằng \(n\). Tìm nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng \(n/4\) (hay \(3n/4\)), lấy \(C\) là tần số tích lũy của nhóm ngay trước đó. Sau khi tính, kiểm tra xem \(Q_i\)có nằm trong nhóm đã chọn hay không.

Sai lầm 4: Nhầm khoảng tứ phân vị với khoảng biến thiên hoặc độ lệch chuẩn

Lỗi sai: Đề bài hỏi khoảng tứ phân vị nhưng lại trả lời bằng hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, hoặc tính độ lệch chuẩn.

Ba đại lượng này đều đo độ phân tán nhưng khác nhau hoàn toàn:

• Khoảng biến thiên \(R=x_{max}-x_{min}\). Nó rất nhạy với giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ.

• Khoảng tứ phân vị \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\). Nó chỉ nói về 50% số liệu ở giữa.

• Độ lệch chuẩn là một đại lượng khác, đo mức độ lệch của tất cả các giá trị so với số trung bình và được tính bằng một công thức riêng.

Ví dụ: Với mẫu: 4; 5; 6; 6; 7; 7; 8; 8; 9; 10, khoảng biến thiên là \(R = 10 - 4 = 6\) nhưng khoảng tứ phân vị là \(\Delta_Q = 2\). Nếu đề hỏi \(\Delta_Q\) mà học sinh trả lời \(6\) thì bài làm sai.

Cách tránh: Đọc kỹ yêu cầu của đề. Khi đề hỏi khoảng tứ phân vị, học sinh chỉ cần tìm \(Q_1\) và \(Q_3\) rồi lấy hiệu của chúng.

Quy trình tự kiểm tra bài làm

Trước khi nộp bài, học sinh hãy kiểm tra nhanh theo các ý sau:

1. Dãy số đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm và đã có đủ \(n\) giá trị hay chưa.

2. Với mẫu không ghép nhóm: \(n\) chẵn hay lẻ, và hai nửa đã được chia đúng hay chưa.

3. Với mẫu ghép nhóm: tần số tích lũy của nhóm cuối có bằng \(n\) không, nhóm chứa \(Q_1\) và \(Q_3\) đã đúng chưa, \(C\) đã lấy đúng chưa, và \(Q_i\) có nằm trong nhóm đã chọn không.

4. Kiểm tra điều kiện: \(Q_1 \le Q_2 \le Q_3\) và \(\Delta_Q \ge 0\).

5. Kết quả cuối cùng đã ghi đúng đơn vị và đúng yêu cầu của đề là tìm khoảng tứ phân vị hay chưa.

Bài tập khoảng tứ phân vị có lời giải

Mức độ cơ bản

Bài 1. Đề bài: Điểm kiểm tra 15 phút môn Toán của 12 học sinh là: 6; 8; 5; 9; 7; 10; 4; 8; 7; 6; 9; 8. Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

Lời giải:

Bước 1: Sắp xếp mẫu theo thứ tự không giảm: 4; 5; 6; 6; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 9; 10.

Bước 2: Tìm tứ phân vị của mẫu:

• \(n = 12\) (chẵn) nên \(Q_2 = (7 + 8)/2 = 7{,}5\).

• Nửa dưới: 4; 5; 6; 6; 7; 7. Hai giá trị ở giữa là 6 và 6, nên \(Q_1 = 6\).

• Nửa trên: 8; 8; 8; 9; 9; 10. Hai giá trị ở giữa là 8 và 9, nên \(Q_3 = 8{,}5\).

Bước 3: Tìm khoảng tứ phân vị: \(\Delta Q=Q_3-Q_1=8{,}5-6=2{,}5\).

Mức độ trung bình

Bài 2. Đề bài: Bảng sau cho điểm thi thử môn Toán của 40 học sinh lớp 12A và 40 học sinh lớp 12B. Tính khoảng tứ phân vị của mỗi lớp và cho biết lớp nào có điểm số phân tán hơn.

Lời giải: Cả hai lớp có cỡ mẫu \(n = 40\) .

Bước 1 – Lập bảng tần số tích lũy cho hai lớp:

Lớp 12A:

Lớp 12B:

Bước 2 – Tính mốc nội suy của \(Q_1\) và \(Q_3\): \(n/4 = 10\) và \(3n/4 = 30\). Hai lớp có cùng cỡ mẫu nên có vị trí \(Q_1,Q_3\)như nhau.

Bước 3 – Xác định nhóm chứa \(Q_1\) và \(Q_3\):

Lớp 12A:

• Nhóm chứa \(Q_1\): Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10 là [6; 7) (tần số tích lũy 14).

• Nhóm chứa \(Q_3\): Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30 là [7; 8) (tần số tích lũy 30).

Lớp 12B:

• Nhóm chứa \(Q_1\): Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 10 là [6; 7) (tần số tích lũy 14).

• Nhóm chứa \(Q_3\): Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 30 là [8; 9) (tần số tích lũy 34).

