Định lý Pytago | Lý thuyết và bài tập Toán 7

Định lý Pytago là định lý cơ bản trong hình học, phát biểu rằng trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông. Tuy nhiên, dù là những người đã tiếp xúc với hình học phẳng nhưng người học vẫn cần hiểu rõ hơn về ứng dụng thực tế của định lý này trong cuộc sống và các bài toán phức tạp hơn.

Bài viết sẽ giúp người học nắm vững công thức, cách chứng minh và biết cách áp dụng định lý này để giải quyết các bài tập hình học, bài toán thực tế và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng.

Định lý Pytago là gì?

Phát biểu định lý và công thức định lý Pytago

Trước hết, định lý Pytago chỉ được áp dụng với tam giác vuông. Vậy, tam giác vuông là gì? Tam giác vuông là hình tam giác có ba cạnh với một góc bằng 90 độ. Góc 90 độ được gọi là góc vuông và đó là lý do tam giác vuông có tên gọi này. [1]

Cạnh đối diện với góc vuông của tam giác được gọi là cạnh huyền. Đây là cạnh dài nhất trong ba cạnh của tam giác vuông.

Định lý Pytago là một phát biểu liên hệ giữa độ dài các cạnh trong một tam giác vuông bất kỳ như sau: Với bất kỳ tam giác vuông nào, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Khái quát phát biểu trên thành công thức, người học sẽ có:

\[h^2 = a^2 + b^2\]Với:

• h là cạnh huyền

• a và b là 2 cạnh góc vuông còn lại

Giải thích ý nghĩa các cạnh trong tam giác vuông

Với tam giác vuông, có một số định nghĩa về các cạnh mà người học cần ghi nhớ.

Đầu tiên, trong một tam giác vuông, sẽ có 2 cạnh tạo góc vuông với nhau (góc 90 độ). 2 cạnh này được gọi là 2 cạnh góc vuông. Người học cần lưu ý rằng 2 cạnh góc vuông không nhất thiết phải bằng nhau. Nếu chúng bằng nhau, người học sẽ có một tam giác vuông cân với mỗi góc của cạnh góc vuông với cạnh huyền bằng 45 độ.[1]

Bên cạnh đó, ta có cạnh đối diện với góc vuông, hay nói cách khác, cạnh huyền. Cạnh huyền luôn luôn lớn hơn 1 trong 2 cạnh góc vuông và là cạnh dài nhất trong một tam giác vuông. [1]

Phạm vi và điều kiện áp dụng

Như đã đề cập trước đó, định lý Pytago chỉ đúng khi áp dụng với các tam giác vuông. Nghĩa rằng, một tam giác vuông sẽ có bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông và ngược lại bất kỳ tam giác nào có tổng bình phương 2 cạnh bằng bình phương cạnh còn lại thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Các cách chứng minh định lý Pytago

Chứng minh bằng hình học: sắp xếp lại hình.

Khi vẽ các hình vuông dọc theo mỗi cạnh của một tam giác vuông, tổng diện tích của hai hình vuông nhỏ hơn (hai hình vuông dọc theo cạnh ngắn nhất, a và b) bằng diện tích của hình vuông lớn nhất (hình vuông dọc theo cạnh dài nhất, c). [2]

Bằng cách tính diện tích của mỗi hình vuông, chúng ta có thể tìm được độ dài của bất kỳ cạnh nào trong một tam giác vuông, vì:

→ \(a^2+b^2=c^2\)

Chứng minh dựa trên tam giác đồng dạng.

Trong \(△ACH\) và \(△BCA\): [3]

\(∠C = ∠C (Góc chung)\)

\(∠AHB = ∠BAC (90°)\)

Do đó, ta có thể nói \(△ACH ∼ △ BCA\)

Tương tự, \(△BHA ∼ △BAC\)

Do đó, \(\frac{BH}{BA}=\frac{BA}{BC}\) → \(BA^2=BH.BC\) (1)

Và, \(\frac{AC}{CH}=\frac{BC}{AC}\) → \(AC^2=CH.BC\) (2)

Cộng các phương trình (1) và (2) \(AB^2+AC^2\) = \(BC.\left(BH+CH\right)\)

→ \(AB^2+AC^2\) = \(BC.BC\) = \(BC^2\)

Chứng minh của James Garfield (bằng diện tích)

