Phương trình đoạn chắn | Công thức, cách viết và bài tập Toán 10

Trong chương trình Toán 10, phương trình đoạn chắn là một dạng phương trình đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, bên cạnh phương trình tổng quát và phương trình tham số.

Dạng phương trình theo đoạn chắn biểu diễn đường thẳng thông qua các giao điểm với hai trục tọa độ, giúp học sinh xác định nhanh các đoạn chắn trên trục \(Ox\) và \(Oy\). Bài viết sẽ làm rõ phương trình đoạn chắn là gì, công thức, cách lập phương trình và cách vận dụng vào các bài toán về giao điểm, diện tích tam giác và cực trị hình học.

Phương trình đoạn chắn là gì?

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), xét một đường thẳng \(d\) cắt trục hoành \(Ox\) tại điểm \(A(a; 0)\) và cắt trục tung \(Oy\) tại điểm \(B(0; b)\). Nếu hai hệ số \(a\) và \(b\) đều khác \(0\), khi đó phương trình của đường thẳng \(d\) được biểu diễn dưới dạng:

\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\]

Phương trình trên được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn hoặc gọi tắt là phương trình đoạn chắn.

Tên gọi "đoạn chắn" xuất phát từ việc đường thẳng \(d\) cắt hai trục tọa độ \(Ox\) và \(Oy\) tại hai điểm có tọa độ đoạn chắn lần lượt là \(a\) và \(b\); độ dài hình học tương ứng là \(OA=|a|\) và \(OB=|b|\).

Phân biệt phương trình đoạn chắn Oxy và phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Oxyz

Học sinh cần lưu ý phân biệt phương trình đoạn chắn của đường thẳng trong mặt phẳng \(Oxy\) với phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn trong hình học không gian \(Oxyz\).

Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng cắt ba trục tọa độ lần lượt tại \(A(a; 0; 0)\), \(B(0; b; 0)\) và \(C(0; 0; c)\) (\(a, b, c \neq 0\)) có phương trình là:

\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\]

Trong bài viết này, phương trình đoạn chắn được dùng cho đường thẳng trong mặt phẳng hai chiều \(Oxy\) với hai ẩn số \(x\) và \(y\). Việc ghi nhớ rõ phạm vi không gian tọa độ giúp người học tránh sự nhầm lẫn công thức khi tiếp xúc với các bài học ở chương trình lớp 12.

Bản chất hình học và điều kiện áp dụng của phương trình đoạn chắn

Bản chất hình học của các hệ số

Các hệ số \(a\) và \(b\) trong phương trình đoạn chắn mang ý nghĩa hình học rõ ràng:

• Hệ số \(a\): Là hoành độ giao điểm của đường thẳng với trục \(Ox\). Về mặt đại số, \(a\) thể hiện giá trị tọa độ trên trục hoành; về mặt hình học, độ dài đoạn thẳng \(OA\) bằng \(\vert{}a\vert{}\).

• Hệ số \(b\): Là tung độ giao điểm của đường thẳng với trục \(Oy\). Về mặt đại số, \(b\) thể hiện giá trị tọa độ trên trục tung; về mặt hình học, độ dài đoạn thẳng \(OB\) bằng \(\vert{}b\vert{}\).

Bản chất này cho phép học sinh đọc trực tiếp tọa độ giao điểm của đường thẳng với các trục tọa độ mà không cần trải qua các bước giải hệ phương trình phức tạp.

Điều kiện áp dụng phương trình đoạn chắn

Để một đường thẳng có thể viết được dưới dạng phương trình đoạn chắn, điều kiện bắt buộc là đường thẳng đó phải cắt cả hai trục tọa độ tại hai điểm phân biệt và không đi qua gốc tọa độ. Điều này tương đương với điều kiện đại số:

\[a \neq 0 \quad \text{và} \quad b \neq 0\]

Người học cần nắm rõ các trường hợp ngoại lệ không thể biểu diễn đường thẳng bằng phương trình đoạn chắn:

1. Đường thẳng đi qua gốc tọa độ \(O(0; 0)\): Khi đường thẳng đi qua gốc tọa độ, tọa độ giao điểm với hai trục là \(a = 0\) và \(b = 0\). Các giá trị này làm cho mẫu số trong phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) không xác định.

2. Đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành \(Ox\): Nếu song song với \(Ox\), đường thẳng có dạng \(y = b\) với \(b \neq 0\); nếu trùng với \(Ox\) thì \(y=0\). Trong cả hai trường hợp, đường thẳng không có hai đoạn chắn hữu hạn khác 0 trên hai trục nên không viết được dưới dạng phương trình đoạn chắn.

