Tứ giác nội tiếp | Tính chất, dấu hiệu và cách chứng minh

Trong chương trình Toán 9, tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh cùng nằm trên một đường tròn.

Bài viết trình bày tứ giác nội tiếp là gì, tính chất, dấu hiệu và điều kiện để tứ giác nội tiếp đường tròn, các cách chứng minh tứ giác nội tiếp như hai góc đối bù nhau, hai góc cùng nhìn một cạnh, hai góc vuông, đồng thời hướng dẫn vận dụng vào các dạng bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp có lời giải.

Tứ giác nội tiếp là gì?

Tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (hoặc đơn giản là tứ giác nội tiếp) và đường tròn được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác. [1]

Ví dụ về tứ giác nội tiếp đường tròn:

	Tứ giác không nội tiếp đường tròn vì có một đỉnh tứ giác không nằm trên đường tròn
	Tứ giác không nội tiếp đường tròn vì có một đỉnh tứ giác không nằm trên đường tròn
	Tứ giác nội tiếp đường tròn vì 4 đỉnh tứ giác nằm trên đường tròn

Tính chất tứ giác nội tiếp

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng \(180^\circ\) [1]

Ví dụ 1: Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn. Tính số đo các góc còn lại của tứ giác đó, biết rằng \(\widehat B = 60^\circ\)và \(\widehat C = 85^\circ\).

Hướng dẫn giải

Ta có \(\widehat B + \widehat D = 180^\circ\) (tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn).

Suy ra \(60^\circ  + \widehat D = 180^\circ\) hay \(\widehat D = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ\).

Tương tự ta có \(\widehat A + \widehat C = 180^\circ\)(tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn).

Suy ra \(\widehat {\rm{A}} + 85^\circ  = 180^\circ\) hay \(\widehat A = 180^\circ  - 85^\circ  = 95^\circ\).

Dấu hiệu và điều kiện để tứ giác nội tiếp đường tròn

Dấu hiệu	Hình ảnh minh họa	Cơ sở lý thuyết
Tứ giác có tổng hai góc đối nhau bằng \(180^\circ\)		Tính chất của tứ giác nội tiếp \(\widehat A + \widehat C = 180^\circ\) hoặc \(\widehat B + \widehat D = 180^\circ\)
Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định. Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác		Định nghĩa tứ giác nội tiếp đường tròn \(OA = OB = OC = O{\rm{D}}\)
Tứ giác có hai góc kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc bằng nhau		Góc nội tiếp trong cung tròn

Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp

Căn cứ vào dấu hiệu nhận biết và các kiến thức về góc nội tiếp và góc ở tâm, học sinh có thể chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp bằng một trong ba phương pháp sau:

• Phương pháp 1: Chứng minh tổng hai góc đối nhau trong tứ giác bằng \(180^\circ\).

• Phương pháp 2:  Chứng minh tứ giác có hai góc kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới một góc bằng nhau.

Hai góc cùng nhìn một đoạn thẳng không phải lúc nào cũng bằng nhau. Trong cấu hình phù hợp, nếu hai góc cùng chắn một đoạn thẳng và bằng nhau thì có thể dùng điều kiện này để chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

• Phương pháp 3: Tìm một điểm cách đều 4 đỉnh của tứ giác. Khi đó, điểm này là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Tứ giác nào nội tiếp được đường tròn?

Tên hình	Hình vẽ minh họa	Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp	Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp
Hình chữ nhật		Giao điểm của hai đường chéo	\(R = \frac{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }}{2}\) (Một nửa độ dài đường chéo)
Hình vuông		Giao điểm của hai đường chéo	\(R = \frac{{AB.\sqrt 2 }}{2}\) (Một nửa độ dài đường chéo)

Ví dụ 2: Xác định tâm và tính bán kính hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 5\,cm\) và \(AD = 12\,cm\)

Hướng dẫn giải

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\).

Suy ra \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(ABCD\)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\) ta được:

\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = {5^2} + {12^2} = 169\).

Suy ra \(BD = 13\,\left( {cm} \right)\).

Do đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(ABCD\) là: \(R = \frac{{BD}}{2} = 6,5\,\left( {cm} \right)\).

Vậy đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật \(ABCD\) có tâm \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\) và bán kính \(R = 6,5\,cm\).

Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác và cách xác định

Khi nói đến tâm của tứ giác nội tiếp, ta hiểu đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác. Không phải tứ giác nào cũng có thể nội tiếp đường tròn, như vậy để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp một tứ giác (với điều kiện tứ giác đó nội tiếp được đường tròn), học sinh thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Dùng 3 đỉnh bất kì của tứ giác để xác định một tam giác.

• Bước 2: Dựng hai đường trung trực của các cạnh tam giác đó.

• Bước 3: Khi này giao điểm \(O\) của hai đường trung trực là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

• Bước 4 : Kiểm tra khoảng cách từ \(O\) đến đỉnh còn lại của tứ giác phải bằng khoảng cách từ \(O\) đến 3 đỉnh của tam giác đã chọn ở bước 1.

Khi này \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện.

Bài tập tứ giác nội tiếp lớp 9 có lời giải

Dạng 1: Tính số đo góc của tứ giác nội tiếp khi biết một số đo góc cho trước

Bài 1. Cho hình vẽ dưới đây , cho \(\widehat {ADC} = 40^\circ ,\,\widehat {BCD} = 100^\circ\)

a) Tính các góc \(\widehat {ABC},\,\widehat {BAD}\) của tứ giác \(ABCD\)

b) Tính \(\widehat {B{\rm{X}}C}\)
Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\widehat{ABC} + \widehat{ADC} = 180^{\circ}\) (tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn)

\(\widehat{ABC} + 40^{\circ} = 180^{\circ}\)

\(\widehat{ABC} = 180^{\circ} - 40^{\circ}\)

\(\widehat{ABC} = 140^{\circ}\)

\(\widehat{BAD} + \widehat{BCD} = 180^{\circ}\)(tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn)

\(\widehat{BAD} + 100^{\circ} = 180^{\circ}\)

\(\widehat{BAD} = 180^{\circ} - 100^{\circ}\)

\(\widehat{BAD} = 80^{\circ}\)

b) Ta có:

\(\widehat{AXD} + \widehat{XAD} + \widehat{XDA} = 180^{\circ}\) (tổng ba góc của tam giác \(ADX\))

\(\widehat{AXD} + 80^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}\)

\(\widehat{AXD} = 180^{\circ} - (80^{\circ} + 40^{\circ})\)

\(\widehat{AXD} = 60^{\circ}\)

Bài 2: Dựa vào hình vẽ sau, hãy tính \(x\).

Hướng dẫn giải

Ta có \(\widehat {BAD} + \widehat {BCD} = 180^\circ\) (Tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn)

Suy ra \(2x + x = 180^\circ\)

Hay \(3x = 180^\circ\) nên \(x = 60^\circ\)

Vậy \(x = 60^\circ\)

Dạng 2: Chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp

Bài 1: Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao \(BD\) và \(CE\) của tam giác \(ABC\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\).

a) Chứng minh \(ADHE\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp.

Hướng dẫn giải

a) Chứng minh \(ADHE\) là tứ giác nội tiếp.

Vì \(BD,CE\) là các đường cao của \(\Delta ABC\) nên \(\begin{cases}BD\perp AC\\ CE\perp AB\end{cases}\Rightarrow\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^{\circ}.\)

Xét tứ giác \(ADHE\)có \(\widehat{AEH} + \widehat{ADH} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}\).

\(\Rightarrow ADHE\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng 2 góc đối bằng \(180^{\circ}\)).

b) Chứng minh \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp.

Gọi \(O\) là trung điểm \(BC\).

Vì \(BD,CE\) là các đường cao của \(\Delta ABC\)nên \(\begin{cases} BD \perp AC \\ CE \perp AB \end{cases} \Rightarrow \widehat{BDC} = \widehat{BEC} = 90^{\circ}\).

Xét tam giác \(BDC\) có \(\widehat{BDC} = 90^{\circ}\) và \(DO\) là đường trung tuyến nên \(OD = OC = OB = \frac{1}{2}BC\) (1).

Xét tam giác \(BEC\) có \(\widehat{BEC} = 90^{\circ}\) và \(EO\) là đường trung tuyến nên \(OE = OC = OB = \frac{1}{2}BC\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(OD = OE = OC = OB\).

Vậy tứ giác \(BCDE\) nội tiếp được đường tròn có tâm \(O\) là trung điểm \(BC\).

Bài 2. Cho điểm \(M\) thuộc cung nhỏ \(BC\) của đường tròn \((O)\). Một đường thẳng \(d\) ở ngoài \((O)\) và vuông góc với \(OM; CM, BM\) cắt \(d\) lần lượt tại \(D, E\). Chứng minh rằng \(B, C, D, E\) cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Kẻ đường kính \(AM\) cắt \(d\) tại \(N\).

