Tính đơn điệu và cực trị của hàm số | Bài tập có lời giải

Tính đơn điệu và cực trị của hàm số là nội dung trọng tâm của Toán 12, giúp học sinh xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực đại, cực tiểu. Bài viết hướng dẫn xét tính đơn điệu, lập bảng biến thiên và cách tìm cực trị dựa vào dấu đạo hàm. Thông qua ví dụ minh họa và 10 câu tự luyện có lời giải, học sinh có thể rèn kỹ năng đọc đồ thị, giải bài toán tham số và phân biệt điểm cực trị với giá trị cực trị.

Tính đơn điệu của hàm số là gì?

Tính đơn điệu mô tả xu hướng tăng hoặc giảm của hàm số trên một khoảng xác định [2].

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, trong đó K là một khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn. Với mọi \(x_1,x_2\) thuộc K [2]:

• Hàm số đồng biến trên K: Với mọi \(x_1,x_2\in K\), nếu \(x_1<x_2\)thì \(f(x_1)<f(x_2)\). Đồ thị đi lên từ trái sang phải.

• Hàm số nghịch biến trên K: Với mọi \(x_1,x_2\in K\), nếu \(x_1<x_2\) thì \(f(x_1)>f(x_2)\). Đồ thị đi xuống từ trái sang phải.

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K [2].

Đạo hàm là công cụ quan trọng để xét tính đơn điệu của hàm số. Nếu hàm số có đạo hàm trên khoảng K, ta có các dấu hiệu sau [4]:

• Nếu \(f^{\prime}(x)>0\) với mọi \(x\in K\), hàm số đồng biến trên K.

• Nếu \(f^{\prime}(x)<0\) với mọi \(x\in K\), hàm số nghịch biến trên K.

Trong trường hợp \(f^{\prime}(x)\geq0\) hoặc \(f^{\prime}(x)\le0\) với mọi x thuộc K, cần sử dụng định lý về tính đơn điệu phù hợp để kết luận. Theo định lý thường dùng trong chương trình phổ thông, nếu đạo hàm không âm (hoặc không dương) trên khoảng và chỉ bằng 0 tại một số điểm hữu hạn, hàm số vẫn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó [4].  Chẳng hạn \(y=x^3\) có \(y' = 3x^2 \geq 0\), đạo hàm bằng 0 chỉ tại \(x=0\), nên vẫn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Lưu ý: Các điểm làm cho \(f^{\prime}(x)=0\) hoặc đạo hàm không xác định có thể là điểm cần chia khoảng khi xét dấu đạo hàm. Tuy nhiên, không phải mọi điểm như vậy đều làm hàm số đổi chiều biến thiên .

Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn điệu của hàm số

Bảng biến thiên thể hiện dấu của đạo hàm và chiều biến thiên của hàm số trên từng khoảng. Để lập bảng biến thiên, học sinh thực hiện các bước [1]:

1. Tìm tập xác định: Xác định các giá trị của x để biểu thức f(x) có nghĩa.

2. Tính đạo hàm: Tìm f'(x) và giải phương trình f'(x)=0.

3. Xét dấu đạo hàm: Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng được chia bởi nghiệm của phương trình đạo hàm và những điểm cần xét khác.

4. Lập bảng biến thiên: Ghi các mốc giá trị của x, dấu của f'(x) và chiều biến thiên tương ứng của f(x).

5. Kết luận: Dựa vào bảng biến thiên để xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến.

Ví dụ xét tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu của hàm số \(f(x)=x^3-3x^2+2\).

Lời giải

Đạo hàm của hàm số là:

\(f′(x)=3x^2−6x=3x(x−2)\)

Giải phương trình f'(x)=0, ta được x=0 hay x=2.

Xét dấu đạo hàm:

• Khi \(x<0,f^{\prime}(x)>0\).

• Khi \(0<x<2,f^{\prime}(x)<0\).

• Khi \(x>2,f^{\prime}(x)>0\).

Tính giá trị hàm số tại các mốc:

\(f(0)=2\) và \(f(2)=-2\)

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đồng biến trên \((-\infty;0)\)và \((2;+\infty)\), nghịch biến trên \((0;2)\).

Ví dụ 2: Xét tính đơn điệu của hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-1}\).

Lời giải

Tập xác định là \(\mathbb{R}\)\ {1}. Ta có:

\(y' = \frac{2(x-1) - (2x+1)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0 \quad \forall x \neq 1\)

Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 1) và (1; +∞). Đừng kết luận hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)\ {1}, vì tập này không phải một khoảng liền.

Ví dụ 3: Tìm tham số để hàm số đơn điệu
Với dạng bài này, học sinh thường phải xác định điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng cho trước hoặc trên \(\mathbb{R}\) [4].

Phương pháp chung:

• Tính đạo hàm f'(x).

• Chuyển yêu cầu đơn điệu thành điều kiện về dấu của f'(x).

• Giải bất phương trình hoặc sử dụng điều kiện của tam thức bậc hai để tìm m.

Tìm m để hàm số \(f(x)=x^3+3mx^2+3x\)đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải

Ta có:

\(f'(x)=3x^2+6mx+3\) = \(3(x^2+2mx+1)\)

Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\), cần \(f^{\prime}(x)\geq0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\). Do tam thức bậc hai \(x^2+2mx+1\) có hệ số a dương, điều kiện là:
\(\Delta'=m^2-1\leq 0.\)

Suy ra:
\(m^2\leq 1\) \(\rightarrow\) \(-1\leq m\leq 1.\)
Vậy \(m\in[-1;1]\)

Lưu ý: Kết quả cuối cùng phải là \(m\in[-1;1],\) bao gồm cả hai đầu mút -1 và 1, vì tại các giá trị này ta vẫn có \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\).

Cực trị của hàm số là gì?

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(K\) và điểm \(x_0\in K\)[1].

• \(x_0\) là điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại khoảng (a;b) nằm trong K chứa \(x_0\) sao cho \(f(x)<f(x_0)\) với mọi \(x\in(a;b)\setminus{x_0}\). Khi đó \(f(x_0)\) là giá trị cực đại của hàm số.

• \(x_0\) là điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại khoảng (a;b) nằm trong K chứa \(x_0\) sao cho \(f(x)>f(x_0)\)với mọi \(x\in(a;b)\setminus{x_0}\). Khi đó \(f(x_0)\)là giá trị cực tiểu của hàm số.

Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị. Điểm \(M(x_0;f(x_0))\) gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Hai lưu ý dễ nhầm trong đề thi [3]:

• Giá trị cực đại chưa chắc là giá trị lớn nhất của hàm số. Nó chỉ là giá trị lớn nhất trong một khoảng đủ nhỏ quanh \(x_0\).

• Nếu hàm số có đạo hàm tại \(x_0\)và đạt cực trị tại \(x_0\)thì \(f^{\prime}(x_0)=0\). Chiều ngược lại không đúng: \(y=x^3\) có \(y^{\prime}(0)=0\) nhưng không có cực trị tại \(x=0\).

Cách tìm cực trị hàm số

Có hai phương pháp thường dùng trong chương trình Toán 12.

Phương pháp 1: Sử dụng dấu của đạo hàm cấp một [4]

Giả sử hàm số f liên tục tại \(x_0\) và có đạo hàm trong một lân cận của \(x_0\), ngoại trừ có thể tại chính \(x_0\).

• Nếu \(f^{\prime}(x)\) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua \(x_0\), hàm số đạt cực đại tại \(x_0\).

• Nếu \(f^{\prime}(x)\)đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua \(x_0\), hàm số đạt cực tiểu tại \(x_0\).

• Nếu \(f^{\prime}(x)\)không đổi dấu khi đi qua \(x_0\), hàm số không đạt cực trị tại \(x_0\).

Các bước thực hiện:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f'(x), tìm các điểm làm f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

3. Lập bảng biến thiên, quan sát f'(x) có đổi dấu hay không tại từng điểm.

4. Kết luận điểm cực trị và giá trị cực trị tương ứng.

Lưu ý: nghiệm bội chẵn của \(f'(x) = 0\) (chẳng hạn \(x = 1\) trong \(f'(x) = (x-1)^{2}\cdot g(x)\)) không làm \(f^{\prime}\left(x\right)\)đổi dấu, nên không phải điểm cực trị.

Phương pháp 2: Sử dụng đạo hàm cấp hai [2]

Nếu \(f^{\prime}(x_0)=0\) và \(f''(x_0)\neq0\), ta có:

• \(f''(x_0)<0\): Hàm số đạt cực đại tại \(x_0\).

• \(f''(x_0)>0\): Hàm số đạt cực tiểu tại \(x_0\).

Nếu \(f''(x_0)=0\), phương pháp này chưa đủ để kết luận; khi đó nên xét dấu đạo hàm cấp một hoặc dùng phương pháp phù hợp khác.

Ví dụ minh hoạ tìm cực trị của hàm số

Ví dụ 4: Tìm cực trị của hàm số \(f(x)=x^3-3x+1\).

Lời giải

Cách 1: Sử dụng dấu của đạo hàm cấp một

Tập xác định là \(\mathbb{R}\). Ta có:

\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)

\(f'(x)=0\Leftrightarrow\) \(x=1\) hay \(x=-1\)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Đạo hàm f'(x) đổi dấu từ dương sang âm tại \(x=-1\), nên hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), với giá trị cực đại:

\(f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=3.\)

Đạo hàm f'(x) đổi dấu từ âm sang dương tại \(x=1\), nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\), với giá trị cực tiểu:

\(f(1)=1^3-3\cdot1+1=-1.\)

Vậy hàm số có điểm cực đại \(M(-1;3)\) và điểm cực tiểu \(N(1;-1).\)

Cách 2: Sử dụng đạo hàm cấp hai

Ta có: \(f'(x)=3x^2-3.\)
Giải phương trình \(f^{\prime}(x)=0\), ta được \(x=-1\) hay \(x=1\).

Tiếp theo, tính đạo hàm cấp hai:

\(f''(x)=6x.\)

• Tại \(x=-1\):
  \(f''(-1)=6(-1)=-6<0.\)

Do đó, hàm số đạt cực đại tại \(x=-1\), với giá trị cực đại:

\(f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=3.\)

• Tại \(x=1\):
  \(f''(1)=6\cdot1=6>0.\)

Do đó, hàm số đạt cực tiểu tại \(x=1\), với giá trị cực tiểu:
\(f(1)=1^3-3\cdot1+1=-1.\)

Vậy hàm số có điểm cực đại \(M(-1;3)\) và điểm cực tiểu \(N(1;-1)\).

Ví dụ 5. Tìm tất cả giá trị của m để hàm số \(y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m+2)x\) có hai điểm cực trị.

Lời giải

Ta có \(y'=x^2-2mx+m+2\). Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi \(y'=0\) có hai nghiệm phân biệt:

\(\Delta' = m^2 - (m+2) > 0\)

\(\Leftrightarrow m^2 - m - 2 > 0\) \(\Leftrightarrow m < -1\) hay \(m >2\)

Vậy m < −1 hoặc m > 2.

Ví dụ 6: Dạng bài đọc cực trị từ đồ thị và bảng biến thiên

Đây là dạng bài yêu cầu xác định số điểm cực trị, vị trí cực trị hoặc giá trị cực trị dựa trên đồ thị hay bảng biến thiên đã cho [4].

Phương pháp giải:

1. Xác định các điểm mà đồ thị chuyển từ tăng sang giảm hoặc từ giảm sang tăng.

2. Đối chiếu chiều biến thiên ở hai phía của điểm đó.

3. Đọc hoành độ và tung độ của điểm cực trị nếu đề bài yêu cầu.

Nếu đề cho bảng dấu đạo hàm, cần chú ý sự đổi dấu của f'(x), thay vì chỉ đếm các nghiệm của phương trình f'(x)=0.

Đề bài 1: Cho bảng dấu đạo hàm của hàm số (f(x)):

Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Lời giải

Tại \(x=-2\), đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại. Tại \(x=1\), đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu.

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.

Đề bài 2: Đạo hàm \(f^{\prime}(x)\) của hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị như hình 1 dưới đây. Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số.

Lời giải

Dựa vào đồ thị của hàm số \(y=f'(x)\), ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

• Hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng (-1;2) và (4;5).

• Hàm số y = f(x) nghịch biến trên các khoảng (-2;-1) và (2;4).

• Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = -1 và x = 4. Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = 2.

Bài tập tự luyện về tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Các dạng bài thường gặp

Các tài liệu ôn thi thường chia bài tập về tính đơn điệu và cực trị thành những dạng sau, sắp xếp từ dễ đến khó :

Dưới đây là 10 câu luyện tập theo cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT gồm ba phần: nhiều lựa chọn, đúng sai và trả lời ngắn. Học sinh cần tự làm bài trước khi xem đáp án và gợi ý giải.

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Hàm số \(y=-x^3+3x+2\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. \((-\infty;-1)\)
B. \((-1;1)\)
C. \((1;+\infty)\)
D. \((-\infty;+\infty)\)

Đáp án: B

Phân tích đề: Bài toán yêu cầu xác định khoảng đồng biến của hàm số bậc ba. Ta tính đạo hàm, tìm các nghiệm của y' = 0 rồi xét dấu đạo hàm để xác định khoảng đồng biến.

Lời giải:

\(y=-x^3+3x+2\) có tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

• \(y^{\prime}=-3x^2+3=-3(x^2-1)=-3(x-1)(x+1).\)

• \(y'=0\iff x=-1\) hay \(x=1.\)

• Vì hệ số bậc hai của y' là a = -3 <0, nên y' > 0 giữa hai nghiệm và y' < 0 ở ngoài hai nghiệm.

Vậy hàm số đồng biến trên (-1;1). Chọn B.

Câu 2. Cho hàm số \(y=\dfrac{x+2}{x-3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên\(\mathbb{R}\setminus{3}\).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng\((-\infty;3)\).
C. Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
D. Hàm số đồng biến trên khoảng \((3;+\infty)\).

Đáp án: B

Phân tích đề: Đây là bài toán xét tính đơn điệu của hàm phân thức. Ta tính đạo hàm và xác định dấu của đạo hàm trên từng khoảng xác định. Cần chú ý hàm số không xác định tại x = 3.

Lời giải:

\(y=\dfrac{x+2}{x-3}\) có tập xác định \(D=\mathbb{R}\setminus{3}\).

• \(y'=\dfrac{1\cdot(x-3)-1\cdot(x+2)}{(x-3)^2}=-\dfrac{5}{(x-3)^2}\)

• Vì \((x-3)^2>0\) nên \(y^{\prime}<0\) với mọi \(x\ne3\).

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng \((-\infty;3)\)và \((3;+\infty)\).

• A sai (hàm số nghịch biến, không đồng biến).

• C sai (hàm số không xác định tại x = 3 nên không nghịch biến trên cả \(\mathbb{R}\).

• D sai (trên \((3;+\infty)\) hàm số nghịch biến).

• B đúng.

Câu 3. Hàm số \(y=x^4-4x^2+1\) có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Đáp án: C

Phân tích đề: Số điểm cực trị được xác định thông qua sự đổi dấu của đạo hàm. Ta tìm các nghiệm của y' = 0, sau đó xét xem đạo hàm có đổi dấu qua từng nghiệm hay không.

Lời giải:

Với \(y=x^4-4x^2+1\), ta có:

\(\begin{aligned} y'&=4x^3-8x\ =4x(x^2-2)\ =4x(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}). \end{aligned}\)

Cho \(y^{\prime}=0\), ta được:

\(x=-\sqrt{2},\qquad x=0,\qquad x=\sqrt{2}.\)

Cả ba nghiệm đều là nghiệm đơn nên y' đổi dấu qua mỗi nghiệm. Vì vậy, hàm số có 3 điểm cực trị, gồm hai điểm cực tiểu tại \(x=\pm\sqrt{2}\) và một điểm cực đại tại \(x=0\).

Vậy chọn C.

Câu 4. Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x)=x(x-1)^2(x+2)\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Đáp án: B

Phân tích đề: Đề bài cho trực tiếp đạo hàm dưới dạng tích. Ta tìm các nghiệm của f'(x) = 0 và xét bội của từng nghiệm. Nghiệm bội lẻ thường làm đạo hàm đổi dấu, còn nghiệm bội chẵn không làm đạo hàm đổi dấu nếu các thừa số còn lại khác 0 tại nghiệm đó.

Lời giải:

Ta có: \(f'(x)=x(x-1)^2(x+2).\)

Các nghiệm của f'(x) = 0 là:

• x = 0, nghiệm bội lẻ: f'(x) đổi dấu.

• x = -2, nghiệm bội lẻ: f'(x) đổi dấu.

• x = 1, nghiệm bội chẵn: f'(x) không đổi dấu.

Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Chọn B.

Câu 5. Giá trị cực tiểu của hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\) là:

A. -22
B. 10
C. 3
D. -1

Đáp án: A

Phân tích đề: Bài toán yêu cầu tìm giá trị cực tiểu, không phải hoành độ hay tọa độ điểm cực tiểu. Ta tính đạo hàm, tìm các điểm tới hạn, xét dấu đạo hàm để xác định vị trí cực tiểu rồi thay vào hàm số.

Lời giải:

Với \(y=x^3-3x^2-9x+5\), tập xác định D = R, ta có:

\(\begin{aligned} y'&=3x^2-6x-9\ =3(x^2-2x-3)\ =3(x-3)(x+1). \end{aligned}\)

Cho y' = 0, ta được x = -1 hay x = 3.

• Tại x = -1, đạo hàm đổi dấu từ (+) sang (-), nên hàm số đạt cực đại:

\(y(-1)=-1-3+9+5=10.\)

• Tại x = 3, đạo hàm đổi dấu từ (-) sang (+), nên hàm số đạt cực tiểu:

\(y(3)=27-27-27+5=-22.\)

Vậy giá trị cực tiểu là -22. Chú ý đề hỏi giá trị cực tiểu (tức y(3)), không phải điểm cực tiểu (x = 3). Chọn A.

Câu 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\in[-5;5]\) để hàm số \(y=\frac{mx+4}{x+m}\)
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

Đáp án: C

Phân tích đề: Muốn hàm số phân thức đồng biến trên từng khoảng xác định, ta cần đạo hàm dương trên các khoảng đó. Sau khi tìm điều kiện của tham số m, ta đếm các giá trị nguyên thuộc đoạn đã cho. Cần loại các giá trị làm hàm số trở thành hàm hằng.

Lời giải:

Hàm số \(y=\dfrac{mx+4}{x+m}\)có tập xác định \(\mathbb{R}\setminus{-m}\).

Ta có:

\[\begin{aligned} y'&=\frac{m(x+m)-(mx+4)}{(x+m)^2}\ =\frac{m^2-4}{(x+m)^2} \end{aligned}\]

Vì \((x+m)^2>0\) trên tập xác định, hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi:

\[\begin{aligned}y^{\prime}>0 & \iff m^2-4>0\\ & \iff m^2>4\\ & \iff m<-2\quad\text{hay}\quad m>2.\end{aligned}\]

Với \(m\in[-5;5]\) và \(m\) là số nguyên, ta có:
\(m=-5,-4,-3,3,4,5\)
Có 6 giá trị nguyên thỏa mãn. Hai giá trị \(m=\pm2\) bị loại vì khi đó y' = 0 trên tập xác định và hàm số trở thành hàm hằng. Vậy chọn C.

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 7. Cho hàm số \(y=x^3-6x^2+9x-1.\)
Xét tính đúng sai của các phát biểu sau:

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3).

b) Hàm số đạt cực đại tại x = 3.

c) Giá trị cực tiểu của hàm số bằng -1.

d) Điểm cực đại của đồ thị hàm số là A(1;2).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Phân tích đề: Bài toán yêu cầu xác định tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Ta tính đạo hàm, xét dấu y', lập bảng biến thiên để đánh giá từng nhận định đúng hay sai.

Lời giải:

Cho hàm số: \(y=x^3-6x^2+9x-1\)

Ta có:

\(\begin{aligned} y'&=3x^2-12x+9\\ &=3(x-1)(x-3) \end{aligned}\)

\(y'=0\Leftrightarrow\) \(x=1\) hay \(x=3\)

Tính giá trị hàm số tại các điểm tới hạn:

\(y(1)=1-6+9-1=3\)

\(y(3)=27-54+27-1=-1\)

Lập bảng xét dấu:

Kết luận:

a) Đúng. Vì y' < 0 trên (1;3), hàm số nghịch biến trên khoảng này.

b) Sai. Tại x = 3, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu.

c) Đúng. Giá trị cực tiểu của hàm số là y(3) = -1.

d) Sai. Điểm cực đại của đồ thị là A(1;3), không phải A(1;2).

