Xác suất | Công thức tính xác suất và cách tính lớp 10

Xác suất là đại lượng dùng để biểu thị khả năng xảy ra của một biến cố trong một phép thử ngẫu nhiên. Để tính xác suất, học sinh cần xác định không gian mẫu, biến cố và số kết quả thuận lợi, từ đó áp dụng công thức tính xác suất phù hợp. Bài viết hệ thống khái niệm xác suất là gì, cách tính xác suất, các công thức xác suất thường dùng trong Toán 10 và những dạng bài tập xác suất cơ bản.

Xác suất là gì?

Xác suất là đại lượng dùng để biểu thị mức độ có khả năng xảy ra của một biến cố trong một phép thử ngẫu nhiên. Xác suất của biến cố \(A\) được kí hiệu là \(P(A)\) và có giá trị từ 0 đến 1; xác suất càng lớn thì biến cố càng có khả năng xảy ra. [1]

Công thức tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Giả sử một phép thử có không gian mẫu \(\Omega\) gồm hữu hạn kết quả và các kết quả có khả năng xảy ra như nhau. Khi đó, xác suất của biến cố A được xác định như sau: [1]

P(A) = \(\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\)

Trong đó:

• P(A): xác suất của biến cố A;

• n(A): số kết quả thuận lợi cho A;

• n(\(\Omega\)): số kết quả có thể xảy ra.

Nhận xét: Từ công thức trên ta có:

0 \(\le\)P(A) \(\le\)1

• Nếu P(A) = 0, biến cố A không thể xảy ra.

• Nếu P(A) = 1, biến cố A chắc chắn xảy ra.

Công thức này chỉ áp dụng trực tiếp khi các kết quả trong không gian mẫu đồng khả năng.

Ví dụ minh họa

Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Tính xác suất để số chấm xuất hiện là số chẵn.

Lời giải

Vì con xúc xắc là cân đối, nên sáu mặt có khả năng xuất hiện như nhau. Do đó, các kết quả trong không gian mẫu là đồng khả năng, nghĩa là mỗi kết quả có xác suất xảy ra:

P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = \(\frac16\)

Vì vậy, học sinh có thể áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất.

Bước 1: Xác định không gian mẫu.

Ta có không gian mẫu như sau:

\(\Omega\) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Suy ra:

n(\(\Omega\)) = 6

Bước 2: Xác định biến cố.
Gọi A là biến cố “mặt xuất hiện số chấm là số chẵn”.

Ta có:

A = {2, 4, 6}

nên:

n(A) = 3

Bước 3: Áp dụng công thức.

P(A) = \(\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\)

= \(\frac36\)

= \(\frac12\)

Vậy

P(A) = \(\frac12\)

Qua ví dụ trên, có thể rút ra quy trình ba bước khi giải toán xác suất theo định nghĩa cổ điển:

Xác định \(\Omega\) \(\rightarrow\) Xác định A \(\rightarrow\) Tính \(\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\)

Trong đó, điều kiện quan trọng là các kết quả trong không gian mẫu phải đồng khả năng. Nếu các kết quả không có khả năng xảy ra như nhau thì không thể áp dụng trực tiếp công thức trên.

Một số khái niệm cơ bản liên quan đến xác suất

Phép thử ngẫu nhiên là gì?

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta biết trước các kết quả có thể xảy ra nhưng không thể biết chắc chắn được kết quả nào sẽ xuất hiện trước khi thực hiện phép thử. [1]

Ví dụ minh họa

Khi gieo một con xúc xắc, học sinh có thể biết các mặt có số chấm có thể xuất hiện là 1, 2, 3, 4, 5 hay 6 nhưng không thể khẳng định trước lần gieo đó sẽ xuất hiện mặt nào.

Ngoài ra còn một số ví dụ khác về phép thử ngẫu nhiên:

• Tung một đồng xu

• Rút ngẫu nhiên một lá bài

• Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp

• Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm bất kỳ từ một hộp có nhiều sản phẩm

Tuy nhiên cần phân biệt thuật ngữ “ngẫu nhiên”, thuật ngữ này không có nghĩa là hoàn toàn không biết gì về kết quả. Chúng ta vẫn có thể biết tập hợp các kết quả có thể xảy ra, nhưng lại chưa biết chính xác kết quả cụ thể trước khi thực hiện phép thử.

Không gian mẫu là gì?

Không gian mẫu của một phép thử ngẫu nhiên là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

Ký hiệu của không gian mẫu là: \(\Omega\)(đọc là Omega) [1].

