Bài tập hình học không gian 11 có đáp án từ cơ bản đến nâng cao

Bài tập hình học không gian 11 chương trình mới gồm các dạng tìm giao điểm, giao tuyến, thiết diện; chứng minh song song, vuông góc; tính góc, khoảng cách và thể tích. Bài viết hệ thống các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao, có đáp án và hướng dẫn giải, giúp học sinh rèn kỹ năng vẽ hình, vận dụng định lí và hạn chế lỗi sai khi trình bày lời giải.

Hình học không gian lớp 11 chương trình mới gồm những nội dung nào?

Hình học không gian lớp 11 chương trình mới tập trung vào đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ song song và quan hệ vuông góc. Các dạng bài tập gồm xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện; chứng minh quan hệ hình học; tính góc, khoảng cách và thể tích.

Trong SGK Toán 11 bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, các nội dung này được trình bày ở Chương IV và Chương VII. Bài tập trong mỗi chương có thể trải từ nhận biết đến vận dụng; mức độ phụ thuộc dữ kiện và yêu cầu của từng bài. [1] [2]

Để ôn tập theo chương trình, học sinh có thể xem các chuyên đề Toán 11 tại ZIM Academy.

• Chương IV: Quan hệ song song trong không gian: Bao gồm các khái niệm cơ bản về đường thẳng và mặt phẳng, hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song và phép chiếu song song.

• Chương VII: Quan hệ vuông góc trong không gian: Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, phép chiếu vuông góc, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc, góc nhị diện, khoảng cách và thể tích.

Bài tập hình học không gian 11 về giao tuyến, giao điểm và thiết diện

Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp giải: Tìm hai điểm chung phân biệt thuộc cả hai mặt phẳng. Đường thẳng nối hai điểm chung chính là giao tuyến. [1]

Bài tập mẫu: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là tứ giác lồi, \(AB\not\parallel CD\). Hai điểm \(M,N\) lần lượt nằm trong các cạnh \(SA,SB\) và thỏa mãn \(\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{SN}{SB}=\dfrac25\). Xác định giao tuyến của \((MNC)\) với các mặt phẳng \((SAB),\ (ABCD),\ (SAD)\).

Hướng dẫn giải: Trong tam giác \(SAB\), theo định lí Thalès đảo, \(MN\parallel AB\).

a) Hai điểm \(M,N\) cùng thuộc \((MNC)\) và \((SAB)\), do đó \((MNC)\cap(SAB)=MN\).

b) Gọi \(d\) là đường thẳng qua \(C\) và song song với \(AB\). Hai mặt phẳng \((MNC)\) và \((ABCD)\) phân biệt, cùng chứa điểm \(C\) và lần lượt chứa hai đường thẳng song song \(MN,AB\). Vì vậy \((MNC)\cap(ABCD)=d\).

c) Trong mặt phẳng đáy, gọi \(E=d\cap AD\). Giao điểm này tồn tại vì \(AD\not\parallel AB\). Hai điểm \(M,E\) cùng thuộc \((MNC)\) và \((SAD)\), nên giao tuyến là \(ME\).

Bài tập tự luyện: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Tìm giao tuyến của các mặt phẳng:

a) \((SAD)\) và \((SBC)\);

b) \((SAB)\) và \((MDC)\), với \(M\) nằm trong cạnh \(SA\) (khác \(S,A\)).

Đáp án:

a) Có \(S \in (SAD) \cap (SBC),AD \subset (SAD)\), \(BC \subset (SBC)\) và \(AD\parallel BC\).

Suy ra \((SAD) \cap (SBC) = d\) với \(S \in d\), \(d{{ }}\parallel AD\parallel BC\).

b) Có \(M \in (SAB) \cap (MDC),AB \subset (SAB)\), \(DC \subset (MDC)\) và \(AB\parallel DC\).

Suy ra \((SAB) \cap (MDC) = Mx\) với \(Mx\parallel AB\parallel DC\).

Gọi \(N = SB \cap Mx\).

Khi đó \((SAB) \cap (MDC) = MN\).

Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp giải:

• Trường hợp 1. Nếu trong \(\left( P \right)\) có sẵn một đường thẳng \(d'\) cắt \(d\) tại \(M\), khi đó

\[\left\{ \begin{array}{l} M \in d\\ M \in d' \subset \left( P \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} M \in d\\ M \in \left( P \right) \end{array} \right. \Rightarrow M = d \cap \left( P \right)\]

• Trường hợp 2. Nếu trong \(\left( P \right)\) chưa có sẵn \(d'\) cắt \(d\) thì ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Chọn một mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa \(d\)

Bước 2: Tìm giao tuyến \(\Delta = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\)

Bước 3: Trong \(\left( Q \right)\) gọi \(M = d \cap \Delta\) thì \(M\) chính là giao điểm của \(d \cap \left( P \right)\).

