Đường tròn ngoại tiếp tam giác | Tâm và công thức tính bán kính

Trong hình học, đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác. Bài viết giúp người học hiểu đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, cách xác định và cách vẽ tâm, đồng thời hệ thống công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, tính chất và các trường hợp đặc biệt ở tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Cho tam giác ABC. Đường tròn tâm O, bán kính R (kí hiệu: (O; R)) được gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nếu (O; R) đi qua 3 điểm A,B,C. Khi đó ta nói tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R).

Có thể nhận thấy tâm O của đường tròn ngoại tiếp cách đều 3 đỉnh A, B, C của tam giác ABC (hay OA = OB = OC), do đó O chính là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. 

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác và là giao điểm của ba đường trung trực. Với tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp là O, ta có OA = OB = OC = R.

Cách vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác và cách xác định tâm

Vậy để xác định đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có thể làm như sau:

• Bước 1: Vẽ hai (hoặc ba) đường trung trực ứng với hai (hoặc ba) cạnh của tam giác ABC. 

• Bước 2: Gọi giao điểm của những đường trung trực đó là O. Vẽ đường tròn (O; OA), khi đó đường tròn (O; OA) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tính chất đường tròn ngoại tiếp tam giác

Tính chất về góc trong đường tròn

Trước khi đi vào tính chất này, người học cần nắm được các định nghĩa sau: Cho đường tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó:

• Các góc trong tam giác ABC được gọi là góc nội tiếp đường tròn (O; R). 

• Các góc được tạo bởi đỉnh là tâm O của đường tròn được gọi là góc ở tâm.

• Hai điểm bất kì thuộc đường tròn (không trùng nhau) sẽ chia đường tròn làm hai phần, được gọi là cung của đường tròn tạo bởi hai điểm đó.

Ví dụ, cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC như trong hình sau:

Khi đó:

• Góc \(\widehat{BAC}\) được gọi là góc nội tiếp đường tròn (O).

• Góc \(\widehat{BOC}\) được gọi là góc ở tâm của đường tròn (O) (do có đỉnh là tâm O của đường tròn)

• Một phần đường tròn BmC được gọi là cung của đường tròn (O), kí hiệu \(\stackrel{\frown}{BMC}\). Cung này bị chắn bởi góc BAC do toàn bộ cung nằm trong góc BAC. Số đo cung \(\stackrel{\frown}{BMC}\) được kí hiệu là \(sđ\stackrel{\frown}{BmC}\).

Tính chất về góc: Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng một nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung. Số đo cung cũng chính bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

Với đường tròn ngoại tiếp (O; R) của tam giác ABC được cho ở hình sau:

Có thể nhận thấy góc BAC và góc BOC cùng chắn cung nhỏ BC (một phần đường tròn có hai đầu mút là B, C và không chứa điểm A) của đường tròn (O; R). Do đó, áp dụng tính chất trên ta có\[\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{\frown}{BC}\]

Tương tự ta cũng có:

\[\widehat{ABC}=\frac{1}{2}\widehat{AOC}; \widehat{ACB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}\]

Hệ quả: Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau và bằng một nửa số đo góc ở tâm chắn cung đó.

Ví dụ về tính chất góc trong đường tròn

Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm O. Lấy hai điểm A và B nằm trên đường tròn sao cho số đo cung nhỏ AB bằng 70. Lấy điểm C nằm trên cung lớn AB. Tính số đo góc ACB.

Hướng dẫn giải:

Do góc ACB chắn cung nhỏ AB của đường tròn (O), do đó áp dụng tính chất góc trong đường tròn ta có:\[\widehat{ACB}=\frac{1}{2}.\widehat{AOB}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{\frown}{AB}=\frac{1}{2}.{70}^{\circ }={35}^{\circ }\]

Vậy góc \(\widehat{ACB}={35}^{\circ }\).

Ví dụ 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Biết góc BAC bằng 40°. Tính góc BDC.

Hướng dẫn giải:

Hai góc BAC và BDC đều là góc nội tiếp cùng chắn cung BC nên có số đo bằng nhau.

Do đó:

\[\angle BDC=\angle BAC=40^\circ\]

Vậy góc BDC bằng 40°.

Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm của cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.

