Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn | Bài tập Toán 9

Trong chương trình Toán lớp 9, phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn là nội dung quan trọng, yêu cầu học sinh vận dụng các phép biến đổi tương đương để đưa phương trình chứa dấu ngoặc, phân thức hoặc tích về dạng bậc nhất. Bài viết hướng dẫn cách giải, điều kiện xác định, quy đồng, khử mẫu, chuyển vế, thu gọn và kiểm tra nghiệm, đồng thời tổng hợp các dạng và bài tập quy về phương trình bậc nhất một ẩn thường gặp.

Phương trình bậc nhất một ẩn là gì?

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng: \(ax + b = 0\). Trong đó:

• \(a\) và \(b\) là các hệ số đã biết (số thực).

• Điều kiện bắt buộc: \(a \neq 0\) (nếu \(a = 0\), phương trình không còn là bậc nhất).

Để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn, chúng ta áp dụng hai quy tắc biến đổi tương đương:

• Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia của một phương trình, ta phải đổi dấu hạng tử đó (dấu \(+\) thành dấu \(-\), dấu \(-\) thành dấu \(+\)).

• Quy tắc nhân/chia với một số: Trong một phương trình, ta có thể nhân hoặc chia cả hai vế với cùng một số khác 0 để rút gọn ẩn số.

Vai trò của phương trình bậc nhất một ẩn trong giải toán:

• Dù là dạng toán cơ bản nhất, phương trình bậc nhất một ẩn lại là "nền móng" để giải quyết các dạng phương trình phức tạp hơn ở chương trình cấp 2 và cấp 3.

• Hầu hết các bài toán thực tế lớp 9 (toán chuyển động, toán năng suất, toán phần trăm...) khi gọi \(x\) là ẩn và thiết lập mối quan hệ, phương trình cuối cùng nhận được để tìm ra đáp số chính là phương trình bậc nhất.

• Các phương trình chứa dấu ngoặc, chứa mẫu số dạng số (phương trình phân thức đại số cơ bản) đều phải qua bước quy đồng, phá ngoặc, thu gọn để đưa về dạng bậc nhất rồi mới giải.

Phương trình tích là gì?

Muốn giải phương trình \(\left(a_1x+b_1\right)\left(a_2x+b_2\right)=0\), ta giải hai phương trình \(a_1x+b_1=0\) và \(a_2x+b_2=0\), rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Ví dụ: Giải phương trình: \((3x+1)(2-4x)=0\).

Giải

Ta có \((3x+1)(2-4x)=0\) nên \(3x+1=0\) hoặc \(2-4x=0\).

• \(3x+1=0\) hay \(3x=-1\) suy ra \(x=-\dfrac13\).

• \(2-4x=0\) hay \(4x=2\) suy ra \(x=\dfrac12\).

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x=-\dfrac13\) và \(x=\dfrac12\).

Lưu ý: Trong nhiều trường hợp, để giải một phương trình, ta biến đổi để đưa phương trình đó về dạng phương trình tích.

Ví dụ: Giải phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích: \(x^2-3x=2x-6\).

Giải

Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

\[\begin{align*} &x^2-3x=2x-6\\ &x^2-3x-2x+6=0\\ &x(x-3)-2(x-3)=0\\ &(x-3)(x-2)=0. \end{align*}\]

• \(x-3=0\) suy ra \(x=3\).

• \(x-2=0\) suy ra \(x=2\).

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x=3\) và \(x=2\).

Phương trình chứa ẩn ở mẫu quy về phương trình bậc nhất

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn sao cho các phân thức chứa trong phương trình đều xác định gọi là điều kiện xác định của phương trình.

Để tìm điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta đặt điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức chứa trong phương trình đều khác 0.

Những giá trị của ẩn không thoả mãn điều kiện xác định thì không thể là nghiệm của phương trình.

Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

• Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

• Bước 2. Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

• Bước 3. Giải phương trình vừa nhận được.

