Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số | Cách giải, bài tập

Trong chương trình Toán 12, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số là dạng bài quan trọng, thường vận dụng đạo hàm, bảng biến thiên và so sánh giá trị hàm số tại các điểm tới hạn, đầu mút hoặc biên của miền xét.

Bài viết hướng dẫn cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, xác định GTLN GTNN của hàm số trên đoạn và khoảng, phân biệt với cực đại, cực tiểu, đồng thời vận dụng vào các dạng bài tối ưu và bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lớp 12 có đáp án.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là gì?

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập \(D\). Số \(M\) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên \(D\) nếu \(f(x)\le M\) với mọi \(x\in D\), đồng thời tồn tại \(x_0\in D\) sao cho \(f(x_0)=M\). [1]

Tương tự, số \(m\) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(D\) nếu \(f(x)\ge m\) với mọi \(x\in D\), đồng thời tồn tại \(x_0\in D\) sao cho \(f(x_0)=m\).

Cách ký hiệu thường dùng là \(M=\max_D f(x)\) và \(m=\min_D f(x)\). Nếu miền xét là đoạn \([a;b]\), cũng có thể viết \(\max_{[a;b]}f(x)\) và \(\min_{[a;b]}f(x)\).

Điểm cần nhớ là GTLN, GTNN của hàm số phải được xét trên toàn bộ miền đang cho, không chỉ quanh một điểm. Một cực đại hoặc cực tiểu chỉ cho biết hàm cao hơn hoặc thấp hơn các điểm rất gần nó, nên chưa chắc là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trên cả đoạn.

Chẳng hạn, trên đoạn \([1;4]\), một hàm số có thể đạt cực đại tại \(x=2\). Tuy nhiên, nếu \(f(4)\) lớn hơn \(f(2)\), thì giá trị tại \(x=4\) mới là giá trị lớn nhất trên đoạn. Vì vậy, khi làm bài, miền xét quan trọng không kém công thức đạo hàm.

Lưu ý: GTLN, GTNN phải là giá trị hàm số đạt được tại ít nhất một điểm thuộc miền xét. Với khoảng mở \((0;1)\), các đầu mút không thuộc miền; với nửa khoảng \((1;2]\), điểm \(x=1\) cũng không được tính khi so sánh.

Cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Để tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, cần xác định tập xác định và miền xét trước khi lựa chọn phương pháp. Trong chương trình Toán 12, học sinh thường sử dụng đạo hàm, bảng biến thiên hoặc đồ thị; mỗi phương pháp phù hợp với một dạng dữ kiện khác nhau.

Chọn phương pháp tìm GTLN, GTNN theo dạng bài:

Để lập bảng biến thiên chính xác trước khi so sánh các giá trị, có thể xem thêm chuyên đề khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

Điều kiện để giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số tồn tại

Trong Toán 12, hàm số liên tục trên đoạn đóng \([a;b]\) luôn đạt cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. Đây là điều kiện đủ thường dùng; không có nghĩa mọi hàm không liên tục hoặc mọi hàm trên khoảng mở đều không có GTLN, GTNN.

Điều kiện “đoạn đóng” rất quan trọng. Trên khoảng mở, hàm có thể tiến sát một giá trị nhưng không đạt giá trị đó. Chẳng hạn \(f(x)=x\) trên \((0;1)\) không có giá trị nhỏ nhất là 0 và cũng không có giá trị lớn nhất là 1, vì hai đầu mút không thuộc miền xét. [1]

Với bài thi, lỗi phổ biến là nhìn thấy hàm bị chặn rồi kết luận có GTLN, GTNN của hàm số. Kết luận đó chỉ chắc chắn khi hàm đạt giá trị tại một điểm thuộc miền, không phải chỉ tiến gần tới đầu mút.

Trong hình, phần bên trái minh họa hàm số trên đoạn đóng: hai đầu mút được lấy vào miền xét, nên giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất có thể đạt tại đầu mút hoặc tại điểm trong đoạn. Phần bên phải minh họa khoảng mở: điểm ở đầu mút được vẽ rỗng, cho thấy hàm có thể tiến rất gần một giá trị nhưng không thật sự đạt giá trị đó trên miền đang xét.

Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

Với hàm số liên tục trên đoạn \([a;b]\), giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là giá trị lớn nhất trong các giá trị cần so sánh tại hai đầu mút và các điểm tới hạn thuộc đoạn; tương tự, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là giá trị nhỏ nhất trong tập các giá trị đó.