Ví dụ minh họa

Gieo một con xúc xắc một lần:

Ta có

Không gian mẫu: \(\Omega\)= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Do đó

n(\(\Omega\)) = 6.

Tương tự ví dụ trên, khi tung một đồng xu một lần:

Ta có

Không gian mẫu: \(\Omega\)= {Ngửa; Sấp}

Nên

n(\(\Omega\)) = 2.

Chú ý: Bước xác định không gian mẫu là bước đầu tiên cũng là bước quan trọng khi giải các bài toán xác suất. Nếu bỏ sót một kết quả có thể xảy ra hoặc đưa vào một kết quả không thể xảy ra, khi đó số phần tử của không gian mẫu sẽ sai và kéo theo kết quả của bài toán xác suất sẽ sai.

Biến cố là gì?

Biến cố là một tập con của không gian mẫu [1].

Ví dụ minh họa

Gieo một con xúc xắc một lần. Gọi (A) là biến cố “mặt xuất hiện có số chấm là số chẵn”.

Khi đó:

A = {2, 4, 6}.

Vì:

A \(\subset\) \(\Omega\),

nên A là một biến cố

Tương tự như trên, nếu gọi (B) là biến cố “mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 4” thì

B = {5, 6}.

Có thể hình dung mối quan hệ giữa ba khái niệm:

Từ một phép thử, ta xác định không gian mẫu gồm tất cả các kết quả có thể xảy ra, từ không gian mẫu ta xác định các biến cố là những tập con chứa các kết quả mà ta quan tâm

Xác suất của biến cố đối

Trong một số bài toán, việc đếm trực tiếp các kết quả thuận lợi khá phức tạp. Khi đó, xét biến cố đối có thể giúp bài toán ngắn gọn hơn.

Với biến cố (A), biến cố đối của (A) kí hiệu là (\(\overline{A}\)), là biến cố “(A) không xảy ra”. Hai biến cố (A) và (\(\overline{A}\)) luôn loại trừ nhau và một trong hai biến cố chắc chắn xảy ra. [1]

Công thức liên hệ giữa xác suất của một biến cố và xác suất của biến cố đối

Vì một trong hai biến cố (A) hoặc (\(\overline{A}\)) chắc chắn xảy ra nên tổng xác suất của chúng bằng 1: [1]

P(\(\overline{A}\)) = 1 - P(A)

Công thức biến cố đối đặc biệt hữu ích khi việc tính trực tiếp P(A) khó thực hiện, nhưng việc xác định và tính P(\(\overline{A}\)) lại đơn giản hơn

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Khi gieo một con xúc xắc:

• (A): “xuất hiện số chấm lớn hơn 4”

• (\(\overline{A}\)): “xuất hiện số chấm không lớn hơn 4”

Ta có:

A = {5, 6}

Và

\(\overline{A}\) = {1, 2, 3, 4}

Biến cố (A) và (\(\overline{A}\)) không thể xảy ra đồng thời và một trong hai biến cố chắc chắn xảy ra. Do đó:

P(A) + P(\(\overline{A}\)) = 1

Suy ra:

P(A) = 1 - P(\(\overline{A}\))

Ví dụ 2.

Tung một đồng xu cân đối ba lần. Tính xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa.

Lời giải

Nếu tính trực tiếp, cần chia thành nhiều trường hợp: xuất hiện đúng một lần ngửa, đúng hai lần ngửa hoặc cả ba lần đều ngửa.

Thay vào đó, xét biến cố đối.

Gọi (A) là biến cố “ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.

Khi đó:

(\(\overline{A}\)) = {“Không lần nào xuất hiện mặt ngửa”}

Hay có thể nói là cả ba lần đều xuất hiện mặt sấp

Vì mỗi lần tung độc lập và xác suất xuất hiện mặt sấp ở mỗi lần là \(\frac12\) ta có:

P(\(\overline{A}\)) = \(\frac12\times\frac12\times\frac12\)

=\(\frac18\)

Do đó:

P(A) = 1 - P(\(\overline{A}\))

= 1 - \(\frac18\)

= \(\frac78\)

Vậy:

P(A) = \(\frac78\)

Chiến thuật:

Khi gặp các cụm từ như “ít nhất một”, “ít nhất một lần”, “không có lần nào”, hãy thử kiểm tra xem biến cố đối có dễ đếm hơn hay không.

