Vecto trong không gian lớp 12 | Công thức, bài tập có đáp án

Vectơ trong không gian là một nội dung quan trọng của chương trình Toán 12, tạo nền tảng cho việc nghiên cứu hình học không gian bằng phương pháp vectơ và tọa độ. Kiến thức này có mối liên hệ chặt chẽ với các bài toán về khoảng cách, góc, quan hệ vuông góc và các bài toán thực tiễn. Trong các bài kiểm tra, chủ đề này có thể xuất hiện dưới dạng câu hỏi lý thuyết, bài toán tính toán hoặc vận dụng tổng hợp.

Bài viết sau đây sẽhệ thống hóa kiến thức từ khái niệm, phép toán, tọa độ, tích vô hướng đến các dạng bài tập thường gặp, kèm ví dụ và hướng dẫn giải chi tiết.

Vectơ trong không gian là gì?

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng, được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối [1]. Vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B được ký hiệu là \(\overrightarrow{AB}\). Độ dài của vectơ bằng độ dài đoạn thẳng tương ứng và được ký hiệu là \(\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB\).

Ví dụ: Trong tứ diện ABCD, các vectơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) và \(\overrightarrow{AD}\) đều là những vectơ trong không gian. Chúng có cùng điểm đầu A, nhưng hướng và độ dài có thể khác nhau.

Phân biệt vectơ trong mặt phẳng và trong không gian

Vectơ trong mặt phẳng và vectơ trong không gian có chung bản chất: đều là đoạn thẳng có hướng, đều có độ dài, phương và hướng, đồng thời tuân theo các quy tắc cộng, trừ và nhân với một số.

Điểm khác biệt nằm ở môi trường hình học: Trong mặt phẳng, các vectơ được xét trong không gian hai chiều và thường biểu diễn bằng hai tọa độ \((x;y)\); Còn trong không gian ba chiều, một vectơ có thể có ba thành phần tọa độ \((x;y;z)\), tương ứng với ba phương của các trục tọa độ. Vì vậy, các bài toán về vectơ trong không gian có thể liên quan đến ba vectơ không đồng phẳng, hình hộp hoặc tứ diện.

Các khái niệm liên quan tới vectơ trong không gian

Bên cạnh khái niệm cơ bản của vectơ là các định nghĩa của các yếu tố liên quan không thể tách rời với vectơ sau đây [1]:

• Giá của vectơ: Với vectơ khác vectơ không, giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ. Giá thể hiện phương của vectơ đó trong không gian.

• Độ dài vectơ: Là độ dài đoạn thẳng biểu diễn vectơ, luôn không âm.

• Vectơ không: Là vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối, ký hiệu là \(\overrightarrow{0}\), có độ dài bằng 0. Theo quy ước, vectơ không cùng phương và cùng hướng với mọi vectơ; góc giữa hai vectơ chỉ được xác định khi cả hai khác vectơ không.

• Hai vectơ cùng phương: Là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau.

• Hai vectơ cùng hướng: Là hai vectơ cùng phương và có cùng chiều.

• Hai vectơ ngược hướng: Là hai vectơ cùng phương nhưng có chiều ngược nhau.

• Hai vectơ bằng nhau: Là hai vectơ có cùng hướng và cùng độ dài: Nếu \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) bằng nhau thì: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\). Lưu ý rằng đẳng thức này không đòi hỏi hai vectơ phải có cùng điểm đầu hoặc cùng giá. Chẳng hạn, trong hình bình hành ABCD có: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), 2 vectơ này có cùng hướng, cùng độ dài và không chung điểm đầu hay giá. Đây là đặc điểm thường được sử dụng khi xác định vectơ bằng nhau trong hình học không gian.

Bảng tổng hợp công thức vecto trong không gian lớp 12

Các công thức dưới đây được dùng trong phép toán vectơ và phương pháp tọa độ. Với công thức tính góc, hai vectơ phải khác vectơ không. [1]

Các phép toán cơ bản của vectơ trong không gian

Phép cộng vectơ

Trong không gian, phép cộng hai vectơ được thực hiện theo quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc hình hộp. [1]

Quy tắc ba điểm: Với ba điểm bất kỳ A, B, C, luôn có: \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} =\overrightarrow{AC}\]

Quy tắc này cho phép rút gọn tổng các vectơ khi điểm cuối của vectơ trước trùng với điểm đầu của vectơ sau.

