Vân giao thoa là gì? Công thức tính khoảng vân và bài tập có lời giải

Trong chương trình Vật lý 11, thí nghiệm giao thoa ánh sáng là một trong những nội dung quan trọng chứng minh ánh sáng có tính chất sóng. Khi quan sát trên màn, ta thấy các vạch sáng tối xen kẽ đều đặn - đó chính là vân giao thoa.

Bài viết này sẽ giúp người học hệ thống lại khái niệm vân giao thoa, khoảng vân, công thức và cách vận dụng qua các dạng bài tập thường gặp.

Vân giao thoa là gì?

Tổng hợp các vạch sáng, vạch tối xếp xen kẽ và song song với hai khe, được gọi là hệ vân giao thoa. Còn từng vạch riêng lẻ được gọi là vân sáng hoặc vân tối.[1]

Trong thí nghiệm Young về giao thoa ánh sáng, một nguồn sáng đơn sắc (S) được chiếu qua hai khe hẹp song song, đặt rất gần nhau (\(S_1\) và \(S_2\)). Vì cùng xuất phát từ một nguồn sáng ban đầu, ánh sáng đi qua hai khe sẽ luôn có hiệu số pha không thay đổi theo thời gian - nói cách khác \(S_1\) và \(S_2\) là hai nguồn kết hợp.

Khi hai sóng ánh sáng từ \(S_1\) và \(S_2\) lan truyền và gặp nhau trên màn quan sát đặt cách hai khe một khoảng D, tại mỗi điểm sẽ xảy ra một trong hai trường hợp:

• Nếu hai sóng gặp nhau đồng pha, chúng tăng cường lẫn nhau, tạo thành một vạch sáng.

• Nếu hai sóng gặp nhau ngược pha, chúng triệt tiêu lẫn nhau, tạo thành một vạch tối.

Việc một điểm M trên màn là vân sáng hay vân tối phụ thuộc vào hiệu đường đi (hiệu quang trình) mà hai sóng đã đi được, kí hiệu là \(d_2-d_1\) (với \(d_1\), \(d_2\) lần lượt là khoảng cách từ \(S_1\), \(S_2\) đến điểm M):

• Nếu hiệu đường đi bằng một số nguyên lần bước sóng: \(d_2-d_1=k\lambda\left(k=0,\pm1,\pm2,...\right)\), M là vân sáng. Khi \(k=0\), đó là vân sáng chính giữa, hay vân trung tâm.

• Nếu hiệu đường đi bằng một số bán nguyên lần bước sóng: \(d_2-d_1=(k+\frac12)\lambda\left(k=0,\pm1,\pm2,...\right)\), M là vân tối.

Hình ảnh quan sát được trên màn là các vân sáng, vân tối song song, cách đều nhau, với vân trung tâm nằm chính giữa và các vân sáng, vân tối khác nằm đối xứng hai bên.

Khoảng vân giao thoa là gì?

Khoảng vân, kí hiệu là \(i\), là khoảng cách giữa hai vân sáng, hoặc hai vân tối liên tiếp.[1]

Khoảng vân i phụ thuộc vào ba đại lượng chính:

• Bước sóng ánh sáng \((\lambda)\): ánh sáng có bước sóng càng lớn thì khoảng vân càng rộng.

• Khoảng cách giữa hai khe (\(a\)): hai khe càng gần nhau thì khoảng vân càng rộng ra.

• Khoảng cách từ hai khe đến màn quan sát (D): màn đặt càng xa hai khe thì khoảng vân quan sát được càng rộng.

Công thức xác định vị trí vân và khoảng vân giao thoa

Phần này trình bày công thức tính khoảng vân, vị trí vân sáng – vân tối và trường hợp mở rộng với ánh sáng trắng.