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 8. Tìm giá trị lớn nhất của (m) để hàm số \(y=-x^3+3x^2+(m-2)x+1\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án là -1

Phân tích đề: Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y'\le0\) với mọi \(x\). Vì đạo hàm là tam thức bậc hai có hệ số \(a<0\), ta sử dụng điều kiện \(\Delta'\le0\).

Lời giải:

Cho hàm số: \(y=-x^3+3x^2+(m-2)x+1\)

Ta có: \(y'=-3x^2+6x+m-2\)

Để hàm số nghịch biến trên R, cần:

\(y'\le0,\quad \forall x\in\mathbb{R}\)

Vì \(a=-3<0\), điều kiện tương đương: \(\Delta'\le0\)

\[\begin{aligned} \Delta'&=3^2-(-3)(m-2)\\ &=9+3m-6\\ &=3m+3 \end{aligned}\]

Suy ra:

\(3m+3\le0\Leftrightarrow m\le-1\)

Với m = -1:

\(y'=-3(x-1)^2\le0,\quad \forall x\in\mathbb{R}\)

Do đó hàm số vẫn nghịch biến trên R.

Đáp án: \({m_{\max}=-1}\)

Câu 9. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=x^3-3x^2+1\) (làm tròn đến hàng phần mười).

Đáp án là 4,5

Phân tích đề: Tìm hai điểm cực trị bằng cách giải y' = 0, sau đó áp dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

Cho hàm số: \(y=x^3-3x^2+1\)

Ta có: \(y'=3x^2-6x = 3x(x-2)\)

\(y'=0\Leftrightarrow\) \(x=0\) hay \(x=2\)

Tính:

\(y(0)=1\)

\(y(2)=8-12+1=-3\)

Hai điểm cực trị của đồ thị là:

\(A(0;1),\qquad B(2;-3)\)

Áp dụng công thức khoảng cách:

\(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

\[\begin{aligned} AB&=\sqrt{(2-0)^2+(-3-1)^2}\\ &=\sqrt{4+16}\\ &=\sqrt{20}=2\sqrt5\\ &\approx4{,}47 \end{aligned}\]

Làm tròn kết quả đến một chữ số thập phân. Đáp án: \(AB\approx4,5\)

Câu 10. Một vật được ném thẳng đứng lên từ mặt đất, độ cao của vật (tính bằng mét) sau (t) giây là \(h(t)=20t-5t^2.\) Tìm độ cao lớn nhất mà vật đạt được (đơn vị: mét).

Đáp án là 20 (m)

Phân tích đề: Độ cao lớn nhất chính là giá trị cực đại của hàm số h(t). Ta tìm thời điểm h'(t) = 0, xét dấu đạo hàm rồi tính độ cao tương ứng.

Lời giải:

Cho hàm số biểu diễn độ cao: \(h(t)=20t-5t^2,\qquad t\ge0\)

Ta có:

\(h'(t)=20-10t\)

Giải phương trình:

\(\begin{aligned} h'(t)&=0\\ 20-10t&=0\\ t&=2 \end{aligned}\)

Xét dấu:

• \(h'(t)>0\)khi \(0\le t<2\)

• \(h'(t)<0\) khi \(t>2\)

Vậy hàm số đạt giá trị cực đại tại t = 2.

Thay vào hàm số:

\(\begin{aligned} h(2)&=20\cdot2-5\cdot2^2\\ &=40-20\\ &=20 \end{aligned}\)

Đáp án: \({h_{\max}=20}\) (m)

Tính đơn điệu và cực trị của hàm số được xác định bằng cách kết hợp tập xác định, dấu đạo hàm và bảng biến thiên. Học sinh cần phân biệt điểm cực trị, giá trị cực trị và điểm cực trị của đồ thị; đồng thời kiểm tra điều kiện áp dụng khi giải bài tham số hoặc đọc đồ thị.

Trước khi học giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và khảo sát hàm số, nên luyện chắc cách tìm điểm tới hạn và xét sự đổi dấu của đạo hàm. Tham khảo các bài học và bài tập Toán 12 tại ZIM Academy để tiếp tục ôn tập.