Bài tập hàm số liên tục lớp 11 | Cách giải các dạng thường gặp

Bài tập hàm số liên tục lớp 11 thuộc nội dung Bài 17: Hàm số liên tục, Chương V: Giới hạn, Hàm số liên tục trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức. Nội dung trọng tâm gồm tính giới hạn, xét tính liên tục của hàm số tại một điểm và trên tập xác định, tìm tham số để hàm số liên tục, chứng minh hàm số liên tục trên R và vận dụng tính liên tục để chứng minh phương trình có nghiệm.

Các bài tập về hàm số liên tục được hệ thống theo từng dạng, kết hợp phương pháp và cách giải hàm số liên tục nhằm củng cố lý thuyết, điều kiện liên tục và quy trình xét tính liên tục trong các trường hợp thường gặp.

Bài tập hàm số liên tục: Kiến thức cần nhớ

Hàm số liên tục tại một điểm

Điều kiện hàm số liên tục tại một điểm

Điều kiện để hàm số liên tục y = f(x) tại x₀ là:

limₓ→ₓ₀ f(x) = f(x₀) [1]

Quy trình kiểm tra hàm số liên tục tại một điểm

Để kiểm tra hàm số có liên tục tại x₀ hay không, cần kiểm tra lần lượt:

• Hàm số xác định tại x₀, tức là f(x₀) xác định.

• Giới hạn limₓ→ₓ₀ f(x) tồn tại.

• Giới hạn bằng giá trị của hàm số tại x₀:

limₓ→ₓ₀ f(x) = f(x₀)

Khi cả ba điều kiện đều thỏa mãn, có thể kết luận:

f(x) liên tục tại x₀. [1]

Hàm số liên tục từng đoạn

Với hàm số từng đoạn, tại điểm ghép x₀ cần so sánh:

limₓ→ₓ₀⁻ f(x)

limₓ→ₓ₀⁺ f(x)

và

f(x₀)

Hàm số liên tục tại x₀ khi:

limₓ→ₓ₀⁻ f(x) = limₓ→ₓ₀⁺ f(x) = f(x₀) [1]

Trong đó:

• limₓ→ₓ₀⁻ f(x) là giới hạn bên trái khi x tiến tới x₀.

• limₓ→ₓ₀⁺ f(x) là giới hạn bên phải khi x tiến tới x₀.

Các quy tắc về hàm số liên tục

Nếu f(x) và g(x) liên tục tại x₀ thì:

f(x) + g(x) liên tục tại x₀.

f(x) − g(x) liên tục tại x₀.

f(x) · g(x) liên tục tại x₀.

Đối với thương:

\(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\) liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0. [1]

Định lí về sự tồn tại nghiệm của phương trình

Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và:

f(a) · f(b) < 0

thì tồn tại ít nhất một số c ∈ (a; b) sao cho:

f(c) = 0

Hay có thể ghi ngắn gọn:

f liên tục trên [a; b]

f(a) · f(b) < 0

⇒ ∃ c ∈ (a; b): f(c) = 0

Định lí này thường được dùng để chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b). [1]

Cách xét tính liên tục của hàm số

Trường hợp hàm số cho bởi một công thức

Khi hàm số được cho bởi một công thức, có thể xét tính liên tục theo các bước sau:

Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số.

Đây là bước cần thực hiện trước tiên để biết hàm số được xác định trên những khoảng nào.

Bước 2: Nhận dạng loại hàm số.

Một số loại hàm số thường gặp:

• Hàm số đa thức.

• Hàm số phân thức.

• Hàm số lượng giác trong phạm vi đã học.

• Tổng, hiệu, tích hoặc thương của các hàm số liên tục.

Bước 3: Sử dụng các định lí về tính liên tục.

Nếu hàm số thuộc các loại đã biết là liên tục, có thể kết luận trực tiếp hàm số đang xét liên tục trên từng khoảng thuộc tập xác định.

Ví dụ, hàm số phân thức:

f(x) = \(\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}\)

liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định, tức là:

Q(x) ≠ 0 [1]

Trường hợp hàm số cho bởi nhiều công thức

Với hàm số được cho bởi nhiều công thức, mỗi nhánh thường liên tục trên khoảng mà nó được xác định.

Vì vậy, cần đặc biệt chú ý đến điểm chuyển giữa hai nhánh, hay còn gọi là điểm ghép.

Tại điểm ghép x₀, thực hiện lần lượt:

Bước 1: Tính giới hạn bên trái:

limₓ→ₓ₀⁻ f(x)

Bước 2: Tính giới hạn bên phải:

limₓ→ₓ₀⁺ f(x)

Bước 3: Tính giá trị hàm số tại điểm ghép:

f(x₀)

Sau đó so sánh ba giá trị.

Nếu:

limₓ→ₓ₀⁻ f(x) = limₓ→ₓ₀⁺ f(x) = f(x₀)

thì hàm số sẽ liên tục tại x₀.

Ngược lại, nếu một trong các giá trị trên không tồn tại hoặc không bằng nhau thì hàm số không liên tục tại x₀. [1]

Quy tắc kiểm tra:

Trái = Phải = Giá trị hàm

⇒ Liên tục tại điểm ghép

Cách xét hàm số liên tục trên ℝ

Để chứng minh hàm số bất kỳ liên tục trên ℝ, có thể thực hiện theo trình tự:

Bước 1: Chứng minh hàm số đang xét liên tục trên từng khoảng xác định.

Bước 2: Xác định tất cả các điểm có khả năng xảy ra gián đoạn.

Đặc biệt chú ý đến:

• Điểm làm mẫu số bằng 0.