3. Đường thẳng song song hoặc trùng với trục tung \(Oy\): Nếu song song với \(Oy\), đường thẳng có dạng \(x = a\) với \(a \neq 0\); nếu trùng với \(Oy\) thì \(x=0\). Trong cả hai trường hợp, đường thẳng không có hai đoạn chắn hữu hạn khác 0 trên hai trục nên không viết được dưới dạng phương trình đoạn chắn.

Trong các trường hợp ngoại lệ trên, học sinh phải chuyển sang sử dụng phương trình tổng quát \(Ax + By + C = 0\) hoặc phương trình tham số của đường thẳng.

Cách lập phương trình đoạn chắn của đường thẳng

Lập phương trình khi biết tọa độ hai giao điểm với trục tọa độ

Các bước thực hiện:

• Bước 1: Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng với hai trục tọa độ, lần lượt là \(A(a; 0) \in Ox\) và \(B(0; b) \in Oy\).

• Bước 2: Kiểm tra điều kiện \(a \neq 0\) và \(b \neq 0\).

• Bước 3: Thay trực tiếp các giá trị \(a\) và \(b\) vào công thức phương trình đoạn chắn \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

• Bước 4: Quy đồng mẫu số và biến đổi về phương trình tổng quát nếu đề bài yêu cầu.

Ví dụ minh họa:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), lập phương trình đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A(-4; 0)\) và \(B(0; 3)\).

Lời giải:

Đường thẳng \(d\) cắt trục hoành tại \(A(-4; 0)\) nên \(a = -4 \neq 0\).

Đường thẳng \(d\) cắt trục tung tại \(B(0; 3)\) nên \(b = 3 \neq 0\).

Áp dụng công thức phương trình đoạn chắn, phương trình của đường thẳng \(d\) là:

\[\frac{x}{-4} + \frac{y}{3} = 1\]

Biến đổi về dạng phương trình tổng quát bằng cách nhân hai vế với 12:

\[-3x + 4y = 12 \Leftrightarrow 3x - 4y + 12 = 0\]

Lập phương trình khi biết một điểm và điều kiện về hai đoạn chắn

Các bước thực hiện:

• Bước 1: Gọi phương trình đường thẳng \(d\) dưới dạng đoạn chắn: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\) với điều kiện \(a \neq 0, b \neq 0\).

• Bước 2: Sử dụng tọa độ của điểm \(M(x_0; y_0) \in d\) để thay vào phương trình, tạo thành phương trình chứa \(a\) và \(b\): \(\frac{x_0}{a} + \frac{y_0}{b} = 1\).

• Bước 3: Kết hợp với giả thiết phụ (ví dụ: mối quan hệ giữa \(a\) và \(b\), độ dài các đoạn thẳng \(OA, OB\), diện tích tam giác) để lập hệ phương trình và tìm ra giá trị của \(a, b\).

• Bước 4: Thử lại điều kiện \(a, b \neq 0\) và kết luận phương trình.

Ví dụ minh họa:

Lập phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(2; 3)\) và cắt hai trục tọa độ \(Ox, Oy\) lần lượt tại \(A(a; 0)\) và \(B(0; b)\) sao cho \(a = 2b\) (\(a, b \neq 0\)).

Lời giải:

Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng đoạn chắn:

\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \quad (a, b \neq 0)\]

Theo giả thiết \(a = 2b\), phương trình trở thành:

\[\frac{x}{2b} + \frac{y}{b} = 1\]

Vì điểm \(M(2; 3)\) thuộc đường thẳng \(d\), học sinh thay tọa độ \(x = 2, y = 3\) vào phương trình trên:

\[\frac{2}{2b} + \frac{3}{b} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{b} + \frac{3}{b} = 1 \Leftrightarrow \frac{4}{b} = 1 \Leftrightarrow b = 4\]

\[\Rightarrow a=2b=2\cdot4=8\].

Cả hai giá trị \(a = 8\) và \(b = 4\) đều thỏa mãn điều kiện khác \(0\).

Vậy phương trình đoạn chắn của đường thẳng \(d\) là:

\[\frac{x}{8} + \frac{y}{4} = 1 \quad \text{hay} \quad x + 2y - 8 = 0\]

Chuyển đổi giữa phương trình tổng quát và phương trình đoạn chắn

Các bước thực hiện:

Cho đường thẳng dạng tổng quát \(Ax + By + C = 0\). Để chuyển đổi sang dạng đoạn chắn, đường thẳng cần thỏa mãn điều kiện \(A \neq 0, B \neq 0, C \neq 0\).

• Bước 1: Chuyển hằng số tự do \(C\) sang vế phải: \(Ax + By = -C\).

• Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho \(-C\):

\[\frac{Ax}{-C} + \frac{By}{-C} = 1\]

• Bước 3: Biến đổi đưa các hệ số \(A, B\) xuống dưới mẫu số để xuất hiện dạng chuẩn \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\):

\[\frac{x}{\left(-\frac{C}{A}\right)} + \frac{y}{\left(-\frac{C}{B}\right)} = 1\]

Khi đó, đường thẳng cắt \(Ox\) tại \(A\left(-\frac{C}{A}; 0\right)\) và cắt \(Oy\) tại \(B\left(0; -\frac{C}{B}\right)\).

Ví dụ minh họa:

Cho đường thẳng \(\Delta\) có phương trình tổng quát \(3x - 2y - 6 = 0\). Hãy chuyển phương trình \(\Delta\) về dạng đoạn chắn và tìm tọa độ các giao điểm của \(\Delta\) với hai trục tọa độ.

Lời giải:

Chuyển hằng số tự do sang vế phải: \(3x - 2y = 6\).

Chia hai vế của phương trình cho 6, học sinh thu được:

\[\frac{3x}{6} - \frac{2y}{6} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{2} + \frac{y}{-3} = 1\]

Đây chính là phương trình dạng đoạn chắn của đường thẳng \(\Delta\).

Từ phương trình này, người học dễ dàng suy ra tọa độ giao điểm:

• Giao điểm của \(\Delta\) với trục hoành \(Ox\) là \(A(2; 0)\).

• Giao điểm của \(\Delta\) với trục tung \(Oy\) là \(B(0; -3)\).

Ứng dụng của phương trình đoạn chắn trong giải toán

Tính diện tích tam giác vuông OAB

Tam giác \(OAB\) tạo bởi đường thẳng \(d\) và hai trục tọa độ là tam giác vuông tại gốc tọa độ \(O\). Độ dài hai cạnh góc vuông là \(OA = \vert{}a\vert{}\) và \(OB = \vert{}b\vert{}\). Do đó, diện tích tam giác \(OAB\) được tính đơn giản bằng công thức:

\[S_{\Delta OAB} = \frac{1}{2} OA \cdot OB = \frac{1}{2} \vert{}a \cdot b\vert{}\]

Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ \(O\) lên đường thẳng \(d\). Đoạn \(OH\) chính là khoảng cách từ \(O\) đến \(d\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OAB\) với đường cao \(OH\):

\[\frac{1}{OH^2} = \frac{1}{OA^2} + \frac{1}{OB^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\]

Từ đó, học sinh suy ra khoảng cách:

\[d(O, d) = OH = \frac{\vert{}a \cdot b\vert{}}{\sqrt{a^2 + b^2}}\]

Giải các bài toán cực trị hình học

Phương trình đoạn chắn giúp chuyển bài toán tìm cực trị hình học về đánh giá đại số thông qua các bất đẳng thức quen thuộc như Cauchy (AM-GM) hoặc Cauchy-Schwarz.

Khi đường thẳng \(d\) đi qua điểm cố định \(M(x_0; y_0)\) (\(x_0, y_0 > 0\)) và cắt \(Ox, Oy\) tại \(A(a; 0), B(0; b)\) (\(a, b > 0\)), học sinh thu được đẳng thức nền tảng:

\[\frac{x_0}{a} + \frac{y_0}{b} = 1\]

Từ đây, người học xử lý hai dạng toán phổ biến:

• Diện tích \(S_{\Delta OAB}\) nhỏ nhất: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

  \[1 = \frac{x_0}{a} + \frac{y_0}{b} \ge 2\sqrt{\frac{x_0 y_0}{ab}} \Rightarrow S_{\Delta OAB} = \frac{1}{2}ab \ge 2x_0 y_0\]

  Dấu "=" xảy ra khi \(a = 2x_0\) và \(b = 2y_0\).

• Độ dài \(AB\) hoặc \((OA + OB)\) nhỏ nhất: Kết hợp đẳng thức \(\frac{x_0}{a} + \frac{y_0}{b} = 1\) với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz để đánh giá trực tiếp biểu thức \(a + b\) hoặc \(a^2 + b^2\).

Bài tập phương trình đoạn chắn lớp 10

Bài tập 1: Viết phương trình đoạn chắn

Đề bài: Trong mặt phẳng \(Oxy\), viết phương trình đường thẳng \(d\) cắt trục hoành tại điểm \(A(6; 0)\) và cắt trục tung tại điểm \(B(0; -2)\).

Lời giải:

Đường thẳng \(d\) cắt \(Ox\) tại \(A(6; 0) \Rightarrow a = 6\).

Đường thẳng \(d\) cắt \(Oy\) tại \(B(0; -2) \Rightarrow b = -2\).

Do \(a, b \neq 0\), phương trình đoạn chắn của \(d\) là:

\[\frac{x}{6} + \frac{y}{-2} = 1\]

Nhân hai vế với \(6\), người học thu được phương trình tổng quát: \(x - 3y - 6 = 0\).