Tổng hợp các công thức tính xác suất lớp 11

Bên cạnh công thức xác suất theo định nghĩa cổ điển và công thức của biến cố đối, xác suất lớp 11 còn tập trung vào công thức cộng và công thức nhân xác suất. Để áp dụng đúng, học sinh cần phân biệt biến cố hợp, biến cố giao, hai biến cố xung khắc và hai biến cố độc lập.

Công thức cộng xác suất

Với hai biến cố \(A\) và \(B\), biến cố hợp \(A\cup B\) xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố xảy ra. Công thức cộng xác suất tổng quát là:

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]

Nếu \(A\) và \(B\) xung khắc, tức là không thể đồng thời xảy ra, thì \(P(A\cap B)=0\) và:

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)\]

Công thức nhân xác suất

Hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập khi việc xảy ra của biến cố này không làm thay đổi khả năng xảy ra của biến cố kia. Khi đó, xác suất của biến cố giao được tính bởi:

\[P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\]

Cách tính xác suất trong một số tình huống thường gặp

Sau khi nắm được công thức tính xác suất theo định nghĩa cổ điển, học sinh có thể vận dụng kiến thức vào nhiều tình huống quen thuộc như gieo xúc xắc, tung đồng xu hoặc chọn ngẫu nhiên đồ vật.

Điểm quan trọng là trước khi tính xác suất, cần xác định không gian mẫu và các kết quả thuận lợi cho biến cố.

Vận dụng công thức xác suất vào bài toán gieo xúc xắc

Đề bài:

Gieo một con xúc xắc cân đối hai lần. Tính xác suất để tổng số chấm của hai lần gieo bằng 8.

Lời giải

Bước 1: Xác định không gian mẫu.

Mỗi lần gieo có 6 kết quả. Vì hai lần gieo độc lập về mặt mô tả kết quả, mỗi kết quả có thể biểu diễn bởi một cặp có thứ tự (a;b), trong đó a,b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Do đó:

n(\(\Omega\)) = 6 \(\times\)6 = 36

Bước 2: Xác định biến cố.

Gọi A là biến cố “tổng số chấm của hai lần gieo bằng 8”.

Các kết quả thuận lợi là:

A = { (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2)}

Suy ra:

n(A) = 5

Bước 3: Tính xác suất.

P(A) = \(\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\)= \(\frac{5}{36}\)

Vậy

P(A) = \(\frac{5}{36}\)

Lưu ý: Khi gieo xúc xắc nhiều lần, cần xem mỗi kết quả là một dãy hoặc một bộ có thứ tự, thay vì chỉ đếm các giá trị xuất hiện. Chẳng hạn, (2; 6) và (6; 2) là hai kết quả khác nhau.

Vận dụng công thức xác suất vào bài toán gieo đồng xu

Đề bài:

Tung một đồng xu cân đối ba lần. Tính xác suất để xuất hiện đúng hai lần mặt ngửa.

Lời giải

Gọi N là mặt Ngửa và S là mặt Sấp.

Không gian mẫu là:

\(\Omega\) = {NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SNS, SSN, SSS}

Do đó:

n(\(\Omega\)) = 8

Gọi B là biến cố “xuất hiện đúng hai lần mặt ngửa”.

Các kết quả thuận lợi là:

B = {NNS, NSN, SNN}

Suy ra:

n(B) = 3

Vậy:

P(B) = \(\frac38\)

Do đó:

P(B) = \(\frac38\)

Lưu ý: Với phép thử gồm nhiều lần tung đồng xu, có thể dùng sơ đồ hình cây để liệt kê các kết quả (sẽ được hướng dẫn ở bên dưới). Đây là cách trực quan giúp hạn chế bỏ sót trường hợp, đặc biệt khi số lần thực hiện tăng lên.

Vận dụng công thức xác suất vào bài toán chọn ngẫu nhiên đồ vật từ một tập hợp

Đề bài: Một hộp có 8 chiếc bút gồm 3 bút mực xanh, 4 bút mực đen và 1 bút mực đỏ. Chọn ngẫu nhiên một chiếc bút. Tính xác suất để chọn được bút mực xanh hoặc bút mực đỏ.

Lời giải

Gọi C là biến cố “chọn được bút mực xanh hoặc bút mực đỏ”.

Tổng số chiếc bút là:

n(\(\Omega\)) = 8

Số bút mực xanh hoặc đỏ là:

n(C) = 3 + 1 = 4

Do đó:

P(C) = \(\frac48=\frac12\)

Vậy

P(C) = \(\frac12\)

Ở dạng bài này, điều quan trọng là xác định đúng tất cả kết quả thuận lợi. Vì bút xanh và bút đỏ là hai nhóm không trùng nhau nên có thể cộng số lượng của hai nhóm để tìm n(C).