• Điểm chuyển công thức đối với hàm số từng đoạn.

• Các điểm mà công thức của hàm số không xác định.

Bước 3: Kiểm tra tính liên tục tại từng điểm có khả năng gián đoạn.

Tại mỗi điểm x₀ cần kiểm tra:

limₓ→ₓ₀⁻ f(x) = limₓ→ₓ₀⁺ f(x) = f(x₀)

Bước 4: Nếu mọi điểm đều thỏa mãn điều kiện liên tục thì kết luận:

f(x) liên tục trên ℝ. [1]

Bài tập hàm số liên tục tại một điểm

Dấu hiệu nhận diện bài tập xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Dạng bài này thường có các đặc điểm:

• Đề bài cho một điểm cụ thể (x = x₀).

• Yêu cầu “xét tính liên tục của hàm số tại (x₀)”.

Khi gặp dạng bài này, cần kiểm tra xem giá trị của hàm số tại (x₀) có bằng giới hạn của hàm số khi (x) tiến tới (x₀) hay không.

Phương pháp giải bài tập xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Thực hiện theo 4 bước:

Bước 1: Tính giá trị (f(x₀)).

Thay (x = x₀) vào công thức của hàm số để tính:

f(x₀) = ?

Bước 2: Tính giới hạn

limₓ→ₓ₀ f(x)

Nếu là hàm số từng đoạn và (x₀) là điểm ghép, cần tính riêng:

limₓ→ₓ₀⁻ f(x)

và

limₓ→ₓ₀⁺ f(x)

Bước 3: So sánh

Nếu:

limₓ→ₓ₀ f(x) = f(x₀)

thì hàm số f(x) liên tục tại (x₀).

Bước 4: Kết luận

• Nếu hai giá trị bằng nhau: Hàm số f(x) liên tục tại (x₀).

• Nếu hai giá trị khác nhau hoặc giới hạn không tồn tại: Hàm số không liên tục tại (x₀).

Ví dụ 1: Hàm phân thức được bổ sung giá trị tại điểm làm mẫu bằng 0

Cho hàm số:

f(x) = \(\frac{\left(x^2-49\right)}{\left(x-7\right)}\), khi x ≠ 7

f(7) = 15

Xét tính liên tục của hàm số tại (x = 7).

Bước 1: Tính giá trị hàm số

Có:

f(7) = 15

Bước 2: Tính giới hạn

Với (x ≠ 7):

\(\frac{\left(x^2-49\right)}{\left(x-7\right)}\)= \(\frac{\left(x-7\right)\left(x+7\right)}{\left(x-7\right)}\) = x + 7

Do đó:

limₓ→₇ f(x) = limₓ→₇ (x + 7) = 14

Bước 3: So sánh

limₓ→₇ f(x) = 14 ≠ 15 = f(7)

Bước 4: Kết luận

Vậy hàm số không liên tục tại (x = 7).

Ví dụ 2: Hàm số cho bởi hai công thức tại điểm ghép

Cho hàm số:

f(x) = x + 1, khi x < 2

f(x) = 5 − x, khi x ≥ 2

Xét tính liên tục của hàm số tại (x = 2).

Bước 1: Tính giá trị hàm số

Vì (x = 2) thuộc nhánh (5 − x), nên:

f(2) = 5 − 2 = 3

Bước 2: Tính giới hạn trái

limₓ→₂⁻ f(x) = limₓ→₂⁻ (x + 1) = 3

Bước 3: Tính giới hạn phải

limₓ→₂⁺ f(x) = limₓ→₂⁺ (5 − x) = 3

Suy ra:

limₓ→₂ f(x) = 3

Bước 4: So sánh

limₓ→₂ f(x) = 3 = f(2)

Vậy hàm số f(x) liên tục tại (x = 2).

Bài tập tự luyện hàm số liên tục tại một điểm

Bài 1. Cho hàm số:

f(x) = \(\frac{\left(x^2-4\right)}{\left(x-2\right)}\), khi x ≠ 2

f(2) = 5

Xét tính liên tục của hàm số tại (x = 2).

Bài 2. Cho hàm số:

f(x) = 2x + 1, khi x < 1

f(x) = x + 2, khi x ≥ 1

Xét tính liên tục của hàm số tại (x = 1).

Bài 3. Cho hàm số:

f(x) = \(\frac{\left(x^2-16\right)}{\left(x-4\right)}\), khi x ≠ 4

f(4) = 8

Xét tính liên tục của hàm số tại (x = 4).

Đáp án bài tập tự luyện hàm số liên tục tại một điểm:

Bài 1: Không liên tục tại (x = 2).

Bài 2: Liên tục tại (x = 1).

Bài 3: Liên tục tại x = 4.

Bài tập hàm số liên tục trên tập xác định hoặc trên ℝ

Dấu hiệu nhận diện

Dạng bài này thường có các yêu cầu:

• “Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định.”

• “Xét tính liên tục của hàm số trên ℝ.”

• “Chứng minh hàm số liên tục trên ℝ.”

Điểm quan trọng là không nhất thiết phải tính giới hạn tại mọi điểm. Trước hết cần xác định những điểm có khả năng xảy ra gián đoạn.

Hàm số chỉ có một công thức

Với hàm số được cho bởi một công thức, thực hiện theo các bước:

Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số.

Bước 2: Dựa vào các định lí về tính liên tục để kết luận trên từng khoảng thuộc tập xác định.

• Hàm đa thức liên tục trên ℝ.

• Các phép cộng, trừ, nhân của các hàm liên tục vẫn cho hàm liên tục.