Công thức khoảng vân giao thoa

Khoảng vân được tính theo công thức:

\(i=\frac{\lambda D}{a}\)

trong đó:

• \(\lambda\) là bước sóng ánh sáng, đơn vị mét (m)

• a là khoảng cách giữa hai khe \(S_1\),\(S_2\), đơn vị mét (m)

• D là khoảng cách từ hai khe đến màn quan sát, đơn vị mét (m)

• i là khoảng vân, đơn vị mét (m)

Lưu ý:

• Khi tính toán, nên đổi tất cả các đại lượng về cùng một hệ đơn vị, tránh sai số do lệch đơn vị.

• Bước sóng \(\lambda\) thường dùng đơn vị là micromet \((\mu m)\) hoặc nanomet \((nm)\) để phù hợp với bước sóng của ánh sáng nhìn thấy được, khoảng 380-760 nm.

\(1\mu m=10^{-6}\operatorname{\mathrm{m}}\)

\(1nm=10^{-9}m\)

• Khoảng vân i thường đổi ra milimet để dễ đọc kết quả.

• Hệ đơn vị quen thuộc thường dùng: \(\lambda\left(\mu m\right),D\left(\operatorname{\mathrm{m}}\right),a\left(\operatorname{\mathrm{mm}}\right)\) thì khoảng vân i sẽ ra kết quả có đơn vị là \(\left(\operatorname{\mathrm{mm}}\right)\).

Công thức xác định vị trí vân sáng, vân tối

Gọi x là khoảng cách từ một điểm M trên màn đến vân sáng trung tâm.

Vị trí vân sáng bậc k:

\(x_{k}=k.i=\frac{k.\lambda D}{a}\left(k=0,\pm1,\pm2,\ldots\right)\)

(k gọi là bậc của vân sáng hay bậc giao thoa)

Vị trí vân tối:

\(x=(k+\frac12).i=\frac{(k+\frac12).\lambda D}{a}\left(k=0,\pm1,\pm2,...\right)\)

Vân sáng trung tâm \((k=0)\):

Vân sáng trung tâm là vân sáng bậc 0 (k = 0) nằm chính giữa hệ vân, tại vị trí có hiệu đường đi giữa hai sóng bằng 0 (\(d_1=d_2\)). Đây là vân sáng có cường độ sáng lớn nhất và là mốc để xác định vị trí của tất cả các vân sáng, vân tối khác trong hệ.

Lưu ý: Vân tối không có bậc 0 như vân sáng. Vân tối đầu tiên (gần vân sáng trung tâm nhất) ứng với k = 0 được gọi là vân tối thứ nhất, vân tối tiếp theo ( k = 1) là vân tối thứ hai,…

Mở rộng: Giao thoa với ánh sáng trắng

Ánh sáng trắng là tổng hợp nhiều ánh sáng đơn sắc (từ đỏ đến tím), mỗi màu ứng với một bước sóng riêng. Vì i tỉ lệ thuận với λ, mỗi màu tạo một hệ vân riêng với i khác nhau có màu là màu của ánh sáng đơn sắc đó — ánh sáng đỏ cho khoảng vân rộng nhất, ánh sáng tím cho khoảng vân hẹp nhất. Tại vân trung tâm, mọi màu đều trùng nhau (k = 0 với mọi λ) nên tạo thành một vân sáng trắng . Ra xa trung tâm, các hệ vân màu lệch dần, tạo dải màu sặc sỡ rồi nhòe lại khi các bậc chồng chất lên nhau.[2]

Bài tập vận dụng

Các dạng bài dưới đây lần lượt vận dụng công thức khoảng vân, vị trí vân và phương pháp đếm số vân trên một đoạn màn quan sát.

Dạng 1: Tính khoảng vân khi biết bước sóng, khoảng cách hai khe và khoảng cách đến màn

Phân tích: Đây là dạng bài tập cơ bản, người học cần xác định các đại lượng đã cho, và đại lượng cần tìm, lưu ý đơn vị của từng đại lượng và thực hiện đổi về đơn vị chuẩn (nếu cần), các công thức đổi đơn vị, trước khi áp dụng công thức \(i=\frac{\lambda D}{a}\).