Bài tập mẫu: Cho hình chóp \(S.ABC\). Hai điểm \(M,N\) nằm trong các cạnh \(SA,SC\) sao cho \(MN\not\parallel AC\). Đặt \(D=MN\cap AC\). Chọn \(O\) trong tam giác \(ABC\) sao cho \(OD\) không song song với \(AB\) hoặc \(BC\). Tìm giao điểm của \(AC,BC,AB\) với \((OMN)\).

Hướng dẫn giải

- Trong mặt phẳng \((SAC)\), gọi \(D\) là giao điểm của \(MN\) và \(AC\).

Có\(D \in MN\) và \(MN \subset (OMN)\), suy ra \(D \in (OMN)\).

Vậy \(D\) là giao điểm của đường thẳng \(AC\) và mặt phẳng \((OMN)\).

Trong mặt phẳng \((ABC)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(OD\) và \(BC\). Ta có \(E \in OD\) và \(OD \subset (OMN)\), suy ra \(E \in (OMN)\).

Vậy \(E\) là giao điểm của đường thẳng \(BC\) và mặt phẳng \((OMN)\).

Trong mặt phẳng \((ABC)\), gọi \(F\) là giao điểm của \(OD\) và \(AB\). Ta có \(F \in OD\) và \(OD \subset (OMN)\), suy ra \(F \in (OMN)\). Vậy \(F\) là giao điểm của đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \((OMN)\).

Bài tập tự luyện: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang với \(AD\parallel BC,\ AD>BC\). Hai điểm \(E,F\) nằm trong \(SB,SD\), thỏa mãn \(SE/SB=1/3,\ SF/SD=2/3\).

a) Tìm giao điểm của \(EF\) với \((SAC)\).

b) Tìm giao điểm của \(BC\) với \((AEF)\).

Đáp án:

a) Trong mặt phẳng \((ABCD)\), gọi \(O = AC \cap BD\).

Suy ra \(SO = (SAC) \cap (SBD)\). Trong mặt phẳng \((SBD)\), gọi \(I = EF \cap SO\). Vậy \(EF \cap (SAC) = I\).

b) Trong mặt phẳng \((SBD)\), gọi \(K = EF \cap BD\). Suy ra \(AK = (ABCD) \cap (AEF)\). Trong mặt phẳng \((ABCD)\), gọi \(H = BC \cap AK\). Vậy \(BC \cap (AEF) = H\).

Dạng 3: Xác định thiết diện của hình chóp bị cắt bởi một mặt phẳng

Phương pháp giải: Lần lượt tìm giao tuyến của mặt phẳng cắt với các mặt của hình chóp cho đến khi tạo thành đa giác khép kín

Bài tập mẫu: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang lồi, \(AD\parallel BC,\ AD>BC\). Điểm \(P\) nằm trong cạnh \(SD\). Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng \((PAB)\).

Hướng dẫn giải

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(E = AB \cap CD.\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) gọi \(Q = SC \cap EP.\)

Có \(E \in AB\) nên \(EP \subset \left( {ABP} \right) \Rightarrow Q \in \left( {ABP} \right)\), do đó \(Q = SC \cap \left( {ABP} \right)\).

Thiết diện là tứ giác \(ABQP\).

Bài tập tự luyện: Cho tứ diện \(ABCD\) có \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB, CD\) và \(P\) là một điểm thuộc cạnh \(BC\) (\(P\) không là trung điểm của \(BC\)). Tìm thiết diện của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\).

Điểm P nằm trong cạnh BC và khác trung điểm BC; các giao điểm trong lời giải được lấy trên đường thẳng kéo dài khi cần.

Điểm P nằm trong cạnh BC và khác trung điểm BC; các giao điểm trong lời giải được lấy trên đường thẳng kéo dài khi cần.

Đáp án:

Gọi \(Q = NP \cap BD\). Gọi \(R = QM \cap AD\). Suy ra: \(Q \in \left( {MNP} \right)\) và \(R \in \left( {MNP} \right)\).

Vậy thiết diện của tứ diện bị cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) là tứ giác \(MRNP\).

Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải: Chứng minh các điểm cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng; chứng minh hai đường thẳng cắt nhau tại điểm \(I\) rồi chứng minh \(I\) thuộc đường thứ ba. [1]

Khi tìm giao tuyến theo phương song song, có thể liên hệ các tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng.

Bài tập mẫu: Cho hình chóp \(S.ABC\). Gọi \(D,E,F\) lần lượt là ba điểm trên ba cạnh \(SA,SB,SC\) sao cho \(DE\) cắt \(AB\) tại \(I,EF\) cắt \(BC\) tại \(J,FD\) cắt \(CA\) tại \(K\). Chứng minh ba điểm \(I,J,K\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Có \(I = DE \cap AB\), suy ra:\(I \in DE\), suy ra \(I \in (DEF)\); \(I \in AB\), suy ra \(I \in (ABC)\).

