Tập nghiệm của bất phương trình | Cách tìm, biểu diễn và bài tập

Trong chương trình Toán 9, tập nghiệm của bất phương trình là nội dung quan trọng gắn với việc xác định nghiệm của bất phương trình và giải bất phương trình bậc nhất một ẩn. Để tìm tập nghiệm của bất phương trình, học sinh cần nắm rõ khái niệm nghiệm, các quy tắc biến đổi tương đương và cách biểu diễn tập nghiệm trên trục số.

Bài viết hệ thống kiến thức cốt lõi, hướng dẫn cách tìm tập nghiệm của bất phương trình và vận dụng vào các dạng bài tập thường gặp.

Tập nghiệm của bất phương trình là gì?

Tập hợp tất cả các giá trị của ẩn làm bất phương trình đúng được gọi là tập nghiệm của bất phương trình, thường kí hiệu là S. Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm, tức là xác định tập nghiệm của bất phương trình. [1]

Để tìm tập nghiệm của bất phương trình, cần giải bất phương trình rồi biểu diễn các giá trị thỏa mãn bằng tập hợp, khoảng/đoạn (khi phù hợp) hoặc trên trục số.

Cách biểu diễn tập nghiệm trên trục số

Các bước biểu diễn tập nghiệm trên trục số:

Bước 1: Vẽ trục số

Vẽ trục số nằm ngang, chiều tăng dần từ trái sang phải; xác định gốc 0 và các đơn vị đo phù hợp.

Bước 2: Xác định điểm mút

Đánh dấu các giá trị ranh giới của tập nghiệm (ví dụ: a, b) trên trục số.

Quy ước ký hiệu mút:

• Lấy điểm mút (dấu \(\le, \ge\)): Dùng ngoặc vuông [ ] hoặc dấu chấm tròn đặc \((\bullet)\)

• Không lấy điểm mút (dấu <, >): Dùng ngoặc tròn ( ) hoặc dấu tròn rỗng \((\circ)\)

Bước 3: Biểu diễn tập nghiệm

Xác định phần trên trục số chứa các giá trị thỏa mãn bất phương trình; dùng điểm đặc khi lấy điểm mút và điểm rỗng khi không lấy điểm mút.

Ví dụ 4: Bất phương trình x > -9 có tập nghiệm \(S=\{x\in\mathbb{R}\mid x>-9\}=(-9;+\infty)\), được biểu diễn trên trục số như hình dưới đây:

Các cách viết tập nghiệm thường gặp

Tập nghiệm S có thể được viết bằng điều kiện của x hoặc bằng ký hiệu khoảng, đoạn. Một số dạng thường gặp gồm:

Tập nghiệm của hệ bất phương trình

Với hệ bất phương trình một ẩn, cần giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm. Nếu các bất phương trình có tập nghiệm lần lượt là \(S_1,S_2,\ldots,S_n\), thì tập nghiệm của hệ là \(S=S_1\cap S_2\cap\cdots\cap S_n\).

Phân biệt tập nghiệm của bất phương trình với nghiệm của phương trình

Nghiệm của phương trình là giá trị của ẩn làm hai vế bằng nhau, còn nghiệm của bất phương trình là giá trị làm bất đẳng thức đúng. Cả phương trình và bất phương trình đều có thể có một, nhiều, vô số hoặc không có nghiệm tùy bài toán; riêng với bất phương trình bậc nhất một ẩn, tập nghiệm thường được biểu diễn bằng một nửa khoảng trên trục số.

Nghiệm của bất phương trình là gì?

Số \(x_0\) là một nghiệm của bất phương trình \(A(x) < B(x)\) nếu \(A(x_0) < B(x_0)\) là khẳng định đúng. [1]

Giải một bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm của bất phương trình đó.

Ví dụ 3:

Trong các số \(-\dfrac{1}{3}; 2; 5\) giá trị nào là nghiệm của bất phương trình \(3x - 4 > 0\)?

Lời giải:

Thay \(x = -\dfrac{1}{3}\) vào bất phương trình 3x - 4 > 0, thu được:\[3\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)-4>0\iff-1-4>0\iff-5>0\]

(Khẳng định sai)

Do đó,\(x = -\dfrac{1}{3}\) không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay x = 2 vào bất phương trình 3x - 4 > 0, thu được:\[3\cdot2-4>0\iff6-4>0\iff2>0\]

(Khẳng định đúng)

Do đó, x = 2 là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Thay x = 5 vào bất phương trình 3x - 4 > 0, thu được:\[3 \cdot 5 - 4 > 0 \iff 15 - 4 > 0 \iff 11 > 0 \quad\]

(Khẳng định đúng)

Do đó, x = 5 là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Bất phương trình bậc nhất một ẩn là gì?

Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0; ax + b \(\le\)0; ax + b \(\ge\) 0) trong đó a, b là hai số đã cho, a ≠ 0 được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn x. [1]

Phân biệt bất phương trình bậc nhất một ẩn với các bất phương trình khác:

Muốn biết một biểu thức có phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn hay không, chỉ cần kiểm tra vài điểm sau:

• Chỉ có một ẩn: Biểu thức chỉ chứa một biến, thường là (x).

• Ẩn có bậc 1: Số mũ lớn nhất của (x) phải là 1. Vì vậy, các biểu thức có \(x^2\),\(x^3\), \(\sqrt{x}\) hay \(\frac{1}{x}\) đều không thuộc dạng này.

• Hệ số của ẩn khác 0: Với dạng ax+b , cần có a \(\ne\)0.

• Có dấu bất đẳng thức: Phải xuất hiện một trong các dấu <, >, \(\le\),\(\ge\).

Ví dụ 1:

\(5x - 12 < 0;\ -4x \ge 0;\ \frac{1}{2}x + 3 > 0\) là các bất phương trình bậc nhất một ẩn x.

\(2x^2 + 5x - 1 \le 0\) không phải là một bất phương trình bậc nhất một ẩn x vì \(2x^2+5x-1\) là một đa thức bậc hai.

\(4x + 7y \ge 10\) không phải là một bất phương trình bậc nhất một ẩn vì đa thức 4x + 7y là đa thức với hai biến x và y.

\(0x - 8 > 0\) không phải là một bất phương trình bậc nhất một ẩn x vì hệ số của x bằng 0 (vi phạm điều kiện \(a \ne 0\)).

\(\frac{5}{x} - 3 \le 0\) không phải là một bất phương trình bậc nhất một ẩn x vì ẩn x nằm ở mẫu thức.

Ví dụ 2:

Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn x?

a) \(4x-7>0\)

b) \(5-\frac{2}{3}x\ge0\)

c) \(x^2-9<0\)

Lời giải:

Bất phương trình ở câu a), b) là bất phương trình bậc nhất một ẩn x.

Bất phương trình ở câu c) không phải là bất phương trình bậc nhất một ẩn x vì \(x^2-9\) là đa thức bậc hai.

Cách tìm tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bất phương trình bậc nhất một ẩn \(ax + b < 0\) (\(a \neq 0\)) được giải như sau:

ax + b < 0

ax < -b

• Nếu a > 0 thì x < \(-\frac{b}{a}\).

• Nếu a < 0 thì x >\(-\frac{b}{a}.\)

  Chú ý:

  Các bất phương trình \[ax + b > 0, ax + b \le 0, ax + b \ge 0\] được giải tương tự.

Quy tắc chuyển vế khi giải bất phương trình

Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia, cần đổi dấu của hạng tử đó.

Quy tắc nhân, chia hai vế của bất phương trình với một số (lưu ý đổi chiều khi nhân, chia với số âm)

Các quy tắc này dựa trên tính chất của bất đẳng thức, đặc biệt là tính chất liên hệ giữa thứ tự với phép cộng và phép nhân.

Quy tắc nhân/chia:

Nhân hoặc chia cả hai vế với một số dương \(\rightarrow\)giữ nguyên chiều bất phương trình.

Nhân hoặc chia cả hai vế với một số âm \(\rightarrow\) đổi chiều bất phương trình.

Ví dụ giải bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm có lời giải chi tiết

Ví dụ 5

Giải các bất phương trình sau:

\(\text{a) }3x+2>2x+3\text{ }\)

b) \(5x+4<-3x-2\)

Lời giải

a) \(3x + 2 > 2x + 3\)

\(3x - 2x > 3 - 2\)

x > 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x > 1.

b) \(5x+4<-3x-2\)

\(5x + 3x < -2 - 4\)

8x < -6

\(x < \frac{-6}{8}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(x < -\frac{3}{4}\)

Ví dụ 6:

Cho bất phương trình: \(5x-7>2x+8\) Hãy biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình đã cho bằng hình vẽ (trục số) và bằng tập hợp.

Lời giải

Giải bất phương trình:

\(5x - 7 > 2x + 8\)

\(\Leftrightarrow 5x - 2x > 8 + 7\) \(\Leftrightarrow 3x > 15 \Leftrightarrow x > \frac{15}{3}\)

\(\Leftrightarrow x > 5\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x > 5.