• Hàm phân thức liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định.

Với hàm phân thức:

f(x) = \(\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}\)

cần tìm nghiệm của:

Q(x) = 0

Sau đó chia tập xác định thành các khoảng bởi các nghiệm này và kết luận hàm số f(x) liên tục trên từng khoảng.

Hàm số cho bởi nhiều công thức

Với hàm số từng đoạn:

Bước 1: Chứng minh mỗi nhánh liên tục trên khoảng tương ứng.

Bước 2: Xác định các điểm nối giữa các nhánh.

Bước 3: Tại mỗi điểm nối x₀, tính:

limₓ→ₓ₀⁻ f(x)

limₓ→ₓ₀⁺ f(x)

và

f(x₀)

Bước 4: So sánh:

limₓ→ₓ₀⁻ f(x) = limₓ→ₓ₀⁺ f(x) = f(x₀)

Nếu đúng, hàm số f(x) liên tục tại điểm nối x₀.

Ví dụ 1: Hàm phân thức

Xét tính liên tục của hàm số:

f(x) = \(\frac{\left(x^2+1\right)}{\left(x-2\right)}\)

trên tập xác định của nó.

Bước 1: Tập xác định

Điều kiện:

x − 2 ≠ 0

Suy ra:

x ≠ 2

Vậy:

D = ℝ \ {2}

Bước 2: Xét tính liên tục

Tử số x² + 1 và mẫu số x − 2 đều là đa thức nên liên tục trên ℝ.

Do đó hàm phân thức liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định.

Vì:

D = (−∞; 2) ∪ (2; +∞)

nên hàm số trên liên tục trên từng khoảng (−∞; 2) và (2; +∞).

Kết luận:

f(x) liên tục trên D = ℝ \ {2}.

Ví dụ 2: Hàm số từng đoạn

Cho hàm số:

f(x) = x + 2, khi x < 1

f(x) = x², khi x ≥ 1

Xét tính liên tục của hàm số trên ℝ.

Bước 1: Xét từng nhánh

Hàm số y = x + 2 liên tục trên (−∞; 1).

Hàm số y = x² liên tục trên [1; +∞).

Vì vậy chỉ cần kiểm tra tại điểm nối:

x₀ = 1

Bước 2: Tính giới hạn trái

limₓ→₁⁻ f(x) = limₓ→₁⁻ (x + 2) = 3

Bước 3: Tính giới hạn phải

limₓ→₁⁺ f(x) = limₓ→₁⁺ x² = 1

Vì:

3 ≠ 1

nên:

limₓ→₁ f(x) không tồn tại.

Do đó hàm số không liên tục tại x = 1.

Kết luận:

Hàm số đang xét liên tục trên:

(−∞; 1) ∪ (1; +∞)

nhưng không liên tục tại x = 1, nên không liên tục trên ℝ.

Ví dụ 3: Hàm số gồm ba nhánh

Cho hàm số:

f(x) = x + 1, khi x < 0

f(x) = x² + 1, khi 0 ≤ x < 2

f(x) = 3x − 3, khi x ≥ 2

Xét tính liên tục của hàm số trên ℝ.

Các nhánh đều là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng tương ứng.

Chỉ cần xét hai điểm chuyển:

x = 0 và x = 2.

Tại x = 0

Có:

limₓ→₀⁻ f(x) = limₓ→₀⁻ (x + 1) = 1

limₓ→₀⁺ f(x) = limₓ→₀⁺ (x² + 1) = 1

Vì 0 thuộc nhánh thứ hai:

f(0) = 0² + 1 = 1

Suy ra:

limₓ→₀⁻ f(x) = limₓ→₀⁺ f(x) = f(0) = 1

Vậy hàm số trên liên tục tại x = 0.

Tại x = 2

Có:

limₓ→₂⁻ f(x) = limₓ→₂⁻ (x² + 1) = 5

limₓ→₂⁺ f(x) = limₓ→₂⁺ (3x − 3) = 3

Vì:

5 ≠ 3

nên hàm số không liên tục tại x = 2.

Kết luận:

Hàm số đang xét liên tục trên:

(−∞; 2) ∪ (2; +∞)

nhưng không liên tục tại x = 2.

Bài tập tự luyện hàm số liên tục trên tập xác định hoặc trên ℝ

Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số:

f(x) = \(\frac{\left(2x+1\right)}{\left(x+3\right)}\)

trên tập xác định.

Bài 2. Xét tính liên tục trên ℝ của hàm số:

f(x) = x² + 1, khi x < 2

f(x) = 3x − 3, khi x ≥ 2

Bài 3. Xét tính liên tục trên ℝ của hàm số:

f(x) = x + 2, khi x < 0

f(x) = x² + 2, khi 0 ≤ x < 1

f(x) = 2x + 1, khi x ≥ 1

Bài 4. Xét tính liên tục của hàm số:

f(x) = \(\frac{\left(x^2-4\right)}{\left(x-2\right)}\)

trên tập xác định.

Đáp án bài tập tự luyện hàm số liên tục trên tập xác định hoặc trên ℝ

Bài 1: Hàm số liên tục trên:

ℝ \ {−3}

Bài 2: Hàm số không liên tục tại x = 2.

Bài 3: Hàm số liên tục trên ℝ.

Bài 4: Tập xác định:

D = ℝ \ {2}

Hàm số liên tục trên D.

Bài tập tìm tham số để hàm số liên tục

Đây là dạng bài thường gặp khi đề yêu cầu tìm giá trị của tham số để hàm số được xét liên tục tại một điểm hoặc liên tục trên ℝ.