Hay nói cách khác, nếu tam giác ABC vuông tại A thì đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O là trung điểm của cạnh BC. Khi đó BC chính là đường kính của đường tròn (O; R). 

Do đó, để xác định đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông, ta chỉ cần lấy trung điểm của cạnh huyền làm tâm đường tròn và bán kính đường tròn bằng một nửa cạnh huyền của tam giác.

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A, có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là AB = 5cm và AC = 12cm. Tính độ dài bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ta có:

\[{BC}^{2}={AB}^{2}+{AC}^{2}={5}^{2}+{12}^{2}=169={13}^{2}\]

Suy ra BC = 13 (cm). Vì tam giác ABC vuông ở A nên độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng một nửa cạnh huyền BC. Do đó: \[R=\frac{BC}{2}=\frac{13}{2}=6,5\]

(cm).

Vậy độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng 6,5cm.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác cân

Với tam giác ABC cân tại A, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cân nằm trên đường trung trực của cạnh đáy BC. Đường này đồng thời là đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác kẻ từ đỉnh A.

Nếu AB = AC = a và đường cao từ A xuống BC có độ dài h thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác cân được tính theo công thức:

\[R=\frac{a^2}{2h}\]

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều trùng với giao điểm của ba đường trung trực, đồng thời cũng là trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác đều.

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R), với BC = a. Khi đó ta có công thức liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và cạnh của tam giác đều:

\(a=\sqrt3.R\)(hay \(R\ =\ \frac{\sqrt{3}}{3}a\))

Cách chứng minh:

Áp dụng tính chất góc trong đường tròn: \[\widehat{BOC}=2.\widehat{BAC}={120}^{\circ }\]

Vẽ OM vuông góc với BC. Khi đó M là trung điểm của BC, và \[\widehat{COM}=\frac{1}{2}\widehat{BOC}={60}^{\circ }\]

Nhận thấy tam giác COM vuông ở M, khi đó \[CM=\sin COM.OC=\sin 60.OC\]

Do đó \(\frac{a}{2}=\sin 60.R=\frac{\sqrt{3}}{2}R\) hay \(a=\sqrt3.R\).

Ví dụ: Cho tam giác đều ABC có độ dài cạnh bằng 9 cm, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Tính bán kính R của đường tròn (O). 

Hướng dẫn giải: Do ABC là tam giác đều nên áp dụng công thức liên hệ giữa bán kính đường tròn ngoại tiếp và cạnh của tam giác đều ta có:

\[R=\frac{\sqrt{3}}{3}.a=\frac{\sqrt{3}}{3}.9=3\sqrt{3}\]

(cm)

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng \(3\sqrt3\)cm.

Bài tập đường tròn ngoại tiếp tam giác có lời giải

Đối với các dạng bài toán liên quan đến đường tròn ngoại tiếp tam giác, người học cần vận dụng các tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác một cách hiệu quả. Một số dữ kiện quan trọng được đề cập trong bài có thể là:

• Tam giác đề bài cho là tam giác đặc biệt (tam giác vuông, tam giác cân, tam giác đều). Khi đó ta có thể xác định tâm hoặc bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác một cách nhanh chóng.

• Đề bài có thể cho trước số đo một góc nội tiếp/góc ở tâm/cung trong đường tròn. Khi đó ta có thể vận dụng tính chất về góc trong đường tròn để tính toán các góc còn lại có trong đường tròn.

Bài 1: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. Xác định tâm O và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Hướng dẫn giải: 

• Bước 1: Thu thập, phân tích dữ kiện từ đề bài

Nhận thấy \[AB^2+AC^2=3^2+4^2=25=5^2=BC^2\]

Do đó áp dụng định lý Pytago đảo ta có tam giác ABC vuông ở A. 

• Bước 2: Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp

Do tam giác ABC vuông ở A nên tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC, bán kính bằng một nửa cạnh huyền: 

\[R=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}=2,5\]

(cm)

Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O là trung điểm cạnh BC, bán kính bằng 2,5cm.

Bài 2: Cho hai điểm B, C cố định, điểm A thay đổi sao cho tam giác ABC là tam giác nhọn. Kẻ đường cao BE, CF của tam giác ABC. Chứng minh E, F luôn thuộc một đường tròn cố định khi A thay đổi.

