Phương trình đường tròn: Công thức, cách viết và bài tập Toán 10

Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính, từ đó có thể thiết lập phương trình đường tròn trong mặt phẳng tọa độ. Việc nắm vững công thức phương trình đường tròn, các dạng biểu diễn, phương trình tổng quát, điều kiện nhận biết và cách xác định là nền tảng quan trọng trong chương trình phương trình đường tròn lớp 10.

Qua bài học, học sinh sẽ hiểu phương trình đường tròn là gì, biết cách viết phương trình khi cho tâm, bán kính hoặc ba điểm, đồng thời vận dụng vào các bài tập phương trình đường tròn thường gặp.

Phương trình đường tròn là gì?

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), đường tròn \((C)\) tâm \(I(a; b)\) và bán kính \(R\) (\(R > 0\)) là tập hợp tất cả các điểm \(M(x; y)\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(I\) luôn bằng \(R\).

Ta có:

\[IM=R\iff\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}=R\]Bình phương hai vế, ta thu được phương trình chính tắc của đường tròn: [1]

\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\]Trường hợp đặc biệt:

Nếu tâm của đường tròn trùng với gốc tọa độ \(O(0; 0)\), phương trình đường tròn có dạng đơn giản: \[x^2 + y^2 = R^2\]

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn \((C)\) biết tâm \(I(3; -2)\) và bán kính \(R = 4\).

Lời giải:

Áp dụng công thức phương trình chính tắc với \(a = 3, b = -2, R = 4\):

\[(x-3)^2+(y-(-2))^2=4^2\iff(x-3)^2+(y+2)^2=16\]

Phương trình tổng quát của đường tròn và Điều kiện nhận biết

Dạng tổng quát

Nếu ta khai triển phương trình chính tắc \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\):

\[x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = R^2\]

\[\iff x^2+y^2-2ax-2by+(a^2+b^2-R^2)=0\]

Đặt \(c = a^2 + b^2 - R^2\), ta thu được phương trình tổng quát của đường tròn:

\[x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0\]

Điều kiện để một phương trình là phương trình đường tròn

Không phải mọi phương trình dạng \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0\) đều là phương trình đường tròn. Để phương trình này biểu diễn một đường tròn, điều kiện cần và đủ là: \[a^2 + b^2 - c > 0\]

Khi điều kiện trên thỏa mãn, phương trình sẽ biểu diễn đường tròn \((C)\) có:

• Tọa độ tâm: \(I(a; b)\)

• Bán kính: \(R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}\)

Lưu ý: Trước khi tìm \(a, b, c\), hãy đảm bảo hệ số trước \(x^2\) và \(y^2\) đều bằng \(1\). Nếu hệ số là \(k \neq 1\), bạn cần chia cả hai vế của phương trình cho \(k\).

Ví dụ: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn? Nếu có, hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn đó:

a) \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0\).

b) \(x^2 + y^2 + 2x - 4y + 10 = 0\).

Lời giải

a) Xét phương trình \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0\) ta có:

• \(-2a = -4 \implies a = 2\)

• \(-2b = 6 \implies b = -3\)

• \(c = -3\)

Khi đó \[a^2 + b^2 - c = 2^2 + (-3)^2 - (-3) = 4 + 9 + 3 = 16 > 0\]

Vậy đây là phương trình đường tròn tâm \(I(2; -3)\) và bán kính \(R = \sqrt{16} = 4\).

b) Xét phương trình \(x^2 + y^2 + 2x - 4y + 10 = 0\), ta có:

\(a = -1, b = 2, c = 10\).

Khi đó, \[a^2 + b^2 - c = (-1)^2 + 2^2 - 10 = 1 + 4 - 10 = -5 < 0\]

Vậy phương trình này không phải là phương trình đường tròn.

Cách viết phương trình đường tròn khi biết tâm và một điểm thuộc đường tròn

Nếu đường tròn \((C)\) có tâm \(I(a; b)\) và đi qua điểm \(A(x_A; y_A)\), thì bán kính \(R\) chính bằng khoảng cách từ tâm \(I\) đến điểm \(A\):

\[R = IA = \sqrt{(x_A - a)^2 + (y_A - b)^2}\]Sau khi tính được \(R\), ta thay tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) vào phương trình dạng \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\).

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1; 4)\) và đi qua điểm \(A(4; 0)\).

