Đường trung trực | Tính chất, cách chứng minh và bài tập

Đường trung trực là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 7 Kết nối tri thức, liên quan đến đường trung trực của một đoạn thẳng, tính chất đường trung trực, điểm cách đều hai đầu mút và đường trung trực của tam giác.

Bài viết giúp học sinh hiểu đường trung trực là gì, cách nhận biết, cách chứng minh đường trung trực, cách vẽ đường trung trực và xác định giao điểm của 3 đường trung trực trong tam giác, kèm các dạng bài tập thường gặp có lời giải.

Đường trung trực là gì?

 Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.

Nói cách khác, đường thẳng d được gọi là đường trung trực của đoạn thẳng AB nếu d thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:

• d đi qua trung điểm M của đoạn thẳng AB.

• d vuông góc với AB tại M.

Ví dụ minh họa

Cho đoạn thẳng AB có độ dài 8cm. Gọi M là trung điểm của AB (AM = MB = 4cm). Nếu vẽ đường thẳng d đi qua M và vuông góc với AB, thì d chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Mọi điểm nằm trên d, khi nối với A và với B, sẽ tạo ra hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau — tính chất này sẽ được trình bày rõ ở phần tiếp theo.

Phân biệt đường trung trực với đường trung tuyến và đường cao

Đường trung trực, đường trung tuyến và đường cao đều là các đường thường gặp trong hình học tam giác nhưng có cách xác định khác nhau:

• Đường trung trực của một cạnh là đường thẳng vuông góc với cạnh đó tại trung điểm và không nhất thiết đi qua một đỉnh của tam giác.

• Đường trung tuyến là đoạn thẳng nối một đỉnh với trung điểm của cạnh đối diện.

• Đường cao là đoạn vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện.

Như vậy, đường trung trực gắn với một cạnh của tam giác, còn đường trung tuyến và đường cao đều được xác định từ một đỉnh.

Tính chất của đường trung trực

Đường trung trực của đoạn thẳng gắn liền với một tính chất rất quan trọng, được phát biểu dưới cả hai chiều thuận và đảo.

Định lý thuận của đường trung trực

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Nếu điểm K nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB thì KA = KB.

Định lý đảo của đường trung trực

Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Nếu KA = KB thì K nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Dấu hiệu nhận biết đường trung trực

Từ hai định lý trên, ta có: tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng chính là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Cách chứng minh một đường thẳng là đường trung trực

Để chứng minh đường trung trực của một đoạn thẳng, có thể áp dụng hai cách phổ biến sau:

Cách 1: Dùng định nghĩa đường trung trực

Chứng minh đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

Cách 2: Dùng tính chất đường trung trực

Chứng minh hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng. Theo định lý đảo, hai điểm đó cùng nằm trên đường trung trực, nên đường thẳng đi qua chúng chính là đường trung trực của đoạn thẳng.

Cách vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng

Cách vẽ bằng thước và compa

Đây là cách vẽ chính xác và phổ biến nhất, được thực hiện theo các bước sau:

1. Đặt compa với độ mở bất kỳ lớn hơn nửa độ dài đoạn thẳng AB, vẽ một cung tròn tâm A.

2. Giữ nguyên độ mở compa, vẽ một cung tròn tâm B, sao cho cung tròn này cắt cung tròn tâm A tại hai điểm, gọi là C và D.

3. Nối hai điểm C và D lại với nhau, ta được đường thẳng CD chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Cách vẽ này dựa trên nguyên lý: vì hai cung tròn có cùng bán kính nên C và D đều cách đều A và B (CA = CB, DA = DB), do đó theo tính chất đảo, cả C và D đều nằm trên đường trung trực của AB.

Cách vẽ bằng thước đo góc và thước thẳng

Cách này phù hợp khi không có compa:

1. Dùng thước thẳng đo độ dài đoạn thẳng AB, xác định trung điểm M (điểm chia AB thành hai đoạn bằng nhau).

2. Dùng thước đo góc đặt tại M, xác định hướng vuông góc với AB (góc 90°).

3. Kẻ đường thẳng đi qua M theo hướng vuông góc vừa xác định, đó chính là đường trung trực của AB.

Lưu ý về sai số khi vẽ tay

Khi vẽ bằng tay, dù sử dụng cách nào, học sinh cũng có thể gặp sai số nhỏ do dụng cụ đo không tuyệt đối chính xác. Để kiểm tra lại, học sinh có thể dùng thước đo góc đặt tại giao điểm để xác nhận góc tạo thành đúng bằng 90°, đồng thời đo lại khoảng cách từ hai điểm bất kỳ trên đường vừa vẽ đến A và B để kiểm tra xem có bằng nhau hay không.

Đường trung trực của tam giác và giao điểm của 3 đường trung trực

Trong một tam giác, mỗi cạnh có một đường trung trực. Vì tam giác có ba cạnh nên có 3 đường trung trực, và ba đường này đồng quy tại một điểm.

Giao điểm của 3 đường trung trực là gì?

Ba đường trung trực của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh và chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Nếu O là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC thì:

OA = OB = OC.

Vị trí giao điểm ba đường trung trực trong các loại tam giác

Vị trí của điểm đồng quy sẽ thay đổi tùy theo loại tam giác:

• Tam giác nhọn: điểm đồng quy L nằm bên trong tam giác.

• Tam giác vuông: điểm đồng quy E nằm chính giữa cạnh huyền (tức là trùng với trung điểm cạnh huyền).