Ý tưởng chính là biến điều kiện liên tục thành phương trình hoặc hệ phương trình chứa tham số, sau đó giải để tìm tham số.

Tìm tham số để hàm số liên tục tại một điểm

Dấu hiệu nhận diện

Đề bài thường yêu cầu:

• “Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại x = x₀.”

• “Tìm tham số để hàm số f(x) liên tục tại điểm x₀.”

Phương pháp giải

Xác định điểm ghép x₀, sau đó thực hiện:

Bước 1: Tính giới hạn bên trái:

limₓ→ₓ₀⁻ f(x)

Bước 2: Tính giới hạn bên phải:

limₓ→ₓ₀⁺ f(x)

Bước 3: Tính giá trị:

f(x₀)

Bước 4: Lập điều kiện liên tục:

limₓ→ₓ₀⁻ f(x) = limₓ→ₓ₀⁺ f(x) = f(x₀)

Từ đó lập phương trình chứa tham số và giải để tìm tham số.

Ví dụ 1: Tìm tham số để hàm số f(x) liên tục tại một điểm

Cho hàm số:

f(x) = \(\frac{\left(x^2-36\right)}{\left(x-6\right)}\), khi x ≠ 6

f(6) = m

Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại x = 6.

Bước 1: Tính giới hạn

Với x ≠ 6:

\(\frac{\left(x^2-36\right)}{\left(x-6\right)}\) = x + 6

Do đó:

limₓ→₆ f(x) = limₓ→₆ (x + 6) = 12

Bước 2: Tính giá trị hàm số

f(6) = m

Bước 3: Lập điều kiện liên tục

Để hàm số f(x) liên tục tại x = 6, cần:

limₓ→₆ f(x) = f(6)

Suy ra:

12 = m

Vậy:

m = 12

Tìm tham số để hàm số liên tục trên ℝ

Phương pháp giải bài toán tìm tham số để hàm số liên tục trên ℝ

Khi đề yêu cầu hàm số liên tục trên ℝ:

Bước 1: Chứng minh từng nhánh liên tục trên khoảng tương ứng.

Bước 2: Xác định toàn bộ các điểm chuyển giữa các nhánh.

Bước 3: Tại mỗi điểm chuyển, lập điều kiện:

limₓ→ₓ₀⁻ f(x) = limₓ→ₓ₀⁺ f(x) = f(x₀)

Bước 4: Giải phương trình hoặc hệ phương trình để tìm tham số.

Nếu có nhiều điểm chuyển hoặc nhiều tham số, cần đồng thời thỏa mãn tất cả các điều kiện liên tục.

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số hai nhánh liên tục trên ℝ

Cho hàm số:

f(x) = x² + 1, khi x ≤ 1

f(x) = mx + 2, khi x > 1

Tìm m để hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Hai nhánh đều là hàm đa thức nên liên tục trên các khoảng tương ứng.

Chỉ cần xét tại điểm chuyển:

x₀ = 1

Có:

f(1) = 1² + 1 = 2

Giới hạn bên trái:

limₓ→₁⁻ f(x) = limₓ→₁⁻ (x² + 1) = 2

Giới hạn bên phải:

limₓ→₁⁺ f(x) = limₓ→₁⁺ (mx + 2) = m + 2

Để hàm số f(x) liên tục tại x = 1:

2 = m + 2

Suy ra:

m = 0

Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: Tìm a, b để hàm số ba nhánh liên tục trên ℝ

Cho hàm số:

f(x) = x + 1, khi x < 0

f(x) = ax + b, khi 0 ≤ x < 2

f(x) = x + 3, khi x ≥ 2

Tìm a, b để hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Các nhánh đều là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng tương ứng.

Hai điểm cần kiểm tra là:

x = 0 và x = 2.

Tại x = 0

Giới hạn bên trái:

limₓ→₀⁻ f(x) = limₓ→₀⁻ (x + 1) = 1

Giới hạn bên phải:

limₓ→₀⁺ f(x) = limₓ→₀⁺ (ax + b) = b

Giá trị hàm số:

f(0) = b

Điều kiện liên tục:

1 = b

Suy ra:

b = 1

Tại x = 2

Giới hạn bên trái:

limₓ→₂⁻ f(x) = 2a + b

Giới hạn bên phải:

limₓ→₂⁺ f(x) = 2 + 3 = 5

Vì 2 thuộc nhánh thứ ba nên:

f(2) = 5

Điều kiện liên tục:

2a + b = 5

Thay b = 1:

2a + 1 = 5

2a = 4

a = 2

Vậy:

a = 2, b = 1

Bài tập tự luyện tìm tham số để hàm số liên tục trên ℝ

Bài 1. Cho hàm số:

f(x) = \(\frac{\left(x^2-4\right)}{\left(x-2\right)}\), khi x ≠ 2

f(2) = m

Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại x = 2.

Bài 2. Cho hàm số:

f(x) = x², khi x ≤ 1

f(x) = mx + 1, khi x > 1

Tìm m để hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Bài 3. Cho hàm số:

f(x) = 2x + 1, khi x < 0

f(x) = ax + b, khi 0 ≤ x < 1

f(x) = x + 2, khi x ≥ 1

Tìm a, b để hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Đáp án bài tập tự luyện tìm tham số để hàm số liên tục trên ℝ

Bài 1: m = 4

Bài 2: m = 0

Bài 3: a = 2, b = 1

Bài tập chứng minh phương trình có nghiệm bằng tính liên tục

Nhận dạng dạng bài

Dạng bài này thường yêu cầu chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trong một khoảng hoặc đoạn cho trước.

