Cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn | Lý thuyết & bài tập

Trong chương trình Toán lớp 9 và tuyển sinh vào lớp 10, cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn xuất hiện nhiều trong các đề kiểm tra. Đây là dạng bài yêu cầu học sinh có khả năng tư duy hình học linh hoạt và cần nắm nhiều phương pháp. Để giúp người học có được điểm số phần này, bài viết dưới đây sẽ hệ thống hóa toàn bộ kiến thức nền tảng và bài tập tự luyện từ cơ bản đến nâng cao.

Kiến thức nền cần nắm vững khi học cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn 

Trước khi bắt đầu bước vào giải các bài toán chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn, học sinh cần nắm các lý thuyết sau:

Định nghĩa đường tròn: 

- Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0), kí hiệu là (O; R), là hình gồm tất cả các điểm cách điểm O một khoảng bằng R.

- Điểm M nằm trên đường tròn (O; R) nếu OM = R.

- Điểm M nằm trong đường tròn (O; R) nếu OM < R.

- Điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R) nếu OM > R.

Liên hệ giữa 4 điểm cùng thuộc một đường tròn và tứ giác nội tiếp: Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (hoặc đơn giản là tứ giác nội tiếp) và đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác. 

Tính chất trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Khi đó ba đỉnh của tam giác vuông đều cách đều trung điểm của cạnh huyền một khoảng bằng nửa cạnh huyền.

Các cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn 

Để chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường trong, ta có thể áp dụng một trong các phương pháp sau tùy thuộc vào giả thiết đề bài:

Phương pháp 1: Chứng minh theo định nghĩa (Cách đều tâm)

Dấu hiệu nhận biết: Đề bài cho sẵn hoặc ta dễ dàng tìm được điểm O có khoảng cách đến 4 đỉnh bằng nhau.

Cơ sở lý thuyết: Dựa vào định nghĩa đường tròn

Hướng làm: Tìm một điểm O sao cho OA = OB = OC = OD = R

Phương pháp 2: Sử dụng tính chất tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp

Dấu hiệu nhận biết: Bài toán có tổng hai góc đối bằng 180°.

Cơ sở lý thuyết: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180°.

Hướng làm: Xét tứ giác ABCD có \(\widehat{A}\) + \(\widehat{C}\) = 180° (hoặc \(\widehat{B}\) + \(\widehat{D}\) =180°). Khi đó ABCD nội tiếp và 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Phương pháp 3: Chứng minh hai góc kề nhau cùng nhìn một cạnh 

Dấu hiệu nhận biết: Chứng minh hai góc kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau (hai đỉnh cùng nằm về một phía đối với đường thẳng chứa cạnh đó).

Hướng làm: Xét tứ giác ABCD, nếu \(\widehat{ADB}\) = \(\widehat{ACB}\) (D và C là hai đỉnh kề nhau) thì 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

Phương pháp 4: Góc \(90^{o}\) nhìn một cạnh

Dấu hiệu nhận biết: Trong hình xuất hiện các tam giác vuông có chung cạnh huyền.

Cơ sở lý thuyết: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

Hướng làm: Xét tứ giác ABCD, nếu BAC = BDC = \(90^{o}\) thì 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn có đường kính là BC.

Phương pháp 5: Sử dụng góc ngoài tại một đỉnh

Dấu hiệu nhận biết: Đề bài cho đường thẳng kéo dài từ một cạnh của tứ giác, tạo ra góc ngoài. 

Hướng làm: Nếu góc ngoài tại đỉnh A của tứ giác ABCD bằng góc trong tại đỉnh C, thì tứ giác đó nội tiếp. 

Ví dụ minh họa về cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn theo từng phương pháp

Ví dụ phương pháp 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm BC. Chứng minh 4 điểm A, B, C và điểm D đối xứng với A qua M cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông, ta có:  MA = MB = MC = ½ BC

Lại có: Điểm D đối xứng với A qua M nên M là trung điểm của đoạn thẳng AD, hay: MA = MD

Suy ra: MA = MB = MC = MD

Vì cả bốn điểm A, B, C, D đều cách đều điểm M một khoảng bằng nhau, nên chúng cùng nằm trên đường tròn tâm M, bán kính R = MA.

