Phương trình elip | Dạng chính tắc, cách viết và bài tập Toán 10

Trong chương trình Toán 10, phương trình elip là nội dung quan trọng của hình học giải tích trong mặt phẳng. Bài học giúp học sinh nhận biết hình elip, đường elip, nắm được phương trình đường elip, đặc biệt là phương trình elip dạng chính tắc, đồng thời xác định các yếu tố đặc trưng như tâm, tiêu điểm, tiêu cự, đỉnh, trục lớn, trục nhỏ và đồ thị elip. Nắm vững dạng và các yếu tố của phương trình hình elip giúp học sinh giải tốt các bài toán liên quan đến đường conic.

Phương trình elip là gì? Dạng chính tắc của elip

Phương trình chính tắc của elip là phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa hoành độ x và tung độ y của các điểm nằm trên elip trong hệ trục tọa độ Oxy được chọn phù hợp. Để tìm được phương trình elip, việc cần làm là biến đổi toán học hoặc hình học từ định nghĩa \(F_1M+F_2M=2a\) để có thể suy luận ra mối liên hệ giữa hoành độ và tung độ của điểm M. [1]

Để việc nghiên cứu các tính chất hình học trở nên đơn giản, gọn gàng và chuẩn hóa, các nhà toán học quy ước sử dụng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm \(F_1F_2\). Khi đó, trục Ox được chọn chứa đoạn thẳng \(F_1F_2\), còn trục Oy nằm vuông góc với Ox tại trung điểm O.

Xây dựng phương trình elip

Quy trình thiết lập phương trình elip như sau đây:

Bước 1: Với cách chọn hệ trục tọa độ như trên, tọa độ của hai tiêu điểm F1 và F2 được xác định lần lượt là \(F_1(-c;0),F_2(c;0)\). Giả sử \(M(x;y)\) là một điểm bất kỳ nằm trên đường elip (E). Bằng cách áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ, độ dài các bán kính qua tiêu được biểu diễn như sau:

\[F_1M=\sqrt{(x+c)^2+y^2} F_2M=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\]

Bước 2: Theo định nghĩa hình học của đường elip, điểm M thuộc (E) khi và chỉ khi tổng khoảng cách \(F_1M+F_2M=2a\). Thay các biểu thức tọa độ vào, thu được:

\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a\]

Bước 3: Để khử các dấu căn, thực hiện chuyển vế và bình phương hai vế. Sau khi biến đổi và rút gọn, thu được:

\[\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x-c)^2+y^2} (a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)\]

Bước 4: Vì \(a>c>0\), đặt \(b^2=a^2-c^2\) với \(b>0\). Khi đó:

\[b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\]

Bước 5: Chia cả hai vế cho \(a^2b^2\), thu được phương trình chính tắc của elip:

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]

Trong đó \(a>b>0\) và \(c^2=a^2-b^2\).

Phương trình elip tổng quát và phương trình elip không chính tắc

Trong chương trình Toán 10, dạng trọng tâm là phương trình chính tắc của elip \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) với \(a>b>0\). Các cụm từ phương trình elip tổng quát hoặc phương trình elip không chính tắc thường được dùng khi phương trình chưa được viết ở dạng chuẩn này.

Chẳng hạn, phương trình \(9x^2+25y^2=225\) chưa ở dạng phân thức quen thuộc. Chia hai vế cho 225, ta đưa được về phương trình chính tắc:

\[\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\]

Vì vậy, khi gặp một phương trình hình elip chưa ở dạng chính tắc, học sinh nên biến đổi đại số để nhận ra các giá trị \(a^2\), \(b^2\) và từ đó xác định các yếu tố của elip.

Lưu ý về phương trình elip

Để tránh nhầm lẫn trong việc hiểu rõ bản chất của phương trình elip, học sinh cần nắm được một vài lưu ý như sau:

• Khi xây dựng phương trình elip từ ý nghĩa hình học, tức là biết \(F_1F_2=2c\) và \(F_1M+F_2M=2a\) thì a và c là hai đại lượng gốc, trong khi đó b là đại lượng thứ ba được xác định bởi công thức \(b^2=a^2-c^2\).

• Nếu cho phương trình elip \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) trước, khi đó có thể xác định elip là tập hợp các điểm M có tổng khoảng cách tới hai tiêu điểm \(F_1M+F_2M=2a\) và tính được tiêu cự \[F_1F_2=2c=2\sqrt{a^2-b^2}\]

• Ba số a, b, c luôn thỏa mãn \(a>b>0\) và \(a>c>0\).

Ví dụ minh họa 1 (Tìm phương trình elip khi biết a và c): Cho hai tiêu điểm \(F_1(-2;0),F_2(2;0)\) và elip:

\[(E)=\left\{M\in(P)\mid F_1M+F_2M=5\right\}\]

Khi đó \(F_1F_2=2c=4\Rightarrow c=2\) và \(F_1M+F_2M=2a=5\Rightarrow a=\frac52\).

Tính được \(b^2=a^2-c^2=\frac94\). Phương trình chính tắc của elip là:

\[\frac{x^2}{25/4}+\frac{y^2}{9/4}=1\]

Hay:

\[\frac{4x^2}{25}+\frac{4y^2}{9}=1\]

Ví dụ minh họa 2 (Tìm tiêu cự, tiêu điểm khi biết phương trình elip): Cho elip với phương trình chính tắc:

\[\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\]

Từ phương trình trên có \(a^2=25\) và \(b^2=9\). Do đó:

\(c^2=a^2-b^2=25-9=16\), nên \(c=4\).

Tiêu cự của elip là \(2c=8\).

Hai tiêu điểm có tọa độ \(F_1(-c;0),F_2(c;0)\), nên tiêu điểm của elip là \(F_1(-4;0),F_2(4;0)\).

Đường elip là gì?

Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định và phân biệt \(F_1\), \(F_2\) với \(F_1F_2=2c>0\). Cho số thực \(a>c\). Tập hợp các điểm M thỏa mãn \(MF_1+MF_2=2a\) được gọi là đường elip hay elip. [1]

Trong mặt phẳng (P), cho hai điểm cố định phân biệt được ký hiệu là \(F_1\) và \(F_2\). Khoảng cách giữa hai điểm cố định này được xác định bằng đoạn thẳng \(F_1F_2=2c\) (với \(c > 0\)).

Ký hiệu hình học của đường elip là (E):

\[(E)={\left\lbrace M\in\left(P\right)|F_1M+F_2M=2a\right\rbrace}\]

Bên cạnh định nghĩa của elip, học sinh cần nắm thêm các khái niệm cơ bản đi kèm theo để có thể hiểu một cách toàn diện và sâu sắc nhất về cấu trúc cũng như bản chất hình học của đường elip:

• Tiêu điểm: Hai điểm cố định \(F_1\) và \(F_2\) được gọi là các tiêu điểm của đường elip (E). Hai điểm này là các điểm cố định dùng để xác định elip theo định nghĩa. [1]

• Tiêu cự: Độ dài của đoạn thẳng nối liền hai tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\), ký hiệu là \(F_1F_2=2c\), được gọi là tiêu cự của đường elip. Tiêu cự cho biết khoảng cách giữa hai tiêu điểm của elip. [1]

• Bán kính qua tiêu: Với mỗi điểm M bất kỳ nằm trên đường elip, các đoạn thẳng nối từ M đến hai tiêu điểm là \(F_1M\) và \(F_2M\) được gọi là các bán kính qua tiêu ứng với điểm M. Theo đúng định nghĩa, tổng hai bán kính qua tiêu này luôn bằng hằng số 2a và không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên đường elip. [2]

Bảng hệ thống thông tin cấu trúc và minh họa hình học của elip:

Các thành phần đồ thị elip và tính chất

Đồ thị elip của phương trình chính tắc \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) có tâm O, hai trục đối xứng là Ox và Oy, các đỉnh nằm trên hai trục tọa độ. Từ phương trình elip có thể xác định trực tiếp độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu điểm và tiêu cự.

Từ phương trình chính tắc \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\), có thể xác định các đặc trưng hình học và tính chất của đường elip như sau:

Các đỉnh, trục lớn và trục nhỏ của elip

Giao điểm với trục hoành Ox: Tại trục hoành Ox, tung độ bằng 0. Thay \(y=0\) vào phương trình chính tắc:

\[\frac{x^2}{a^2}=1\Rightarrow x=\pm a\]

Như vậy, đường elip cắt trục Ox tại hai điểm \(A_1(-a;0),A_2(a;0)\). Đoạn \(A_1A_2\) là trục lớn của elip, có độ dài \(2a\); a được gọi là nửa trục lớn.

Giao điểm với trục tung Oy: Tại trục tung Oy, hoành độ bằng 0. Thay \(x=0\) vào phương trình chính tắc:

\[\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow y=\pm b\]

Đường elip cắt trục Oy tại hai điểm \(B_1(0;-b),B_2(0;b)\). Đoạn \(B_1B_2\) là trục nhỏ, có độ dài \(2b\); b được gọi là nửa trục nhỏ.

Bốn điểm \(A_1(-a;0),A_2(a;0),B_1(0;-b),B_2(0;b)\) được gọi là bốn đỉnh của đường elip. [2]

Tính chất đối xứng của elip

Nếu một điểm \(M_1(x;y)\) thỏa mãn phương trình elip, thì các điểm đối xứng của nó qua các trục tọa độ và gốc tọa độ gồm \(M_2(-x;y)\), \(M_3(x;-y)\) và \(M_4(-x;-y)\) cũng thuộc đường elip.

Do đó, đường elip nhận trục hoành Ox và trục tung Oy làm hai trục đối xứng, đồng thời gốc tọa độ \(O(0;0)\) là tâm đối xứng của elip.

Tâm sai của đường elip

Tâm sai của elip được xác định bởi công thức:

\[e=\frac{c}{a}\]

Vì \(0<e<1\), tâm sai thể hiện mức độ dẹt của hình elip: [2]

• \(e\) càng gần 1 thì elip càng dẹt.

• \(e\) càng gần 0 thì elip càng gần hình tròn.

Hình chữ nhật cơ sở

Xét bốn đường thẳng \(x=-a,x=a,y=-b,y=b\). Chúng tạo thành một hình chữ nhật có kích thước các cạnh là \(2a\) và \(2b\), được gọi là hình chữ nhật cơ sở của elip. [2]

Đường elip nằm bên trong hình chữ nhật cơ sở, đồng thời các cạnh của hình chữ nhật tiếp xúc với elip tại bốn đỉnh.

Mối liên hệ giữa đường tròn và đường elip

Đường tròn và đường elip có mối liên hệ thông qua phép biến đổi tọa độ.

Phép co hình học biến đường tròn thành đường elip

Xét đường tròn (C) tâm O bán kính a có phương trình:

\[x^2+y^2=a^2\]

Thực hiện phép biến đổi tọa độ từ điểm \(M(x_M;y_M)\) thành điểm \(N(x_N;y_N)\) theo quy tắc:

\[x_N=x_M,\qquad y_N=\frac{b}{a}y_M\]

với \(0.\)

Khi đó, phương trình đường tròn được biến đổi thành:

\[x_N^2+\frac{a^2}{b^2}y_N^2=a^2\Rightarrow\frac{x_N^2}{a^2}+\frac{y_N^2}{b^2}=1\]

Như vậy, phép co theo phương trục tung có thể biến đường tròn thành một đường elip.

Ý nghĩa hình học của hệ thức \(b^2=a^2-c^2\)

Hệ thức \(b^2=a^2-c^2\) cho thấy mối liên hệ giữa hình dạng của elip với khoảng cách giữa hai tiêu điểm:

• Khi \(c\to0\), hai tiêu điểm tiến lại gần nhau và trùng tại tâm O.

• Khi đó \(b^2\to a^2\), tức là \(b\to a\).

• Tâm sai \(e=\frac ca\) tiến về 0 và phương trình elip tiến tới dạng:

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\Rightarrow x^2+y^2=a^2\]

Đây chính là phương trình đường tròn tâm O bán kính a. Vì vậy, đường tròn có thể được xem là một trường hợp đặc biệt của elip khi hai tiêu điểm trùng nhau.

Các dạng bài lập phương trình elip

Dạng 1: Lập phương trình elip khi biết độ dài trục lớn và trục nhỏ

Phương pháp giải:

• Gọi phương trình chính tắc của đường elip cần lập có dạng \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\), với \(a>b>0\).

• Từ độ dài trục lớn \(2a\), xác định a và \(a^2\).

• Từ độ dài trục nhỏ \(2b\), xác định b và \(b^2\).

• Thay \(a^2\) và \(b^2\) vào phương trình chính tắc.

Ví dụ 1: Lập phương trình chính tắc của đường elip (E), biết độ dài trục lớn bằng 10 đơn vị và độ dài trục nhỏ bằng 6 đơn vị.