Ví dụ 1. Trong thí nghiệm Young, hai khe cách nhau a = 1.2mm, màn quan sát cách hai khe D = 0.5m, ánh sáng đơn sắc dùng có bước sóng \(\lambda=600nm\). Tính khoảng vân.

Hướng dẫn giải

Đề bài đã cho biết khoảng cách hai khe a = 1.2mm, khoảng cách giữa màn quan sát đến hai khe D = 0.5m, bước sóng của ánh sáng \(\lambda=600nm\) và yêu cầu tìm khoảng vân i. a và \(\lambda\) chưa ở đơn vị chuẩn, cần thực hiện đổi đơn vị m trước khi áp dụng công thức.

Đổi các đại lượng về đơn vị chuẩn:

\(a=1.2\operatorname{\mathrm{mm}}=1.2.10^{-3}m\)

\(\lambda=600nm=600.10^{-9}m\)

Áp dụng công tính khoảng vân:

\(i=\frac{\lambda D}{a}=\frac{600.10^{-9}.0.5}{1.2.10^{-3}}=2.5.10^{-4}m=0.25\operatorname{\mathrm{mm}}\)

Dạng 2: Xác định vị trí vân sáng, vân tối hoặc khoảng cách giữa các vân sáng, vân tối cho trước

Phân tích: Điểm mấu chốt là xác định đúng loại vân cần tìm (sáng hay tối), áp dụng đúng công thức: vân sáng bậc k (x = k.i), vân tối thứ n tại \(x=\left(k+\frac12\right).i\) (vân tối không có bậc 0, nên người học cẩn thận khi xác định “vân tối thứ n” ứng với k = n - 1). Khi tính khoảng cách giữa hai vân, cần xác định hai vân đó cùng phía hay khác phía so với vân trung tâm để lấy tổng hoặc hiệu tương ứng.

Ví dụ 2. Trong thí nghiệm Young, các khe được chiếu bởi ánh sáng đơn sắc có bước sóng \(\lambda=0.6\mu m\). Khoảng cách giữa hai khe sáng a = 1mm. Khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe tới màn quan sát D = 1m. Xác định vị trí của vân sáng bậc 1 và vân tối thứ 4.

Hướng dẫn giải

Đây là dạng bài xác định vị trí các vân, người học cần tính khoảng vân i và áp dụng công thức vị trí vân sáng, vân tối để tính giá trị.

Đề bài đã cho biết các đại lượng: bước sóng \(\lambda\), khoảng cách hai khe a, khoảng cách từ màn đến khe D\(\Rightarrow\)Đổi đơn vị và tính khoảng vân \(i=\frac{\lambda D}{a}\).

Áp dụng công thức tính vị trí vân sáng, vân tối:

• Vân sáng bậc k: \(x=k.i\) (vân sáng bậc 1 ứng với k =1)

• Vân tối thứ k: \(x=\left(k+\frac12\right).i\) (vân tối thứ 4 ứng với k = 4 -1 = 3)

Vị trí của vân sáng bậc 1 (k = 1): \(x_{1s}=k.i=\frac{k.\lambda D}{a}=\frac{1.0.6.10^{-6}.1}{1.10^{-3}}=6.10^{-4}m=0.6\operatorname{\mathrm{mm}}\)

Vị trí của vân tối thứ 4 (k = 3): \(x=(3+\frac12).i=\frac72\frac{\lambda D}{a}=\frac72\frac{0.6.10^{-6}.1}{1.10^{-3}}=2.1.10^{-3}\operatorname{\mathrm{m}\mathrm{=}\mathrm{2}.\mathrm{1}\mathrm{\operatorname{\mathrm{mm}}}}\)

Ví dụ 3. Trong thí nghiệm Young, các khe được chiếu bởi ánh sáng đơn sắc có bước sóng \(\lambda=0.6\mu m\). Khoảng cách giữa hai khe sáng a = 1mm. Khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe tới màn quan sát D = 1m. Tính khoảng cách giữa vân sáng bậc 2 và vân sáng bậc 5 (cùng phía so với vân trung tâm).