Cách làm quen thuộc là đưa phương trình về dạng:

f(x) = 0

Sau đó sử dụng định lí giá trị trung gian.

Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và:

f(a) · f(b) < 0

thì phương trình:

f(x) = 0

có ít nhất một nghiệm c ∈ (a; b).

Quy trình giải

Khi gặp dạng bài này, thực hiện theo 6 bước:

Bước 1. Đưa phương trình về dạng:

f(x) = 0

Bước 2. Chọn đoạn [a; b] phù hợp.

Bước 3. Chứng minh f(x) liên tục trên [a; b].

Bước 4. Tính f(a) và f(b).

Bước 5: Chứng minh

f(a) · f(b) < 0

Bước 6: Kết luận phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong (a; b).

Lưu ý: Phương pháp này chỉ giúp đảm bảo phương trình có ít nhất 1 nghiệm, không tự động khẳng định có 1 nghiệm duy nhất

Ví dụ 1

Chứng minh phương trình:

x³ + x − 1 = 0

có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1).

Giải

Đặt:

f(x) = x³ + x − 1

Hàm số f(x) là đa thức nên liên tục trên ℝ, do đó liên tục trên đoạn [0; 1].

Có:

f(0) = −1

f(1) = 1

Suy ra:

f(0) · f(1) = −1 < 0

Theo định lí giá trị trung gian, tồn tại c ∈ (0; 1) sao cho:

f(c) = 0

Vậy phương trình:

x³ + x − 1 = 0

có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1).

Ví dụ 2. Bài vận dụng có tham số

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình:

x³ − 3x + m = 0

có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0; 1].

Giải

Đặt:

f(x) = x³ − 3x + m

Đây là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ, do đó liên tục trên [0; 1].

Có:

f(0) = m

f(1) = m − 2

Để phương trình có nghiệm trong [0; 1], có thể sử dụng điều kiện:

f(0) · f(1) ≤ 0

Suy ra:

m(m − 2) ≤ 0

Do đó:

0 ≤ m ≤ 2

Vậy với:

m ∈ [0; 2]

phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc [0; 1].

Bài tập tự luyện chứng minh phương trình có nghiệm bằng tính liên tục

Câu 1. Chứng minh phương trình:

x³ + 2x − 1 = 0

có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1).

Câu 2. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình:

x³ + x + m = 0

có ít nhất một nghiệm thuộc [−1; 0].

Câu 3. Chứng minh phương trình:

x⁴ + x − 2 = 0

có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 2).

Đáp án chứng minh phương trình có nghiệm bằng tính liên tục

Câu 1:

Đặt f(x) = x³ + 2x − 1. Hàm số f(x) liên tục trên [0; 1], f(0) = −1, f(1) = 2, nên phương trình có ít nhất một nghiệm trong (0; 1).

Câu 2:

Đặt f(x) = x³ + x + m.

f(−1) = m − 2

f(0) = m

Điều kiện:

(m − 2)m ≤ 0

Suy ra:

0 ≤ m ≤ 2.

Câu 3:

Đặt f(x) = x⁴ + x − 2. Hàm số f(x) liên tục trên [0; 2].

f(0) = −2

f(2) = 16

Vì:

f(0) · f(2) < 0

nên phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 2).

Bài tập hàm số liên tục vận dụng và nâng cao

Ở mức vận dụng và nâng cao, bài toán thường kết hợp nhiều kiến thức về tập xác định, giới hạn, tính liên tục và tham số. Tuy nhiên, các bước giải vẫn dựa trên những kiến thức đã học trong chương trình Toán 11 Kết nối tri thức.

Kết hợp nhiều điểm gián đoạn

Với hàm số có ba nhánh, thường xuất hiện hai điểm nối. Muốn hàm số liên tục trên ℝ, cần xét tính liên tục tại từng điểm nối và lập hệ phương trình theo các tham số.

Ví dụ

Cho hàm số:

f(x) = x + 1, khi x < 0

f(x) = ax + b, khi 0 ≤ x < 2

f(x) = x + 3, khi x ≥ 2

Tìm a, b để hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Giải

Mỗi nhánh đều là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng tương ứng.

Chỉ cần xét tại hai điểm nối:

x = 0 và x = 2.

Tại x = 0:

Có:

limₓ→₀⁻ f(x) = 1

f(0) = b

limₓ→₀⁺ f(x) = b

Để hàm số f(x) liên tục tại x = 0, cần:

b = 1

Tại x = 2:

Có:

limₓ→₂⁻ f(x) = 2a + b

f(2) = 5

limₓ→₂⁺ f(x) = 5

Do đó:

2a + b = 5

Thay b = 1, thu được:

2a + 1 = 5

Suy ra:

a = 2

Vậy:

a = 2, b = 1

thì hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Bài tập tự luyện

Cho hàm số:

f(x) = 2x − 1, khi x < 1

f(x) = ax + b, khi 1 ≤ x < 3

f(x) = x + 5, khi x ≥ 3

Tìm a, b để hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Đáp án bài tập tự luyện

Tại x = 1:

a + b = 1

Tại x = 3:

3a + b = 8

Giải hệ:

a = \(\frac72\)

b = \(-\frac52\)

Vậy:

a = \(\frac72\), b = \(-\frac52\)

Hàm phân thức kết hợp hàm từng đoạn

Dạng này thường có một nhánh là hàm phân thức, đồng thời xuất hiện điểm nối với một nhánh khác. Cần kết hợp điều kiện xác định của hàm phân thức với điều kiện liên tục tại điểm nối.