Quy tắc hình bình hành: Quy tắc hình bình hành phát biểu rằng nếu ABCD là hình bình hành thì luôn có:\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{AC}\]

Quy tắc hình bình hành là cơ sở để cộng hai vectơ cùng điểm đầu bằng cách dựng hình bình hành.

Quy tắc hình hộp: Xét hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Ba cạnh xuất phát từ đỉnh A tạo thành ba vectơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{AA'}\). Khi đó, vectơ đường chéo không gian \(\overrightarrow{AC^{\prime}}\) thỏa mãn đẳng thức sau:
\[\overrightarrow{AC'} =\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{AA'}\]

Quy tắc hình hộp là một công cụ đặc trưng khi xử lý các bài toán vectơ trong không gian ba chiều.

Phép trừ vectơ

Hiệu của hai vectơ được xác định thông qua việc biến đổi từ phép trừ đi 1 vectơ sang phép cộng với vectơ đối với nó:\[\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\]Đồng thời, cần lưu ý rằng với hai điểm A, B thì: \(\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}\).

Với ba điểm A, B, C, phép trừ \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\)được suy ra từ quy tắc ba điểm như sau:\[\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}\]Như vậy, phép trừ vectơ thực chất chỉ là biến thể của phép cộng vectơ, đòi hỏi học sinh biến đổi khéo léo hoặc dựng thêm vectơ đối nếu cần thiết.

Phép nhân một số với một vectơ

Với số thực k bất kì và vectơ \(\overrightarrow{a}\), thì tích \(k\overrightarrow{a}\) được định nghĩa là vectơ cùng phương với \(\overrightarrow{a}\) và có độ dài: \(|k\overrightarrow{a}|=|k|\cdot|\overrightarrow{a}|\)

• Nếu \(k>0\) và \(\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}\), vectơ tích cùng hướng với \(\overrightarrow{a}\).

• Nếu \(k<0\) và \(\overrightarrow{a}\ne\overrightarrow{0}\), vectơ tích ngược hướng với \(\overrightarrow{a}\).

• Nếu \(k=0\) hoặc \(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\), tích là vectơ không.

Một số tính chất cơ bản của phép nhân một số với một vectơ bao gồm:

• Tính phân phối: \(k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\) và \((k+m)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{a}\)

• Tính kết hợp: \(k(m\overrightarrow{a})=(km)\overrightarrow{a}\)

Tính chất của phép cộng vectơ trong không gian

Phép cộng vectơ có tính giao hoán và kết hợp:

• Tính giao hoán: \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)

• Tính kết hợp: \((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\)

Ngoài hai tính chất cơ bản trên, cần lưu ý thêm về hai phép cộng vectơ đặc biệt:

• Vectơ nào cộng với vectơ không cũng bằng chính nó: \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}\)

• Vectơ nào cộng với vectơ đối của chính nó cũng bằng vectơ không: \(\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}\)

Việc nắm vững các tính chất này giúp biến đổi biểu thức và chứng minh đẳng thức vectơ một cách ngắn gọn.

Tọa độ vectơ trong không gian Oxyz

Phạm vi kiến thức: Trong Toán 12 Kết nối tri thức, Bài 6 tập trung vào khái niệm vectơ, phép toán và tích vô hướng. Phần tọa độ dưới đây mở rộng sang Bài 7–8 để hệ thống công thức và hỗ trợ giải bài tập.

Hệ trục tọa độ Oxyz và tọa độ của một điểm

Hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc tại gốc O. Không gian với trục tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.

Mỗi vectơ trong hệ trục tọa độ Oxyz được biểu diễn duy nhất theo ba vectơ đơn vị \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\) lần lượt ứng với trục hoành, trục tung và trục cao.

Với mỗi điểm M trong không gian, tồn tại duy nhất bộ ba hệ số\((x;y;z)\) sao cho vectơ \(\overrightarrow{OM}\) biểu diễn được dưới dạng tổng của 3 vectơ đơn vị \(\vec{i},\vec{j},\vec{k}\) theo quy tắc cộng vectơ hình hộp:

\(\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\)

Khi đó, \((x;y;z)\) được gọi là tọa độ của điểm M, kí hiệu \(M(x;y;z)\).