Với hàm số liên tục trên đoạn \([a;b]\), thực hiện bốn bước sau để tìm GTLN và GTNN: [1]

1. Tính đạo hàm \(f'(x)\).

2. Tìm các điểm \(x_i\) thuộc khoảng \((a;b)\) sao cho \(f'(x_i)=0\), hoặc tại đó đạo hàm không xác định nhưng hàm số vẫn xác định.

3. Tính các giá trị \(f(a)\), \(f(b)\) và \(f(x_i)\) tại tất cả điểm vừa tìm được.

4. So sánh các giá trị trên. Số lớn nhất là GTLN, số nhỏ nhất là GTNN.

Bảng sau tóm tắt mục đích của từng thao tác và những sai sót cần tránh:

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số \(f(x)=x^3-3x^2-9x+2\) trên \([-2;2]\).

Bước 1. Tính đạo hàm: \[f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)\]

Bước 2. Giải \(f'(x)=0\), thu được \(x=-1\) hoặc \(x=3\). Trong đoạn \([-2;2]\), chỉ có \(x=-1\) thuộc miền cần xét; \(x=3\) bị loại vì nằm ngoài đoạn.

Bước 3. Tính giá trị hàm tại hai đầu mút và điểm vừa tìm được:

Bước 4. So sánh ba giá trị \(0\), \(7\), \(-20\). Số lớn nhất là 7, số nhỏ nhất là \(-20\).

Vậy \(\max_{[-2;2]}f(x)=7\) tại \(x=-1\), còn \(\min_{[-2;2]}f(x)=-20\) tại \(x=2\). Ví dụ này cho thấy giá trị nhỏ nhất có thể nằm ở đầu mút, không nhất thiết nằm tại điểm đạo hàm bằng 0.

Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên khoảng

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên khoảng hoặc nửa khoảng, cần xét chiều biến thiên và giới hạn ở các biên khi cần thiết. Không thể mặc nhiên lấy giá trị tại đầu mút không thuộc miền xét; kết luận GTLN hoặc GTNN chỉ hợp lệ khi hàm số thực sự đạt giá trị đó.

Ví dụ: Tìm GTNN của \(f(x)=x+\dfrac{4}{x}\) trên \((0;+\infty)\).

Bước 1. Tập xác định theo đề là \((0;+\infty)\). Có \[f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{x^2-4}{x^2}\]

Bước 2. Giải \(f'(x)=0\), thu được \(x=2\) hoặc \(x=-2\). Do miền xét là \((0;+\infty)\), chỉ giữ \(x=2\).

Bước 3. Xét dấu đạo hàm: với \(0\lt x\lt 2\), đạo hàm âm; với \(x\gt 2\), đạo hàm dương. Hàm giảm rồi tăng, nên đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x=2\).

Bước 4. Tính \(f(2)=2+\dfrac42=4\). Vậy \(\min_{(0;+\infty)}f(x)=4\).

Hàm trên không có giá trị lớn nhất vì \(f(x)\to +\infty\) khi \(x\to 0^+\) hoặc \(x\to +\infty\). Đây là điểm khác biệt rõ giữa GTNN đạt được và xu hướng vô hạn ở biên.

Đồ thị trong hình cho thấy hàm giảm khi \(x\) đi từ gần 0 đến 2, sau đó tăng khi \(x\gt 2\). Điểm được đánh dấu là \((2;4)\), tương ứng với giá trị nhỏ nhất của hàm trên \((0;+\infty)\). Hai đường gợi ý giúp người học nhìn được hoành độ và tung độ của điểm đạt GTNN.

Các dạng bài tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Các dạng bài dưới đây giúp vận dụng cách tìm GTLN, GTNN của hàm số khi dữ kiện được cho bằng bảng biến thiên, tham số, biểu thức có giá trị tuyệt đối hoặc bài toán thực tế.

Đọc bảng biến thiên và đồ thị để tìm GTLN, GTNN

Khi đề đã cho bảng biến thiên hoặc đồ thị, học sinh có thể dựa vào chiều tăng, giảm và các giá trị của hàm số để xác định GTLN, GTNN mà không cần tính lại đạo hàm. Với đồ thị, cần đọc tung độ của các điểm thuộc đúng miền xét.

