Số trung bình là gì? Công thức, cách tính và bài tập

Trong thống kê, số trung bình là một đại lượng đặc trưng đo xu thế trung tâm, được dùng để đại diện cho mẫu số liệu, hỗ trợ phân tích, so sánh và nhận xét dữ liệu.

Bài viết giúp người học hiểu rõ số trung bình là gì, nắm công thức tính số trung bình, cách xác định kích thước mẫu và cách tính số trung bình của mẫu số liệu từng bước, đồng thời luyện tập qua ví dụ và bài tập số trung bình lớp 10 có lời giải để hạn chế các lỗi thường gặp.

Số trung bình là gì?

Số trung bình (ký hiệu là \(\overline{x}\)) của một mẫu số liệu là tỉ số giữa tổng các giá trị và số các giá trị của mẫu.

Cho mẫu số liệu gồm n giá trị \(x_1,x_2,...,x_{n}\), số trung bình của mẫu được tính bằng công thức \[\overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+...+x_{n}}{n}\]

Ý nghĩa thực tiễn

Số trung bình được dùng để đại diện cho mẫu số liệu khi các giá trị trong mẫu không có sự chênh lệch quá lớn. Nó giúp ta có cái nhìn tổng quát và nhanh chóng về xu thế trung tâm của toàn bộ tập dữ liệu, hỗ trợ việc so sánh các tập dữ liệu hay đưa ra các dự đoán, nhận định.

• Tóm tắt dữ liệu: Nhìn vào điểm trung bình của học sinh trong một lớp học, giáo viên có thể nắm được bức tranh tổng thể về tình hình học tập của cả lớp.

• So sánh dữ liệu: so sánh thu nhập bình quân của các ngành nghề để xác định xu hướng của nền kinh tế.

• Đưa ra các dự đoán, nhận định: Một cửa hàng thống kê trong 6 tháng vừa qua, cửa hàng bán được 150 đơn/ngày. Chủ cửa hàng dựa vào con số này để dự đoán và nhập khoảng 4500 đơn hàng để chuẩn bị cho tháng tiếp theo.

Phân biệt số trung bình (Mean) với số trung vị (Median) và mốt (Mode)

Số trung vị (Median hay Me) của một mẫu số liệu là giá trị nằm ở chính giữa mẫu số liệu đó sau khi được sắp xếp (thứ tự tăng dần hoặc giảm dần). Nó chia tập hợp thành hai phần bằng nhau: một nửa có giá trị lớn hơn hoặc bằng trung vị và một nửa có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng trung vị.

Hình 1: Số trung vị

Mốt (Mode hay Mo) của mốt mẫu số liệu là giá trị có số lần xuất hiện (tần số) nhiều nhất của mẫu.

Ví dụ: Cho mẫu số liệu: 1, 3, 4, 4, 6, 8, 9. Tìm số trung bình, số trung vị và mốt của mẫu.

Đáp án:

• Số trung bình: \(\overline{x}=\dfrac{1+3+4+4+6+8+9}{7}=5\)

• Số trung vị: Me = 4

• Mốt: Mo = 4 (tần số là 2)

Lưu ý:

• Một mẫu số liệu luôn có số trung bình và số trung vị.

• Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt hoặc không có mốt nào.

Ví dụ:

• Mẫu số liệu: 2, 2, 5, 5, 6 có hai mốt là 2 và 5 (cùng tần số là 2).

• Mẫu số liệu: 1, 4, 7 không có mốt vì tất cả các giá trị đều có cùng tần số.

Công thức tính và hướng dẫn cách tính số trung bình

Dạng 1: Mẫu số liệu không ghép nhóm (mẫu số liệu thô)

Cho mẫu số liệu gồm n giá trị \(x_1,x_2,...,x_{n}\), số trung bình của mẫu được tính bằng công thức \[\overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+...+x_{n}}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\]

Ví dụ: Tính giá trị trung bình của mẫu số liệu: 1, 2, 4, 7, 8, 9, 5, 4, 3, 5.

Bước 1: Tìm cỡ mẫu (tổng số quan sát): Học sinh quan sát được cỡ mẫu là 10.

Bước 2: Tính tổng các giá trị trong mẫu: 1 + 2 + 4 + 7 + 8 + 9 + 5 + 4 + 3 + 5 = 48.