Bài tập 2: Chuyển đổi phương trình và tính diện tích

Đề bài: Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tổng quát \(4x + 3y - 12 = 0\).

a) Viết phương trình đường thẳng \(d\) dưới dạng đoạn chắn.

b) Tính diện tích tam giác \(OAB\) tạo bởi đường thẳng \(d\) và hai trục tọa độ.

Lời giải:

a) Chuyển hằng số tự do sang vế phải: \(4x + 3y = 12\).

Chia hai vế cho \(12\), học sinh có:

\[\frac{4x}{12} + \frac{3y}{12} = 1 \Leftrightarrow \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1\]

b) Từ phương trình đoạn chắn, tọa độ giao điểm là \(A(3; 0)\) và \(B(0; 4)\).

Suy ra \(a = 3\) và \(b = 4\).

Diện tích tam giác \(OAB\) là:

\[S_{\Delta OAB} = \frac{1}{2} \vert{}a \cdot b\vert{} = \frac{1}{2} \cdot \vert{}3\vert{} \cdot \vert{}4\vert{} = 6 \text{ (đơn vị diện tích)}\]

Bài tập 3: Bài toán tam giác cân

Đề bài: Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(N(1; 2)\) và cắt hai trục \(Ox, Oy\) lần lượt tại \(A, B\) sao cho tam giác \(OAB\) là tam giác vuông cân tại \(O\).

Lời giải:

Vì tam giác \(OAB\) vuông cân tại \(O\) nên \(OA = OB \Leftrightarrow \vert{}a\vert{} = \vert{}b\vert{} \neq 0\).

Do đó có hai trường hợp xảy ra:

• Trường hợp 1: \(a = b\).

  Phương trình \(d\) có dạng: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1 \Leftrightarrow x + y = a\).

  Vì \(N(1; 2) \in d\) nên \(1 + 2 = a \Rightarrow a = 3\) (thỏa mãn).

  Phương trình đường thẳng \(d_1\) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{3} = 1 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\).

• Trường hợp 2: \(a = -b\).

  Phương trình \(d\) có dạng: \(\frac{x}{-b} + \frac{y}{b} = 1 \Leftrightarrow -x + y = b\).

  Vì \(N(1; 2) \in d\) nên \(-1 + 2 = b \Rightarrow b = 1 \Rightarrow a = -1\) (thỏa mãn).

  Phương trình đường thẳng \(d_2\) là: \(\frac{x}{-1} + \frac{y}{1} = 1 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0\).

Kết luận: Có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán là \(x + y - 3 = 0\) và \(x - y + 1 = 0\).

Bài tập 4: Bài toán cực trị diện tích

Đề bài: Trong mặt phẳng \(Oxy\), lập phương trình đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(P(2; 1)\) và cắt hai tia \(Ox, Oy\) lần lượt tại \(A(a; 0)\) và \(B(0; b)\) (\(a > 0, b > 0\)) sao cho diện tích tam giác \(OAB\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Do \(d\) cắt hai tia \(Ox, Oy\) nên \(a > 0\) và \(b > 0\).

Phương trình đường thẳng \(d\) dạng đoạn chắn là:\[\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\]

Vì điểm \(P(2; 1)\) thuộc đường thẳng \(d\), học sinh có quan hệ:

\[\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = 1\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(\frac{2}{a}\) và \(\frac{1}{b}\):

\[1 = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} \ge 2 \sqrt{\frac{2}{a} \cdot \frac{1}{b}} = 2 \sqrt{\frac{2}{ab}}\]

Bình phương hai vế của bất đẳng thức:

\[1 \ge 4 \cdot \frac{2}{ab} = \frac{8}{ab} \Rightarrow ab \ge 8\]

Diện tích tam giác \(OAB\) được tính theo công thức:

\[S_{\Delta OAB} = \frac{1}{2} ab \ge \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\]

Giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác \(OAB\) bằng 4. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

\[\frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{2} \Rightarrow \begin{cases} a = 4 \\ b = 2 \end{cases} \text{ (thỏa mãn } a, b > 0)\]

Vậy phương trình đường thẳng \(d\) cần tìm là:

\[\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1 \quad \text{hay} \quad x + 2y - 4 = 0\]

Phương trình đoạn chắn giúp biểu diễn nhanh đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại \(A(a;0)\) và \(B(0;b)\) với \(ab\neq0\). Nắm chắc công thức, điều kiện áp dụng và cách lập phương trình đường thẳng theo đoạn chắn giúp học sinh xử lý hiệu quả các bài toán về giao điểm, diện tích và cực trị trong mặt phẳng tọa độ. Người học có thể tham khảo thêm các kiến thức liên quan trong chuyên đề Toán 10.