• Tam giác tù: điểm đồng quy E nằm bên ngoài tam giác.

• Tam giác cân: đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là trục đối xứng của tam giác, và điểm O nằm trên đường trung trực này.

• Tam giác đều: ba đường trung trực đồng thời là ba đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác, cùng đồng quy tại một điểm.

Các dạng bài tập thường gặp về đường trung trực

Dựa trên định nghĩa và tính chất đã học, các bài tập về đường trung trực thường được chia thành ba dạng chính.

Dạng 1: Chứng minh một điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng

Đề bài: Cho đoạn thẳng AB, đường trung trực d của AB. Gọi K là một điểm bất kỳ nằm trên d. Chứng minh KA = KB.

Phân tích đề bài: Đề bài đã cho sẵn K nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB. Đây chính là điều kiện của tính chất thuận, nên chỉ cần áp dụng trực tiếp tính chất này để có kết luận.

Bài giải:

Vì K nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB, theo tính chất thuận của đường trung trực, ta có: điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Vậy KA = KB (điều phải chứng minh).

Dạng 2: Chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng

Đề bài: Cho đoạn thẳng AB. Gọi C, D là hai điểm sao cho CA = CB và DA = DB (C, D không trùng nhau). Chứng minh CD là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Phân tích đề bài: Đề bài cho hai điểm C và D đều cách đều A và B. Đây là dấu hiệu để áp dụng Cách 2 (dùng tính chất đảo): nếu chứng minh được cả C và D đều nằm trên đường trung trực của AB, thì đường thẳng CD (đi qua hai điểm đó) chính là đường trung trực của AB.

Bài giải:

Vì CA = CB nên theo tính chất đảo của đường trung trực, điểm C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Vì DA = DB nên theo tính chất đảo của đường trung trực, điểm D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Vậy cả hai điểm C và D đều nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. Vì qua hai điểm phân biệt chỉ có duy nhất một đường thẳng, nên đường thẳng CD chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB (điều phải chứng minh).

Dạng 3: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác dựa vào giao điểm ba đường trung trực

Đề bài: Cho tam giác ABC. Gọi O là giao điểm của đường trung trực cạnh AB và đường trung trực cạnh AC. Chứng minh O cũng nằm trên đường trung trực cạnh BC, từ đó suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Phân tích đề bài: Đây là bài toán chứng minh tính đồng quy của ba đường trung trực. Hướng giải là chứng minh OB = OC dựa vào các đẳng thức đã có từ hai đường trung trực kia (OA = OB và OA = OC), sau đó áp dụng tính chất đảo để kết luận O nằm trên đường trung trực cạnh BC.

Bài giải:

Vì O nằm trên đường trung trực của cạnh AB, theo tính chất thuận, ta có OA = OB. (1)

Vì O nằm trên đường trung trực của cạnh AC, theo tính chất thuận, ta có OA = OC. (2)

Từ (1) và (2), suy ra OB = OC (cùng bằng OA).

Vì OB = OC nên theo tính chất đảo của đường trung trực, điểm O nằm trên đường trung trực của cạnh BC.

Vậy O nằm trên cả ba đường trung trực của tam giác ABC, tức là ba đường trung trực đồng quy tại O.

Mặt khác, vì OA = OB = OC nên O cách đều ba đỉnh A, B, C. Do đó O chính là tâm của đường tròn đi qua cả ba đỉnh, gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (điều phải chứng minh).

Câu hỏi thường gặp về đường trung trực

Đường trung trực có phải lúc nào cũng đi qua đỉnh tam giác không?

Không. Đường trung trực của một cạnh trong tam giác thường không đi qua đỉnh đối diện, trừ trường hợp đặc biệt là tam giác cân, khi đường trung trực của cạnh đáy trùng với đường cao, đường trung tuyến và đường phân giác xuất phát từ đỉnh cân — lúc này nó mới đi qua đỉnh.

Đường trung trực trong tam giác vuông có tính chất gì?

Trong tam giác vuông, giao điểm của ba đường trung trực là trung điểm cạnh huyền. Vì vậy, trung điểm cạnh huyền cách đều ba đỉnh của tam giác.

Vì sao trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy trùng với đường cao, đường trung tuyến, đường phân giác?

Trong tam giác cân, do tính đối xứng qua đường thẳng nối đỉnh cân với trung điểm cạnh đáy, đường thẳng này đồng thời thỏa mãn cả bốn tính chất: nó vuông góc với cạnh đáy tại trung điểm (là đường trung trực), nó nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện (là đường trung tuyến), nó vuông góc với cạnh đáy nên cũng là đường cao, và nó chia góc ở đỉnh thành hai góc bằng nhau nên cũng là đường phân giác. Đây là một tính chất đặc trưng và rất hay được khai thác trong các bài toán về tam giác cân.

Đường trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm, gắn liền với hai tính chất quan trọng: điểm nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút, và ngược lại, điểm cách đều hai đầu mút thì nằm trên đường trung trực. Trong tam giác, ba đường trung trực của ba cạnh luôn đồng quy tại một điểm cách đều ba đỉnh — chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Nắm vững định nghĩa, hai tính chất thuận – đảo và tính đồng quy này sẽ giúp học sinh lớp 7 giải quyết tốt các dạng bài chứng minh cách đều, chứng minh đường trung trực và xác định tâm đường tròn ngoại tiếp trong chương trình hình học. Để tham khảo thêm các nội dung ôn tập khác, học sinh có thể xem thêm tại bài viết chuyên mục Toán 7.