Bước 3: Tính số trung bình: \(\overline{x}\) = \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\)=\(\dfrac{48}{10}=4.8\)

Dạng 2: Bảng tần số hoặc tần suất

Số trung bình của mẫu được tính bằng công thức:

\[\overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_{i}x_{i}=\dfrac{1}{n}\left(n_1x_1+n_2x_2+...+n_{k}x_{k}\right)\]

= \[\sum_{i=1}^kf_ix_i=f_1x_1+f_2x_2+...+f_kx_k\]

Ví dụ: Tính giá trị trung bình của mẫu số liệu được thống kê qua bảng tần số, tần suất sau:

Thông thường, đề bài chỉ có hoặc giá trị tần số hoặc giá trị tuần suất. Ở ví dụ này, tác giả để cả hai giá trị để người học dễ dàng so sánh sự khác biệt.

• Đối với bảng tần số

Bước 1: Người học cần đếm số các quan sát hay cũng chính là tổng tần số của các giá trị: n = 2 + 3 + 1 + 1 + 3 = 10.

Bước 2: Tính số trung bình theo công thức: \[\overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_{i}x_{i}=\dfrac{1}{10}\left(2\times1+3\times2+1\times3+1\times4+3\times5\right)=\dfrac{30}{10}=3\]

• Đối với bảng tần suất

Tần suất chính là tỉ số giữa tần số và số các quan sát. Vì tổng tần suất của tất cả các giá trị của một mẫu số liệu luôn bằng 1, nên người học không cần phải tìm số quan sát.

Tính số trung bình theo công thức:

\[\overline{x}=\sum_{i=1}^{k}f_{i}x_{i}=0.2\times1+0.3\times2+0.1\times3+0.1\times4+0.3\times5=3\]

Dạng 3: Bảng số liệu ghép lớp

Đầu tiên, người học hãy tính giá trị đại diện \(c_{i}\) của từng lớp \([x_i,x_{i+1})\) theo công thức \(c_{i}=\dfrac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\). Khi này bảng số liệu ghép lớp trở thành bảng tần số (tần suất) ở dạng 2.

Số trung bình của mẫu được tính bằng công thức:

\[\overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_{i}c_{i}=\dfrac{1}{n}\left(n_1c_1+n_2c_2+...+n_{k}c_{k}\right)\]

= \(\sum_{i=1}^{k}f_{i}c_{i}=f_1c_1+f_2c_2+...+f_{k}c_{k}\)

Ví dụ: Tính cân nặng trung bình (kg) của các em học sinh lớp A được thống kê trong bảng tần số ghép lớp sau:

Bước 1: Tính giá trị đại diện \(c_{i}\) của từng lớp theo công thức, ta được bảng mới:

Bước 2: Tính số quán sát: 3 + 7 + 8 + 4 + 3 = 25.

Bước 3: Cân nặng trung bình của các em học sinh lớp A được tính bằng công thức: \[\overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_{i}c_{i}=\dfrac{1}{25}\left(3\times52.5+7\times57.5+8\times62.5+4\times67.5+3\times72.5)=61.9\right.\](kg).

Khi nào nên dùng và không nên dùng số trung bình?

Trường hợp nên dùng

• Mẫu có các giá trị đồng đều, không có sai lệch lớn

• Cỡ mẫu đủ lớn (thường n \(\ge\)10).

• Dữ liệu có phân bố tương đối đối xứng, không có nhiều giá trị ngoại lai.

Trong những trường hợp này, số trung bình phản ánh khá chính xác giá trị đại diện của mẫu và thuận tiện cho việc so sánh giữa các nhóm dữ liệu.

Ví dụ: Thống kê số giờ ngủ mỗi đêm trong một tuần của một bạn học sinh là 8, 8, 7, 8, 9, 7, 9 (giờ).

Nhận xét: Các giá trị dao động rất nhẹ từ 7 đến 9 giờ và thời gian ngủ trung bình là \(\dfrac{8+8+7+9+8+7+9}{7}=8\) giờ thể hiện rất đúng thói quen ngủ của bạn học sinh.

Trường hợp không nên dùng

• Cỡ mẫu quá nhỏ (thường n < 10).

• Dữ liệu có sự chênh lệch rất lớn giữa các giá trị.

• Xuất hiện một hoặc nhiều giá trị ngoại lai làm ảnh hưởng đáng kể đến kết quả.

• Dữ liệu có phân bố lệch, không đối xứng.

Trong các trường hợp này, số trung bình có thể không phản ánh đúng đặc điểm của phần lớn dữ liệu.

Ví dụ: Xét mẫu số liệu: 1, 2, 3, 4, 1000. Dễ thấy giá trị 1000 có sự chênh lệch lớn so với các giá trị còn lại, còn được gọi là giá trị ngoại lai.