Hướng dẫn giải

Dạng bài xác định khoảng các giữa hai vân, cần xác định hai vân đang xét ở cùng phía hay khác phía với vân trung tâm, áp dụng công thức tương ứng bên dưới và công thức khoảng vân để tính toán.

Khoảng cách giữa hai vân \(x_1\) và \(x_2\):

Cùng phía: \(\Delta x=\left\vert x_1-x_2\right\vert\)

Khác phía: \(\Delta x=x_1+x_2\)

• Đề bài yêu cầu tính khoảng cách giữa vân sáng bậc 2 và bậc 5, nằm cùng phía so với vân trung tâm \(\Rightarrow\)Tính khoảng vân i và công thức tính khoảng cách \(\Delta x=x_5-x_2\) (trong đó \(x_5,x_2\) lần lượt là vị trí của vân sáng bậc 5 và bậc 2, cách tính tương tự ví dụ 2).

• Ta có: \(\Delta x=x_5-x_2=\frac{\left(k_5-k_2\right).\lambda D}{a}=\frac{\left(5-2\right).0.6.10^{-6}.2}{0.5.10^{-3}}=7.2\operatorname{\mathrm{mm}}\)

Hoặc dựa vào định nghĩa của khoảng vân để tính: khoảng cách giữa vân sáng bậc 2 và vân sáng bậc 5 bằng 3 lần khoảng vân i, áp dụng công thức, cũng sẽ ra được đáp án giống trên.

Ví dụ 4. Trong thí nghiệm Young, khoảng cách giữa hai khe a = 1.56mm, khoảng cách từ hai khe đến màn quan sát là D = 1.24m. Khoảng cách giữa 12 vân sáng liên tiếp là 5.21mm. Tính bước sóng ánh sáng.

Hướng dẫn giải

• Dạng bài này yêu cầu người học phải nắm vững định nghĩa và công thức của khoảng vân i, tính toán gián tiếp để suy ra giá trị i, từ đó tính được giá trị của bước sóng.

• Khoảng vân i là khoảng cách giữa hai vân sáng, hoặc hai vân tối liên tiếp

  \(\Rightarrow\)Khoảng cách giữa n vân sáng liên tiếp tương ứng với (n-1) khoảng vân.

• Do đó, khoảng cách giữa 12 vân sáng liên tiếp là 11i: \(11i=5.21\Rightarrow i=\frac{5.21}{11}=0.473\operatorname{\mathrm{mm}}\)

• Ta có: \(i=\frac{\lambda D}{a}\Rightarrow\lambda=\frac{a.i}{D}=\frac{1.56.10^{-3}.0.4736.10^{-3}}{1.24}=5.956.10^{-7}\operatorname{\mathrm{m}=0.596\mu m=596nm}\)

Dạng 3: Xác định số vân sáng, vân tối quan sát được trong một đoạn trên màn

Phân tích: Các trường hợp thường gặp ở dạng này là đoạn màn quan sát đối xứng, hoặc không đối xứng qua vân trung tâm. Cách giải, người học cần lập điều kiện toạ độ ứng với vân sáng hoặc vân tối trong đoạn khảo sát, giải bất phương trình để tìm giá trị nguyên thoả mãn - đó chính là số vân quan sát được.

Ví dụ 5. Trong thí nghiệm Young, khoảng vân đo được là i = 1.2mm. Xét một vùng trên màn có bề rộng L = 12mm, đối xứng qua vân sáng trung tâm (mỗi bên rộng L/2 = 6mm). Hỏi trong vùng này quan sát được bao nhiêu vân sáng?