Hướng dẫn giải: 

• Bước 1: Thu thập, phân tích dữ kiện từ đề bài

Nhận thấy khi A thay đổi thì các tam giác BEC và BFC đều là các tam giác vuông. Do đó ta có thể nghĩ đến tính chất đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông để xác định vị trí của E, F.

• Bước 2: Chứng minh bài toán

Gọi I là trung điểm của BC. Khi đó I cố định (do B, C cố định)

Nhận thấy tam giác BEC vuông ở E nên áp dụng tính chất đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ta có (\(I,\frac{BC}{2}\)) là đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC.

Tương tự (\(I,\frac{BC}{2}\)) cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác BFC vuông ở F.

Do đó E, F cùng thuộc đường tròn (\(I,\frac{BC}{2}\)). Mà I, B, C cố định nên ta có được điều phải chứng minh.

Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Kẻ đường cao AH của tam giác ABC và đường kính AD của đường tròn (O). 

a. Chứng minh \(\Delta ABH\sim \Delta ADC\)

b. Biết AB = 8, AC = 15 và đường cao AH = 5. Tính độ dài bán kính R của đường tròn (O). 

Hướng dẫn giải:

• Bước 1: Thu thập, phân tích dữ kiện từ đề bài

Đề bài đã cho đường kính AD, do đó mọi điểm thuộc đường tròn (O; R) đều nhìn AD dưới một góc vuông. Ta có thể vận dụng thêm tính chất về góc trong đường tròn để chứng minh câu a, từ câu a có thể suy ra hệ thức liên hệ giữa các cạnh AB, AC, AH và bán kính của đường tròn để giải quyết câu b.

• Bước 2: Chứng minh bài toán

a. Do AD là đường kính của (O; R) nên góc \(\widehat{ACD}={90}^{\circ }\), hay tam giác ACD vuông ở C.

Nhận thấy góc ADC và ABC cùng chắn cung nhỏ AC của đường tròn (O; R), do đó từ tính chất về góc trong đường tròn ta có \(\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\), hay \(\widehat{ADC}=\widehat{ABH}\)

Hai tam giác vuông ABH và ADC có hai góc nhọn ABH và ADC bằng nhau, vậy:

\[\Delta ABH\sim \Delta ADC\]

b. Do \(\Delta ABH\sim \Delta ADC\) nên:

\[\frac{AB}{AD}=\frac{AH}{AC}\Rightarrow AD=2R=\frac{AB.AC}{AH}=\frac{8.15}{5}=24\Rightarrow R=12\]

Vậy độ dài bán kính R của đường tròn (O; R) bằng 12.

Bài 4: Cho tam giác DEF cân tại D, nội tiếp đường tròn tâm O. Biết cạnh đáy EF = 12 và đường cao DI = 8. Tính độ dài bán kính R của đường tròn ngoại tiếp (O).

Hướng dẫn giải: 

• Bước 1: Thu thập dữ kiện từ đề bài

Do tam giác DEF cân tại D, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF nằm trên đường cao kẻ từ D của tam giác DEF (hay O\(\in\)DI).

• Bước 2: Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp

Nhận thấy \[DF=\sqrt{{DI}^{2}+{IF}^{2}}=\sqrt{{DI}^{2}+{\left({\frac{EF}{2}}\right)}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}=10\]

Vẽ OK vuông góc DF. Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF nên K là trung điểm của DF, hay DK = 5.

Hai tam giác vuông DOK và DFI có chung góc nhọn ở đỉnh D nên:

\[\Delta DOK\sim \Delta DFI\Rightarrow \frac{OK}{FI}=\frac{DK}{DI}\Rightarrow \frac{OK}{6}=\frac{5}{8}\Rightarrow OK=3,75\]

Tam giác DOK vuông ở K nên áp dụng định lý Pytago ta có:

\[{{R}^{2}=DO}^{2}={DK}^{2}+{OK}^{2}={5}^{2}+{3,75}^{2}={6,25}^{2}\Rightarrow R=6,25\]

Vậy độ dài bán kính R của đường tròn (O) bằng 6,25.

Đường tròn ngoại tiếp tam giác là chủ đề quan trọng trong chuyên đề Toán lớp 9 và chương trình Toán THCS. Do đó, người học cần nắm vững kiến thức về định nghĩa, tính chất, và phương pháp giải một số bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác để vận dụng giải các bài toán sau này.