Giá trị trung bình của mẫu là \[\dfrac{1+2+3+4+1000}{5}=202\], kết quả này có sự chênh lệch lớn với các giá trị của mẫu và không thể đại diện cho mẫu.

Trong trường hợp này, người học có thể loại bỏ giá trị ngoại lai ra khỏi mẫu để thu được mẫu có các giá trị đồng đều. Hoặc người học sử dụng số trung vị để thay thế, số trung vị của mẫu là 3, thể hiện xu thế trung tâm tốt hơn rất nhiều, chia mẫu thành 2 nhóm (1, 2, 3) và (4, 1000).

Các lỗi sai thường gặp khi tính số trung bình

Nhầm lẫn giữa tần số (\(n_i\)) với tần suất (\(f_{i}\)) khi áp dụng công thức

Ví dụ: Cho bảng tần suất về điểm thi học kì của một lớp học. Hãy tính điểm trung bình của cả lớp.

Lỗi thường gặp: Học sinh tính \(7\times0.2+8\times0.5+9\times0.2+10\times0.1=8.2\). Sau đó lại tiếp tục chia kết quả cho 4 (số giá trị) dẫn đến kết quả sai.

Cách làm đúng: Đối với bảng tần suất, chúng ta chỉ cần nhân các giá trị \(x_{i}\) với tần suất \(f_i\) tương ứng để tính số trung bình \(\overline{x}=\Sigma x_{i}f_{i}\)=\(7\times0.2+8\times0.5+9\times0.2+10\times0.1=8.2\).

Xác định sai giá trị đại diện \(\mathbf{c_{i}}\) trong bảng ghép lớp

Ví dụ: Tìm giá trị đại diện của lớp số liệu [15; 20).

Lỗi thường gặp:

• Học sinh lấy đầu mút trái (15) hoặc đầu mút phải (20) làm giá trị đại diện.

• Học sinh nhầm lẫn rằng giá trị 20 không thuộc về lớp số liệu do nhìn thấy kí hiệu ‘)’ nên tính giá trị đại diện \(c=\dfrac{15+19}{2}=17\)

Cách làm đúng: giá trị đại diện bằng trung bình cộng của giá trị hai đầu mút: \[c=\dfrac{15+20}{2}=17,5\]

Bỏ sót giá trị 0 trong bảng phân bố tần số dẫn đến tính sai cỡ mẫu

Ví dụ: Bảng tần số thống kê số bàn thắng của một đội bóng qua các trận đấu. Tính số bàn thắng trung bình đội bóng ghi được trong một trận.

Lỗi thường gặp: Học sinh bỏ qua các trận đấu có 0 bàn thắng, dẫn đến tính sai số trận đấu thành 4 + 2 + 1 = 7. Từ đó học sinh tính sai số bàn thắng trung bình là \(\dfrac{1\times4+2\times2+3\times1}{7}\approx1.57\) (bàn/trận)

Cách làm đúng: Các trận đấu với 0 bàn thắng vẫn được tính là những trận đấu hợp lệ và được cộng vào tổng số trận đấu là 3 + 4 + 2 + 1 = 10 trận.

Khi đó, số bàn thắng trung bình mỗi trận là \(\dfrac{0\times3+1\times4+2\times2+3\times1}{10}=1.1\) (bàn/trận).

Chia nhầm tổng cho số lớp (k) thay vì tổng số quan sát (n)

Ví dụ: Thành tích (thang điểm 10) của một vận động viên bắn cung được thể hiện qua bảng tần số:

Dựa vào bảng tần số trên hãy tính thành tính trung bình của vận động viên.

Lỗi thường gặp: Học sinh thấy chỉ có 3 giá trị điểm riêng biệt (số lớp) và nhầm lẫn thành tổng số mẫu. Dẫn đến tính thành tính trung bình là \(\dfrac{8\times1+9\times2+10\times1}{3}=12\) (vô lí vì thành tích tính theo thang điểm 10).

Cách làm đúng: Hãy nhớ rằng số quan sát bằng tổng tần số của tất cả các giá trị.

Ở ví dụ này , số quan sát đúng phải là n = 1 + 2 + 1 = 4.

Thành tích trung bình \(\overline{x}=\dfrac{8\times1+9\times2+10\times1}{4}=9\) (điểm).

Bài tập tự luyện có lời giải

Bài tập 1 (mức cơ bản): Tính số trung bình từ mẫu số liệu thô.

Đề bài: Điểm số trong các lần bắn thử của một vận động viên bắn súng lần lượt ghi nhận được là: 8, 9, 6, 7, 10, 9, 8, 7 (điểm). Hãy tính số điểm trung bình của vận động viên này sau các lần bắn thử.