Lời giải:

• Bán kính của đường tròn \((C)\) là:

\[R = IA = \sqrt{(4 - 1)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\]

• Phương trình đường tròn \((C)\) là:

\[(x-1)^2+(y-4)^2=5^2\iff(x-1)^2+(y-4)^2=25\]

Lưu ý: Nếu đường tròn \((C)\) tâm \(I(a; b)\) tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta: Ax + By + C = 0\), thì bán kính \(R\) bằng khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(\Delta\):

\[R = d(I, \Delta) = \frac{\vert{}Aa + Bb + C\vert{}}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]

Cách viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm

Đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng \(A, B, C\) còn được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Phương pháp giải:

Sử dụng dạng phương trình tổng quát:

\[x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0\]Vì ba điểm \(A(x_A; y_A)\), \(B(x_B; y_B)\), \(C(x_C; y_C)\) đều thuộc đường tròn, tọa độ của chúng thỏa mãn phương trình trên. Ta thiết lập hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn (\(a, b, c\)):

\[\begin{cases}x_{A}^2+y_{A}^2-2ax_{A}-2by_{A}+c=0\\ x_{B}^2+y_{B}^2-2ax_{B}-2by_{B}+c=0\\ x_{C}^2+y_{C}^2-2ax_{C}-2by_{C}+c=0\end{cases}\iff\begin{cases}-2x_{A}\cdot a-2y_{A}\cdot b+c=-(x_{A}^2+y_{A}^2)\\ -2x_{B}\cdot a-2y_{B}\cdot b+c=-(x_{B}^2+y_{B}^2)\\ -2x_{C}\cdot a-2y_{C}\cdot b+c=-(x_{C}^2+y_{C}^2)\end{cases}\]Giải hệ phương trình tìm được \(a, b, c\), từ đó suy ra phương trình đường tròn.

Ví dụ: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A(1; 2)\), \(B(5; 2)\), \(C(1; -2)\).

Lời giải:

Gọi phương trình đường tròn cần tìm có dạng: \[x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0\] (\(a^2 + b^2 - c > 0\)).

Thay tọa độ các điểm \(A, B, C\) vào phương trình:

• Điểm\[A(1;2):1^2+2^2-2a(1)-2b(2)+c=0\iff-2a-4b+c=-5\]

• Điểm \[B(5;2):5^2+2^2-2a(5)-2b(2)+c=0\iff-10a-4b+c=-29\]

• Điểm \[C(1;-2):1^2+(-2)^2-2a(1)-2b(-2)+c=0\iff-2a+4b+c=-5\]

Ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases} -2a - 4b + c = -5 \\ -10a - 4b + c = -29 \\ -2a + 4b + c = -5 \end{cases}\) \(\rightarrow\begin{cases}a=3\\ b=0\\ c=1\end{cases}\)

Thử lại: \(a^2 + b^2 - c = 3^2 + 0^2 - 1 = 8 > 0\) (Thỏa mãn).

Vậy phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A, B, C\) là:

\[x^2+y^2-6x+1=0\]

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Cho đường tròn \((C)\) có tâm \(I(a; b)\), bán kính \(R\) và đường thẳng \(\Delta: Ax + By + C = 0\).

Để xác định vị trí tương đối giữa \(\Delta\) và \((C)\), ta tính khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(\Delta\):

\[d = d(I, \Delta) = \frac{\vert{}Aa + Bb + C\vert{}}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]So sánh \(d\) với bán kính \(R\), ta có 3 trường hợp:

• \(d > R\): Đường thẳng \(\Delta\) và đường tròn \((C)\) không có điểm chung (không cắt nhau).

• \(d = R\): Đường thẳng \(\Delta\) tiếp xúc với đường tròn \((C)\) (đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn, có đúng 1 điểm chung).

• \(d < R\): Đường thẳng \(\Delta\) cắt đường tròn \((C)\) tại hai điểm phân biệt.

Ví dụ: Xét vị trí tương đối của đường thẳng \(\Delta: 3x - 4y + 5 = 0\) và đường tròn \((C): (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 9\).

Lời giải:

• Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(1; -1)\) và bán kính \(R = \sqrt{9} = 3\).