Sử dụng sơ đồ hình cây để mô tả không gian mẫu khi cần thiết

Đề bài:

Một cửa hàng có hai loại bánh A và B, mỗi loại gồm hai vị: vị dâu và vị sô-cô-la. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên một loại bánh và một vị bánh. Hãy mô tả không gian mẫu.

Lời giải

Ở bước thứ nhất, khách hàng có hai lựa chọn:

A, B

Với mỗi loại bánh, bước thứ hai có hai lựa chọn:

Dâu, Sô-cô-la

Vì vậy, không gian mẫu gồm:

\(\Omega\) = {(A; Dâu), (A; Sô-cô-la), (B; Dâu), (B; Sô-cô-la)}

Suy ra:

n(\(\Omega\)) = 4

Có thể biểu diễn quá trình này bằng sơ đồ hình cây như sau:

Sơ đồ hình cây giúp mô tả lần lượt các lựa chọn ở từng bước, từ đó dễ dàng xác định đầy đủ không gian mẫu.

Lưu ý: Không phải bài toán xác suất nào cũng cần dùng sơ đồ hình cây. Công cụ này đặc biệt hữu ích khi phép thử có nhiều bước liên tiếp và mỗi bước có nhiều khả năng.

Ghi nhớ khi thực hành

Khi gặp một bài toán xác suất theo định nghĩa cổ điển, có thể thực hiện theo quy trình:

Xác định phép thử \(\rightarrow\) Xác định \(\Omega\) \(\rightarrow\) Xác định biến cố \(\rightarrow\) Đếm n(\(\Omega\)), n(A) \(\rightarrow\) Tính P(A)

Nếu số trường hợp cần liệt kê nhiều, hãy cân nhắc sử dụng sơ đồ hình cây hoặc một phương pháp đếm phù hợp thay vì liệt kê một cách thủ công.

Quan trọng nhất, trước khi áp dụng công thức:

P(A) = \(\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\)

hãy kiểm tra xem các kết quả trong không gian mẫu có đồng khả năng hay không. Đây là điều kiện cốt lõi của định nghĩa cổ điển, và cũng là điểm học sinh rất dễ bỏ qua khi làm bài.

Bài tập xác suất có lời giải

Dạng 1: Bài tập mô tả không gian mẫu và tính số phần tử của không gian mẫu

Bài 1: Gieo một con xúc xắc cân đối hai lần. Hãy mô tả không gian mẫu và tính số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải

Kết quả của hai lần gieo được biểu diễn bởi một cặp có thứ tự:

(a; b), a, b∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Không gian mẫu là:

Ω = { (a;b) ∣ a,b∈{1, 2, 3, 4, 5, 6} }

Do mỗi lần gieo có 6 khả năng nên:

n(Ω) = 6 × 6 = 36

Vậy:

n(Ω) = 36​

Bài 2: Một đồng xu cân đối được tung ba lần. Hãy mô tả không gian mẫu và tính số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải

Kí hiệu N là mặt ngửa và S là mặt sấp.

Không gian mẫu là:

Ω = {NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SNS, SSN, SSS}

Do đó:

n(Ω) = 8

Hoặc có thể tính nhanh:

n(Ω) = \(2^3\) = 8

Vậy:

n(Ω) = 8​

Bài 3: Một hộp có 3 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh và 1 viên bi vàng. Lấy lần lượt hai viên bi không hoàn lại. Biết mỗi viên bi được phân biệt với nhau. Tính số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải

Tổng số viên bi là:

3 + 2 + 1 = 6

Lần lấy thứ nhất có 6 khả năng. Sau khi lấy một viên, còn 5 viên cho lần lấy thứ hai.

Do đó:

n(Ω) = 6 × 5 = 30

Vậy:

n(Ω) = 30​

Bài 4: Một cửa hàng có 4 loại áo. Mỗi loại có 3 màu: đen, trắng và xanh. Một khách hàng chọn ngẫu nhiên một loại áo và một màu áo. Tính số kết quả có thể xảy ra.

Lời giải

Có 4 khả năng khi chọn loại áo và 3 khả năng khi chọn màu.

Theo quy tắc nhân:

n(Ω) = 4 × 3 = 12

Vậy:

n(Ω) = 12​

Bài 5: Một gia đình có ba người con. Giả sử khả năng sinh con trai và con gái là như nhau. Hãy mô tả không gian mẫu xét theo thứ tự giới tính của ba người con và tính số phần tử của không gian mẫu.