Ví dụ phương pháp 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ điểm M bất kỳ trên BC kẻ MD vuông góc AB, ME vuông góc AC. Chứng minh 4 điểm A, D, H, E cùng thuộc một đường tròn bằng cách chứng minh tổng hai góc đối bằng 180°. 

Hướng dẫn giải

Ta có: Tứ giác ADME có \(\widehat{DAE}\)= \(\widehat{ADM}\) = \(\widehat{AEM}\)= \(90^{o}\)

Do đó tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Gọi O là giao điểm của AM và DE.

Khi đó OA = OM = OD = OE (1)

Xét AHM vuông tại H có O là trung điểm của AM nên OH = OA = OM (2)

Từ (1) và (2) suy ra OH = OE = OD nên DHE vuông tại H hay \(\widehat{DHE}\)= \(90^{o}\)

Xét tứ giác ADHE có \(\widehat{DHE}\) + \(\widehat{DAE}\)= \(90^{o}\) + \(90^{o}\) = 180°

Vì tổng hai góc đối bằng 180° nên tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn tâm O bán kinh R = OA, hay A, D, H, E cùng thuộc một đường tròn tâm O bán kinh R = OA.

Tham khảo thêm: Trung vị là gì? Kiến thức then chốt trong chương trình Toán lớp 10

Ví dụ phương pháp 3: Cho tam giác ABC cân tại A, BD và CE là phân giác. Chứng minh 4 điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn bằng cách chứng minh hai góc kề bằng nhau cùng nhìn cạnh BC. 

Hướng dẫn giải

\(\Delta\)ABC là tam giác cân nên \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\).

Do BD và CE là đường phân giác nên \(\widehat{DBC}\) = ½ \(\widehat{ACB}\) và \(\widehat{ECB}\)= ½ \(\widehat{ACB}\). Mà \(\Delta\)ABC là tam giác cân nên \(\widehat{DBC}\) = \(\widehat{ECB}\).

Xét \(\Delta\)BEC và \(\Delta\)CDB ta có:

\(\widehat{ECB}\) = \(\widehat{DBC}\)
BC là cạnh chung
\(\widehat{EBC}\) = \(\widehat{DCB}\)
Suy ra \(\Delta\)BEC = \(\Delta\)CDB (g.c.g)

Khi đó \(\widehat{BEC}\) = \(\widehat{CDB}\)(hai góc tương ứng)

Xét tứ giác BCDE có D và E là hai đỉnh kề nhau và cùng nhìn cạnh BC dưới hai góc bằng nhau
(\(\widehat{BEC}\) = \(\widehat{CBD}\)).

Vậy tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn hay B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn.

Ví dụ phương pháp 4: Cho hình vuông ABCD, O là tâm của hình vuông ABCD, qua O vẽ hai đường thẳng vuông góc và cắt các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn. 

Hướng dẫn giải

Xét \(\Delta\)AMO và \(\Delta\)CPO, ta có:

\(\widehat{OAM}\) = \(\widehat{OCP}\)(hai góc so le trong)

OA = OC (tính chất hình vuông)

\(\widehat{AOM}\) = \(\widehat{COP}\)(hai góc đối đỉnh)

Suy ra \(\Delta\)AMO = \(\Delta\)CPO (g.c.g)

Suy ra OM = OP (hai cạnh tương ứng) (1)

Chứng minh tương tự với \(\Delta\)BNO và \(\Delta\)DQO

\(\Rightarrow\)ON = OQ (hai cạnh tương ứng) (2)

Xét \(\Delta\)BNO và \(\Delta\)CPO, ta có:

\(\widehat{OBN}\)= \(\widehat{OCP}\)= 45°

OB = OC (tính chất hình vuông)

\(\widehat{BON}\) = \(\widehat{COP}\)(hai góc cùng phụ với NOC)

\(\Delta\)BNO = \(\Delta\)CPO (g.c.g)

\(\Rightarrow\)ON = OP (3)

Tứ giác MNPQ, có OM = OP, ON = OQ
⇒ MNPQ là hình bình hành ( theo dấu hiệu nhận biết)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: MP = QN
⇒ MNPQ là hình chữ nhật
⇒ \(\widehat{OMN}\)= \(\widehat{QPN}\)= \(90^{o}\)
Do đó M và P cùng thuộc đường tròn đường kính QN.
Vậy M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn đường kính QN.

Ví dụ phương pháp 5: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Trên tia đối của tia BA lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng 4 điểm B, C, N, M cùng nằm trên một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Vì \(\Delta\)ABC cân tại A nên \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ACB}\).

Xét góc ngoài tại đỉnh B của tứ giác BCNM. Góc này chính là \(\widehat{ABC}\) (do M nằm trên tia đối của BA, nên \(\widehat{MBC}\) là góc trong, và góc kề bù với nó quay lại chính là \(\widehat{ABC}\)).

Xét \(\Delta\)AMN ta có:

Vì AB = AC (do tam giác \(\Delta\)ABC cân) và BM = CN (giả thiết) nên:

AM = AB + BM = AC + CN = AN

⇒ \(\Delta\)AMN cân tại A.

Do cả \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)AMN đều cân tại A nên:

\(\widehat{ABC}\) = (180° – \(\widehat{BAC}\))/2

\(\widehat{ANM}\) = (180° – \(\widehat{BAC}\))/2

⇒ \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{ANM}\) (hay \(\widehat{ABC}\) = \(\widehat{CNM}\)).

Trong tứ giác BCNM, ta có góc ngoài tại đỉnh B (là \(\widehat{ABC}\)) bằng góc trong tại đỉnh đối diện N (là \(\widehat{CNM}\)).

Vậy tứ giác BCNM nội tiếp một đường tròn hay 4 điểm B, C, N, M cùng nằm trên một đường tròn.

Mở rộng: Chứng minh 5 điểm trở lên cùng thuộc một đường tròn

 Nguyên tắc mở rộng: Để chứng minh 5 điểm (ví dụ 5 điểm A, B, C, D, E) cùng thuộc một đường tròn, ta thường chọn ra 4 điểm (chẳng hạn A, B, C, D) để chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn tâm O, rồi chứng minh điểm còn lại (E) cũng thuộc đường tròn tâm O đó.

Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ điểm M bất kỳ trên BC kẻ MD vuông góc AB, ME vuông góc AC. Chứng minh 5 điểm A, D, M, H, E cùng thuộc một đường tròn. 

Hướng dẫn giải

Ta có: Tứ giác ADME có \(\widehat{DAE}\) = \(\widehat{ADM}\)= \(\widehat{AEM}\)= 90°

Do đó tứ giác ADME là hình chữ nhật.

Gọi O là giao điểm của AM và DE.

Khi đó OA = OM = OD = OE.

Suy ra ADME là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R = OA hay A, D, M, E cùng nằm trên một đường tròn.

Xét AHM vuông tại H có O là trung điểm của AM nên OH = OA = OM hay OH = OA = OM = OD = OE.

Vì cả năm điểm A, D, M, H, E đều cách đều điểm O một khoảng bằng nhau, nên chúng cùng nằm trên đường tròn tâm O, bán kính R = OA 

Lưu ý khi trình bày lời giải: Phải nêu rõ tâm và bán kính của đường tròn xác định được, hoặc chỉ ra đường tròn cụ thể mà tất cả các điểm đều thuộc. 

Tham khảo thêm: Giao và hợp là gì? Khái niệm, công thức & những lỗi sai thường gặp

Bài tập về cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn 

Bài 1 (Nhận biết): Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh 4 đỉnh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. (Gợi ý: Sử dụng phương pháp 1)

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. 

Khi đó hai đường chéo  AC và BD bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 

Suy ra OA = OB = OC = OD. 

Vì 4 điểm cách đều điểm O nên cùng thuộc đường tròn tâm O bán kính R = OA. 

Bài 2 (Nhận biết): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh 4 điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn. (Gợi ý: Sử dụng phương pháp 2)

Hướng dẫn giải

Ta có BD AC suy ra \(\widehat{ADH}\) = 90°,  CE vuông góc AB suy ra \(\widehat{AEH}\) = 90°. 