Ví dụ

Cho hàm số:

f(x) = \(\frac{\left(x^2-1\right)}{\left(x-1\right)}\), khi x ≠ 1

f(x) = ax + 2, khi x = 1

Tìm a để hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

Giải

Tại x ≠ 1, hàm phân thức liên tục trên tập xác định.

Có:

limₓ→₁ f(x) = limₓ→₁ \(\frac{\left(x^2-1\right)}{\left(x-1\right)}\)

Với x ≠ 1:

\(\frac{\left(x^2-1\right)}{\left(x-1\right)}\) = x + 1

Do đó:

limₓ→₁ f(x) = 2

Mặt khác:

f(1) = a + 2

Để hàm số f(x) liên tục tại x = 1, cần:

f(1) = limₓ→₁ f(x)

Suy ra:

a + 2 = 2

Vậy:

a = 0

Bài tập tự luyện

Cho hàm số:

f(x) = \(\frac{\left(x^2-4\right)}{\left(x-2\right)}\), khi x ≠ 2

f(x) = ax + 1, khi x = 2

Tìm a để hàm số f(x) liên tục tại x = 2.

Đáp án bài tập tự luyện

Có:

\(\frac{\left(x^2-4\right)}{\left(x-2\right)}\) = x + 2 với x ≠ 2

Do đó:

limₓ→₂ f(x) = 4

Mặt khác:

f(2) = 2a + 1

Điều kiện liên tục:

2a + 1 = 4

Suy ra:

a = \(\frac32\)

Tìm điều kiện tham số để hàm số liên tục trên ℝ

Dạng này yêu cầu không chỉ kiểm tra một điểm mà phải đảm bảo hàm số được xét liên tục tại tất cả các điểm trên ℝ.

Với hàm từng đoạn, cần:

• Kiểm tra tính liên tục của từng nhánh.

• Xác định tất cả điểm nối.

• Lập điều kiện liên tục tại từng điểm nối.

• Giải hệ điều kiện theo tham số.

Ví dụ

Cho hàm số:

f(x) = x² + 1, khi x ≤ 1

f(x) = mx + n, khi 1 < x ≤ 2

f(x) = 3x + m, khi x > 2

Tìm m, n để hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Giải

Các nhánh đều là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng tương ứng.

Chỉ cần xét tại:

x = 1 và x = 2.

Tại x = 1:

Có:

f(1) = 2

và:

limₓ→₁⁺ f(x) = m + n

Do đó:

m + n = 2  (1)

Tại x = 2:

Có:

limₓ→₂⁻ f(x) = 2m + n

và:

limₓ→₂⁺ f(x) = 6 + m

Để hàm số f(x) liên tục tại x = 2:

2m + n = 6 + m

Suy ra:

m + n = 6  (2)

Từ (1) và (2), nhận thấy:

2 = 6

điều này vô lý.

Vậy không tồn tại cặp (m; n) để hàm số f(x) liên tục trên toàn ℝ.

Lưu ý: Đây là dạng nâng cao quan trọng. Không phải bài tìm tham số nào cũng có nghiệm. Sau khi lập hệ, cần kiểm tra xem hệ có thực sự có nghiệm hay không.

Bài tập tự luyện

Cho hàm số:

f(x) = x + 2, khi x < 0

f(x) = ax + b, khi 0 ≤ x < 1

f(x) = 2x + a, khi x ≥ 1

Tìm a, b để hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Đáp án bài tập tự luyện

Tại x = 0:

b = 2

Tại x = 1:

a + b = 2 + a

Suy ra:

b = 2

Vậy a tùy ý và:

b = 2

Kết hợp giới hạn và tính liên tục

Một số bài yêu cầu sử dụng kết quả của giới hạn để thiết lập điều kiện liên tục. Điểm quan trọng là phân biệt:

Tính giới hạn: xác định giá trị mà f(x) tiến tới.

Tính liên tục: cần thêm điều kiện giá trị đó bằng f(x₀).

Ví dụ

Cho hàm số:

f(x) = \(\frac{\left(x^2+ax+2\right)}{\left(x-1\right)}\), khi x ≠ 1

f(1) = 4

Tìm a để hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

Giải

Muốn hàm số f(x) liên tục tại x = 1, cần:

limₓ→₁ f(x) = f(1) = 4

Để giới hạn hữu hạn tồn tại, tử số phải bằng 0 tại x = 1:

1 + a + 2 = 0

Suy ra:

a = −3

Khi đó:

x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2)

Do đó, với x ≠ 1:

f(x) = x − 2

Suy ra:

limₓ→₁ f(x) = −1

Nhưng:

f(1) = 4

Vì:

−1 ≠ 4

nên hàm số không thể liên tục tại x = 1.

Vậy không tồn tại giá trị a để hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

Lưu ý: Với dạng này, không nên dừng lại ngay sau khi tìm được tham số làm cho giới hạn tồn tại. Sau đó vẫn phải kiểm tra điều kiện limₓ→ₓ₀ f(x) = f(x₀).

Bài tập tự luyện

Cho hàm số:

f(x) = \(\frac{\left(x^2+ax-2\right)}{\left(x-2\right)}\), khi x ≠ 2

f(2) = 5

Tìm a để hàm số f(x) liên tục tại x = 2.

Đáp án bài tập tự luyện

Để giới hạn hữu hạn tại x = 2, cần:

4 + 2a − 2 = 0

Suy ra:

a = −1

Khi đó:

x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1)

nên:

limₓ→₂ f(x) = 3

Trong khi:

f(2) = 5

Hai giá trị không bằng nhau nên không tồn tại a để hàm số liên tục tại x = 2.