Lời giải

Kí hiệu T là con trai và G là con gái.

Không gian mẫu là:

Ω = {TTT, TTG, TGT, TGG, GTT, GTG, GGT, GGG}

Do đó:

n(Ω) = 8

Vậy:

n(Ω) = 8​

Dạng 2: Bài tập tính xác suất của một biến cố cho trước bằng định nghĩa cổ điển

Bài 1: Gieo một con xúc xắc cân đối một lần. Tính xác suất để số chấm xuất hiện là số nguyên tố.

Lời giải

Không gian mẫu là:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Do đó:

n(Ω) = 6

Gọi A là biến cố “số chấm xuất hiện là số nguyên tố”.

Khi đó:

A = {2, 3, 5}

Suy ra:

n(A) = 3

Theo định nghĩa cổ điển:

P(A) = \(\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\)

Do đó:

P(A) = \(\frac36\) = \(\frac12\)

Vậy:

P(A) = \(\frac12\)

Bài 2: Một hộp có 5 viên bi đỏ, 4 viên bi xanh và 3 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên một viên bi. Tính xác suất để viên bi được lấy có màu đỏ hoặc xanh.

Lời giải

Tổng số viên bi là:

n(Ω) = 5 + 4 + 3 = 12

Số viên bi đỏ hoặc xanh là:

n(A) = 5 + 4 = 9

Do đó:

P(A) = \(\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\)

P(A) = \(\frac{9}{12}\) = \(\frac34\)

Vậy:

P(A) = \(\frac34\)

Bài 3: Gieo hai con xúc xắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc bằng 9.

Lời giải

Mỗi kết quả được biểu diễn bởi một cặp có thứ tự:

(a;b), a, b∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Do đó:

n(Ω) = 6 × 6 = 36

Gọi A là biến cố “tổng số chấm bằng 9”.

Các kết quả thuận lợi là:

A = {(3;6), (4;5), (5;4), (6;3)}

Suy ra:

n(A) = 4

Do đó:

P(A) = \(\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\) = \(\frac{4}{36}\) = \(\frac19\)

Vậy:

P(A) = \(\frac19\)

Bài 4: Một lớp có 12 học sinh, gồm 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 2 học sinh. Tính xác suất để cả hai học sinh được chọn đều là nữ.

Lời giải

Số cách chọn 2 học sinh từ 12 học sinh là:

n(Ω) = \(C_{12}^2\) = 66

Gọi A là biến cố “cả hai học sinh được chọn đều là nữ”.

Số cách chọn 2 học sinh nữ từ 5 học sinh nữ là:

n(A) = \(C_5^2\) = 10

Do đó:

P(A) = \(\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\) = \(\frac{C_5^2}{C_{12}^2}\) = \(\frac{10}{66}\) = \(\frac{5}{33}\)

Vậy:

P(A) = \(\frac{5}{33}\)

Bài 5: Một hộp có 6 thẻ được đánh số từ 1 đến 6. Chọn ngẫu nhiên 2 thẻ cùng lúc. Tính xác suất để tổng hai số trên hai thẻ lớn hơn 7.

Lời giải

Số cách chọn 2 thẻ từ 6 thẻ là:

n(Ω) = \(C_6^2\) = 15

Gọi A là biến cố “tổng hai số lớn hơn 7”.

Các cặp thẻ thuận lợi là:

(2; 6), (3; 5), (3; 6), (4; 5), (4; 6), (5; 6)

Do đó:

n(A) = 6

Suy ra:

P(A) = \(\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\) = \(\frac{6}{15}\) = \(\frac25\)

Vậy:

P(A) = \(\frac25\)

Dạng 3: Bài tập vận dụng công thức biến cố đối để tính xác suất

Bài 1

Gieo một con xúc xắc cân đối ba lần. Tính xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt 5.

Lời giải

Gọi A là biến cố “ít nhất một lần xuất hiện mặt 5”.

Biến cố đối của A là:

\(\overline{A}\) = “Không lần nào xuất hiện mặt 5”

Ở mỗi lần gieo, xác suất không xuất hiện mặt 5 là:

\(\frac56\)

Vì ba lần gieo độc lập nên:

P(\(\overline{A}\)) = \(\left(\frac56\right)^3\) = \(\frac{125}{216}\)

Áp dụng công thức biến cố đối:

P(A) = 1 − P(\(\overline{A}\))

Suy ra:

P(A) = 1 − \(\frac{125}{216}\) = \(\frac{91}{216}\)

Vậy:

P(A) = \(\frac{91}{216}\)

Bài 2

Một đồng xu cân đối được tung bốn lần. Tính xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp.