Ví dụ: Xét hàm số \(f(x)=x^3-3x\) trên đoạn \([-2;3]\). Đạo hàm \(f'(x)=3(x-1)(x+1)\) có dấu dương trên \((-2;-1)\), âm trên \((-1;1)\) và dương trên \((1;3)\). Bảng biến thiên thể hiện:

Phân tích: Từ bảng biến thiên, hàm số tăng trên \([-2;-1]\), giảm trên \([-1;1]\), sau đó tăng trên \([1;3]\). Các giá trị cần so sánh là \(f(-2)=-2\), \(f(-1)=2\), \(f(1)=-2\) và \(f(3)=18\).

Kết quả: GTLN bằng \(18\) tại \(x=3\); GTNN bằng \(-2\) tại \(x=-2\) hoặc \(x=1\). Bảng biến thiên cho biết cả chiều biến thiên và điểm đạt GTLN, GTNN trên đoạn.

Tìm tham số trong bài toán GTLN, GTNN

Dạng tham số thường yêu cầu tìm \(m\) để GTLN hoặc GTNN thỏa một điều kiện. Điểm dễ sai là kết luận theo công thức đỉnh mà quên kiểm tra đỉnh có thuộc đoạn hay không.

Ví dụ: Tìm \(m\) để GTNN của \(f_m(x)=x^2-2mx\) trên \([0;2]\) bằng \(-1\).

Bước 1. Parabol có đỉnh tại \(x=m\). Vì xét trên \([0;2]\), cần chia theo vị trí của \(m\).

Bước 2. Nếu \(0\le m\le 2\), đỉnh nằm trong đoạn, nên GTNN là \(f(m)=-m^2\). Điều kiện \(-m^2=-1\) cho \(m=1\) hoặc \(m=-1\), nhưng chỉ \(m=1\) thuộc \([0;2]\).

Bước 3. Nếu \(m\lt 0\), hàm tăng trên \([0;2]\), nên GTNN là \(f(0)=0\), không bằng \(-1\).

Bước 4. Nếu \(m\gt 2\), hàm giảm trên \([0;2]\), nên GTNN là \(f(2)=4-4m\). Điều kiện \(4-4m=-1\) cho \(m=\dfrac54\), không thuộc trường hợp \(m\gt 2\).

Đáp án: \(m=1\).

Hàm chứa giá trị tuyệt đối và phương pháp đổi biến

Với hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, cần tìm các mốc làm biểu thức bên trong đổi dấu. Với hàm lượng giác hoặc hàm hợp, có thể đổi biến nếu xác định đúng miền giá trị của biến mới. Phần đạo hàm hàm hợp hỗ trợ khi cần tính đạo hàm của những biểu thức lồng nhau.

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của \(g(x)=|x^2-4x+3|\) trên \([0;4]\).

Bước 1. Biểu thức bên trong là \(x^2-4x+3=(x-1)(x-3)\), nên các mốc đổi dấu là \(x=1\) và \(x=3\).

Bước 2. Cần xét thêm hai đầu mút \(x=0\), \(x=4\), và điểm đỉnh của tam thức \(x=2\).

Bước 3. Tính giá trị: \(g(0)=3\), \(g(1)=0\), \(g(2)=1\), \(g(3)=0\), \(g(4)=3\).

Bước 4. So sánh các giá trị trên, số lớn nhất là 3 và số nhỏ nhất là 0.

Đáp án: GTLN bằng 3 tại \(x=0\) hoặc \(x=4\); GTNN bằng 0 tại \(x=1\) hoặc \(x=3\).

Bài toán thực tế về GTLN, GTNN của hàm số

Dạng thực tiễn thường có ba việc: đặt ẩn, lập hàm mục tiêu, tìm miền của ẩn.

Ví dụ: Một mảnh đất hình chữ nhật giáp sông chỉ cần rào ba cạnh bằng 80 m dây. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.

Bước 1. Gọi \(x\) là chiều rộng vuông góc bờ sông. Khi đó chiều dài là \(80-2x\).

Bước 2. Điều kiện là \(0\lt x\lt 40\). Diện tích cần tối ưu là \[S(x)=x(80-2x)=80x-2x^2\].

Bước 3. Parabol \(S(x)\) quay xuống, nên đạt lớn nhất tại đỉnh \(x=\dfrac{-80}{2\cdot(-2)}=20\).

Bước 4. Khi \(x=20\), chiều dài là \(80-2\cdot20=40\), diện tích lớn nhất là \(800\,\text{m}^2\).