Tương tự, Có \(J,K\) cũng thuộc hai mặt phẳng \((DEF),(ABC)\).

Vậy \(I,J,K\) thẳng hàng.

Bài tập tự luyện: Cho tứ diện \(ABCD\). Các điểm \(E,F,G\) nằm trong \(AB,AC,BD\) sao cho \(I=EF\cap BC\) và \(H=EG\cap AD\) đều tồn tại. Giả sử \(HF\not\parallel CD\). Chứng minh \(CD,IG,HF\) đồng quy.

Đáp án:

Trong mặt phẳng \((ACD)\), gọi \(O=HF\cap CD\); giao điểm tồn tại theo giả thiết. Vì \(H,F\) cùng thuộc \((EFG)\), nên \(O\) thuộc \((EFG)\). Mặt khác, \(O\) thuộc \(CD\) nên thuộc \((BCD)\).

Hai mặt phẳng \((EFG)\) và \((BCD)\) phân biệt, cùng chứa hai điểm \(I,G\), nên có giao tuyến \(IG\). Suy ra \(O\) thuộc \(IG\). Vậy \(CD,IG,HF\) đồng quy tại \(O\).

Bài tập về quan hệ song song trong không gian

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng song song

Phương pháp: Dùng đường trung bình, định lý Ta-lét hoặc định lý giao tuyến của ba mặt phẳng.

Bài tập mẫu: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(I,J\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA\) và \(SB\). Chứng minh rằng \(IJ\parallel AB\), từ đó suy ra \(IJ\parallel CD\).

Hướng dẫn giải

Vì \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SB\) nên \(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\).

Do đó, \(IJ\parallel AB\).

Mà \(AB\parallel CD\) nên \(IJ\parallel CD\) (vì cùng song song với đường thẳng \(AB\))

Bài tập tự luyện: Cho hình chóp\(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là một hình thang với đáy lớn \(AB\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA,SB\).

a) Chứng minh \(MN\) song song với \(CD\).

b) Gọi \(P\) là giao điểm của đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((ADN),I\) là giao điểm của \(AN\) và \(DP\). Chứng minh \(SI\) song song với \(CD\).

Đáp án:

a) Có \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\) nên \(MN\parallel AB\). Mà \(ABCD\) là hình thang nên \(AB\parallel CD\).

Suy ra \(MN\parallel AB\parallel CD\). Vậy \(MN\parallel CD\).

b) Trong mặt phẳng \(\left(ABCD\right)\) gọi \(E\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\). Trong mặt phẳng \((SBC)\), gọi \(P\) là giao điểm của \(SC\) và \(EN\).

Có: \(E \in AD\) và \(AD \subset (ADN)\), suy ra \(EN \subset (ADN)\);

\(P \in EN\) và \(EN \subset (ADN)\), suy ra \(P \in (ADN)\). Vậy \(P = SC \cap (ADN)\).

Do \(I = AN \cap DP\), suy ra \(I \in AN\).

Có: \(I \in AN\) và \(AN \subset (SAB);I \in DP\) và \(DP \subset (SCD)\).

Suy ra \(I \in (SAB) \cap (SCD)\). Do đó \(SI = (SAB) \cap (SCD)\)

Có \(AB \subset (SAB);CD \subset (SCD);(SAB) \cap (SCD) = SI\). Mà \(AB\parallel CD\). Suy ra \(SI\parallel CD\).

Dạng 2: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Phương pháp: Chứng minh đường thẳng \(d \not\subset (\alpha)\) song song với một đường thẳng \(d' \subset (\alpha)\). [1]

Bài tập mẫu: Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(I,J\) lần lượt là trọng tâm của hai tam giác \(ABC , ACD\). Chứng minh rằng \(IJ\parallel(BCD)\)

Hướng dẫn giải

Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CD\).

Suy ra \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\). Suy ra \(MN\parallel BD\). (1)

Mặt khác, \(I,J\) lần lượt là trọng tâm của tam giác \(ABC\) và \(ACD\) nên \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\)

Theo định lí Thalès đảo trong tam giác \(AMN\), ta có \(IJ\parallel MN\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(IJ\parallel BD\).

Mà \(BD \subset (BCD)\) nên \(IJ\parallel(BCD)\).

Điều kiện ngoài mặt phẳng: \(I\) nằm trong tam giác \(ABC\) và không thuộc \(BC\), nên \(I\notin(BCD)\). Vì vậy \(IJ\not\subset(BCD)\), đủ điều kiện kết luận \(IJ\parallel(BCD)\).

Bài tập tự luyện: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang, đáy nhỏ \(AB = a\), đáy lớn \(CD = 2a\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(SC\). Chứng minh rằng \(BE\parallel(SAD)\).

Đáp án:

Gọi \(F\) là trung điểm của \(SD\).\(EF\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\).

Suy ra \(EF\parallel CD\) và \(EF = \frac{1}{2}CD\).

Mà \(AB\parallel CD\) và \(AB = \frac{1}{2}CD\). Do đó, \(EF\parallel AB\) và \(EF = AB\) hay \(ABEF\) là hình bình hành.

Suy ra \(BE\parallel AF\). Mà \(AF \subset (SAD)\). Vậy \(BE\parallel(SAD)\).

Vì \((SAD)\cap(ABCD)=AD\) và \(B\notin AD\), nên \(B\notin(SAD)\). Do đó \(BE\) không nằm trong \((SAD)\).

Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng song song

Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng \((\alpha)\) chứa hai đường thẳng cắt nhau \(a, b\) cùng song song với mặt phẳng \((\beta)\).

Các điều kiện và hệ quả được hệ thống trong chuyên đề hai mặt phẳng song song.

Bài tập mẫu: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\), gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SD\). Chứng minh \((OMN)\parallel(SBC)\).

Hướng dẫn giải

Có \(MO\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\), suy ra \(MO\parallel SC\). Do đó \(MO\parallel(SBC)\). (1)

Có \(NO\) là đường trung bình của tam giác \(SDB\), suy ra \(NO\parallel SB\). Do đó \(NO\parallel(SBC)\). (2)

Mặt khác, \(NO \cap MO = O\) và \(NO,MO \subset (OMN)\). (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \((OMN)\parallel(SBC)\).

Bài tập tự luyện: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O.\) Gọi \(M,N, P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, CD, SA\). Chứng minh rằng mặt phẳng \(\left( {DMP} \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( {SBN} \right)\)

Đáp án:

Vì \(M,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,SA\) nên \(MP\parallel SB \Rightarrow MP\parallel\left( {SBN} \right)\)

Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,CD\) và \(ABCD\) là hình bình hành nên \(DM\parallel NB \Rightarrow DM\parallel\left( {SBN} \right).\)

Hai đường thẳng \(MP,MD\) cắt nhau tại \(M\) và cùng nằm trong \((DMP)\). Vì \(M\notin(SBN)\), các quan hệ song song vừa chứng minh cho phép kết luận \((DMP)\parallel(SBN)\).

Dạng 4: Hình biểu diễn qua phép chiếu song song

Phương pháp: Bảo toàn tính song song, tỉ số độ dài trên cùng đường thẳng; nét thấy vẽ liền, nét khuất vẽ đứt

Bài tập mẫu: Vẽ hình biểu diễn hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang (\(AB \parallel CD, AB = 2CD\)).

Hướng dẫn: Vẽ \(AB,CD\) thành hai đoạn song song với \(AB=2CD\); chọn đỉnh \(S\) ngoài mặt phẳng đáy rồi nối với các đỉnh. Tùy hướng quan sát, dùng nét liền cho cạnh thấy và nét đứt cho cạnh khuất. Hình biểu diễn không nhất thiết giữ nguyên góc hoặc độ dài giữa các đường không cùng phương.

Bài tập về quan hệ vuông góc trong không gian

Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp: Đưa hai đường thẳng về hai đường cắt nhau có phương tương ứng song song, rồi chứng minh góc giữa chúng bằng \(90^\circ\). Hai đường thẳng vuông góc trong không gian có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Bài tập mẫu: Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Chứng minh \(AB\) vuông góc \(B'C'\)

Hướng dẫn giải

Có \(AB\parallel A'B'\) mà \(\widehat {\left( {A'B',B'C'} \right)} = 90^\circ\) nên \(\widehat {\left( {AB,B'C'} \right)} = 90^\circ\)

Vậy \(AB \bot B'C'\)

Bài tập tự luyện: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(\;a\) và các cạnh bên đều bằng \(a\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AD\) và \(SD.\) Số đo của góc \(\left( {MN,{}SC} \right)\) bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Có: \(MN\parallel SA \Rightarrow \left( {MN,SC} \right) = \left( {SA,SC} \right)\).

Mặt khác, có: \(AC = a\sqrt 2\). Xét \(\Delta SAC\), nhận thấy: \(A{C^2} = S{A^2} + S{C^2}\).

Theo định lí Pitago đảo, \(\Delta SAC\) vuông tại \(S\) Suy ra: \(\angle ASC = {90^0}\) hay\(\left( {MN,SC} \right) = \left( {SA,SC} \right) = {90^0}\).

Dạng 2: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp: Chứng minh đường thẳng \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng chứa trong mặt phẳng \(\left( P \right).\) [2]

Để kiểm tra góc vuông từ độ dài cạnh, học sinh có thể vận dụng định lí Pythagore đảo trong mặt phẳng chứa tam giác đang xét.