Tọa độ của vectơ trong không gian Oxyz

Cho 2 điểm bất kì trong hệ trục tọa độ Oxyz là \(A(x_{A};y_{A};z_{A})\) và \(B(x_{B};y_{B};z_{B})\). Khi đó, tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{AB}\) được xác định bằng tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu:\[\overrightarrow{AB}=(x_{B}-x_{A};\ y_{B}-y_{A};\ z_{B}-z_{A})\]Ví dụ, cho \(A(1;2;-1)\), \(B(4;-2;3)\). Theo công thức trên thì:\[\begin{aligned}\overrightarrow{AB}&=(4-1;-2-2;3-(-1))\\&=(3;-4;4).\end{aligned}\]Đặc biệt: Vectơ \(\overrightarrow{0}\) trong hệ trục tọa độ Oxyz có tọa độ là \(\left(0;0;0\right)\).

Công thức tính tọa độ của vectơ trên là cơ sở để chuyển các bài toán hình học không gian sang phương pháp tọa độ.

Biểu thức tọa độ của phép toán vectơ trong không gian Oxyz

Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}=(x_1;y_1;z_1)\) và \(\overrightarrow{b}=(x_2;y_2;z_2)\). Khi đó, các phép toán cơ bản của vectơ có thể tính được bằng tọa độ như sau:

• Phép cộng vectơ: \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2;\ y_1+y_2;\ z_1+z_2)\)

• Phép trừ vectơ: \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x_1-x_2;\ y_1-y_2;\ z_1-z_2)\)

• Phép nhân vectơ với số thực k: \(k\overrightarrow{a}=(kx_1;ky_1;kz_1)\)

Nhận xét: Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi ba cặp tọa độ tương ứng bằng nhau. Thật vậy, nếu 2 vectơ có 3 cặp tọa độ bằng nhau, hiệu của 2 vectơ theo đúng công thức sẽ là \(\left(0;0;0\right)\) tức là vectơ \(\overrightarrow{0}\) nên 2 vectơ ban đầu bằng nhau.

Công thức tính độ dài vectơ và khoảng cách

Với vectơ \(\overrightarrow{a}=(x;y;z)\), độ dài của vectơ này được tính theo công thức:\[|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\]

Đối với hai điểm \(A(x_{A};y_{A};z_{A})\) và \(B(x_B;y_B;z_B)\), khoảng cách giữa hai điểm chính là độ dài của vectơ \(\overrightarrow{AB}\). Như vậy, có thể xây dựng được công thức khoảng cách 2 điểm dựa trên tọa độ của chúng như sau:\[\begin{aligned}AB^2={}&(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2\\&+(z_B-z_A)^2,\\AB={}&\sqrt{AB^2}.\end{aligned}\]

Ví dụ, với 2 điểm \(A(1;2;-1)\), \(B(4;-2;3)\) thì:\[AB=\sqrt{3^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt{41}\]

Công thức độ dài đặc biệt hữu ích trong các bài toán xác định khoảng cách, kiểm tra độ dài cạnh hoặc tính độ dài đường chéo của hình đa diện.

Tích vô hướng và góc giữa hai vectơ trong không gian

Cách xác định góc giữa hai vectơ trong không gian

Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\ne\overrightarrow{0}\). Chọn điểm O, dựng \(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\). Góc giữa hai vectơ là góc \(\widehat{AOB}\), có số đo từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\). Hai vectơ cùng hướng có góc \(0^\circ\); ngược hướng có góc \(180^\circ\). [1]

Góc giữa hai vectơ phụ thuộc hướng của từng vectơ, nên không được tự lấy góc nhọn giữa hai đường thẳng làm góc giữa hai vectơ.

Định nghĩa tích vô hướng

Với hai vectơ khác vectơ không \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), tích vô hướng được xác định bởi công thức:\[\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\,|\overrightarrow{b}|\cos\alpha\]Trong đó: \(\alpha\in[0^\circ;180^\circ]\) là góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\).

Cần lưu ý rằng khác với các phép toán cộng, trừ, nhân với số thực của vectơ cho ra kết quả là 1 vectơ thì tích vô hướng là một số thực, không phải một vectơ.

Nếu một trong hai vectơ là vectơ không thì tích vô hướng bằng số 0 (không phải vectơ \(\overrightarrow{0}\)).