Chứng minh phương trình có nghiệm khi chưa cho sẵn khoảng

Đây là dạng vận dụng cao hơn của định lí giá trị trung gian.

Đề bài không cho sẵn đoạn [a; b], vì vậy cần tự chọn hai giá trị a, b sao cho:

f(a) · f(b) < 0

Sau đó chứng minh f(x) liên tục trên [a; b].

Ví dụ

Chứng minh phương trình:

x³ − 2x − 1 = 0

có ít nhất một nghiệm.

Giải

Đặt:

f(x) = x³ − 2x − 1

Đây là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ.

thử chọn hai giá trị đơn giản:

f(1) = 1 − 2 − 1 = −2

f(2) = 8 − 4 − 1 = 3

Suy ra:

f(1) · f(2) = −6 < 0

Vì f(x) liên tục trên [1; 2], theo định lí giá trị trung gian, tồn tại:

c ∈ (1; 2)

sao cho:

f(c) = 0

Do đó phương trình:

x³ − 2x − 1 = 0

có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2).

Cách chọn khoảng: Ưu tiên thử các giá trị đơn giản như −1, 0, 1, 2. Mục tiêu không phải tìm nghiệm chính xác mà là tìm được hai giá trị cho kết quả trái dấu.

Bài tập tự luyện

Chứng minh phương trình:

x³ − x − 1 = 0

có ít nhất một nghiệm.

Đáp án bài tập tự luyện

Đặt:

f(x) = x³ − x − 1

Có:

f(1) = −1

f(2) = 5

Suy ra:

f(1) · f(2) = −5 < 0

Vì f(x) liên tục trên [1; 2], phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2).

Bài tập hàm số liên tục lớp 11 tổng hợp

Kiểm tra điều kiện hàm số liên tục tại một điểm (nhận biết)

Câu 1. Kiểm tra tính liên tục tại một điểm

Cho hàm số:

f(x) = \(\frac{\left(x^2-4\right)}{\left(x-2\right)}\), khi x ≠ 2

f(2) = 5

Hàm số có liên tục tại x = 2 không?

A. Có, vì f(2) = 5.
B. Có, vì giới hạn bằng 5.
C. Không, vì limₓ→₂ f(x) ≠ f(2).
D. Không, vì hàm số không xác định tại x = 2.

Câu 2. Kiểm tra tính liên tục tại điểm ghép

Cho hàm số:

f(x) = x + 2, khi x < 1

f(x) = x², khi x ≥ 1

Khẳng định nào đúng?

A. Hàm số liên tục tại x = 1.
B. Hàm số không liên tục tại x = 1 vì giới hạn trái và phải khác nhau.
C. Hàm số không xác định tại x = 1.
D. Hàm số liên tục trên ℝ.

Câu 3. Điều kiện liên tục

Cho hàm số:

f(x) = x² + 1, khi x < 2

f(x) = ax + 1, khi x ≥ 2

Giá trị của a để hàm số liên tục tại x = 2 là:

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

Xét tính liên tục trên tập xác định hoặc trên ℝ (thông hiểu)

Câu 4. Xét tính liên tục trên tập xác định

Xét tính liên tục của hàm số:

f(x) = \(\frac{\left(x+1\right)}{\left(x-3\right)}\)

trên tập xác định của nó.

Câu 5. Xét tính liên tục trên ℝ

Cho hàm số:

f(x) = 2x + 1, khi x < 0

f(x) = x² + 1, khi x ≥ 0

Hàm số có liên tục trên ℝ không? Giải thích.

Câu 6. Hàm số ba nhánh

Cho hàm số:

f(x) = x + 1, khi x < 0

f(x) = x² + 1, khi 0 ≤ x < 2

f(x) = 3x − 3, khi x ≥ 2

Xét tính liên tục của hàm số trên ℝ.

Tìm tham số m, a, b (vận dụng)

Câu 7. Tìm tham số m

Cho hàm số:

f(x) = \(\frac{\left(x^2-64\right)}{\left(x-8\right)}\), khi x ≠ 8

f(8) = m

Tìm m để hàm số liên tục tại x = 8.

Câu 8. Tìm tham số a

Cho hàm số:

f(x) = x² + 2, khi x ≤ 1

f(x) = ax + 3, khi x > 1

Tìm a để hàm số liên tục trên ℝ.

Câu 9. Tìm hai tham số a, b

Cho hàm số:

f(x) = x + 1, khi x < 0

f(x) = ax + b, khi 0 ≤ x < 2

f(x) = x + 3, khi x ≥ 2

Tìm a, b để hàm số liên tục trên ℝ.

Câu 10. Kết hợp giới hạn và tham số

Cho hàm số:

f(x) = \(\frac{\left(x^2+ax-2\right)}{\left(x-2\right)}\), khi x ≠ 2

f(2) = 5

Tìm a để hàm số liên tục tại x = 2.

Chứng minh phương trình có nghiệm (vận dụng)

Câu 11.

Chứng minh phương trình:

x³ + x − 1 = 0

có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 1).

Câu 12.

Chứng minh phương trình:

x³ − 2x − 1 = 0

có ít nhất một nghiệm.

Câu 13.

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình:

x³ + x + m = 0

có ít nhất một nghiệm thuộc [−1; 0].

Bài tổng hợp nhiều nhánh hoặc nhiều điều kiện

Câu 14. Hàm số nhiều nhánh

Cho hàm số:

f(x) = x + 2, khi x < 0

f(x) = ax + b, khi 0 ≤ x < 1

f(x) = 2x + a, khi x ≥ 1

Tìm a, b để hàm số liên tục trên ℝ.