Ta có \(\widehat{ANE} = \widehat{ABE} = 90^{\circ}\) nên tứ giác \(ABNE\) nội tiếp, suy ra \(\widehat{BEN} = \widehat{BAN}\).

Mặt khác \(\widehat{BAN} = \widehat{BCM}\), do đó \(\widehat{BCM} = \widehat{BEN}\) hay \(\widehat{BCD} = \widehat{BED}\).

Tứ giác \(BCDE\) có các đỉnh \(C\) và \(E\) cùng nhìn đoạn thẳng \(BD\) dưới một góc không đổi. Vì vậy tứ giác \(BCDE\) nội tiếp.

Vậy \(B, C, D, E\) cùng thuộc một đường tròn.

Dạng 3: Ứng dụng tứ giác nội tiếp trong bài toán thực tế

Bài 1: Cửa ra vào ở hình vẽ gợi nên hình ảnh hình chữ nhật nội tiếp đường tròn. Biết hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là \(2m\) và \(1,2m\). Hỏi đường kính \(d\) của đường tròn đó bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Pythagore, ta có \({d^2} = 1,{2^2} + {2^2} = 5,44\)

Suy ra \(d = \sqrt {5,44}  \approx 2,33\,\left( m \right)\)

Vậy đường kính \(d\) của đường tròn đó khoảng \(2,33\,m\)

Bài 2: Quan sát khung sắt ở hình vẽ, bạn Nam thấy hình vuông \(ABCD\) nội tiếp đường tròn. Bạn Nam đo được độ dài cạnh hình vuông đó là \(2\,dm\). Hỏi chu vi của vòng sắt ứng với đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó bằng bao nhiêu decimét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Hướng dẫn giải

Vì độ dài cạnh của hình vuông \(ABCD\) là \(2\,dm\)

Nên bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó là \(\frac{{2\sqrt2 }}{2}=\sqrt2\,\left({dm}\right)\).

Vậy chu vi của vòng sắt ứng với đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó là \(2\sqrt 2 \pi  \approx 8,9\,\left( {dm} \right)\) .

Bài tập tứ giác nội tiếp tự luyện

Bài 1. Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn. Tính số đo các góc còn lại của tứ giác đó trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\widehat {\rm{A}} = 110^\circ\) và \(\widehat B = 50^\circ\)        b) \(\widehat B = 60^\circ\) và \(\widehat C = 85^\circ\)                   c) \(\widehat C = 55^\circ\) và \(\widehat {\rm{D}} = 127^\circ\)

Bài 2. Dựa vào hình vẽ sau hãy tính số đo các góc của tứ giác \(ABCD\) biết \(\widehat {DCx} = 135^\circ\)

Bài 3. Cho tam giác nhọn \(ABC\) (\(AB>AC\)). Đường tròn \((I)\) đường kính \(BC\) cắt \(AB, AC\) lần lượt tại \(F, E\). Đường thẳng \(BE\) cắt \(CF\) tại \(H\) và đường thẳng \(AH\) cắt \(BC\) tại \(D\).

a) Chứng minh tứ giác \(BFHD\)nội tiếp.

b) Chứng minh tứ giác \(ABDE\) nội tiếp.

Bài 4. Người ta làm một logo có dạng hình tròn, trong đó có một hình chữ nhật nội tiếp đường tròn với chiều dài và chiều rộng lần lượt là \(6\operatorname{\mathrm{cm}}\) và \(4\operatorname{\mathrm{cm}}\) (như hình vẽ). Tính diện tích phần bị gạch chéo (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) .

Tóm lại, bài viết đã hệ thống hóa toàn diện chủ đề tứ giác nội tiếp từ định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết và các trường hợp đặc biệt như hình vuông, hình chữ nhật nội tiếp đường tròn. Việc nắm vững ba phương pháp chứng minh cốt lõi cùng các dạng bài tập thực hành giúp người học củng cố tư duy logic và kỹ năng giải toán hình học đường tròn. Việc nắm vững lý thuyết, dấu hiệu và cách chứng minh tứ giác nội tiếp giúp học sinh củng cố chuyên đề Toán 9, vận dụng hiệu quả vào các dạng bài hình học và chuẩn bị tốt cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT.