Trục căn thức ở mẫu | Công thức, cách biến đổi và bài tập lớp 9

Trong chương trình Toán 9 tập 1, trục căn thức ở mẫu là một phép biến đổi quan trọng khi rút gọn và biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai. Phương pháp này giúp đưa căn thức ra khỏi mẫu, thường thông qua việc nhân với biểu thức thích hợp hoặc biểu thức liên hợp.

Nội dung dưới đây trình bày các công thức trục căn thức ở mẫu, cách thực hiện và các dạng bài tập biến đổi căn thức lớp 9 kèm lời giải.

Trục căn thức ở mẫu là gì?

Trục căn thức ở mẫu là phép biến đổi một biểu thức có căn thức ở mẫu thành biểu thức tương đương không còn căn thức ở mẫu [1]. Đây là một phép biến đổi thường dùng khi biến đổi và rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai trong Toán 9.

Tại sao phải trục căn thức ở mẫu?

Trong quá trình biến đổi và rút gọn biểu thức, căn thức ở mẫu có thể làm các bước tính toán trở nên phức tạp hơn. Trục căn thức ở mẫu giúp đưa biểu thức về dạng thuận lợi hơn cho các phép biến đổi tiếp theo:

• Thực hiện phép tính: Khi cộng hoặc trừ các phân thức có mẫu chứa căn, việc đưa mẫu về dạng không chứa căn có thể giúp quá trình quy đồng và rút gọn rõ ràng hơn.

• So sánh và ước lượng giá trị: Dạng biểu thức không chứa căn ở mẫu thường thuận lợi hơn khi cần biến đổi hoặc đối chiếu giá trị.

• Biến đổi biểu thức: Sau khi trục căn thức ở mẫu, biểu thức có thể thuận lợi hơn cho các bước phân tích thành nhân tử, rút gọn hoặc xét dấu.

Công thức trục căn thức ở mẫu khi mẫu là một căn thức

Với các biểu thức A, B mà B > 0, công thức trục căn thức ở mẫu được viết như sau:

\[\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}\]

Khi mẫu số của phân thức chỉ là một căn thức đơn giản, có thể nhân cả tử và mẫu với chính căn thức đó để đưa mẫu về biểu thức không chứa căn.

Hướng dẫn chi tiết

• Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức dưới mẫu số (B > 0).

• Bước 2: Nhân cả tử số A và mẫu số \(\sqrt{B}\) với biểu thức \(\sqrt{B}\).

• Bước 3: Sử dụng hằng đẳng thức \(\left(\sqrt{B}\right)^2\) = B để triệt tiêu dấu căn ở mẫu.

• Bước 4: Rút gọn thừa số chung giữa tử và mẫu (nếu có) để thu được kết quả rút gọn.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức P = \(\frac{5}{\sqrt3}\).

Hướng dẫn giải

Vì 3 > 0, nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt3\), thu được:

P = \(\frac{5\cdot \sqrt3}{\sqrt3\cdot \sqrt3}=\frac{5\sqrt3}{3}\)

Ví dụ 2: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức Q = \(\frac{2a}{\sqrt{a}}\) với a > 0.

Hướng dẫn giải

Vì a > 0, nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{a}\):

\[Q=\frac{2a\cdot\sqrt{a}}{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}}=\frac{2a\cdot\sqrt{a}}{a}=2\sqrt{a}\]

Công thức trục căn thức ở mẫu khi mẫu là tổng hoặc hiệu chứa căn

Khi mẫu số có dạng tổng hoặc hiệu chứa căn thức bậc hai, việc nhân với chính mẫu số sẽ không làm mất dấu căn. Lúc này, cần sử dụng biểu thức liên hợp dựa trên hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \((X - Y)(X + Y) = X^2 - Y^2\).

Biểu thức liên hợp là gì?

• Biểu thức liên hợp của (\(\sqrt{A}+\sqrt{B}\)) là (\(\sqrt{A}-\sqrt{B}\)) và ngược lại.

• Biểu thức liên hợp của (\(\sqrt{A}+B\)) là (\(\sqrt{A}-B\)) và ngược lại.

Công thức tổng quát

• Với các biểu thức A, B, C mà A \(\ge\) 0 và A \(\ne\) \(B^2\): \[\frac{C}{\sqrt{A}+B}=\frac{C\cdot \left(\sqrt{A}-B\right)}{\left(\sqrt{A}+B\right)\cdot \left(\sqrt{A}-B\right)}=\frac{C\cdot \left(\sqrt{A}-B\right)}{A-B^2}\]
  \[\frac{C}{\sqrt{A}-B}=\frac{C\cdot \left(\sqrt{A}+B\right)}{\left(\sqrt{A}-B\right)\cdot \left(\sqrt{A}+B\right)}=\frac{C\cdot \left(\sqrt{A}+B\right)}{A-B^2}\]

• Với các biểu thức A, B, C mà A \(\ge\)0, B \(\ge\)0 và A \(\ne\)B:
  \[\frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C\cdot \left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)}{\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)\cdot \left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)}=\frac{C\cdot \left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)}{A-B}\]
  \[\frac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{C\cdot \left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)}{\left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)\cdot \left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)}=\frac{C\cdot \left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)}{A-B}\]

  

Ví dụ minh họa

Ví dụ 3: Trục căn thức ở mẫu biểu thức M = \(\frac{2}{\sqrt5-1}\).

Hướng dẫn giải

Biểu thức liên hợp của mẫu (\(\sqrt5-1\)) là (\(\sqrt5+1\)). Nhân cả tử và mẫu với (\(\sqrt5+1\)) ta được:

\[M=\frac{2\left(\sqrt5+1\right)}{\left(\sqrt5-1\right)\left(\sqrt5+1\right)}=\frac{2\left(\sqrt5+1\right)}{\left(\sqrt5\right)^2-1^2}=\frac{2\left(\sqrt5+1\right)}{5-1}=\frac{2\left(\sqrt5+1\right)}{4}=\frac{\sqrt5+1}{2}\]

Ví dụ 4: Trục căn thức ở mẫu biểu thức N = \(\frac{3}{\sqrt7+\sqrt2}\).

Hướng dẫn giải

Biểu thức liên hợp của mẫu (\(\sqrt7+\sqrt2\)) là (\(\sqrt7-\sqrt2\)). Nhân cả tử và mẫu với (\(\sqrt7-\sqrt2\)) ta được:

\[N=\frac{3\cdot\left(\sqrt7-\sqrt2\right)}{\left(\sqrt7+\sqrt2\right)\left(\sqrt7-\sqrt2\right)}=\frac{3\cdot\left(\sqrt7-\sqrt2\right)}{\left(\sqrt7\right)^2-\left(\sqrt2\right)^2}=\frac{3\cdot\left(\sqrt7-\sqrt2\right)}{7-2}=\frac{3\cdot\left(\sqrt7-\sqrt2\right)}{5}\]

Một số lỗi thường gặp khi trục căn thức ở mẫu

Khi trục căn thức ở mẫu, một số lỗi thường gặp có thể dẫn đến kết quả biến đổi không chính xác, gồm:

• Quên xác định điều kiện của biểu thức trước khi biến đổi.

• Nhầm lẫn dấu khi nhân biểu thức liên hợp: Khi mẫu là (\(\sqrt{A}\) - \(\sqrt{B}\)), học sinh nhân với

  (\(\sqrt{A}\) - \(\sqrt{B}\)) thay vì (\(\sqrt{A}\) + \(\sqrt{B}\)). Lỗi này dẫn đến việc mẫu số vẫn không mất dấu căn.

• Bỏ qua bước phân tích thành nhân tử: Không phải trường hợp nào cũng cần nhân với biểu thức liên hợp. Nếu tử và mẫu có nhân tử chung, có thể rút gọn trước để giảm số bước biến đổi.

Mối liên hệ giữa khử mẫu trong dấu căn và trục căn thức ở mẫu

Khử mẫu của biểu thức lấy căn và trục căn thức ở mẫu là hai phép biến đổi khác nhau. Việc phân biệt đúng hai dạng giúp học sinh xác định đối tượng cần biến đổi và lựa chọn công thức phù hợp.

Bảng phân biệt hai phép biến đổi:

Ví dụ đối chiếu trên cùng một dạng biểu thức chứa số:

Xét biểu thức liên quan đến số 3 và 5:

Khử mẫu trong dấu căn với \(\sqrt{\frac35}\):

\[\sqrt{\frac35}=\sqrt{\frac{3\cdot5}{5\cdot5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}\]

Trục căn thức ở mẫu với \(\frac{3}{\sqrt5}\):

\[\frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\cdot \sqrt5}{\sqrt5\cdot \sqrt5}=\frac{3\cdot \sqrt5}{5}\]

Nhận xét: Hai phép biến đổi có thể cho kết quả tương đồng về hình thức nhưng khác nhau về đối tượng ban đầu: \(\sqrt{\frac35}\) là căn thức chứa phân thức, còn \(\frac{3}{\sqrt5}\) là phân thức có căn thức ở mẫu.

Bài tập vận dụng trục căn thức ở mẫu

Dưới đây là một số bài tập trục căn thức ở mẫu và rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai, phù hợp để học sinh lớp 9 luyện tập và củng cố cách áp dụng công thức.