Bài tập mẫu: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt đáy. Gọi \(H,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(SB,SD.\)

a) Chứng minh \(AK \bot \left( {SCD} \right).\)

b) Chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right).\)

c) Chứng minh \(SC \bot \left( {AHK} \right).\)

Hướng dẫn giải

a) Có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow CD \bot SA.\)

\(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(CD \bot AD.\)

Suy ra \(CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AK.\)

Mặt khác, có \(AK \bot SD.\) Suy ra \(AK \bot \left( {SCD} \right).\)

Trong \((SCD)\), hai đường \(SD,CD\) cắt nhau tại \(D\).

b) Có \(CB \bot SA\) (do \(SA\) vuông góc với đáy)

\(CB \bot AB\) (do \(ABCD\) là hình chữ nhật).

Suy ra \(CB \bot \left( {SAB} \right).\)

Mà \(AH \subset \left( {SAB} \right)\) nên \(CB \bot AH.\)

Mặt khác, có \(AH \bot SB.\) Suy ra \(AH \bot \left( {SBC} \right).\)

Trong \((SBC)\), hai đường \(SB,BC\) cắt nhau tại \(B\).

c) Có \(AK \bot \left( {SCD} \right)\) suy ra \(AK \bot SC.\)

\(AH \bot \left( {SCB} \right)\) suy ra \(AH \bot SC.\)

Hai đường \(AH,AK\) phân biệt và cắt nhau tại \(A\), cùng thuộc \((AHK)\). Vì \(SC\) vuông góc với cả hai đường này, suy ra \(SC\perp(AHK)\).

Bài tập tự luyện: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi, có \(SA\) vuông góc \(\left( {ABCD} \right).\) Gọi \(H\) và \(K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên cạnh \(SB\) và \(SD.\) Chứng minh rằng \(HK \bot \left( {SAC} \right).\)

Đáp án:

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\)

Có \(S{A^2} = SH.SB \Rightarrow \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}}\left( 1 \right).\)

Xét \(\Delta SAD\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AK.\)

Có \(S{A^2} = SK.SD \Rightarrow \frac{{SK}}{{SD}} = \frac{{S{A^2}}}{{S{D^2}}}\left( 2 \right).\)

Mà \[\left\{ \begin{array}{l} S{B^2} = S{A^2} + A{B^2}\\ S{D^2} = S{A^2} + A{D^2}\\ AB = AD \end{array} \right. \Rightarrow SB = SD\left( 3 \right).\]

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) suy ra \(\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{SD}} \Rightarrow HK\parallel BD.\)

Lại có \(BD \bot AC\) (tính chất hình thoi)

mà \(SA \bot \left( {ABCD} \right),BD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BD \bot SA.\)

Suy ra \(BD \bot \left( {SAC} \right)\) mà \(HK\parallel BD\) nên \(HK \bot \left( {SAC} \right).\)

Dạng 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp: Nếu \(d\perp(P)\) thì góc bằng \(90^\circ\). Nếu \(d\parallel(P)\) hoặc \(d\subset(P)\) thì góc bằng \(0^\circ\). Với đường thẳng cắt và không vuông góc \((P)\), xác định góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của nó trên \((P)\).

Gọi \(I=d\cap(P)\), lấy \(A\) thuộc \(d\) khác \(I\), hạ \(AH\perp(P)\). Khi đó góc cần tìm là \(\angle AIH\); dùng tam giác vuông \(AIH\) để tính.

Bài tập mẫu: Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left(ABC\right)\) trùng với trung điểm \(H\) của cạnh \(BC\). Biết tam giác \(SBC\) là tam giác đều. Số đo của góc giữa \(SA\) và \(\left(ABC\right)\).

Hướng dẫn giải

Có \(SH \bot \left( {ABC} \right).\)

\(\Rightarrow \widehat {\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SAH} = \alpha\)

Tam giác ABC và tam giác SBC là hai tam giác đều cạnh a nên \(AH = SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Suy ra tam giác SHA vuông cân tại \(H \Rightarrow \alpha = {45^o}.\)

Bài tập tự luyện : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tam giác ABC đều cạnh \(a,AA' = \sqrt 3 a.\) Tính góc giữa đường thẳng AB' và (ABC)

Đáp án:

ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng nên AB là hình chiếu vuông góc của AB' trên (ABC).

Suy ra góc giữa đường thẳng AB' và (ABC) bằng \(\widehat {B'AB}.\)

Tam giác \(B'AB\) vuông tại \(B\), do đó \(\tan\angle B\prime AB=\frac{BB\prime}{AB}=\sqrt3\). Vậy góc cần tìm bằng \(60^\circ\).