Tổng thống thứ 20 của Mỹ James Garfield đã phát triển một cách chứng minh khác cho định lý Pytago. Ông xây dựng một hình thang vuông lớn bằng cách ghép ba tam giác vuông, sau đó tính diện tích của hình thang này theo hai cách khác nhau và đặt chúng bằng nhau. [4]

Cách thứ nhất là tính diện tích của hình thang với cạnh lớn là a, cạnh bé là b, chiều cao là a+b, dựa trên công thức hình học cơ bản: Diện tích = \(\frac12\left(đáylớn+đáybé\right).chiềucao=\frac12\left(a+b\right)^2\)

Cách thứ hai là tính diện tích bằng tổng diện tích của ba hình cấu thành. Hình thang được tạo nên từ hai tam giác vuông (mỗi tam giác có diện tích \(\frac12ab\)) và một tam giác vuông lớn (có hai cạnh góc vuông đều là c → diện tích là \(\frac12c^2\)). Tổng diện tích của ba hình này là \(ab+\frac12c^2\)

Vì hai cách tính đều là diện tích của cùng một hình thang, ta đặt chúng bằng nhau để thiết lập phương trình:

\(\frac12\left(a+b\right)^2\) = \(ab+\frac12c^2\) → \(\left(a+b\right)^2=2ab+c^2\) → \(a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\) → \(a^2+b^2=c^2\)

Các chứng minh bằng đại số

Vào khoảng 2000 năm trước, Trung Quốc đã tìm ra một cách để chứng minh định lý Pytago. Cách ấy được diễn giải như sau: [5]

Trong hình này, ta có 4 tam giác với 3 cạnh a, b, c như nhau. Với mỗi cạnh của hình vuông ngoài cùng là a + b. [5]

→ Diện tích của hình vuông lớn bên ngoài: A = \(\left(a+b\right)^2\)

→ Hình vuông nhỏ hơn (bị nghiêng) có diện tích là: \(c^2\)

→ Mỗi hình tam giác có diện tích là: \(\frac{ab}{2}\)

→ Tổng diện tích của cả 4 hình tam giác là: 4\(\frac{ab}{2}\) = 2ab

→ Hình vuông bị nghiêng cộng với 4 hình tam giác là: A = \(c^2\) + 2ab mà A = \(\left(a+b\right)^2\)

→ \(\left(a+b\right)^2\) = \(c^2\) + 2ab

→ \(a^2+2ab+b^2\) = \(c^2\) + 2ab → \(a^2+b^2\) = \(c^2\)

Ngoài ra, người học cũng có thể tìm hiểu thêm một số cách chứng minh khác như sử dụng vi tích phân,…

Định lý pytago đảo

Định lý Pytago đảo được phát biểu như sau: Cho một tam giác có ba cạnh lần lượt là a, b và c, nếu \(a^2+b^2=c^2\), thì góc giữa hai cạnh a và b là một góc vuông. Với ba số thực dương a, b và c bất kỳ sao cho \(a^2+b^2=c^2\) , tồn tại một tam giác có ba cạnh a, b và c theo hệ quả đảo của bất đẳng thức tam giác. [3]

Do đó, người học có thể dựa vào định lý Pytago đảo để chứng minh một tam giác có vuông hay không. Cụ thể hơn:

• Nếu có số liệu, người học cần xem xét mối liên hệ của chúng và đặt vào công thức của định lý Pytago.

• Nếu không có số liệu, giả sử người học có trên 1 hình tam giác và 1 trong số chung là tam giác vuông, người học có thể sử dụng các quy tắc của tam giác đồng dạng/tam giác bằng để chứng minh kết hợp cùng định lý trên.

Ứng dụng thực tế và bài toán liên quan

Tính cạnh tam giác vuông trong bài tập hình học.

Người học có thể sử dụng định lý này để tính độ dài các cạnh chưa biết của tam giác vuông khi biết hai cạnh còn lại. Điều này rất quan trọng trong việc giải các bài toán về lượng giác, đo lường và hình học tọa độ. [3]

Định lý này còn được áp dụng vào các bài toán thực tế, chẳng hạn như tìm chiều cao của các tòa nhà hoặc khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng, giúp người học hiểu được các ứng dụng thực tế. [3]

Ứng dụng trong kỹ thuật, xây dựng.

Các kiến ​​trúc sư sử dụng định lý Pytago để đảm bảo các phép đo của mình có độ chính xác cao khi xây dựng nhà cửa, cầu cống hoặc các công trình khác. Định lý này giúp tạo góc vuông và tính toán độ dài đường chéo khi thiết kế bố cục và nền móng. [3]

Ứng dụng để giải các toán toán liên quan trong SAT Math

Ngoài ra, trong bài thi SAT Math cũng xuất hiện dạng toán liên quan đến định lý Pytago một cách khá thường xuyên. Do đó, người học cần nắm vững kiến thức liên quan đến định lý này nhằm phục vụ việc học tập/thi cử của mình.

Ví dụ bài toán thực tế phức tạp.

Tình huống:

Một thợ mộc cần đóng một chiếc thang gác để leo lên gác xép. Để đảm bảo an toàn và đúng kỹ thuật, chiếc thang phải được đặt cách chân tường một khoảng nhất định.

• Chiều cao của gác xép (tính từ sàn nhà lên mép gác xép) là 3.6 mét.

• Chiều dài của thang đã chuẩn bị là 4.5 mét.

Yêu cầu:

1. Tính khoảng cách an toàn tối thiểu từ chân thang đến chân tường để thang có thể chạm tới mép gác xép.

2. Nếu thợ mộc muốn đặt thang cách chân tường 1.8 mét, liệu thang 4.5 mét có chạm tới mép gác xép (3.6 mét) được không? Nếu không, nó sẽ chạm tới độ cao bao nhiêu?

Đáp án:

Khoảng cách an toàn tối thiểu từ chân thang đến chân tường là 2.7 mét.

Thang 4.5m có thể chạm tới mép gác xép (3.6m) vì nó có thể chạm tới độ cao tối đa là 4.124 m.

Bài tập vận dụng định lý Pytago

Câu 1: Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng:

A. Tổng độ dài hai cạnh góc vuông.

B. Hiệu bình phương độ dài hai cạnh góc vuông.

C. Tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông.

D. Tích độ dài hai cạnh góc vuông.

Câu 2: Bộ ba số nào sau đây không phải là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông (bộ ba Pytago)?

A. 3, 4, 5

B. 5, 12, 13

C. 8, 15, 17

D. 4, 5, 6

Câu 3: Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là 6 cm và 8 cm. Độ dài cạnh huyền của tam giác đó là:

A. 100 cm

B. 14 cm

C. 10 cm

D. 140 cm

Câu 4: Cho tam giác ABC có \( AB = 1 cm\), \(AC = 2 cm\) và \(BC = cm\). Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

A. Tam giác nhọn.

B. Tam giác tù.

C. Tam giác vuông (tại A).

D. Tam giác cân.

Câu 5: Trong hình chữ nhật có chiều dài 12 cm và chiều rộng 5 cm. Độ dài đường chéo của hình chữ nhật đó là:

A. 17 cm

B. 13 cm

C. 19 cm

D. 60 cm

Câu 6: Một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Độ dài cạnh huyền là:

A. 2a

B. \(a^2\)

C. \(a\sqrt2\)

D. a

Câu 7: Một sợi dây dài 25 m được căng từ đỉnh cột điện xuống đất. Biết khoảng cách từ chân cột điện đến chỗ buộc dây trên mặt đất là 7 m. Chiều cao của cột điện là:

A. 18 m

B. 32 m

C. 24 m

D. 25 m

Đáp án:

Câu 1. C

Câu 2. D

Câu 3. C

Câu 4. C

Câu 5. B

Câu 6. C

Câu 7. C

Xem thêm:

• Tổng hợp các câu hỏi trong phần thi SAT Math thường gặp - Phần 2

• Phương pháp giải các dạng toán trong SAT Math (P1)

• SAT Math formulas: Các công thức thường gặp trong SAT Math

Tổng kết

Bài viết đã trình bày một cách khái quát những công thức, cách chứng minh và ứng dụng thực tế của định lý Pytago trong cuộc sống và các bài toán phức tạp hơn. Để nắm vững hơn về định lý này, người học cần luyện tập thường xuyên các công thức, bài tập hay bài toán liên quan đến chúng nhằm hỗ trợ quá trình làm chủ và lĩnh hội kiến thức trên.

Người họ khi cần tìm lời giải cho các bài toán có thể nhận được sự hỗ trợ hiệu quả từ ZIM Helper – diễn đàn hỏi đáp chuyên biệt dành cho người học. Tại đây, các thắc mắc về toán học, cũng như những vấn đề liên quan đến việc ôn luyện cho kỳ thi Đại học và các kỳ thi toán học khác, đều được giải đáp chi tiết.