Công thức tính góc giữa hai vectơ

Khi hai vectơ đều khác vectơ không, công thức tính cosin góc giữa chúng là:\[\cos\alpha=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\,|\overrightarrow{b}|}\]Từ đó, góc \(\alpha\) được xác định bằng phép toán lấy hàm ngược arccos (hoặc trên máy tính cầm tay là \(\cos^{-1}\)) của giá trị thu được.

• Nếu tích vô hướng dương, góc giữa hai vectơ thuộc \([0^\circ;90^\circ)\); trong đó góc bằng \(0^\circ\) khi hai vectơ cùng hướng.

• Nếu tích vô hướng âm, góc giữa hai vectơ thuộc \((90^\circ;180^\circ]\); trong đó góc bằng \(180^\circ\) khi hai vectơ ngược hướng.

• Nếu hai vectơ khác vectơ không có tích vô hướng bằng 0, góc giữa chúng bằng \(90^\circ\).

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho \(\overrightarrow{a}=(x_1;y_1;z_1)\) và \(\overrightarrow{b}=(x_2;y_2;z_2)\). Trong hệ tọa độ Oxyz, tích vô hướng được tính bởi công thức:\[\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\]Ví dụ, cho \(\overrightarrow{a}=\left(1;2;-1\right)\) và \(\overrightarrow{b}=(2;-1;0)\). Khi đó:\[\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\cdot2+2\cdot(-1)+(-1)\cdot0=0\]Hai vectơ vuông góc với nhau.

Kết hợp công thức tọa độ của tích vô hướng và độ dài, với hai vectơ khác vectơ không:

\[\cos\alpha=\frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\,\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}.\]

Khi dùng máy tính để tìm góc theo độ, cần chọn chế độ DEG. [1]

Tính chất của tích vô hướng và điều kiện vuông góc

Các tính chất cơ bản của tích vô hướng gồm:

• Tính giao hoán: \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)

• Tính phân phối: \[\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) =\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} +\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}\]

• Tính tương thích với phép nhân số: \((k\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b} =k(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})\)

• Tích vô hướng của một vectơ với chính nó bằng bình phương độ dài: \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2\)

Điều kiện 2 vectơ vuông góc: Hai vectơ khác vectơ \(\overrightarrow{0}\) vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0. Trong hệ tọa độ, điều kiện này tương đương:\[x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0\]

Đây là phương pháp thường dùng để giải bài toán xác định tham số nhằm thỏa mãn điều kiện vuông góc.

Quy tắc trọng tâm và sự đồng phẳng của vectơ trong không gian

Quy tắc trọng tâm hỗ trợ rút gọn tổng vectơ. Nội dung đồng phẳng được trình bày như phần mở rộng để phân tích vectơ theo các vectơ cơ sở.

Quy tắc trọng tâm tam giác

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Với một điểm M bất kỳ, hệ thức vectơ trọng tâm là:\[\overrightarrow{MG}=\frac{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}}{3}\]Nếu M trùng với một đỉnh hoặc một điểm được chọn thuận tiện, công thức có thể được sử dụng để biểu diễn vectơ liên quan đến trọng tâm.

Hệ thức trọng tâm tứ diện

Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G và 1 điểm M bất kì. Khi đó:\[\overrightarrow{MG}=\frac{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}}{4}\]

Nếu cho M trùng G, suy ra được hệ thức quan trọng từ công thức trên: \[\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB} +\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD} =\overrightarrow{0}\]Hệ thức này được sử dụng để rút gọn tổng vectơ xuất phát từ trọng tâm hoặc chứng minh các đẳng thức vectơ trong tứ diện. [1]

Ba vectơ đồng phẳng và không đồng phẳng

Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu có thể biểu diễn chúng bằng các vectơ nằm trong cùng một mặt phẳng khi đặt chung gốc. Ngược lại, ba vectơ không đồng phẳng không thể cùng nằm trong một mặt phẳng theo cách đặt chung gốc.

Nếu \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) không cùng phương, ba vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại hai số thực m, n sao cho:

\[\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}.\]

Khi biết tọa độ, học sinh chọn hai vectơ không cùng phương làm cơ sở, lập hệ ba phương trình theo hai ẩn m, n và kiểm tra xem có nghiệm chung hay không. Nếu không chọn được cặp vectơ không cùng phương thì cả ba vectơ cùng phương, do đó đồng phẳng. Không được áp dụng tiêu chuẩn trên cho một cặp vectơ cơ sở cùng phương rồi kết luận không đồng phẳng chỉ vì hệ vô nghiệm.

Các dạng bài tập vectơ trong không gian lớp 12 thường gặp

Các ví dụ sau vận dụng phép toán vectơ và công thức tọa độ đã trình bày. [1][2] Hai ví dụ cuối được giữ như phần vận dụng mở rộng.

Dạng 1. Nhận biết, so sánh và xác định vectơ bằng nhau

Ví dụ: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xác định các vectơ khác chính \(\overrightarrow{AB}\), có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng \(\overrightarrow{AB}\).

Hướng dẫn giải:

Áp dụng tính chất của hình hộp, tất cả các mặt của hình hộp đều là hình bình hành.

Trên mặt phẳng (ABCD), có: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)

Trên mặt phẳng (A'B'C'D'), các cạnh tương ứng song song, cùng hướng và cùng độ dài: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A^{\prime}B^{\prime}}\)

Đồng thời, các cạnh bên tương ứng cho: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{D^{\prime}C^{\prime}}\)

Vậy các vectơ bằng \(\overrightarrow{AB}\) gồm \(\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{A'B'}\) và \(\overrightarrow{D'C'}\).

Dạng 2. Phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng

Ví dụ: Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi M là trung điểm của cạnh \(A'B'\) và \(N\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(BD'\) sao cho \(BN = \frac{1}{3}BD'\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow{MN}\) theo ba vectơ không đồng phẳng \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{AA^{\prime}}\).

Phân tích đề bài: Đề bài yêu cầu phân tích \(\overrightarrow{MN}\) theo ba vectơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{AA^{\prime}}\) đều là 3 vectơ có đầu là điểm A. Như vậy, suy luận được nên biến đổi \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM}\) để xuất hiện 2 vectơ có chứa điểm A, rồi phân tích riêng \(\overrightarrow{AM}\) và \(\overrightarrow{AN}\) theo 3 vectơ cơ sở trên để thu được đáp án cuối cùng.

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{AM}\) theo ba vectơ cơ sở

Theo quy tắc hình hộp và tính chất trung điểm:

\(\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{A'M}\)

Vì M là trung điểm của \(A'B'\) và tứ giác \(ABB'A'\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{A'M} = \frac{1}{2}\overrightarrow{A'B'} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). Do đó:\[\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}\quad(1)\]Bước 2: Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{AN}\) theo ba vectơ cơ sở

Theo giả thiết, điểm N thuộc đoạn thẳng \(BD'\) và thỏa mãn \(BN = \frac{1}{3}BD'\), suy ra:\[\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BD'}\]Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{BD'}\) theo ba vectơ gốc tại đỉnh A:\[\overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}\]Thay \(\overrightarrow{BD'}\) vào biểu thức của \(\overrightarrow{AN}\):

\[\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}\right)\]

\[\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AA'}\]

\(\overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AA'} \quad (2)\)

Bước 3: Tính vectơ \(\overrightarrow{MN}\)

Sử dụng quy tắc hiệu vectơ với điểm gốc A: \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM}\)

Thay kết quả ở (1) và (2) vào biểu thức trên:\[\begin{aligned}\overrightarrow{MN}&= \left(\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AA'}\right)\\&\quad-\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA'}\right)\end{aligned}\]Thu gọn các hệ số theo từng vectơ cơ sở: \[\overrightarrow{MN} = \frac{1}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} - \frac{2}{3}\overrightarrow{AA'}\]

Dạng 3. Tính độ dài vectơ và khoảng cách theo tọa độ

Ví dụ: Cho \(A(1;2;-1)\), \(B(4;-2;3)\). Tính độ dài cạnh AB.

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Tính tọa độ vectơ: \(\overrightarrow{AB}=(4-1;-2-2;3-(-1)) =(3;-4;4)\)

Bước 2: Áp dụng công thức độ dài: \(AB=\sqrt{3^2+(-4)^2+4^2}\)

Bước 3: Tính kết quả: \(AB=\sqrt{41}\)

Cần chú ý lấy tọa độ điểm cuối trừ tọa độ điểm đầu trước khi tính độ dài.

Dạng 4. Tính góc giữa hai vectơ và tích vô hướng

Ví dụ: Cho \(\overrightarrow{a}=(1;0;1)\), \(\overrightarrow{b}=(1;1;0)\). Tính góc giữa hai vectơ.

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Tính tích vô hướng: \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\cdot1+0\cdot1+1\cdot0=1\)

Bước 2: Tính độ dài: \(|\overrightarrow{a}|=\sqrt2\), \(|\overrightarrow{b}|=\sqrt2\)

Bước 3: Thay vào công thức tính cosin: \(\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt2\sqrt2}=\frac12\)

Do đó: \(\alpha=\arccos\left(\frac12\right)=60^{\circ}\)

Dạng 5. Chứng minh đẳng thức vectơ và bài toán thực tế

Ví dụ 1: Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. H và G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác. Chứng minh rằng:

a. \(\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\)

b. Nếu tam giác ABC không đều, chứng minh O, G, H thẳng hàng trên đường thẳng Euler. Nếu tam giác đều thì O, G, H trùng nhau.

Phân tích đề bài: Khi nhắc đến trực tâm H, học sinh liên hệ ngay tới mối quan hệ vuông góc luôn đi kèm với các tích vô hướng bằng 0.

Do đó, chứng minh bài toán theo 2 hướng: Có các tích vô hướng bằng 0 để biến đổi ra \(\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\), hoặc tiếp cận theo hướng ngược lại: Giả sử tồn tại 1 điểm H’ sao cho \(\overrightarrow{OH^{\prime}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\), khi đó chứng minh các tích vô hướng bằng 0 để suy ra H là trực tâm tam giác.

Lời giải sau đây lựa chọn hướng tiếp cận thứ 2 do đây là hướng tiếp cận xuôi (từ đẳng thức suy ra tích vô hướng), đơn giản hơn so với phép biến đổi ngược lại (từ tích vô hướng suy ra đẳng thức).

Hướng dẫn giải:
a. Bước 1: Gọi H' là điểm trong mặt phẳng (ABC) sao cho thỏa mãn hệ thức vectơ:\[\overrightarrow{OH'} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \quad (*)\]Điểm H’ thuộc mặt phẳng (ABC) vì vectơ xác định nó là tổng các vectơ trong mặt phẳng này. Để chứng minh H’ là trực tâm, xét hai tích vô hướng tương ứng với các đường cao, thay vì chỉ dựa vào vị trí trong không gian. Nếu H’ khác A và B, cần chứng minh\(AH' \perp BC\) và \(BH' \perp CA\).

Bước 2: Tính tích vô hướng để suy ra vuông góc.

Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{AH'}\) thông qua điểm gốc O:

\(\overrightarrow{AH'} = \overrightarrow{OH'} - \overrightarrow{OA}\).

Thay biểu thức (*) vào, thu được:

\[\overrightarrow{AH'} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) - \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\]

Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{BC}\) theo gốc O:

\(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}\)

Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AH'} \cdot \overrightarrow{BC}\):

\[\overrightarrow{AH'} \cdot \overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) \cdot (\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB})\]

\(\overrightarrow{AH'} \cdot \overrightarrow{BC} = \vert{}\overrightarrow{OC}\vert{}^2 - \vert{}\overrightarrow{OB}\vert{}^2\)

Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên độ dài \(OB = OC = R\). Do đó:

\(\overrightarrow{AH'} \cdot \overrightarrow{BC} = R^2 - R^2 = 0\)

Các đẳng thức tích vô hướng bằng 0 cho thấy H’ thuộc hai đường cao qua A và B, kể cả khi H’ trùng một đỉnh của tam giác vuông. Do đó H’ là trực tâm tam giác ABC.

Bước 3: Kết luận: Vậy với H là trực tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\)

b. Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên có đẳng thức: \[\overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}\]Mà \(\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}\) nên \(\overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}\). Nếu O, G, H không đồng thời trùng nhau, đẳng thức này cho thấy ba điểm thẳng hàng. Khi tam giác đều, O, G, H trùng nhau nên không xác định duy nhất đường thẳng Euler.

Ví dụ 2: Một viên đạn có khối lượng \(M = 3\text{ kg}\) đang bay theo phương ngang với vận tốc \(\overrightarrow{v}\) có độ lớn \(v = 40\text{ m/s}\) thì nổ thành hai mảnh: mảnh thứ nhất có khối lượng \(m_1 = 1\text{ kg}\) và mảnh thứ hai có khối lượng \(m_2=2\text{ kg}\) . Ngay sau khi nổ, mảnh thứ nhất bay theo phương thẳng đứng lên trên với vận tốc \(\overrightarrow{v_1}\) có độ lớn \(v_1 = 60\text{ m/s}\). Hãy xác định vectơ vận tốc \(\overrightarrow{v_2}\) của mảnh thứ hai. Coi thời gian nổ rất ngắn và bỏ qua xung lượng của ngoại lực trong thời gian đó.

Phân tích đề bài: Đây là bài toán vận dụng định luật bảo toàn động lượng dưới giả thiết đã nêu [4]: Tổng các vectơ \(m_1\overrightarrow{v_1}\) và \(m_2\overrightarrow{v_2}\) phải bằng vectơ \(M\overrightarrow{v}\) ban đầu.

Hướng dẫn giải:

Xây dựng các vectơ để áp dụng quy tắc hình bình hành:

Động lượng ban đầu \(\overrightarrow{P}\) của vật là 1 vectơ có chiều ngang, với độ lớn là \(Mv=3\cdot40=120\) (kg·m/s).

Động lượng của mảnh thứ nhất \(\overrightarrow{P_1}\) 1 vectơ có thẳng đứng vuông góc với vectơ động lượng ban đầu, với độ lớn là \(m_1\cdot v_1=1\cdot60=60\) (kg·m/s).

Động lượng của mảnh thứ hai \(\overrightarrow{P_2}\) là đại lượng chưa biết cần tìm để tính vận tốc \(\overrightarrow{v_2}\) của mảnh thứ hai.

Theo định luật bảo toàn động lượng: \(\overrightarrow{P}=\overrightarrow{P_1}+\overrightarrow{P_2}\). Như vậy xây dựng được hình bình hành ABCD với \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AD}\) đại diện cho \(\overrightarrow{P_1}\) và \(\overrightarrow{P_2}\), \(\overrightarrow{AC}\) là tổng của 2 vectơ trên theo quy tắc hình bình hành. Đồng thời về độ lớn thì \(AC=120,AB=60\) và \(AB\perp AC\).

Nhìn theo hình bình hành, dễ dàng nhận thấy \(\overrightarrow{P_2}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\). Mà tam giác ABC vuông tại A nên áp dụng định lý Pythagore thu được:\[\begin{aligned}AD=BC&=\sqrt{AB^2+AC^2}\\&=\sqrt{60^2+120^2}\\&=60\sqrt5.\end{aligned}\]Vậy \(\left|\overrightarrow{AD}\right|=60\sqrt5\). Mà \(\left|\overrightarrow{AD}\right|=m_2v_2\to v_2=\frac{\left|\overrightarrow{AD}\right|}{m_2}=\frac{60\sqrt5}{2}=30\sqrt5\) (m/s)

Gọi \(\theta\) là góc nhọn giữa hướng chuyển động của mảnh thứ hai và phương ngang. Đồng thời, \(\tan\theta=\frac{|P_{2y}|}{P_{2x}}=\frac{60}{120}=\frac12\) nên \(\theta=\arctan\left(\frac12\right)\approx26,57^{\circ}\). Tức là mảnh thứ 2 hướng xuống dưới 1 góc \(26,57^\circ\)so với phương ngang.

Chọn chiều dương Ox cùng chiều vận tốc ban đầu, Oy thẳng đứng lên trên. Khi đó \(\overrightarrow{P_2}=(120;-60)\), nên \(\overrightarrow{v_2}=(60;-30)\) m/s. Vậy ngay sau khi nổ, mảnh thứ hai chuyển động với vận tốc có độ lớn bằng \(30\sqrt5\) (m/s) và có hướng chếch xuống dưới một góc \(26,57^\circ\) so với phương ngang.

Vecto trong không gian giúp học sinh biểu diễn và xử lý các quan hệ hình học ba chiều. Kiến thức cần nắm gồm phương, hướng, độ dài, các phép toán, quy tắc hình hộp và tích vô hướng. Khi dùng tọa độ Oxyz, cần lấy tọa độ điểm cuối trừ điểm đầu, đồng thời kiểm tra điều kiện hai vectơ khác vectơ không trước khi tính góc.

Sau khi luyện các dạng bài cơ bản, học sinh có thể tiếp tục ôn hệ trục tọa độ và phương trình mặt phẳng trong chuyên mục Toán 12 tại ZIM Academy để kết nối phương pháp vectơ với những bài toán hình học tiếp theo.