Câu 15. Kết hợp hàm phân thức và hàm từng đoạn

Cho hàm số:

f(x) = \(\frac{\left(x^2-1\right)}{\left(x-1\right)}\), khi x < 1

f(x) = ax + b, khi 1 ≤ x < 2

f(x) = x + 2, khi x ≥ 2

Tìm a, b để hàm số liên tục trên ℝ.

Đáp án bài tập tổng hợp về hàm số liên tục lớp 11

Lời giải chi tiết một số câu tiêu biểu bài tập tổng hợp về hàm số liên tục lớp 11

Câu 3. Tìm tham số để hàm số liên tục

Cho:

f(x) = x² + 1, khi x < 2

f(x) = ax + 1, khi x ≥ 2

Để hàm số liên tục tại x = 2, cần:

limₓ→₂⁻ f(x) = f(2)

Có:

limₓ→₂⁻ f(x) = 2² + 1 = 5

Mặt khác:

f(2) = 2a + 1

Do đó:

2a + 1 = 5

Suy ra:

a = 2

Vậy a = 2.

Câu 6. Xét tính liên tục của hàm số ba nhánh

Có:

f(x) = x + 1, khi x < 0

f(x) = x² + 1, khi 0 ≤ x < 2

f(x) = 3x − 3, khi x ≥ 2

Mỗi nhánh là một hàm đa thức nên liên tục trên khoảng tương ứng.

Chỉ cần kiểm tra tại hai điểm nối x = 0 và x = 2.

Tại x = 0

limₓ→₀⁻ f(x) = 1

limₓ→₀⁺ f(x) = 1

f(0) = 1

Suy ra:

limₓ→₀⁻ f(x) = limₓ→₀⁺ f(x) = f(0)

Vậy hàm số liên tục tại x = 0.

Tại x = 2

limₓ→₂⁻ f(x) = 5

limₓ→₂⁺ f(x) = 3

Vì:

5 ≠ 3

nên hàm số không liên tục tại x = 2.

Kết luận: Hàm số không liên tục trên ℝ.

Câu 9. Tìm hai tham số

Cho:

f(x) = x + 1, khi x < 0

f(x) = ax + b, khi 0 ≤ x < 2

f(x) = x + 3, khi x ≥ 2

Để hàm số liên tục trên ℝ, cần xét tại x = 0 và x = 2.

Tại x = 0

Có:

limₓ→₀⁻ f(x) = 1

f(0) = b

Do đó:

b = 1

Tại x = 2

Có:

limₓ→₂⁻ f(x) = 2a + b

f(2) = 5

Suy ra:

2a + b = 5

Thay b = 1:

2a + 1 = 5

Suy ra:

a = 2

Vậy:

a = 2, b = 1.

Câu 12. Chứng minh phương trình có nghiệm

Xét phương trình:

x³ − 2x − 1 = 0

Đặt:

f(x) = x³ − 2x − 1

Đây là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ.

Đề bài không cho sẵn khoảng, vì vậy chọn hai giá trị đơn giản:

f(1) = 1 − 2 − 1 = −2

f(2) = 8 − 4 − 1 = 3

Suy ra:

f(1) · f(2) = −6 < 0

Vì f(x) liên tục trên [1; 2], theo định lí giá trị trung gian, tồn tại:

c ∈ (1; 2)

sao cho:

f(c) = 0

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc (1; 2).

Câu 15. Bài toán tổng hợp

Cho:

f(x) = \(\frac{\left(x^2-1\right)}{\left(x-1\right)}\), khi x < 1

f(x) = ax + b, khi 1 ≤ x < 2

f(x) = x + 2, khi x ≥ 2

Muốn hàm số liên tục trên ℝ, cần xét tại x = 1 và x = 2.

Tại x = 1

Với x ≠ 1:

\(\frac{\left(x^2-1\right)}{\left(x-1\right)}\) = x + 1

Do đó:

limₓ→₁⁻ f(x) = 2

Mặt khác:

f(1) = a + b

Suy ra:

a + b = 2  (1)

Tại x = 2

Có:

limₓ→₂⁻ f(x) = 2a + b

và:

f(2) = 4

Do đó:

2a + b = 4  (2)

Lấy (2) trừ (1):

a = 2

Thay vào (1):

2 + b = 2

Suy ra:

b = 0

Vậy:

a = 2, b = 0.

Các lỗi thường gặp khi giải bài tập hàm số liên tục

Khi giải bài tập về hàm số liên tục, các lỗi thường xuất hiện ở bước kiểm tra điều kiện, xác định điểm ghép hoặc vận dụng định lí về sự tồn tại nghiệm. Bảng sau tổng hợp các lỗi cần lưu ý.

Tóm lại, bài tập hàm số liên tục lớp 11 tập trung vào bốn dạng chính: xét tính liên tục tại một điểm, xét tính liên tục trên tập xác định hoặc trên \(\mathbb{R}\), tìm tham số để hàm số liên tục và vận dụng tính liên tục để chứng minh phương trình có nghiệm. Khi giải bài tập về hàm số liên tục, cần xác định đúng dạng toán, kiểm tra điều kiện liên tục, tính giới hạn và đối chiếu với giá trị hàm số tại điểm xét.

Với bài toán chứng minh phương trình có nghiệm, cần đồng thời xác định tính liên tục trên đoạn và điều kiện đổi dấu \(f(a)f(b)<0\). Người học có thể tham khảo thêm chuyên đề Toán 11 để hệ thống kiến thức về giới hạn, tính liên tục của hàm số và các dạng bài liên quan.