Bước 4 – Tính \(Q_1\) và \(Q_3\) theo công thức:

Lớp 12A:

• Tính \(Q_1\): Theo bảng tần số: \(u_{m}=6\), \(u_{m+1}=7\), \(n_{m}=10\) và \(C=4\) (tần số tích lũy của nhóm trước nhóm chứa \(Q_1\): nhóm [5; 6)). Áp dụng công thức, có: \(Q_1 = 6 + (10 - 4)/10 \times 1 = 6{,}6\)

• Tính \(Q_3\): Theo bảng tần số: \(u_{m}=7\), \(u_{m+1}=8\), \(n_{m}=16\) và \(C=14\) (tần số tích lũy của nhóm trước nhóm chứa \(Q_3\): nhóm [6; 7)). Áp dụng công thức, có: \(Q_3 = 7 + (30 - 14)/16 \times 1 = 8\)

Lớp 12B:

• Tính \(Q_1\): Theo bảng tần số: \(u_{m}=6\), \(u_{m+1}=7\), \(n_{m}=6\) và \(C = 8\) (tần số tích lũy của nhóm trước nhóm chứa \(Q_1\): nhóm [5; 6)). Áp dụng công thức, có: \(6 + (10 - 8)/6 \times 1 ≈ 6{,}33\)

• Tính \(Q_3\): Theo bảng tần số: \(u_{m}=8\), \(u_{m+1}=9\), \(n_{m}=12\) và \(C = 22\) (tần số tích lũy của nhóm trước nhóm chứa \(Q_3\): nhóm [7; 8)). Áp dụng công thức, có: \(Q_3 = 8 + (30 - 22)/12 \times 1 ≈ 8{,}67\)

Bước 5: Lấy hiệu bằng giá trị chưa làm tròn.

\[\Delta_{Q,A}=8-6{,}6=1{,}4.\]

\[\begin{aligned}\Delta_{Q,B}&=\frac{26}{3}-\frac{19}{3}\\&=\frac73\approx2{,}33.\end{aligned}\]

Kết luận: Vì 1,4 < 2,33 nên nửa giữa điểm số lớp 12B phân tán hơn lớp 12A. Nhận xét này dựa trên khoảng tứ phân vị; không suy trực tiếp từ số học sinh ở hai đầu thang điểm.

Mức độ nâng cao

Bài 3. Đề bài: Thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của 12 học sinh là: 12; 35; 14; 10; 16; 2; 13; 15; 11; 17; 14; 12. Tính khoảng tứ phân vị rồi xác định các giá trị ngoại lệ của mẫu.

Lời giải:

Bước 1: Tìm \(Q_1, Q_3\) và \(\Delta_Q = Q_3 - Q_1\):

• Sắp xếp theo thứ tự không giảm: 2; 10; 11; 12; 12; 13; 14; 14; 15; 16; 17; 35.

• Tìm tứ phân vị và khoảng tứ phân vị của mẫu:

  • Tìm \(Q_2\): \(n = 12\) (chẵn) nên \(Q_2 = (13 + 14)/2 = 13{,}5\)

  • Tìm \(Q_1\): Nửa dưới gồm 2; 10; 11; 12; 12; 13, nên \(Q_1 = (11 + 12)/2 = 11{,}5\).

  • Tìm \(Q_3\): Nửa trên gồm 14; 14; 15; 16; 17; 35, nên \(Q_3 = (15 + 16)/2 = 15{,}5\).

  • Tính \(\Delta_Q\): \(\Delta_Q = 15{,}5 - 11{,}5 = 4\), suy ra \(1{,}5\Delta_Q = 6\).

Bước 2: Tìm hai điểm chặn:

• Điểm chặn dưới: \(Q_1-1{,}5\Delta Q=11{,}5-6=5{,}5\)

• Điểm chặn trên: \(Q_3+1{,}5\Delta Q=15{,}5+6=21{,}5\).

Bước 3: Có \(2<5{,}5\) và \(35>21{,}5\), còn các giá trị khác thuộc đoạn [5,5; 21,5]. Vậy mẫu có hai giá trị ngoại lệ là 2 phút và 35 phút; cần kiểm tra bối cảnh trước khi kết luận nguyên nhân.

Nếu chỉ xét một tình huống minh họa bỏ hai giá trị này, mẫu còn 10; 11; 12; 12; 13; 14; 14; 15; 16; 17, cho Q₁ = 12, Q₃ = 15 và ΔQ = 3. Khoảng biến thiên giảm từ 33 xuống 7. Đây là phép so sánh độ nhạy, không phải khuyến nghị tự động xóa ngoại lệ.

Khoảng tứ phân vị được tính bằng \(\Delta_Q=Q_3-Q_1\), cho biết độ phân tán của nửa giữa mẫu số liệu. Khi so sánh các mẫu cùng đại lượng và đơn vị, ΔQ nhỏ hơn cho thấy phần dữ liệu này tập trung hơn. Quy tắc \(x<Q_1-1{,}5\Delta_Q\) hoặc \(x>Q_3+1{,}5\Delta_Q\) giúp nhận diện ngoại lệ để kiểm tra thêm. Học sinh nên luyện tìm Q₁, Q₃ cho từng loại mẫu, giữ số chưa làm tròn khi tính hiệu và tiếp tục ôn các số đặc trưng thống kê trong chuyên đề Toán 12 tại ZIM Academy.