Dạng 4: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc và góc nhị diện

Phương pháp chứng minh: Chứng minh trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. \(\left\{ \begin{array}{l} a \subset \left( \alpha \right)\\ a \bot \left( \beta \right) \end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)\)

Bài tập mẫu: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh \(SA = a\), đáy hình vuông cạnh \(2{{a}}\), \(SA\bot(ABCD)\)

a) Chứng minh \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).

b) Tính số đo góc phẳng nhị diện \(\left[ {S;BD;A} \right]\)

Hướng dẫn giải

a) Gọi \(\left\{ O \right\} = AC \cap BD.\) Vì ABCD là hình vuông. Suy ra \(AC \bot BD\)

Vì \(SA\bot(ABCD)\) nên \(SA\bot BD.\)

Suy ra \(B{{D}} \bot \left( {SAC} \right)\) mà \(B{{D}} \subset \left( {SB{{D}}} \right)\) nên \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SB{{D}}} \right)\)

b) Có \(B{{D}} \bot \left( {SAC} \right)\) nên \(B{{D}} \bot {{S}}O\) mà \(AO \bot B{{D}}\)

Góc phẳng của nhị diện \([S;BD;A]\) là \(\angle SOA\) vì \(OS\perp BD,\ OA\perp BD\) và các tia \(OS,OA\) lần lượt nằm trong hai nửa mặt phẳng tương ứng. Không đồng nhất góc nhị diện với góc nhọn giữa hai đường thẳng trong mọi trường hợp.

Có \(AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}.2{{a}}\sqrt 2 = a\sqrt 2\)

Xét\(\Delta SOA\) vuông tại \(A\) có \[\begin{aligned}&\tan \widehat {{{S}}OA} = \frac{{SA}}{{AO}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} \\&= \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \widehat {SOA} \approx 35,26^\circ\end{aligned}\].

Bài tập tự luyện: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB = a,AD = a\sqrt 2 ,SA = a\) và\(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SMB} \right)\)

Đáp án:

Gọi I là giao điểm của AC và MB.

Có \(MA = MD\) và \(AD\,\parallel\,BC\) nên áp dụng định lý Talet, suy ra \(AI = \frac{1}{2}IC.\)

\[A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = 3{a^2},A{I^2} = \frac{1}{9}A{C^2} = \frac{{{a^2}}}{3}.\]

\[\begin{aligned} & M{I^2}=\frac{1}{9}M{B^2}\\ & =\frac{1}{9}\left[{{{\left( {\frac{{a\sqrt2 }}{2}} \right)}^2} + {a^2}}\right]\\ & =\frac{{{a^2}}}{6}.\end{aligned}\]

Từ đó suy ra \[\begin{aligned}&A{I^2} + M{I^2} = \frac{{{a^2}}}{3} + \frac{{{a^2}}}{6} \\&= {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = M{A^2}.\end{aligned}\]

Vậy \(\Delta AMI\) là tam giác vuông tại I. Suy ra \(MB \bot AC\).(1)

Mặt khác \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot MB.\) (2)

Từ (1), (2) suy ra \(MB \bot \left( {SAC} \right).\)

Do \(MB \subset \left( {SMB} \right)\) nên \(\left( {SMB} \right) \bot \left( {SAC} \right).\)

Bài tập hình học không gian 11 nâng cao: khoảng cách và thể tích

Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Phương pháp: Xác định khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) [2]

Khi chuyển khoảng cách giữa hai đường chéo nhau về khoảng cách đường thẳng–mặt phẳng, cần xác lập đúng quan hệ song song giữa đường thẳng và mặt phẳng.

• Bước 1. Xác định hình chiếu H của O trên \(\left( \alpha \right).\)

  • Dựng mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa O và vuông góc với \(\left( \alpha \right).\)

  • Tìm giao tuyến \(\Delta\) của \(\left( P \right)\) và \(\left( \alpha \right)\).

• Kẻ \(OH \bot \Delta \left( {H \in \Delta } \right)\). Khi đó \(d\left( {O;\left( \alpha \right)} \right) = OH.\)

• Bước 2. Tính OH.

Bài tập mẫu: Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\perp(ABC)\), đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA=3a\) với \(a>0\). Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Tính \(d(G,(SBC))\).

Hướng dẫn giải

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\); trong \((SAM)\), hạ \(AH\perp SM\) tại \(H\). Vì \(BC\perp AM,\ BC\perp SA\) và \(AM,SA\) cắt nhau tại \(A\), suy ra \(BC\perp(SAM)\). Do \(AH\) nằm trong \((SAM)\), nên \(AH\perp BC\). Hai đường \(BC,SM\) cắt nhau trong \((SBC)\), do đó \(AH\perp(SBC)\).