Đáp án: chiều rộng 20 m, chiều dài 40 m, diện tích lớn nhất \(800\,\text{m}^2\).

Nhiều tài liệu ôn thi còn mở rộng sang hàm hợp, hàm có bảng biến thiên của \(f'(x)\), bài toán mũ, logarit và lượng giác. Dù hình thức thay đổi, lõi tư duy vẫn là tìm miền, tìm điểm cần xét, so sánh giá trị đạt được.

Cách kiểm tra GTLN, GTNN của hàm số bằng máy tính cầm tay

Máy tính cầm tay có thể hỗ trợ kiểm tra GTLN, GTNN của hàm số bằng chức năng TABLE (bảng giá trị). Trước tiên cần xác định miền xét, sau đó chọn Start, End và Step phù hợp. Những giá trị máy tính hiển thị chỉ phục vụ kiểm chứng, không tự chứng minh được GTLN hoặc GTNN trên một miền liên tục.

Ví dụ với Casio fx-580VN X: Vào chế độ TABLE, nhập \(f(x)=x^2+\dfrac12\) và, nếu cần, \(g(x)=x^2-\dfrac12\). Đặt Start = −1, End = 1, Step = 0,5. Với \(x=-1;-0,5;0;0,5;1\), các giá trị tương ứng của \(f(x)\) là \(1,5;0,75;0,5;0,75;1,5\).

Như vậy, \(f(x)\) có GTNN bằng \(0,5\) tại \(x=0\) và GTLN bằng \(1,5\) tại \(x=-1\) hoặc \(x=1\). Đối với \(g(x)\), GTNN là \(-0,5\) và GTLN là \(0,5\) trên cùng đoạn; các kết quả này có thể được chứng minh trực tiếp từ dạng bình phương của hai hàm.

Lưu ý: Bước nhảy quá lớn có thể bỏ qua điểm đạt cực trị; hàm lượng giác cần thiết lập đúng đơn vị góc; và giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong bảng số chưa chắc là GTLN, GTNN thực sự của hàm số. Khi giải tự luận, cần kết luận bằng lập luận toán học.

Bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số có đáp án

Các bài tập tìm GTLN, GTNN dưới đây được sắp xếp từ nhận biết đến vận dụng cao, gồm đọc bảng biến thiên, xét đạo hàm trên đoạn, hàm chứa tham số và bài toán tối ưu thực tế.

Bài tập mức nhận biết

Bài 1. Đọc từ bảng giá trị

Cho bảng giá trị của \(f(x)\) trên đoạn \([-1;4]\). Biết các điểm này gồm đủ điểm cần so sánh. Tìm GTLN và GTNN.

Lời giải: So sánh bốn giá trị \(5\), \(1\), \(9\), \(-2\). Giá trị lớn nhất là 9 tại \(x=2\). Giá trị nhỏ nhất là \(-2\) tại \(x=4\).

Đáp án: GTLN bằng 9 tại \(x=2\), GTNN bằng \(-2\) tại \(x=4\).

Bài 2. Đọc từ bảng biến thiên

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên \([-2;3]\) có bảng biến thiên như sau. Tìm GTLN và GTNN trên đoạn đã cho.

Lời giải: Bảng biến thiên cho thấy hàm tăng trên \([-2;0]\), giảm trên \([0;2]\) rồi tăng trên \([2;3]\). So sánh \(1\), \(5\), \(-3\) và \(2\), giá trị lớn nhất là \(5\), giá trị nhỏ nhất là \(-3\).

Đáp án: GTLN bằng 5 tại \(x=0\), GTNN bằng \(-3\) tại \(x=2\).

Bài 3. Đọc từ mô tả đồ thị

Trên đoạn \([-1;4]\), đồ thị hàm số liên tục đi qua các điểm \((-1;2)\), \((0;6)\), \((2;-1)\), \((4;4)\); đồng thời \(x=0\) và \(x=2\) là hai điểm cực trị duy nhất trong khoảng \((-1;4)\). Tìm GTLN và GTNN.

Lời giải: Từ đồ thị, các tung độ cần so sánh là \(2\), \(6\), \(-1\), \(4\). Tung độ lớn nhất là 6 tại \(x=0\); tung độ nhỏ nhất là \(-1\) tại \(x=2\).

Đáp án: GTLN bằng 6 tại \(x=0\), GTNN bằng \(-1\) tại \(x=2\).