Biểu diễn bằng tập hợp:

\(S = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 5\}\)

Biểu diễn bằng hình ảnh:

Bài tập vận dụng về tập nghiệm của bất phương trình

Dạng giải bất phương trình bậc nhất một ẩn và tìm tập nghiệm

Phương pháp

Bất phương trình ax + b > 0 (với a > 0) được giải như sau:

ax + b > 0

ax > -b

\(x > \frac{-b}{a}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

\(x > \frac{-b}{a}\)

Bất phương trình ax + b > 0 (với a < 0) được giải như sau:

ax + b > 0

ax > -b

\(x < \frac{-b}{a}\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

\(x < \frac{-b}{a}\)

Ví dụ 7:

Giải các bất phương trình sau:

a) 2x - 8 > 0

b)\(9 - 3x \le 0\)

c)\(5 - \frac{1}{3}x < 1\)

Lời giải

a) \(2x - 8 > 0\)

\(2x > 8\)

\(x > \frac{8}{2}\)

x > 4

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: x > 4.
b) \(9 - 3x \le 0\)

\(-3x \le -9\)

\(x \ge 3\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(x\ge3\)

c) \(5 - \frac{1}{3}x < 1\)

\(-\frac{1}{3}x < 1 - 5\)

\(-\frac{1}{3}x < -4\)

\(x > -4 \times (-3)\)

x > 12

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: x > 12.

Ví dụ 8:

Giải các bất phương trình

a)\[\frac{x - 1}{2} - \frac{7x + 3}{15} \le \frac{2x + 1}{3} + \frac{3 - 2x}{5}\]

b) \(\frac{4x - 2}{3} - x + 3 \le \frac{1 - 5x}{4}\)

Lời giải chi tiết

a) \[\frac{x - 1}{2} - \frac{7x + 3}{15} \le \frac{2x + 1}{3} + \frac{3 - 2x}{5}\]\[\frac{15(x - 1)}{30} - \frac{2(7x + 3)}{30} \le \frac{10(2x + 1)}{30} + \frac{6(3 - 2x)}{30}\]\[15(x - 1) - 2(7x + 3) \le 10(2x + 1) + 6(3 - 2x)\]\[15x - 15 - 14x - 6 \le 20x + 10 + 18 - 12x\]

\(x - 21 \le 8x + 28\)

\(x - 8x \le 28 + 21\)

\(-7x \le 49\)

\(x \ge \frac{49}{-7}\)

\(x \ge -7\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(x \ge -7\)

b)\(\frac{4x - 2}{3} - x + 3 \le \frac{1 - 5x}{4}\)

\[\frac{4(4x - 2)}{12} - \frac{12x}{12} + \frac{36}{12} \le \frac{3(1 - 5x)}{12}\]\[4(4x - 2) - 12x + 36 \le 3(1 - 5x)\]\[16x - 8 - 12x + 36 \le 3 - 15x\]

\(4x + 28 \le 3 - 15x\)

\(4x + 15x \le 3 - 28\)

\(19x \le -25\)

\(x \le -\frac{25}{19}\)

Vậy nghiệm của bất phương trình là: \(x \le -\frac{25}{19}\)

Dạng xác định giá trị của biến để một biểu thức thỏa mãn điều kiện lớn hơn hoặc nhỏ hơn

Dạng toán yêu cầu tìm giá trị của biến (thường là x) để một biểu thức lớn hơn hoặc nhỏ hơn một giá trị (hoặc một biểu thức khác) về bản chất chính là bài toán lập và giải bất phương trình.

Phương pháp giải cơ bản

• Bước 1: Đặt điều kiện xác định (nếu cần). Nếu biểu thức có chứa ẩn ở mẫu số hoặc dưới dấu căn bậc chẵn, cần tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa.

• Bước 2: Lập bất phương trình. Dựa vào dữ kiện đề bài, hãy viết bất phương trình tương ứng

  • "Lớn hơn" \(\rightarrow\) dùng dấu >

  • "Nhỏ hơn"\(\rightarrow\) dùng dấu <

  • "Không lớn hơn" (nhỏ hơn hoặc bằng) \(\rightarrow\) dùng dấu \(\le\)

  • "Không nhỏ hơn" (lớn hơn hoặc bằng) \(\rightarrow\) dùng dấu \(\ge\)

• Bước 3: Giải bất phương trình. Sử dụng các quy tắc biến đổi tương đương để giải:

  • Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia, phải đổi dấu hạng tử đó.

  • Quy tắc nhân/chia: Khi nhân/chia hai vế cho một số dương, bất phương trình giữ nguyên chiều. Khi nhân/chia hai vế cho một số âm, bất phương trình phải đổi chiều.

• Bước 4: Đối chiếu và kết luận. So sánh kết quả vừa tìm được với điều kiện xác định (ở Bước 1) và rút ra kết luận cuối cùng.

Ví dụ 9 (Dạng cơ bản): Tìm x để giá trị của biểu thức P = 5x - 7 lớn hơn 8.