Trong tam giác \(SAM\) vuông tại \(A\):

\[AM=\frac{a\sqrt3}{2},\quad SM=\sqrt{SA^2+AM^2}=\frac{a\sqrt{39}}2.\]

\(AH=\frac{SA\cdot AM}{SM}=\frac{3a\sqrt{13}}{13}.\)

Vì \(A,G,M\) thẳng hàng và \(M\) thuộc \((SBC)\), tỉ số khoảng cách bằng \(GM/AM=1/3\). Suy ra:

\(d(G,(SBC))=\frac13 AH=\frac{a\sqrt{13}}{13}.\)

Bài tập tham khảo: Cho hình chóp \(S.ABC\) có SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right),\Delta ABC\) là tam giác vuông tại B, \(AB = a,BC = 2a\). Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^o}\). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\)

Đáp án:

Do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên AB là hình chiếu vuông góc của SB trên \(\begin{aligned}&\left( {ABC} \right) \\&\Rightarrow \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SBA} \\&= {45^o}.\end{aligned}\)

Vậy \(\Delta SAB\) vuông cân tại \(A \Rightarrow SA = AB = a.\)

Dựng \(AH \bot SB,\) ta có:

Vì \(BC\perp AB\) và \(BC\perp SA\), suy ra \(BC\perp(SAB)\). Do \(AH\subset(SAB)\) nên \(BC\perp AH\). Kết hợp \(AH\perp SB\) và \(SB,BC\) cắt nhau, suy ra \(AH\perp(SBC)\). Vì vậy \(d(A,(SBC))=AH\).

Xét \(\Delta SAB\) vuông tại A nên

\(\begin{aligned}&\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \\&\Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\end{aligned}\)

Dạng 2: Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài tập mẫu: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành, \(BC=a\sqrt2,\ \angle ABC=60^\circ\) và \((SAB)\perp(ABCD)\). Tính khoảng cách giữa \(CD\) và \((SAB)\), từ đó suy ra khoảng cách từ \(D\) đến \((SAB)\).

Hướng dẫn giải

Dựng \(SH \bot AB.\)

Do \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Trong mặt phẳng đáy, hạ \(CK\perp AB\). Vì \(SH\perp(ABCD)\) nên \(CK\perp SH\). Hai đường \(AB,SH\) cắt nhau trong \((SAB)\), nên \(CK\perp(SAB)\).

Vì \(CD\parallel AB\) và \(CD\not\subset(SAB)\), suy ra \(CD\parallel(SAB)\). Do đó: \(d(CD,(SAB))=d(C,(SAB))=CK\). Mà \(CK=BC\sin60^\circ=\frac{a\sqrt6}{2}\), nên \(d(D,(SAB))=d(CD,(SAB))=\frac{a\sqrt6}{2}\).

Bài tập tự luyện: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có SA vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\) ABCD là hình vuông cạnh a. Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({60^o}\). Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).

Đáp án:

Vì \(SA\perp(ABCD)\), hình chiếu của \(SB\) trên đáy là \(AB\). Do đó \(\angle SBA=60^\circ\) và \(SA=AB\tan60^\circ=a\sqrt3\).

Trong \((SAD)\), hạ \(AH\perp SD\). Vì đáy là hình vuông nên \(CD\perp AD\); đồng thời \(CD\perp SA\). Suy ra \(CD\perp(SAD)\), nên \(CD\perp AH\). Từ \(AH\perp SD\) và \(AH\perp CD\), suy ra \(AH\perp(SCD)\).

\(AH=\frac{SA\cdot AD}{\sqrt{SA^2+AD^2}}=\frac{a\sqrt3}{2}.\)

Vì \(AB\parallel CD\subset(SCD)\) và \(A\notin(SCD)\), nên \(AB\parallel(SCD)\). Vậy \[d(B,(SCD))=d(A,(SCD))=\frac{a\sqrt3}{2}\].

Dạng 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Phương pháp:

• Dựng mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa b và song song với a.

• Chọn điểm M thích hợp trên a, dựng \(MH \bot \left( \alpha \right)\) tại H.

• Qua H, dựng đường thẳng \(a'\parallel a\), cắt b tại B.

• Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a tại A.

• AB là đoạn vuông góc chung của a và b.

Bài tập mẫu: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(AB=2a,\ AD=a,\ SA=3a,\ SA\perp(ABCD)\), \(a>0\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \(AB\) và \(SD\).

Hướng dẫn giải: Vì \(AB\perp AD\) và \(AB\perp SA\), suy ra \(AB\perp(SAD)\). Trong tam giác \(SAD\), hạ \(AH\perp SD\) tại \(H\). Khi đó \(AH\perp AB\) và \(AH\perp SD\), nên \(AH\) là đoạn vuông góc chung.

\[SD=\sqrt{SA^2+AD^2}=a\sqrt{10}.\]

\[d(AB,SD)=AH=\frac{SA\cdot AD}{SD}=\frac{3a\sqrt{10}}{10}.\]

Bài tập tự luyện : Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SA, BC.

Đáp án:

Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\). Vì \(ABC\) vuông cân tại \(A\) và \(BC=a\), ta có \(AH=BC/2=a/2\). Tam giác \(SBC\) đều nên \(SH\perp BC,\ SH=a\sqrt3/2\).

Hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((ABC)\) vuông góc, giao tuyến là \(BC\). Vì \(SH\) nằm trong \((SBC)\) và vuông góc với \(BC\), suy ra \(SH\perp(ABC)\). Do đó tam giác \(SHA\) vuông tại \(H\).

Lại có \(BC\perp AH,\ BC\perp SH\), nên \(BC\perp(SAH)\). Trong \((SAH)\), hạ \(HK\perp SA\). Vì \(HK\perp BC\), \(HK\) là đoạn vuông góc chung của \(SA,BC\).

\(SA=\sqrt{AH^2+SH^2}=a.\)

\(d(SA,BC)=HK=\frac{AH\cdot SH}{SA}=\frac{a\sqrt3}{4}.\)

Dạng 4: Thể tích khối chóp và khối lăng trụ

Phương pháp:

• Thể tích khối lăng trụ: \(V = S.h\)

Trong đó: \(S\) là diện tích đa giác đáy.

\(h\) là chiều cao của khối lăng trụ.

• Thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3}.S.h\)

Trong đó: \(S\) là diện tích đa giác đáy.

\(h\): là chiều cao của khối chóp.

Bài tập mẫu: Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(B'C = 3a\), đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) và \(AC = a\sqrt 2\). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\).

Hướng dẫn giải

Đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) và \(AC=a\sqrt2\), nên \(AB=BC=AC/\sqrt2=a\).

Tam giác \(BB'C\) vuông tại \(B\), nên \(BB\prime=\sqrt{(B\prime C)^2-BC^2}=2a\sqrt2\).

Diện tích đáy là \(S_{ABC}=\frac12 AB\cdot BC=\frac{a^2}{2}\). Lăng trụ có chiều cao \(BB'\), do đó \(V=S_{ABC}\cdot BB\prime=\frac{a^2}{2}\cdot2a\sqrt2=a^3\sqrt2\).

Vậy thể tích khối lăng trụ đứng là \(V=a^3\sqrt2\). Hệ số \(1/3\) chỉ dùng cho thể tích khối chóp có cùng diện tích đáy và chiều cao.

Bài tập tự luyện: Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật, \(SA \bot \left( {ABCD} \right),\) \(AB = 3a, AD = 2a, SB = 5a.\) Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\) theo\(a.\)

Đáp án:

Có: \({V_{S.ABCD}}=\frac13.SA.{S_{ABCD}}\)

Xét tam giác vuông \(SAB\) có: \(SA=\sqrt{S{B^2}-A{B^2}}=4a\)

Và \({S_{ABCD}} = AB.AD = 6{a^2}\).

Nên \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.4a.6{a^2} = 8{a^3}\).

Chiến thuật giải bài tập hình học không gian lớp 11 và các lỗi thường gặp

Làm chủ hình học không gian đòi hỏi người học xây dựng tư duy mạch lạc và tuân thủ các quy tắc biểu diễn. [1] [2]

Việc dựng đúng hình biểu diễn cũng hỗ trợ nhận diện các đường nằm trong hai mặt phẳng song song trước khi chứng minh.

Chiến thuật vẽ hình biểu diễn chuẩn xác

1. Chọn vị trí mặt đáy dễ quan sát: Thường vẽ đáy phía dưới và đỉnh phía trên; có thể đổi góc nhìn để làm rõ quan hệ cần xét.

2. Quy tắc đường nhìn thấy: Các đoạn thẳng nhìn thấy vẽ bằng nét liền, các đoạn bị che khuất vẽ bằng nét đứt.

3. Bảo toàn tính song song: Quan hệ song song và tỉ số độ dài trên cùng một đường thẳng phải được giữ nguyên theo đúng nguyên lý phép chiếu song song.

Chiến thuật tư duy giải bài

• Chuyển về hình học phẳng: Khi cần tính độ dài đoạn thẳng hoặc góc, học sinh hãy xác định chính xác mặt phẳng chứa yếu tố đó và đưa bài toán về hình học phẳng (dùng định lý Pi-ta-go, Ta-lét, hệ thức lượng).

• Chọn mặt phẳng phụ phù hợp: Khi tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, ưu tiên chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng sao cho giao tuyến với mặt phẳng cho trước dễ xác định nhất.

Các lỗi hay mắc phải và cách khắc phục

Hệ thống bài tập hình học không gian 11 theo các dạng giao tuyến, thiết diện, quan hệ song song, vuông góc, góc, khoảng cách và thể tích giúp học sinh lựa chọn đúng phương pháp giải. Khi luyện tập từ cơ bản đến nâng cao, học sinh cần vẽ hình chính xác, kiểm tra điều kiện áp dụng định lí và đối chiếu lời giải để nhận diện sai sót. Nắm vững các dạng bài này sẽ củng cố kiến thức Toán 11 và hỗ trợ ôn tập theo chương trình mới.