Xét tứ giác AEHD có tổng hai góc đối \(\widehat{ADH}\)+ \(\widehat{AEH}\)= 90° + 90° = 180°.

Tứ giác AEHD nội tiếp có có bán kính R = ½ AH. Vậy 4 điểm A, E, H, D cùng thuộc một đường tròn có bán kính R = ½ AH. 

Bài 3 (Nhận biết): Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. AM; BN, CP là các đường trung tuyến. Chứng minh 4 điểm B, P, N, C cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó (Gợi ý: Sử dụng phương pháp 3). 

Hướng dẫn giải

Vì \(\Delta\)ABC đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao.

Suy ra AM, BN, CP lần lượt vuông góc với BC, AC, AB.

Từ đó ta có các \(\Delta\)BPC và \(\Delta\)BNC là tam giác vuông.

Với BC là cạnh huyền, suy ra MP = MN = MB = MC.

Hay: Các điểm B, P, N, C cùng thuộc đường tròn tâm M, bán kính R = MC.

Đường kính BC = a, do đó bán kính R = MC = ½ BC = ½ a.

Tham khảo thêm: Mệnh đề chứa biến | Định nghĩa, ví dụ và các dạng bài tập Toán 10

Bài 4 (Thông hiểu): Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) có AB = 12cm, AC = 16cm, BC = 20cm. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Xét \(\Delta\)ABC có: \(BD^2+CD^2=16^2+12^2=BC^2\).

Do đó: \(\Delta\)ABC vuông tại A.

Suy ra A, B, C thuộc đường tròn có đường kính BC.

Vì ABCD là hình thang cân nên BD = AC = 16cm và CD = AB =12cm.

Xét \(\Delta\)BCD có \(BD^2+CD^2=16^2+12^2=BC^2\).

Do đó \(\Delta\)BCD vuông tại D.

Suy ra D, B, C cũng thuộc đường tròn đường kính BC.

Vậy 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn có bán kính R = ½ BC = 10cm.

Bài 5 (Vận dụng): Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó. 

Hướng dẫn giải

\(\Delta\)BAD có góc A bằng 90°, A nằm trên đường tròn đường kính BD.

\(\Delta\)BED có góc E bằng 90° (E là hình chiếu của D lên BC) ⇒ E nằm trên đường tròn đường kính BD.

F đối xứng với E qua BD nên F cũng nằm trên đường tròn đường kính BD (tính chất đối xứng của đường tròn).

Vậy 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên đường tròn đường kính BD tâm O là trung điểm của BD.

Những sai lầm phổ biến và lưu ý khi chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn 

- Nhầm lẫn dấu hiệu: Nhiều học sinh nhầm giữa dấu hiệu "tổng hai góc đối bằng 180°" và "hai góc đối bằng nhau". Trong khi đó chỉ có tổng hai góc đối bằng 180° mới là dấu hiệu của tứ giác nội tiếp.

- Bỏ qua điều kiện thẳng hàng: Quên kiểm tra điều kiện không có 3 điểm nào trong 4 điểm cần chứng minh là thẳng hàng.

- Thiếu kết luận: Khi hoàn thành chứng minh tứ giác nội tiếp nhưng không đưa ra câu kết luận rõ ràng về việc 4 điểm cùng thuộc đường tròn nào (gọi tên tâm và bán kính).

- Chọn sai tâm đường tròn khi áp dụng phương pháp so sánh khoảng cách, dẫn đến lập luận vòng vo, không chính xác.

Bài viết đã hệ thống kiến thức về cách chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn. Người học cần luyện tập đều đặn để thuần thục kỹ năng nhận dạng phương pháp, từ đó giải quyết được các bài toán. Để ôn tập các dạng hình học nâng cao về đường tròn như tứ giác nội tiếp, góc nội tiếp và tiếp tuyến, bạn có thể tham khảo chuyên mục bài giảng Toán 9 của ZIM Academy tại: https://zim.vn/bai-viet/toan-9.