Lời giải:

Theo đề bài, cần giải bất phương trình P > 8:

\(5x - 7 > 8\)

\(5x > 8 + 7\)

\(5x > 15\)

\(x > \frac{15}{5}\)

\(x > 3\)

Vậy để biểu thức P lớn hơn 8 thì x > 3

Ví dụ 10 (Dạng có chứa mẫu số nguyên): Tìm x để biểu thức \(A = \frac{2x - 1}{3}\) nhỏ hơn biểu thức \(B = x + 2\).

Lời giải:

Theo đề bài, lập bất phương trình A < B:

\(\frac{2x - 1}{3} < x + 2\)

\(2x - 1 < 3(x + 2)\)

\(2x - 1 < 3x + 6\)

\(2x - 3x < 6 + 1\)

-x < 7

x > -7

Vậy để biểu thức A nhỏ hơn biểu thức B thì x > -7.

Dạng tìm nghiệm nguyên và số nghiệm nguyên của bất phương trình

Để tìm nghiệm nguyên của bất phương trình, trước hết cần giải bất phương trình để xác định tập nghiệm S, sau đó lấy các giá trị \(x\in\mathbb{Z}\) thuộc tập nghiệm. Nếu đề yêu cầu số nghiệm nguyên, bước cuối là đếm các số nguyên thỏa mãn điều kiện.

Ví dụ: Với \(-2<x\le 3\), các nghiệm nguyên là \(-1,0,1,2,3\), nên bất phương trình có 5 nghiệm nguyên.

Dạng bài toán thực tế đưa về bất phương trình bậc nhất một ẩn

Ví dụ 11

Một loại xe tải được dùng để chở sữa tươi cho một nhà máy. Biết mỗi thùng sữa loại 180 ml nặng trung bình 10 kg. Theo khuyến nghị, trọng tải của xe (tức là tổng khối lượng tối đa cho phép mà xe có thể chở) là 5,25 tấn. Hỏi xe có thể chở được tối đa bao nhiêu thùng sữa như vậy, biết bác lái xe nặng 65 kg?

Lời giải

Trước tiên, học sinh cần đồng nhất các đơn vị đo khối lượng về cùng một đơn vị là ki-lô-gam (kg).

Đổi: \(5,25\text{ tấn}=5250\text{ kg}\)

Gọi x là số thùng sữa tối đa mà chiếc xe tải có thể chở \((x\in\mathbb{N}^{*})\)

Khối lượng của x thùng sữa là: \(10x\text{ (kg)}\)

Tổng khối lượng mà chiếc xe tải phải chở bao gồm khối lượng của x thùng sữa và khối lượng của bác lái xe. Theo quy định, tổng khối lượng này không được vượt quá trọng tải của xe (5250 kg). Do đó, lập được bất phương trình:

\(10x + 65 \le 5250\)

Giải bất phương trình trên:

\(10x \le 5250 - 65\)

\(10x \le 5185\)

\(x \le \frac{5185}{10}\)

\(x \le 518,5\)

Vì số thùng sữa x phải là một số tự nhiên (không thể chở nửa thùng), nên giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn điều kiện \(x \le 518,5\) là 518.

Kết luận: Xe tải có thể chở được tối đa 518 thùng sữa.

Ví dụ 12: Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn 1 tháng là 0,4%/tháng. Hỏi nếu muốn có số tiền lãi hằng tháng ít nhất là 3 triệu đồng thì số tiền gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu (làm tròn đến triệu đồng)?

Tóm tắt bài toán:

• Lãi suất: 0,4%/tháng

• Tiền lãi mong muốn: Ít nhất 3 triệu đồng/tháng

Lời giải:

Gọi x (triệu đồng) là số tiền cần gửi tiết kiệm (x > 0 ).

Số tiền lãi nhận được sau 1 tháng là: \(x\times0,4\%\)

Để có số tiền lãi hằng tháng ít nhất là 3 triệu đồng, lập được bất phương trình:

\(x \times 0,4\% \ge 3\)

\(x \times 0,004 \ge 3\)

\(x \ge 750\)

Vậy, số tiền gửi tiết kiệm ít nhất là 750 triệu đồng.

Qua bài viết, học sinh đã hệ thống được khái niệm nghiệm của bất phương trình, tập nghiệm của bất phương trình và các quy tắc biến đổi tương đương khi giải bất phương trình bậc nhất một ẩn. Việc nắm chắc cách chuyển vế, nhân hoặc chia hai vế và xác định đúng tập nghiệm giúp học sinh xử lý chính xác các bài toán đại số và bài toán thực tế liên quan. Để củng cố thêm kiến thức cùng các dạng bài trọng tâm, học sinh có thể tham khảo chuyên đề Toán 9 tại ZIM Academy.