Định lý Pytago | Công thức, cách áp dụng và bài tập

Định lý Pytago cho biết: trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Công thức định lý Pytago \(c^2 = a^2 + b^2\), với \(c\) là cạnh huyền, giúp tính độ dài một cạnh khi biết hai cạnh còn lại.

Bài viết trình bày cách chứng minh định lý Pytago, công thức tính cạnh huyền và cạnh góc vuông, kèm ví dụ minh họa và bài tập có lời giải để người học vận dụng vào hình học và các bài toán thực tế.

Định lý Pytago là gì?

Định lý Pytago (còn gọi là định lý Pythagore hoặc định lý Pythagoras) là một phát biểu liên hệ giữa độ dài các cạnh trong một tam giác vuông bất kỳ như sau: Với bất kỳ tam giác vuông nào, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Khái quát phát biểu trên thành công thức, người học sẽ có: [1]

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Với:

• c là cạnh huyền

• a và b là 2 cạnh góc vuông còn lại

Ý nghĩa các cạnh trong tam giác vuông

Với tam giác vuông, có một số định nghĩa về các cạnh mà người học cần ghi nhớ.

Hai cạnh tạo thành góc 90° được gọi là hai cạnh góc vuông. Chúng không nhất thiết bằng nhau. Nếu hai cạnh này bằng nhau, tam giác vuông cân và mỗi góc nhọn bằng 45°.

Bên cạnh đó, ta có cạnh đối diện với góc vuông, hay nói cách khác, cạnh huyền. Cạnh huyền luôn lớn hơn mỗi cạnh góc vuông và là cạnh dài nhất trong một tam giác vuông.

Phạm vi và điều kiện áp dụng

Chỉ áp dụng định lý Pytago khi tam giác đã được xác định là tam giác vuông. Cạnh huyền đối diện góc vuông và dài nhất; hai cạnh còn lại là cạnh góc vuông. Các độ dài phải cùng đơn vị đo. Khi tính độ dài từ bình phương, lấy căn bậc hai số học vì độ dài luôn dương.

Định lý Pytago học lớp mấy?

Trong chương trình Toán 8 bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, định lý Pytago được học ở Bài 35: Định lí Pythagore và ứng dụng, thuộc Toán 8 tập 2.

Công thức định lý Pytago và cách tính cạnh tam giác vuông

Với hai cạnh góc vuông a, b và cạnh huyền c, công thức định lý Pytago là:

\(c^2=a^2+b^2\)

Cách áp dụng: Xác định góc vuông và cạnh huyền → chọn công thức → thay số cùng đơn vị → tính căn và kết luận. Tính cạnh huyền dùng tổng hai bình phương; tính cạnh góc vuông dùng hiệu giữa bình phương cạnh huyền và bình phương cạnh góc vuông đã biết.

Ví dụ tính cạnh huyền

Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 11 cm và 60 cm. Khi đó:

\(c=\sqrt{11^2+60^2}\)

\(c=\sqrt{3721}=61\text{ cm}\)

Ví dụ tính cạnh góc vuông

Tam giác vuông có cạnh huyền 41 cm và một cạnh góc vuông 9 cm. Cạnh góc vuông còn lại là:

\(b=\sqrt{41^2-9^2}\)

\(b=\sqrt{1600}=40\text{ cm}\)

Các cách chứng minh định lý Pytago

Ý nghĩa hình học qua diện tích các hình vuông

Dựng một hình vuông trên mỗi cạnh của tam giác vuông. Theo định lý Pytago, tổng diện tích hai hình vuông trên hai cạnh góc vuông a, b bằng diện tích hình vuông trên cạnh huyền c. Đây là cách diễn giải bằng diện tích; phần chứng minh bằng ghép hình được trình bày bên dưới.tam giác vuông, tổng diện tích của hai hình vuông nhỏ hơn (hai hình vuông dọc theo cạnh ngắn nhất, a và b) bằng diện tích của hình vuông lớn nhất (hình vuông dọc theo cạnh dài nhất, c).

Bằng cách tính diện tích của mỗi hình vuông, chúng ta có thể tìm được độ dài của bất kỳ cạnh nào trong một tam giác vuông, vì:

→ \(a^2+b^2=c^2\)

Chứng minh dựa trên tam giác đồng dạng

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH với H thuộc cạnh BC.