Lời giải

Gọi A là biến cố “ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”.

Biến cố đối là:

\(\overline{A}\) = “Cả bốn lần đều xuất hiện mặt ngửa”

Do đó:

P(\(\overline{A}\)) =\(\left(\frac12\right)^4\) = \(\frac{1}{16}\)

Suy ra:

P(A) = 1 - P(\(\overline{A}\))

P(A) = 1 - \(\frac{1}{16}\) = \(\frac{15}{16}\)

Vậy:

P(A) = \(\frac{15}{16}\)

Bài 3

Một hộp có 5 viên bi đỏ và 7 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi cùng lúc. Tính xác suất để có ít nhất một viên bi đỏ.

Lời giải

Gọi A là biến cố “có ít nhất một viên bi đỏ”.

Khi đó:

\(\overline{A}\) = “Cả hai viên bi được chọn đều màu xanh”

Tổng số cách chọn 2 viên bi từ 12 viên là:

n(Ω) = \(C_{12}^2\) = 66

Số cách chọn 2 viên bi xanh là:

n(\(\overline{A}\)) = \(C_7^2\) = 21

Do đó:

P(\(\overline{A}\)) = \(\frac{C_7^2}{C_{12}^2}\) = \(\frac{21}{66}\) = \(\frac{7}{22}\)

Suy ra:

P(A) = 1 - P(\(\overline{A}\))

P(A) = 1 - \(\frac{7}{22}\) = \(\frac{15}{22}\)

Vậy:

P(A) = \(\frac{15}{22}\)

Bài 4

Một lớp có 10 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để trong 3 học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nam.

Lời giải

Gọi A là biến cố “trong 3 học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nam”.

Biến cố đối là:

\(\overline{A}\) = “Cả 3 học sinh đều chọn đều là nữ”

Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 25 học sinh là:

n(Ω) = \(C_{25}^3\)

Số cách chọn 3 học sinh nữ từ 15 học sinh nữ là:

n(\(\overline{A}\)) = \(C_{15}^3\)

Do đó:

P(\(\overline{A}\)) = \(\frac{C_{15}^3}{C_{25}^3}\) = \(\frac{455}{2300}\) = \(\frac{91}{460}\)

Suy ra:

P(A) = 1 − P(\(\overline{A}\))

P(A) = 1 - \(\frac{91}{460}\) = \(\frac{369}{460}\)

Vậy:

P(A) = \(\frac{369}{460}\)

Bài 5

Một hộp có 8 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm bị lỗi và 6 sản phẩm đạt chuẩn. Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm cùng lúc. Tính xác suất để có ít nhất một sản phẩm bị lỗi.

Lời giải

Gọi A là biến cố “có ít nhất một sản phẩm bị lỗi”.

Biến cố đối là:

\(\overline{A}\) = “Cả 3 sản phẩm được chọn đều đạt chuẩn”

Tổng số cách chọn 3 sản phẩm từ 8 sản phẩm là:

n(Ω) = \(C_8^3\) = 56

Số cách chọn 3 sản phẩm đạt chuẩn từ 6 sản phẩm là:

n(\(\overline{A}\)) = \(C_6^3\) = 20

Do đó:

P(\(\overline{A}\)) = \(\frac{C_6^3}{C_8^3}\) = \(\frac{20}{56}\) = \(\frac{5}{14}\)

Suy ra:

P(A) = 1 − P(\(\overline{A}\))

P(A) = 1 - \(\frac{5}{14}\) = \(\frac{9}{14}\)

Vậy:

P(A) = \(\frac{9}{14}\)

Chiến thuật nhận diện dạng bài tính xác suất

Để giải tốt các bài toán xác suất theo định nghĩa cổ điển, học sinh cần nắm chắc mối quan hệ phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, biến cố. Khi các kết quả có khả năng xảy ra như nhau, xác suất của biến cố A được tính bằng:

P(A) = \(\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega\right)}\)

Bên cạnh đó, biến cố đối được tính qua công thức:

P(A) = 1 - P(\(\overline{A}\))

Học sinh cần xác định đúng không gian mẫu, biến cố và số kết quả thuận lợi trước khi áp dụng công thức. Đây là nền tảng quan trọng để giải các dạng bài xác suất trong chuyên đề Toán 10 tại ZIM Academy.