Bài tập vận dụng cơ bản

Bài 4. Hàm đa thức trên đoạn

Tìm GTLN, GTNN của hàm số \(f(x)=x^3-3x+1\) trên \([-2;2]\).

Lời giải: Có \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Điểm cần xét trong đoạn là \(x=-1\) và \(x=1\). Tính thêm hai đầu mút:

So sánh các giá trị, số lớn nhất là 3 và số nhỏ nhất là \(-1\).

Đáp án: GTLN bằng 3 tại \(x=-1\) hoặc \(x=2\); GTNN bằng \(-1\) tại \(x=-2\) hoặc \(x=1\).

Bài 5. Hàm phân thức đơn điệu

Tìm GTLN và GTNN của \(f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}\) trên \([2;4]\).

Lời giải: Có \(f'(x)=\dfrac{-2}{(x-1)^2}\lt 0\) với mọi \(x\in[2;4]\). Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn này. Hàm nghịch biến nên giá trị lớn nhất ở đầu trái và giá trị nhỏ nhất ở đầu phải.

Tính \(f(2)=3\) và \(f(4)=\dfrac53\).

Đáp án: GTLN bằng 3 tại \(x=2\), GTNN bằng \(\dfrac53\) tại \(x=4\).

Bài 6. Khoảng mở

Tìm GTNN của \(f(x)=x+\dfrac{9}{x}\) trên \((0;+\infty)\), đồng thời cho biết hàm có GTLN không.

Lời giải: Có \(f'(x)=1-\dfrac{9}{x^2}=\dfrac{x^2-9}{x^2}\). Trên \((0;+\infty)\), \(f'(x)=0\) khi \(x=3\). Với \(0\lt x\lt 3\), đạo hàm âm; với \(x\gt 3\), đạo hàm dương. Hàm giảm rồi tăng nên đạt GTNN tại \(x=3\).

Tính \(f(3)=3+3=6\). Khi \(x\to 0^+\) hoặc \(x\to +\infty\), \(f(x)\to +\infty\), nên hàm không có GTLN.

Đáp án: GTNN bằng 6 tại \(x=3\). Hàm không có GTLN trên \((0;+\infty)\).

Bài tập vận dụng cao

Bài 7. Bài toán tham số

Tìm tham số \(m\) để GTNN của hàm số \(f_m(x)=x^2-2mx\) trên đoạn \([-1;2]\) bằng \(-4\).

Lời giải: Parabol có đỉnh tại \(x=m\), nên cần xét ba trường hợp:

• Nếu \(m<-1\), hàm tăng trên \([-1;2]\). Khi đó GTNN là \(f_m(-1)=1+2m\). Từ \(1+2m=-4\) suy ra \(m=-\dfrac52\), thỏa điều kiện.

• Nếu \(-1\le m\le2\), đỉnh thuộc đoạn, nên GTNN là \(f_m(m)=-m^2\). Giải \(-m^2=-4\) được \(m=\pm2\), nhưng chỉ \(m=2\) thuộc trường hợp này.

• Nếu \(m>2\), hàm giảm trên đoạn, GTNN là \(f_m(2)=4-4m\). Điều kiện \(4-4m=-4\) cho \(m=2\), không thuộc trường hợp \(m>2\).

Đáp án: \(m=-\dfrac52\) hoặc \(m=2\).

Bài 8. Bài toán thực tế

Một khu vườn hình chữ nhật dựa vào tường, chỉ rào ba cạnh bằng 60 m dây. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.

Lời giải: Gọi chiều rộng vuông góc tường là \(x\), khi đó chiều dài là \(60-2x\). Điều kiện là \(0\lt x\lt 30\). Diện tích là \[S(x)=x(60-2x)=60x-2x^2\]

Parabol \(S(x)\) quay xuống, nên đạt lớn nhất tại đỉnh \(x=\dfrac{-60}{2\cdot(-2)}=15\). Khi đó chiều dài là \(60-2\cdot15=30\), diện tích lớn nhất là \(450\,\text{m}^2\).

Đáp án: Chiều rộng 15 m, chiều dài 30 m, diện tích lớn nhất \(450\,\text{m}^2\).

Bài 9. Hàm lượng giác quy về hàm một biến

Tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=2\sin x-\cos 2x\) trên \([0;\pi]\).

Lời giải: Viết \(\cos 2x=1-2\sin^2x\). Khi đó \[y=2\sin x-(1-2\sin^2x)=2\sin^2x+2\sin x-1\]

Đặt \(t=\sin x\). Với \(x\in[0;\pi]\), có \(t\in[0;1]\). Khi đó cần xét \(g(t)=2t^2+2t-1\) trên \([0;1]\).