Hai tam giác ABH và CBA có góc AHB bằng góc CAB (đều bằng 90°), góc ABH bằng góc CBA. Do đó, \(\triangle ABH\sim\triangle CBA\) theo trường hợp góc – góc.

\(\frac{AB}{CB}=\frac{BH}{BA}\)

\(AB^2=BH\cdot BC\quad (1)\)

Tương tự, \(\triangle ACH\sim\triangle BCA\) vì góc AHC bằng góc BAC và góc ACH bằng góc BCA.

\(\frac{AC}{BC}=\frac{CH}{CA}\)

\(AC^2=CH\cdot BC\quad (2)\)

Cộng (1) và (2), dùng BH + CH = BC:

\(AB^2+AC^2=(BH+CH)\cdot BC\)

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

Chứng minh của James Garfield bằng diện tích

James Garfield, sau này là tổng thống thứ 20 của Mỹ, công bố cách chứng minh này năm 1876. Ghép hai tam giác vuông bằng nhau, mỗi tam giác có hai cạnh góc vuông a, b và cạnh huyền c, thành một hình thang có hai đáy a, b và chiều cao a + b. Phần giữa là tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông bằng c. Góc ở giữa bằng 90° vì hai góc nhọn kề nó có tổng 90°.

Tính diện tích hình thang theo hai cách:

\(S=\frac{(a+b)^2}{2}\)

\(S=2\cdot\frac{ab}{2}+\frac{c^2}{2}\)

Suy ra:

\((a+b)^2=2ab+c^2\)

\(a^2+b^2=c^2\)

Các chứng minh bằng đại số

Có thể chứng minh định lý bằng cách ghép bốn tam giác vuông bằng nhau vào một hình vuông cạnh a + b, rồi so sánh diện tích như sau:

Trong hình này, ta có 4 tam giác với 3 cạnh a, b, c như nhau. Với mỗi cạnh của hình vuông ngoài cùng là a + b.

→ Diện tích của hình vuông lớn bên ngoài: A = \(\left(a+b\right)^2\)

→ Hình vuông nhỏ hơn (bị nghiêng) có diện tích là: \(c^2\)

→ Mỗi hình tam giác có diện tích là: \(\frac{ab}{2}\)

→ Tổng diện tích của cả 4 hình tam giác là: 4\(\frac{ab}{2}\) = 2ab

→ Hình vuông bị nghiêng cộng với 4 hình tam giác là: A = \(c^2\) + 2ab mà A = \(\left(a+b\right)^2\)

→ \(\left(a+b\right)^2\) = \(c^2\) + 2ab

So sánh hai cách tính diện tích:

\((a+b)^2=c^2+2ab\)

\(a^2+2ab+b^2=c^2+2ab\)

\(a^2+b^2=c^2\)

Ứng dụng thực tế và bài toán liên quan

Tính cạnh tam giác vuông trong bài tập hình học

Người học có thể sử dụng định lý này để tính độ dài các cạnh chưa biết của tam giác vuông khi biết hai cạnh còn lại. Điều này rất quan trọng trong việc giải các bài toán về lượng giác, đo lường và hình học tọa độ.

Định lý này còn được áp dụng vào các bài toán thực tế, chẳng hạn như tìm chiều cao của các tòa nhà hoặc khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng, giúp người học hiểu được các ứng dụng thực tế.

Ứng dụng trong kỹ thuật, xây dựng

Các kiến ​​trúc sư sử dụng định lý Pytago để đảm bảo các phép đo của mình có độ chính xác cao khi xây dựng nhà cửa, cầu cống hoặc các công trình khác. Định lý này giúp tạo góc vuông và tính toán độ dài đường chéo khi thiết kế bố cục và nền móng.

Ví dụ tính chiều cao và khoảng cách khi đặt thang

Một chiếc thang dài 4,5 m tựa vào bức tường thẳng đứng trên mặt sàn nằm ngang. Xem thang là một đoạn thẳng, bỏ qua độ dày thang.

1. Khi đầu trên của thang chạm tường ở độ cao 3,6 m, chân thang cách chân tường bao nhiêu mét?

2. Nếu chân thang cách chân tường 1,8 m, đầu trên chạm tường ở độ cao bao nhiêu? So sánh với độ cao 3,6 m.

Lời giải: Tường, mặt sàn và thang tạo thành tam giác vuông; thang là cạnh huyền.