Hướng dẫn giải:

Người học thực hiện các bước tính số trung bình của mẫu số liệu thô.

Bước 1 - Tìm cỡ mẫu: người học quan sát được mẫu có tổng cộng 8 giá trị.

Bước 2 - Tính tổng các giá trị: \[8 + 9 + 6 + 7 + 10 + 9 + 8 + 7 = 64\]

Bước 3 - Tính giá trị trung bình bằng tỉ số giữa tổng các giá trị với cỡ mẫu: \(\overline{x}=\dfrac{64}{8}=8\).

Kết luận: Số điểm trung bình của vận động viên là 8 điểm.

Bài tập 2 (mức trung bình): Tính số trung bình từ bảng phân bố tần số.

Đề bài: Biểu đồ cột dưới đây cho biết điểm kiểm tra của học sinh lớp D. Tính điểm trung bình của các bạn học sinh lớp D.

Hình 2: Biểu đồ cột thể hiện điểm kiểm tra của học sinh lớp D

Hướng dẫn giải:

Biểu đồ cột là một cách thể hiện khác của bảng tần số. Quan sát biểu đồ trên, trục hoành (trục nằm ngang) thể hiện điểm số của học sinh - các giá trị \(x_i\), và trục tung (trục thẳng đứng) thể hiện số học sinh đạt điểm điểm số tương ứng - tần số \(n_{i}\).

Người học thực hiện các bước tính số trung bình của mẫu số liệu được cho bởi bảng tần số.

Bước 1 - Tìm số quan sát hay cũng chính là tổng tần số của các giá trị: \[n=2+4+5+5+3+1=20\]

Bước 2 - Tính giá trị trung bình theo công thức:

\[\overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_{i}x_{i}=\dfrac{1}{20}\left(5\times2+6\times4+7\times5+8\times5+9\times3+10\times1\right)=\dfrac{146}{20}=7.3\]

Kết luận: Điểm trung bình của học sinh lớp D là 7.3 điểm.

Bài tập 3 (mức nâng cao): Tính số trung bình từ bảng phân bố tần số ghép lớp.

Đề bài: Để khảo sát mức độ tiêu thụ điện năng, một công ty điện lực thống kê lượng điện tiêu thụ (kWh) trong một tháng của 40 hộ gia đình trên một con phố như sau:

Tính lượng điện tiêu thụ trung bình của mỗi hộ gia đình trong tháng đó.

Hướng dẫn giải:

Người học thực hiện các bước tính số trung bình của mẫu số liệu được cho bởi bảng ghép lớp.

Bước 1 - Tính giá trị đại diện cho mỗi lớp theo công thức \(c_{i}=\dfrac{x_{i}+x_{i+1}}{2}\)

Áp dụng công thức, thu được \[c_1=\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{100+150}{2}=125\]

Tương tự người học tính được \(c_2 = 175, c_3 = 225, c_4 = 275\).

Bước 2: Tìm cỡ mẫu hay tổng tần số các giá trị: \(n = 8 + 18 + 10 + 4 = 40\).

Bước 3: Tính giá trị trung bình theo công thức:

\[\overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{k}n_{i}c_{i}=\dfrac{1}{40}\left(125\times8+175\times18+225\times10+275\times4\right)=\dfrac{7500}{40}=187.5\]

Kết luận: Lượng điện tiêu thụ trung bình của mỗi hộ gia đình trong tháng là 187.5 kWh.

Số trung bình là số đặc trưng đo xu thế trung tâm, đại diện cho mẫu số liệu khi dữ liệu không quá chênh lệch. Qua bài viết, người học đã được làm quen và hướng dẫn cách tính số trung bình với 3 dạng bảng dữ liệu: mẫu số liệu thô, bảng phân bố tần số (\(n_i\)) - tần suất (\(f_{i}\)) và bảng ghép lớp (áp dụng giá trị đại diện \(c_{i}\)). Số trung bình mang ý nghĩa thực tiễn lớn trong việc tóm tắt, so sánh và dự đoán dữ liệu, nhưng chỉ nên dùng khi cỡ mẫu đủ lớn (n \(\ge\)10) và các giá trị phân bố đồng đều. Khi tính toán, hãy lưu ý tránh các lỗi phổ biến như nhầm tần số với tần suất, chia sai cho số lớp k, hoặc bỏ sót giá trị bằng 0. Để tự tin đạt điểm tối đa trước các kỳ kiểm tra, học sinh hãy chủ động rèn luyện thêm nhiều dạng bài tập ở hệ thống bài học Toán ZIM Academy nhé!