Lời giải:

Giả sử phương trình chính tắc của elip là:

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]

Độ dài trục lớn bằng 10 nên \(2a=10\Rightarrow a=5\Rightarrow a^2=25\).

Độ dài trục nhỏ bằng 6 nên \(2b=6\Rightarrow b=3\Rightarrow b^2=9\).

Vậy phương trình chính tắc của đường elip là:

\[\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\]

Dạng 2: Lập phương trình elip khi biết tiêu điểm và một yếu tố hình học khác

Phương pháp giải:

• Từ tọa độ tiêu điểm \(F_1(-c;0)\) hoặc \(F_2(c;0)\), xác định c.

• Nếu biết độ dài trục lớn \(2a\) hoặc một đỉnh trên trục lớn, xác định a.

• Nếu biết tâm sai \(e=\frac ca\), suy ra \(a=\frac ce\).

• Sử dụng hệ thức \(b^2=a^2-c^2\) để tìm tham số còn lại.

• Thay \(a^2\), \(b^2\) vào phương trình chính tắc.

Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của đường elip (E), biết elip có một tiêu điểm là \(F_2(4;0)\) và tâm sai bằng \(e=\frac45\).

Lời giải:

Từ tiêu điểm \(F_2(4;0)\), suy ra \(c=4\).

Vì \(e=\frac ca=\frac45\) nên \(a=5\).

Áp dụng:

\[b^2=a^2-c^2=25-16=9\Rightarrow b=3\]

Vậy phương trình elip là:

\[\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\]

Dạng 3: Lập phương trình elip khi biết đường đi qua các điểm cho trước

Phương pháp giải:

• Gọi phương trình chính tắc của elip là \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\), với \(a>b>0\).

• Thay tọa độ các điểm thuộc elip vào phương trình để tạo hệ phương trình theo \(\frac1{a^2}\) và \(\frac1{b^2}\).

• Có thể đặt \(u=\frac1{a^2}\), \(v=\frac1{b^2}\) để giải hệ thuận tiện hơn.

• Tìm a, b, kiểm tra điều kiện \(a>b>0\) rồi viết phương trình chính tắc.

Ví dụ 3: Lập phương trình chính tắc của đường elip (E) đi qua hai điểm \(M(3;2,4)\) và \(N(4;-1,8)\).

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc cần tìm là:

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]

Vì \(M(3;2,4)\) thuộc elip:

\[\frac9{a^2}+\frac{5,76}{b^2}=1\]

Vì \(N(4;-1,8)\) thuộc elip:

\[\frac{16}{a^2}+\frac{3,24}{b^2}=1\]

Giải hệ thu được \(a=5\), \(b=3\).

Vậy phương trình chính tắc của đường elip là:

\[\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\]

Bài tập vận dụng phương trình elip

Phần dưới đây tổng hợp các bài tập về phương trình elip, từ việc xác định các tham số đến lập phương trình chính tắc và vận dụng vào bài toán thực tế.

Bài tập 1: Viết phương trình chính tắc của đường elip (E) trong các trường hợp sau:

a) Elip có độ dài trục lớn bằng 12 đơn vị và độ dài trục nhỏ bằng 8 đơn vị.

b) Elip có một tiêu điểm là \(F_1(\sqrt5;0)\) và tâm sai \(e=\frac{\sqrt5}{3}\).

c) Elip có trục lớn nằm trên trục hoành, hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 28 đơn vị và diện tích bằng 48 đơn vị diện tích.

d) Elip đi qua hai điểm \(M\left(12;\frac{25}{13}\right)\) và \(N\left(5;\frac{60}{13}\right)\).

e) Elip có một tiêu điểm \(F_1(-3;0)\) và đi qua điểm \(A(4;2,4)\).

Phân tích đề bài: Đây là nhóm bài toán lập phương trình elip từ các dữ kiện về trục lớn, trục nhỏ, tiêu điểm, tâm sai, điểm thuộc elip hoặc hình chữ nhật cơ sở. Trước khi viết phương trình, học sinh cần xác định được \(a^2\) và \(b^2\).

Lời giải:

a) Độ dài trục lớn \(2a=12\), suy ra \(a=6\).

Độ dài trục nhỏ \(2b=8\), suy ra \(b=4\).

Vậy phương trình elip là:

\[\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1\]

b) Từ tiêu điểm \(F_1(\sqrt5;0)\), suy ra \(c=\sqrt5\).