Câu 1. Gọi d là khoảng cách cần tính:

\(d=\sqrt{4{,}5^2-3{,}6^2}\)

\(d=\sqrt{7{,}29}=2{,}7\text{ m}\)

Câu 2. Gọi h là độ cao đầu trên của thang:

\(h=\sqrt{4{,}5^2-1{,}8^2}\)

\(h=\sqrt{17{,}01}\approx4{,}124\text{ m}\)

Đầu trên chạm tường ở độ cao lớn hơn 3,6 m, không đúng tại mép gác cao 3,6 m. Kết quả 2,7 m là khoảng cách ứng với vị trí đã cho, không phải khoảng cách an toàn tối thiểu. Đây là mô hình tính toán hình học, không phải hướng dẫn an toàn khi sử dụng thang.

Bài tập vận dụng định lý Pytago

Câu 1: Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng:

A. Tổng độ dài hai cạnh góc vuông.

B. Hiệu bình phương độ dài hai cạnh góc vuông.

C. Tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông.

D. Tích độ dài hai cạnh góc vuông.

Câu 2: Tam giác MNP vuông tại N. Công thức nào đúng?

A. MN² = MP² + NP².

B. NP² = MN² + MP².

C. MP = MN + NP.

D. MP² = MN² + NP².

Câu 3: Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 20 cm và 21 cm. Độ dài cạnh huyền là:

A. 841 cm.

B. 41 cm.

C. 29 cm.

D. 1 cm.

Câu 4: Tam giác ABC vuông tại A, AB = 12 cm và BC = 37 cm. Độ dài AC là:

A. 25 cm.

B. 49 cm.

C. 35 cm.

D. 1225 cm.

Câu 5: Trong hình chữ nhật có chiều dài 12 cm và chiều rộng 5 cm. Độ dài đường chéo của hình chữ nhật đó là:

A. 17 cm

B. 13 cm

C. 19 cm

D. 60 cm

Câu 6: Một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Độ dài cạnh huyền là:

A. 2a

B. \(a^2\)

C. \(a\sqrt2\)

D. a

Câu 7: Một cột điện thẳng đứng trên mặt đất nằm ngang. Sợi dây dài 25 m được căng từ đỉnh cột đến điểm trên mặt đất cách chân cột 7 m. Chiều cao cột điện là:

A. 18 m

B. 32 m

C. 24 m

D. 25 m

Đáp án và lời giải

Câu 1: C. Đây là phát biểu định lý Pytago.

Câu 2: D. MP đối diện góc vuông N nên là cạnh huyền.

Câu 3: C.

\(c=\sqrt{20^2+21^2}=29\text{ cm}\)

Câu 4: C. BC là cạnh huyền.

\(AC=\sqrt{37^2-12^2}=35\text{ cm}\)

Câu 5: B. Đường chéo chia hình chữ nhật thành hai tam giác vuông.

\(d=\sqrt{12^2+5^2}=13\text{ cm}\)

Câu 6: C. Với a > 0:

\(c=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\)

Câu 7: C. Sợi dây là cạnh huyền.

\(h=\sqrt{25^2-7^2}=24\text{ m}\)

Lưu ý khi áp dụng định lý Pytago

• Không áp dụng công thức cho tam giác chưa xác định có góc vuông.

• Cạnh huyền phải đối diện góc vuông, không phụ thuộc hướng vẽ hình.

• Không nhầm \(c^2=a^2+b^2\) với \(c=a+b\).

• Đổi các độ dài về cùng đơn vị trước khi thay số; chỉ làm tròn ở kết quả cuối nếu đề yêu cầu.

• Muốn tính cạnh góc vuông, lấy bình phương cạnh huyền trừ bình phương cạnh góc vuông đã biết.

Bài viết đã trình bày một cách khái quát những công thức, cách chứng minh và ứng dụng thực tế của định lý Pytago trong cuộc sống và các bài toán phức tạp hơn. Để nắm vững hơn về định lý này, người học cần luyện tập thường xuyên các công thức, bài tập hay bài toán liên quan đến chúng nhằm hỗ trợ quá trình làm chủ và lĩnh hội kiến thức trên.

Để củng cố thêm kiến thức và luyện tập các dạng bài liên quan, người học có thể tham khảo thêm chuyên đề Toán 8 với hệ thống bài học, công thức và bài tập được sắp xếp theo từng chủ đề.