• Bước 4. Xét mỗi giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ: Giải phương trình sau:

\[\dfrac{x+3}{x-3}+\dfrac{x-2}{x}=2\]Giải

Điều kiện xác định: \(x \neq 3\) và \(x \neq 0\).

\[\begin{align*} &\dfrac{x+3}{x-3}+\dfrac{x-2}{x}=2 \\ & \dfrac{(x+3) x}{x(x-3)}+\dfrac{(x-2)(x-3)}{x(x-3)}=\dfrac{2 x(x-3)}{x(x-3)} \\ & (x+3) x+(x-2)(x-3)=2 x(x-3) \\ & x^2+3 x+x^2-3 x-2 x+6=2 x^2-6 x \\ & 4 x=-6 \\ & x=-\dfrac{3}{2} \text { (thoả mãn điều kiện xác định). } \end{align*}\]

Vây nghiệm của phương trình đã cho là \(x=-\dfrac{3}{2}\).

Các lỗi sai thường gặp và cách khắc phục

• Quên xác định điều kiện xác định trước khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu. Cách khắc phục: Tạo phản xạ "nhìn thấy mẫu là đặt điều kiện". Trước khi thực hiện bất kỳ phép biến đổi nào, hãy viết ngay hai chữ ĐKXĐ: ra lề và cho tất cả các mẫu thức có chứa ẩn khác \(0\).

• Không đối chiếu lại nghiệm với điều kiện xác định sau khi giải, dẫn đến nhận nhầm nghiệm không hợp lệ. Cách khắc phục: Sau khi tìm ra giá trị của \(x\), hãy luôn mở ngoặc ghi rõ (Thỏa mãn ĐKXĐ) hoặc (Loại) ngay bên cạnh giá trị đó trước khi ghi câu kết luận tập nghiệm \(S\).

• Sai dấu khi chuyển vế hoặc khi nhân với mẫu thức chung. Cách khắc phục: Khi khử mẫu mà trước phân thức có dấu trừ, hãy luôn giữ nguyên tử thức trong dấu ngoặc ở bước trung gian rồi mới thực hiện đổi dấu toàn bộ các hạng tử bên trong ở bước tiếp theo.

• Thiếu nghiệm khi giải phương trình tích do bỏ sót nhân tử. Cách khắc phục: Không bao giờ được tự ý chia cả hai vế của phương trình cho một biểu thức chứa ẩn khi chưa biết biểu thức đó có khác 0 hay không.

Bài tập rèn luyện

Giải phương trình tích dạng đơn giản, phương trình chứa ẩn ở mẫu có mẫu đơn giản

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) \(\left(x-7\right)\left(5x+4\right)=0\)

b) \(\left(2x+9\right)\left(\dfrac{2}{3}x-5\right)=0\)

c) \(\left(x-5\right)\left(2x-4\right)=0\)

Giải

a) Ta có \(\left(x-7\right)\left(5x+4\right)=0\) nên \(x-7=0\) hoặc \(5x+4=0\).

• \(x-7=0\), suy ra \(x=7\).

• \(5x+4=0\) hay \(5x=-4\), suy ra \(x=-\dfrac{4}{5}\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x=7\) và \(x=-\dfrac{4}{5}\).

b) Ta có \(\left(2x+9\right)\left(\dfrac{2}{3}x-5\right)=0\) nên \(2x+9=0\) hoặc \(\dfrac{2}{3}x-5=0\).

• \(2x+9=0\) hay \(2x=-9\), suy ra \(x=-\dfrac{9}{2}\).

• \(\dfrac{2}{3}x-5=0\) hay \(\dfrac{2}{3}x=5\),suy ra \(x=\dfrac{15}{2}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x=-\dfrac{9}{2}\) và \(x=\dfrac{15}{2}\).

c) Ta có \(\left(x-5\right)\left(2x-4\right)=0\) nên \(x-5=0\) hoặc \(2x-4=0\).

• \(x-5=0\), suy ra \(x=5\).

• \(2x-4=0\), hay \(2x=4\), suy ra \(x=2\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x=5\) và \(x=2\).

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) \[(4x - 5)\left( \dfrac{6x - 1}{3} + 1 \right) = 0\]

b) \[\left( \dfrac{2+x}{4} - \dfrac{x}{5}\right) \left(\dfrac{3x+5}{6} - \dfrac{13x - 1}{9}\right) = 0. \]

Giải

a) Ta có \((4x - 5)\left( \dfrac{6x - 1}{3} + 1 \right) = 0\) nên \(4x - 5=0\) hoặc \[\dfrac{6x - 1}{3} + 1=0\]

• \(4x - 5 = 0\) hay \(4x = 5\), suy ra \(x = \dfrac{5}{4}\).

• \(\dfrac{6x - 1}{3} + 1= 0\) hay \(6x + 2 = 0\), suy ra \(x = -\dfrac{1}{3}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x=\dfrac{5}{4}\) và \(x=-\dfrac{1}{3}\).

b) Ta có \[\left( \dfrac{2+x}{4} - \dfrac{x}{5}\right) \left(\dfrac{3x+5}{6} - \dfrac{13x - 1}{9}\right) = 0\] nên

\[\dfrac{2+x}{4} - \dfrac{x}{5} = 0\] hoặc \[\dfrac{3x + 5}{6} - \dfrac{13x - 1}{9} = 0\]

• \(\dfrac{2+x}{4} - \dfrac{x}{5} = 0\) hay \(5(x + 2) - 4x = 0\) hay

  \(x + 10 = 0\), suy ra \(x = -10\).

• \(\dfrac{3x + 5}{6} - \dfrac{13x - 1}{9} = 0\) hay \[9(3x + 5) - 6(13x - 1) = 0\]

  hay \(-51 x + 51 = 0\), suy ra \(x = 1\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x=-10\) và \(x=1\).

Phương trình cần biến đổi trước khi đưa về dạng tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu có nghiệm không thỏa mãn điều kiện xác định

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:

a) \((2x-3)^2=(x+7)^2\)

b) \(x^2-9=3(x+3)\)

c) \(x^2-x=-2x+2\)

Giải

a) Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

\[\begin{align*} &(2x-3)^2=(x+7)^2\\ &(2x-3)^2-(x+7)^2=0\\ &[(2x-3)-(x+7)][(2x-3)+(x+7)]=0\\ &(x-10)(3x+4)=0 \end{align*}\]

Ta giải hai phương trình sau:

• \(x-10=0\) suy ra \(x=10\).

• \(3x+4=0\) hay \(3x=-4\), suy ra \(x=-\dfrac{4}{3}\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x=10\) và \(x=-\dfrac{4}{3}\).

b) Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

\[ \begin{align*} &x^2-9=3(x+3)\\ &(x-3)(x+3)-3(x+3)=0\\ &(x+3)[(x-3)-3]=0\\ &(x+3)(x-6)=0. \end{align*}\]

Ta giải hai phương trình sau:

• \(x+3=0\) suy ra \(x=-3\).

• \(x-6=0\) suy ra \(x=6\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x=-3\) và \(x=6\).

c) Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

\[ \begin{align*} &x^2-x=-2x+2\\ &x^2-x+2x-2=0\\ &x(x-1)+2(x-1)=0\\ &(x+2)(x-1)=0. \end{align*}\]

Ta giải hai phương trình sau:

• \(x+2=0\) suy ra \(x=-2\).

• \(x-1=0\) suy ra \(x=1\).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x=-2\) và \(x=1\).

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích:

a) \(3 x^2- 11 x + 6 = 0\);

b) \(-2x^2 + 5x + 3 = 0\);

Giải

a) Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

\[\begin{aligned} & 3x^2-11x+6=0\\ & 3x^2-9x-2x+6=0\\ & 3x(x-3)-2(x-3)=0\\ & (x-3)(3x-2)=0\end{aligned}\]

• \(x - 3 = 0\), suy ra \(x = 3\).

• \(3x - 2 = 0\) hay \(3x=2\), suy ra \(x = \dfrac{2}{3}\).

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x=3\) và \(x=\dfrac{2}{3}\).

b) Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

\[\begin{aligned} & -2x^2+5x+3=0\\ \ & -2x^2+6x-x+3=0\\ \ & -2x(x-3)-(x-3)=0\\ \ & (x-3)(-2x-1)=0\end{aligned}\]

• \(x - 3 = 0\), suy ra \(x = 3\).

• \(-2x - 1 = 0\) hay \(-2x=1\), suy ra \(x = -\dfrac{1}{2}\).

Vậy phương trình có hai nghiệm \(x=3\) và \(x=-\dfrac{1}{2}\).

Ví dụ 3: Giải các phương trình:

a) \(\dfrac{x+6}{x+5}+\dfrac{3}{2}=2\);

b) \[\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{x-3}=\dfrac{3 x-20}{(x-3)(x-2)}\]

Giải

a) Điều kiện xác định: \(x\neq-5\)

Ta có:

\[\begin{aligned} & \dfrac{x+6}{x+5}+\dfrac{3}{2}=2\\ & \dfrac{x+6}{x+5}=\dfrac{1}{2}\\ & 2(x+6)=x+5\\ & 2x + 12 = x+5\\ & x = -7\, \text{(thỏa mãn điều kiện xác định).} \end{aligned}\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=-7\).

b) Điều kiện xác định: \(x\neq 2\) và \(x \neq 3\).

Ta có:

\[\begin{align*} & \dfrac{2}{x-2}-\dfrac{3}{x-3}=\dfrac{3 x-20}{(x-3)(x-2)}\\ & 2(x-3)-3(x-2)=3x-20\\ & 2x - 6 - 3x + 6 = 3x - 20\\ & -4x = -20\\ & x = 5 \, \text{(thỏa mãn điều kiện xác định).} \end{align*}\]

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=5\).

Ví dụ 4: Giải các phương trình

a) \[\dfrac{x^2}{2-x}+\dfrac{3x-1}{3}=\dfrac{5}{3}\]

b) \[\dfrac{4}{x(x-1)}+\dfrac{3}{x}=\dfrac{4}{x-1}\]

Giải

a) Điều kiện xác định \(2-x\ne 0\) hay \(x\ne 2\).

\[\begin{align*} &\dfrac{x^2}{2-x}+\dfrac{3x-1}{3} = \dfrac{5}{3}\\ &\dfrac{3x^2}{3(2-x)}+\dfrac{(3x-1)(2-x)}{3(2-x)} = \dfrac{5(2-x)}{3(2-x)}\\ &3x^2+(3x-1)(2-x) = 5(2-x)\\ &3x^2+6x-3x^2-2+x = 10-5x\\ &7x-2 = 10-5x\\ &12x = 12\\ &x = 1. \end{align*}\]

Ta thấy \(x=1\) thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x=1\).

b) Điều kiện xác định \(x\ne 0\) và \(x\ne 1\).

\[\begin{align*} &\dfrac{4}{x(x-1)}+\dfrac{3}{x} = \dfrac{4}{x-1}\\ &\dfrac{4}{x(x-1)}+\dfrac{3(x-1)}{x(x-1)} = \dfrac{4x}{x(x-1)}\\ &4+3(x-1) = 4x\\ &4+3x-3 = 4x\\ &3x+1 =4x\\ &x = 1. \end{align*}\]

Ta thấy \(x=1\) không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài tập nâng cao, định hướng thi tuyển sinh vào lớp 10

Ví dụ 1: Độ cao \(h\) (mét) của một quả bóng gôn sau khi được đánh \(t\) giây được cho bởi công thức \(h=t\left(20-5t\right)\). Có thể tính được thời gian bay của quả bóng từ khi được đánh đến khi chạm đất không?

Giải

Quả bóng chạm đất khi \(h(t)=0\), do đó ta giải phương trình: \(t\left(20-t\right)=0\).

\[ \begin{eqnarray*} && t\left(20-t\right)=0 \\ && t=0 \text{ hoặc } 20-t=0 \\ && t=0 \text{ hoặc } t=20. \end{eqnarray*}\]

Vậy thời gian bay của quả bóng từ khi được đánh đến khi chạm đất là \(20-0=20\) giây.

Ví dụ 2: Hai bạn Phong và Khang cùng hẹn nhau đạp xe đến một vị trí cách vị trí bạn Phong \(6\,\mathrm{km}\) và cách vị trí bạn Khang \(7\,\mathrm{km}\). Hai bạn cùng xuất phát và đến địa điểm đã hẹn cùng một lúc. Tính tốc độ của mỗi bạn, biết tốc độ của bạn Khang hơn tốc độ bạn Phong là \(2\,\mathrm{km/h}\).

Giải

Gọi tốc độ của bạn Phong là \(x\,\mathrm{km/h},\,(x>0)\). Khi đó, tốc độ của bạn Khang là \(x+2\,\mathrm{km/h}\).

Thời gian đi của bạn Phong là \(\dfrac{6}{x}\) (giờ).

Thời gian đi của bạn Khang là \(\dfrac{7}{x+2}\) (giờ).

Do hai bạn cùng xuất phát và đến địa điểm đã hẹn cùng một lúc nên thời gian đi của hai bạn là như nhau. Ta có phương trình \[\dfrac{6}{x}=\dfrac{7}{x+2}.\]

Giải phương trình:

\[\begin{align*} &\dfrac{6}{x}=\dfrac{7}{x+2}\\ &\dfrac{6}{x} = \dfrac{7}{x+2}\\ &\dfrac{6(x+2)}{x(x+2)} = \dfrac{7x}{x(x+2)}\\ &6(x+2) = 7x\\ &6x+12 = 7x\\ &x=12.\text{ (thỏa mãn }x>0). \end{align*}\]Vậy tốc độ của bạn Phong là \(12\,\mathrm{km/h}\), tốc độ của bạn Khang là \(14\,\mathrm{km/h}\).

Ví dụ 3: Trong một khu đất có dạng hình vuông, người ta dành một mảnh đất, có dạng hình chữ nhật ở góc khu đất để làm bể bơi (Hình bên dưới). Biết diện tích bể bơi bằng \(1\,250\,\mathrm{m^2}\). Tính độ dài cạnh khu đất đó.

Giải

Gọi độ dài cạnh khu đất có dạng hình vuông là \(x\,(\mathrm{m})\). Khi đó, mảnh đất dạng hình chữ nhật để làm bể bơi có các kích thước là \(x-50\,(\mathrm{m}),\,(x>50)\) và \(x-25\,(\mathrm{m})\). Do đó, diện tích của mảnh đất là \[(x-50)(x-25)\,(\mathrm{m^2})\]

Vì vậy, ta có phương trình \((x-50)(x-25)=1\,250\).

Giải phương trình \((x-50)(x-25)=1\,250\)

\[\begin{align*} &(x-50)(x-25)-1\,250=0\\ &x^2-75x=0\\ &x(x-75)=0\\ &x=0 \text{ hoặc } x=75. \end{align*}\]

Do \(x>50\) nên \(x=75\). Vậy độ dài cạnh khu đất là \(75\,(\mathrm{m})\).

Bảng tổng hợp so sánh các dạng phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Để giúp các bạn dễ dàng hệ thống hóa kiến thức và không bị nhầm lẫn giữa các phương pháp làm bài, dưới đây là bảng so sánh chi tiết các dạng phương trình thường gặp:

Qua bài học, học sinh đã được tìm hiểu ba dạng phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn thường gặp, bao gồm phương trình chứa dấu ngoặc, phương trình chứa phân thức và phương trình tích có thể đưa về dạng bậc nhất thông qua các phép biến đổi tương đương. Với mỗi dạng toán, điều quan trọng là xác định đúng phương pháp biến đổi, thực hiện các bước giải một cách cẩn thận và luôn kiểm tra điều kiện xác định khi cần thiết. Việc nắm vững các dạng bài này không chỉ giúp học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán trong chương trình Toán 9 mà còn là nền tảng cho các chuyên đề nâng cao và các kì thi tuyển sinh vào lớp 10.

Để thành thạo kỹ năng giải phương trình, học sinh cần luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài khác nhau. Ngoài ra, các khóa học và tài nguyên học tập tại ZIM Academy sẽ là nguồn hỗ trợ hữu ích, giúp người học củng cố kiến thức và phát triển năng lực toán học một cách toàn diện.