Do \(e=\frac ca=\frac{\sqrt5}{3}\), suy ra \(a=3\).

Ta có:

\[b^2=a^2-c^2=9-5=4\Rightarrow b=2\]

Phương trình elip là:

\[\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\]

c) Hình chữ nhật cơ sở có chiều dài \(2a\) và chiều rộng \(2b\).

Từ chu vi:

\[2(2a+2b)=28\Rightarrow a+b=7\]

Từ diện tích:

\[(2a)(2b)=48\Rightarrow ab=12\]

a và b là hai nghiệm của phương trình:

\[X^2-7X+12=0\]

Suy ra hai nghiệm là 3 và 4. Vì \(a>b\) nên \(a=4,b=3\).

Phương trình elip là:

\[\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\]

d) Vì điểm \(M\left(12;\frac{25}{13}\right)\) thuộc elip nên:

\[\frac{144}{a^2}+\frac{625}{169b^2}=1\]

Vì điểm \(N\left(5;\frac{60}{13}\right)\) thuộc elip nên:

\[\frac{25}{a^2}+\frac{3600}{169b^2}=1\]

Giải hệ thu được \(a=13\) và \(b=5\).

Phương trình elip là:

\[\frac{x^2}{169}+\frac{y^2}{25}=1\]

e) Gọi phương trình chính tắc của elip là:

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]

Từ tiêu điểm \(F_1(-3;0)\), suy ra \(c=3\).

Điểm \(A(4;2,4)\) thuộc elip nên:

\[\frac{16}{a^2}+\frac{5,76}{b^2}=1\]

Mặt khác:

\[a^2-b^2=c^2=9\Rightarrow a^2=b^2+9\]

Thay vào phương trình:

\[\frac{16}{b^2+9}+\frac{5,76}{b^2}=1\]

Giải phương trình thu được \(b^2=16\Rightarrow b=4\). Khi đó:

\[a^2=16+9=25\Rightarrow a=5\]

Vậy phương trình elip cần tìm là:

\[\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\]

Bài tập 2: Một lối vào cổng vòm có dạng một nửa đường elip. Chiều rộng phần chân vòm là 8 m và chiều cao tại đỉnh vòm là 3 m.

a) Lập phương trình của cổng vòm trên hệ trục tọa độ Oxy với đơn vị là mét.

b) Một chiếc xe tải có thùng xe hình chữ nhật rộng 2 m và cao 3 m đi qua chính giữa cổng. Xác định xe có thể đi qua cổng mà không va vào vòm hay không.

Phân tích đề bài: Đây là bài toán thực tế sử dụng phương trình elip. Chiều rộng và chiều cao của cổng được dùng để xác định nửa trục lớn và nửa trục nhỏ của hình elip tương ứng.

Lời giải:

a) Chiều rộng chân vòm là 8 m nên:

\[2a=8\Rightarrow a=4\]

Chiều cao đỉnh vòm bằng 3 m nên \(b=3\).

Phương trình elip chứa cổng vòm là:

\[\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\]

Vì cổng vòm là nửa phía trên của elip nên xét điều kiện \(y\ge0\).

b) Xe đi chính giữa cổng và có chiều rộng 2 m nên mép ngoài của thùng xe cách trục Oy:

\[x=\frac22=1\text{ m}\]

Thay \(x=1\) vào phương trình elip:

\[\frac1{16}+\frac{y^2}{9}=1\]

Suy ra:

\[y=\frac{3\sqrt{15}}4\approx2,9\text{ m}\]

Tại vị trí mép ngoài của thùng xe, chiều cao của cổng chỉ khoảng 2,9 m, trong khi thùng xe cao 3 m. Vì vậy, phần góc trên của thùng xe sẽ chạm vào cổng.

Vậy chiếc xe tải không thể đi qua cổng vòm mà không va quệt.

Bài viết đã hệ thống những kiến thức trọng tâm về phương trình elip, gồm định nghĩa, phương trình chính tắc, tiêu điểm, tiêu cự, trục lớn, trục nhỏ và các yếu tố đặc trưng của hình elip. Nắm vững công thức và các dạng bài lập phương trình elip sẽ giúp học sinh vận dụng hiệu quả khi giải các bài toán về đường elip và hình học giải tích. Học sinh có thể tiếp tục củng cố kiến thức qua các chuyên đề Toán 10 tại ZIM Academy để hệ thống hoá lý thuyết và luyện tập các dạng bài liên quan.