Trục căn thức ở mẫu đơn giản

Bài 1: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:

a) A = \(\frac{6}{\sqrt2}\)

b) B = \(\frac{4}{\sqrt7-3}\)

c) C = \(\frac{10}{\sqrt6+\sqrt{10}}\)

Hướng dẫn giải

a) Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với \(\sqrt2\), ta được:

\[A=\frac{6}{\sqrt2}=\frac{6\cdot\sqrt2}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac{6\cdot\sqrt2}{2}\]

b) Biểu thức liên hợp của \(\sqrt7-3\) là \(\sqrt7+3\). Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với \(\sqrt7+3\), ta được: \[B=\frac{4}{\sqrt7-3}=\frac{4\cdot\left(\sqrt7+3\right)}{\left(\sqrt7-3\right)\left(\sqrt7+3\right)}=\frac{4\cdot\left(\sqrt7+3\right)}{\left(\sqrt7\right)^2-3^2}=\frac{4\cdot\left(\sqrt7+3\right)}{7-9}=\frac{4\cdot\left(\sqrt7+3\right)}{-2}=-2\left(\sqrt7+3\right)\]

c) Biểu thức liên hợp của \(\sqrt6+\sqrt{10}\) là \(\sqrt6-\sqrt{10}\). Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với \(\sqrt6-\sqrt{10}\), ta được:

\[C=\frac{10}{\sqrt6+\sqrt{10}}=\frac{10\left(\sqrt6-\sqrt{10}\right)}{\left(\sqrt6+\sqrt{10}\right)\cdot\left(\sqrt6-\sqrt{10}\right)}=\frac{10\left(\sqrt6-\sqrt{10}\right)}{\left(\sqrt6\right)^2-\left(\sqrt{10}\right)^2}\]

\[=\frac{10\left(\sqrt6-\sqrt{10}\right)}{6-10}=\frac{10\left(\sqrt6-\sqrt{10}\right)}{-4}=-\frac{5\left(\sqrt6-\sqrt{10}\right)}{2}\]

Rút gọn biểu thức kết hợp trục căn thức ở mẫu

Bài 2: Tính giá trị biểu thức: K =\(\frac{1}{3+\sqrt8}+\frac{1}{3-\sqrt8}\)

Hướng dẫn giải

Trục căn thức ở mẫu cho từng phân thức:

Với \(\frac{1}{3+\sqrt8}\), ta có biểu thức liên hợp của \(3+\sqrt8\) là \(3-\sqrt8\), ta được:

\[\frac{1}{3+\sqrt8}=\frac{1\left(3-\sqrt8\right)}{\left(3+\sqrt8\right)\left(3-\sqrt8\right)}=\frac{1\left(3-\sqrt8\right)}{3^2-\left(\sqrt8\right)^2}=\frac{1\left(3-\sqrt8\right)}{9-8}=3-\sqrt8\]

Với \(\frac{1}{3-\sqrt8}\), ta có biểu thức liên hợp của \(3-\sqrt8\) là \(3+\sqrt8\), ta được:

\[\frac{1}{3-\sqrt8}=\frac{1\left(3+\sqrt8\right)}{\left(3-\sqrt8\right)\left(3+\sqrt8\right)}=\frac{1\left(3+\sqrt8\right)}{3^2-\left(\sqrt8\right)^2}=\frac{1\left(3+\sqrt8\right)}{9-8}=3+\sqrt8\]

Thay vào biểu thức K:
K = (\(3-\sqrt8\)) + (\(3+\sqrt8\)) = 6

Vậy K = 6.

Bài 3: Cho biểu thức P = \(\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}\) với x > 0, x \(\ne\)1.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của P khi x = \(4+2\sqrt3\).

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi và quy đồng tử số:

\[P=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{x-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}\]

\[P=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\]

\[P=\left(\frac{x-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right):\frac{1}{\sqrt{x}-1}\]\[P=\left(\frac{x-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right)\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)\]

\[P=\frac{x-1}{\sqrt{x}}\]

Trục căn thức ở mẫu cho P:

\[P=\frac{x-1}{\sqrt{x}}=\frac{\left(x-1\right)\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}=\frac{\left(x-1\right)\cdot\sqrt{x}}{x}\]

b) Ta có: x = \(4+2\sqrt3\) = \(\left(\sqrt3+1\right)^2\). Vì \(\sqrt3+1>0\), suy ra \(\sqrt{x}=\sqrt3+1\).

Thay vào biểu thức P, ta được:

\[P=\frac{\left(4+2\sqrt3-1\right)\cdot \left(\sqrt3+1\right)}{4+2\sqrt3}=\frac{\left(3+2\sqrt3\right)\cdot \left(\sqrt3+1\right)}{4+2\sqrt3}=\frac{\sqrt3\left(\sqrt3+2\right)\cdot \left(\sqrt3+1\right)}{2\left(2+\sqrt3\right)}=\frac{\sqrt3\cdot \left(\sqrt3+1\right)}{2}=\frac{3+\sqrt3}{2}\]

Trục căn thức ở mẫu là một phép biến đổi quan trọng khi rút gọn và biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai. Học sinh cần nắm vững cách sử dụng biểu thức liên hợp, các hằng đẳng thức liên quan và phân biệt trục căn thức ở mẫu với phép khử mẫu của biểu thức lấy căn để lựa chọn phương pháp phù hợp.

Việc vận dụng đúng các công thức trên giúp xử lý hiệu quả các dạng bài tập căn thức trong chương trình lớp 9. Người học có thể tham khảo thêm chuyên đề Toán 9 để hệ thống kiến thức và luyện tập các dạng bài liên quan.