• Khoảng cách từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(\Delta\) là:

\[d(I, \Delta) = \frac{\vert{}3(1) - 4(-1) + 5\vert{}}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{\vert{}3 + 4 + 5\vert{}}{\sqrt{25}} = \frac{12}{5} = 2,4\]

Vì \(d(I, \Delta) = 2,4 < R = 3\), nên đường thẳng \(\Delta\) cắt đường tròn \((C)\) tại hai điểm phân biệt.

Bài tập vận dụng viết phương trình đường tròn

Bài 1: Lập phương trình đường tròn \((C)\) có đường kính \(AB\) với \(A(1; 1)\) và \(B(5; 5)\).

Lời giải

• Tâm \(I\) của đường tròn là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\):

\[x_I = \frac{1 + 5}{2} = 3, \quad y_I = \frac{1 + 5}{2} = 3 \implies I(3; 3)\]

• Độ dài đường kính \[AB = \sqrt{(5 - 1)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\].

• Bán kính \(R = \frac{AB}{2} = 2\sqrt{2} \implies R^2 = 8\).

• Phương trình đường tròn : \((x - 3)^2 + (y - 3)^2 = 8\).

Bài 2. Cho điểm \(I(-2; 3)\) và đường thẳng \(d: x - 2y - 2 = 0\). Viết phương trình đường tròn tâm \(I\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d\).

Lời giải

• Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(d\), bán kính \(R\) bằng khoảng cách từ \(I\) đến \(d\): \[R = d(I, d) = \frac{\vert{}-2 - 2(3) - 2\vert{}}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{\vert{}-10\vert{}}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}\]

• \(R^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20\).

• Phương trình đường tròn: \((x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 20\).

Bài 3. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MNP\) với \(M(0; 4)\), \(N(3; 4)\), \(P(3; 0)\).

Lời giải

• Gọi phương trình tổng quát: \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0\).

• Thay tọa độ \(M, N, P\) thu được hệ: \[\begin{cases}16-8b+c=0\\ 25-6a-8b+c=0\\ 9-6a+c=0\end{cases}\iff\begin{cases}-8b+c=-16\\ -6a-8b+c=-25\\ -6a+c=-9\end{cases}\]

• Giải hệ phương trình ta được: \(a = 1,5\); \(b = 2\); \(c = 0\).

• Bán kính \(R = \sqrt{1,5^2 + 2^2 - 0} = 2,5\).

• Phương trình đường tròn: \(x^2 + y^2 - 3x - 4y = 0\) hay \((x - 1,5)^2 + (y - 2)^2 = 6,25\).

Bài 4. Tìm giá trị của tham số \(m\) để đường thẳng \(\Delta: x + y + m = 0\) tiếp xúc với đường tròn \((C): x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0\).

Lời giải

• Biến đổi \((C)\): \(a = 1, b = 2, c = 1 \implies\) Tâm \(I(1; 2)\), bán kính \(R = \sqrt{1^2 + 2^2 - 1} = 2\).

• Đề bài yêu cầu \(\Delta\) tiếp xúc với \((C)\iff d(I,\Delta)=R\): \[\frac{\vert{}1 + 2 + m\vert{}}{\sqrt{1^2 + 1^2}}=2\iff\frac{\vert{}m + 3\vert{}}{\sqrt{2}}=2\iff\vert{}m+3\vert{}=2\sqrt{2}\]

• Giải phương trình tuyệt đối: \[\left[\begin{array}{l} m + 3 = 2\sqrt{2} \implies m = -3 + 2\sqrt{2} \\ m + 3 = -2\sqrt{2} \implies m = -3 - 2\sqrt{2} \end{array}\right.\]

• Vậy \(m = -3 \pm 2\sqrt{2}\) là các giá trị cần tìm.

Qua bài viết này, bạn đã được hệ thống toàn bộ kiến thức nền tảng và các dạng bài tập quan trọng nhất về phương trình đường tròn: phương trình chính tắc, phương trình tổng quát, kỹ năng viết phương trình, ứng dụng khoảng cách: Xác định vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn.

Hi vọng bài tổng hợp này giúp bạn củng cố sự tự tin khi giải các bài toán hình học tọa độ \(Oxy\). Để tiếp tục ôn tập kiến thức, rèn luyện thêm nhiều dạng bài tập nâng cao cũng như khám phá các mẹo giải nhanh Toán 10, hãy tham khảo ngay chuyên mục Bài giảng Toán 10 tại ZIM Academy nhé!