Có \(g'(t)=4t+2\gt 0\) trên \([0;1]\), nên \(g(t)\) đồng biến. Vì vậy GTNN đạt tại \(t=0\), GTLN đạt tại \(t=1\).

Đáp án: GTNN bằng \(-1\) khi \(t=0\), tức \(x=0\) hoặc \(x=\pi\). GTLN bằng 3 khi \(t=1\), tức \(x=\dfrac{\pi}{2}\).

Hình này nhấn mạnh ý tưởng đổi biến: khi \(x\in[0;\pi]\), đặt \(t=\sin x\) thì \(t\) chỉ nhận giá trị trong đoạn \([0;1]\). Nhờ vậy, bài toán lượng giác ban đầu được chuyển thành bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm theo biến \(t\) trên đoạn đóng.

Bài 10. Tối ưu hộp không nắp

Một hộp không nắp có đáy hình vuông, thể tích \(4\,\text{dm}^3\). Tìm kích thước để diện tích vật liệu làm hộp nhỏ nhất.

Lời giải: Gọi cạnh đáy là \(a\gt 0\), chiều cao là \(h\). Từ thể tích \(a^2h=4\), suy ra \(h=\dfrac{4}{a^2}\).

Diện tích vật liệu gồm đáy và bốn mặt bên: \(S=a^2+4ah\). Thay \(h=\dfrac{4}{a^2}\), thu được \(S(a)=a^2+\dfrac{16}{a}\).

Có \(S'(a)=2a-\dfrac{16}{a^2}=\dfrac{2(a^3-8)}{a^2}\). Với \(a>0\), đạo hàm âm khi \(0<a<2\) và dương khi \(a>2\), nên diện tích nhỏ nhất đạt tại \(a=2\). Khi đó \(h=\dfrac{4}{2^2}=1\).

Đáp án: Cạnh đáy 2 dm, chiều cao 1 dm, diện tích nhỏ nhất là \(12\,\text{dm}^2\).

Bài tập trắc nghiệm tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số

Phần trắc nghiệm giúp kiểm tra khả năng xác định GTLN, GTNN từ đạo hàm và dữ kiện của đề. Học sinh có thể làm trước, sau đó đối chiếu đáp án và phần giải thích ngắn.

Câu 1. GTLN của hàm số \(y=x^3-3x^2+4\) trên \([-1;3]\) là: A. 0 B. 4 C. 8 D. \(-1\)

Câu 2. GTNN của hàm số \(y=2x+\dfrac{8}{x}\) trên \((0;+\infty)\) là: A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

Câu 3. Cho \(f(-2)=0\), \(f(0)=3\), \(f(2)=-1\), \(f(4)=5\), và các điểm này đủ để so sánh trên \([-2;4]\). GTLN của hàm số là: A. 3 B. 5 C. 0 D. \(-1\)

Câu 4. GTLN của hàm số \(y=-x^4+2x^2\) trên \([-2;2]\) là: A. 1 B. 0 C. 2 D. \(-8\)

Giải thích đáp án: Câu 1: Xét đạo hàm và hai đầu mút, GTLN bằng \(4\) nên chọn B. Câu 2: Với \(x>0\), \(2x+\dfrac8x\ge 8\), dấu bằng khi \(x=2\), nên chọn B. Câu 3: So sánh các giá trị đã cho, GTLN bằng \(5\), chọn B. Câu 4: Đặt \(t=x^2\in[0;4]\), khi đó \(-x^4+2x^2=1-(t-1)^2\le1\), chọn A.

Như vậy, khi tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, học sinh cần xác định đúng miền xét, lựa chọn đạo hàm hoặc bảng biến thiên phù hợp và chỉ kết luận sau khi kiểm tra điểm đạt giá trị.

Như vậy, để tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số chính xác, người học cần xác định đúng tập xác định, xét các điểm tới hạn và lựa chọn phương pháp phù hợp với từng dạng bài. Với hàm số trên đoạn, cần tính và so sánh giá trị tại các điểm đặc biệt và hai đầu mút; với hàm số trên khoảng hoặc miền khác, có thể sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên để xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Nắm vững quy trình này sẽ giúp người học giải hiệu quả các dạng bài tìm GTLN GTNN của hàm số, kể cả bài toán thực tế trong chương trình Toán 12.