Hướng dẫn giải

• Dạng bài xác định số vân sáng trên đoạn màn có bề rộng đối xứng qua vân trung tâm.

• Vân sáng trung tâm nằm ở giữa (x = 0)

• Các vân sáng khác nằm tại vị trí: \(x_{k}=k.i\),

• Vì đoạn khảo sát đối xứng qua vân trung tâm và có bề rộng L, nên mỗi bên vân trung tâm rộng L/2. Để vân sáng bậc k nằm trong vùng này, khoảng cách từ nó đến vân trung tâm phải không vượt quá L/2, tức là:

  \(\left\vert x_{k}\right\vert\le\frac{L}{2}=6\operatorname{\mathrm{mm}}\leftrightarrow\left\vert k\right\vert i\le6\operatorname{\mathrm{mm}}\leftrightarrow\left\vert k\right\vert\le\frac{6}{i}\leftrightarrow\left\vert k\right\vert\le\frac{6}{1.2}=5\leftrightarrow-5\le k\le5\)

Vậy k nhận các giá trị nguyên từ -5 đến 5, tức là có 11 giá trị của k (bao gồm k = 0).

Số vân sáng quan sát được là 11 vân sáng (gồm 1 vân trung tâm, và 5 vân mỗi bên).

Có thể áp dụng công thức giải nhanh:

\(N_{s}=2\left\lbrack\frac{L}{2i}\right\rbrack+1=2\left\lbrack\frac{12}{2.1.2}\right\rbrack+1=11\)

Ví dụ 6. Trong thí nghiệm Young, khoảng cách giữa hai khe là a = 1mm, khoảng cách từ mặt phẳng chứa hai khe đến màn quan sát là D = 2m. Chiếu vào hai khe ánh sáng đơn sắc có bước sóng \(\lambda=0.5\mu m\). Xét hai điểm M và N trên màn quan sát, không đối xứng qua vân trung tâm, có toạ độ lần lượt là \(x_{M}=-4.5mm\) và \(x_{N}=11\operatorname{\mathrm{mm}}\). Xác định số vân sáng và số vân tối quan sát được trên đoạn MN.

Hướng dẫn giải

Dạng bài xác định số vân sáng, vân tối trên đoạn màn có bề rộng không đối xứng qua vân trung tâm.

Đổi đơn vị và tính khoảng vân: \(i=\frac{\lambda D}{a}=\frac{0.5.10^{-6}.2}{1.10^{-3}}=10^{-3}m=1\operatorname{\mathrm{mm}}\)

Xác định số vân sáng:

Vị trí vân sáng bất kì: \(x_{k}=k.i\)

Vì đoạn MN không đối xứng qua vân trung tâm nên không thể dùng điều kiện |\(x_{k}\)| ≤ \(\frac{L}{2}\) như trường hợp đối xứng. Thay vào đó, để vân sáng bậc k nằm trong đoạn MN, toạ độ của nó phải nằm giữa toạ độ hai điểm M và N, tức là phải thoả mãn bất phương trình:

\(x_{M}\le k.i\le x_{N}\)

Thay số vào bất phương trình:

\(-4.5\le k.1\le11\leftrightarrow-4.5\le k\le11\)

Vậy k nhận các giá trị nguyên từ -4 đến 11, tức là có 11 - (-4) + 1 = 16 giá trị của k.

Số vân sáng quan sát được là 16 vân sáng.

Xác định số vân tối:

Vị trí vân tối bất kì: \(x=(m+\frac12).i\)

Xét trên đoạn MN, toạ độ của vân tối phải thoả mãn bất phương trình:

\(x_{M}\le\left(m+\frac12\right).i\le x_{N}\)

Thay số vào bất phương trình:

\(-4.5\le(m+\frac12).1\le11\leftrightarrow-5\le m\le10.5\)

Vậy m nhận các giá trị nguyên từ -5 đến 10, tức là có 10 - (-5) + 1 = 16 giá trị của m.

Số vân tối quan sát được là 16 vân tối.

Ví dụ 7. Trong thí nghiệm Young, người ta đo được khoảng vân trên màn quan sát là i = 1.2mm. Xét hai điểm M và N trên màn, cùng một phía so với vân trung tâm, có khoảng cách đến vân trung tâm lần lượt là 2mm và 16.5mm. Xác định số vân sáng và vân tối quan sát được trên đoạn MN.

Hướng dẫn giải

• Dạng bài xác định số vân sáng, vân tối nằm cùng một phía so với vân trung tâm.

• Cách giải hoàn toàn tương tự giống ở ví dụ trên, ở đây đề bài đã cho khoảng vân i, người học chỉ cần xét vị trí của vân sáng và vân tối trong đoạn MN, thoả mãn bất phương trình, giải để tìm giá trị k nguyên.

• Toạ độ của vân sáng thoả mãn: \(2\le k.i\le16.5\leftrightarrow1.67\le k\le13.75\)

  Số vân sáng quan sát được là 12 vân sáng.

• Toạ độ của vân tối thoả mãn: \(2\le(m+\frac12).i\le16.5\leftrightarrow1.17\le m\le13.25\)

  Số vân tối quan sát được là 12 vân tối.

Một số lỗi thường gặp khi giải bài tập

Một số lỗi thường gặp và cách khắc phục:

Sai đơn vị: quên đổi \(\mu m\) hoặc nm về m trước khi thay vào công thức.

\(\Rightarrow\) Đổi về đơn vị chuẩn trước khi tính toán: \(1\mu m=10^{-6}m,1nm=10^{-9}\operatorname{\mathrm{m}}\)

Nhầm công thức bậc của vân sáng với thứ tự của vân tối.

\(\Rightarrow\) Nhớ công thức: Vân sáng: \(x_{k}=k.i\); Vân tối: \(x=(k+\frac12)i\). Mẹo: Vân tối thứ n ứng với k = n - 1. Ví dụ, vân tối thứ 4, ứng với k = 3.

Quên xét tính đối xứng khi đếm vân trong một đoạn trên màn quan sát.

\(\Rightarrow\) Nếu đối xứng qua vân trung tâm, áp dụng công thức nhanh:

Số vân sáng: \(N_{s}=2\left\lbrack\frac{L}{2i}\right\rbrack+1\)

Số vân tối: \(N_{t}=2\left\lbrack\frac{L}{2i}+0.5\right\rbrack\)

Trong đó:

• L là bề rộng vùng giao thoa

• i là khoảng vân

• \(\left\lbrack X\right\rbrack\) là kí hiệu lấy phần nguyên của số X

Công thức nhẩm nhanh số vân tối: Đặt \(n=\frac{L}{2i}\)

Nếu phần thập phân của n < 0.5 thì \(N_{t}=N_{s}-1\)

Nếu phần thập phân của \(n\ge0.5\) thì \(N_{t}=N_{s}+1\)

Nếu không đối xứng qua vân trung tâm, phải xét riêng biên phải và biên trái.

Kết luận

Vân giao thoa xuất hiện khi hai sóng ánh sáng kết hợp gặp nhau, tạo ra các vạch sáng, tối xen kẽ trên màn quan sát. Khoảng vân \(i=\frac{\lambda D}{a}\) là công thức trọng tâm, từ đó suy ra được vị trí các vân sáng, vân tối và cả bước sóng ánh sáng.

Việc nắm vững công thức và luyện tập nhiều dạng bài tập khác nhau sẽ giúp người học tiếp cận kiến thức một cách có hệ thống, giảm thiểu sai sót, xây dựng được nền tảng vững chắc cho các phần kiến thức nâng cao của Vật lý 11.