Đường cao trong tam giác | Tính chất, trực tâm, cách vẽ và cách tính

duong cao trong tam giac tinh chat truc tam cach ve va cach tinh

Key takeaways

Đường cao là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện; mỗi tam giác có ba đường cao.
Trực tâm: Giao điểm ba đường cao, nằm trong tam giác nhọn, trùng đỉnh góc vuông trong tam giác vuông, nằm ngoài tam giác tù.
Tam giác cân/đều: Đường cao xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến, phân giác và trung trực.

Trong chương trình Toán 7, đường cao trong tam giác là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện hoặc đường thẳng chứa cạnh đó; giao điểm với cạnh đối diện được gọi là chân đường cao. Mỗi tam giác có 3 đường cao và giao điểm của 3 đường cao gọi là trực tâm.

Bài học trình bày khái niệm, tính chất đường cao, cách vẽ đường cao trong tam giác, cách xác định chân đường cao và tính chiều cao tam giác, đồng thời làm rõ đường cao trong tam giác thường, tam giác cân và tam giác đều.

Đường cao là gì?

Trong một tam giác, đường cao là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện.

Chân đường cao là gì?

Điểm giao giữa đường cao và đường thẳng chứa cạnh đối diện được gọi là chân đường cao. Đôi khi, đường thẳng chứa đoạn thẳng đường cao cũng được gọi là đường cao của tam giác.

Đường cao của tam giác là gì? — Đường cao là đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện

Một tam giác có mấy đường cao?

Mỗi tam giác có 3 đỉnh và 3 cạnh đối diện tương ứng. Do đó, mỗi tam giác có đúng ba đường cao xuất phát từ ba đỉnh đến ba cạnh đối diện (hoặc đường thẳng chứa cạnh đối diện).

Ví dụ minh họa xác định đường cao

Xét tam giác ABC:

Kẻ đoạn thẳng AH vuông góc với đường thẳng BC tại điểm H.
Đoạn thẳng AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.
Điểm H được gọi là chân đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC.
Tương tự, nếu kẻ \(BK \perp AC\) (\(K \in AC\)) và \(CL \perp AB\) (\(L \in AB\)), tam giác ABC có thêm hai đường cao BK và CL xuất phát từ các đỉnh B và C.

Đường cao của tam giác ABC có đường cao AH — Số lượng đường cao trong một tam giác

Tính chất đường cao trong tam giác

Trong các tam giác có tính chất đối xứng như tam giác cân hay tam giác đều, đường cao có sự trùng phùng đặc biệt với các đường đồng quy khác như đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực.

Tính chất đường cao trong tam giác cân

Trong một tam giác cân, đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực ứng với cạnh đáy đó.

Nhận xét: Nếu trong một tam giác, đường cao xuất phát từ một đỉnh đồng thời là đường trung tuyến hoặc đường phân giác ứng với cạnh đối diện thì tam giác đó là tam giác cân.

Cụ thể: Xét tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AH (\(H \in BC\)):

AH là đường cao: \(AH \perp BC\).
AH đồng thời là đường trung tuyến: H là trung điểm của BC (HB = HC).
AH đồng thời là đường phân giác: AH chia góc \(\widehat{BAC}\) thành hai góc bằng nhau (\(\widehat{BAH} = \widehat{CAH}\)).
AH đồng thời là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Lưu ý: Hai đường cao kẻ từ hai đỉnh ở đáy (B và C) của tam giác cân có độ dài bằng nhau (BE = CF), nhưng chúng không đóng vai trò là đường trung tuyến hay đường phân giác ứng với hai cạnh bên.

Tính chất đường cao trong tam giác đều

Do tam giác đều là trường hợp đặc biệt của tam giác cân ở cả ba đỉnh:

Ba đường cao trong tam giác đều có độ dài bằng nhau.
Mỗi đường cao trong tam giác đều đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác và đường trung trực ứng với cạnh đó.
Trực tâm của tam giác đều trùng với trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Tính chất ba đường cao và trực tâm

Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đồng quy của ba đường cao được gọi là trực tâm của tam giác.

Vị trí của trực tâm trong các loại tam giác

Vị trí của trực tâm phụ thuộc vào dạng hình học của tam giác đó:

Trực tâm của tam giác nhọn

Trực tâm nằm bên trong tam giác với giao điểm của ba đường cao nằm hoàn toàn trong phạm vi diện tích tam giác.

Trực tâm của tam giác vuông

Trực tâm trùng với đỉnh góc vuông với hai cạnh góc vuông đóng vai trò là hai đường cao nên giao điểm chính là đỉnh góc vuông.

Trực tâm tam giác vuông — Trực tâm trùng với đỉnh góc vuông

Trực tâm của tam giác tù

Trực tâm nằm bên ngoài tam giác và là giao điểm của ba đường thẳng chứa ba đường cao.

Trực tâm tam giác tù — Trực tâm nằm bên ngoài tam giác và là giao điểm của ba đường thẳng chứa ba đường cao.

Cách vẽ đường cao trong tam giác

Dụng cụ cần chuẩn bị khi vẽ đường cao bao gồm: thước kẻ và thước êke. Kỹ thuật kẻ đường cao phụ thuộc vào hình dạng của các góc trong tam giác.

Cách vẽ đường cao trong tam giác nhọn

Trong tam giác nhọn, tất cả các chân đường cao đều nằm bên trong các đoạn thẳng là cạnh của tam giác.

Bước 1: Đặt một cạnh góc vuông của êke trùng với cạnh đối diện (ví dụ cạnh BC).

Bước 2: Di chuyển êke dọc theo cạnh BC sao cho cạnh góc vuông còn lại của êke đi qua đỉnh đối diện (đỉnh A).

Bước 3: Kẻ đoạn thẳng từ đỉnh A theo cạnh góc vuông của êke đến khi chạm vào cạnh BC tại điểm H. Đoạn thẳng AH chính là đường cao cần vẽ.

Cách vẽ đường cao trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông, hai cạnh góc vuông đóng vai trò là hai đường cao của tam giác.

Giả sử tam giác ABC vuông tại A:

Cạnh góc vuông AB vuông góc với AC tại A, do đó AB chính là đường cao kẻ từ đỉnh B xuống cạnh AC.
Cạnh góc vuông AC vuông góc với AB tại A, do đó AC chính là đường cao kẻ từ đỉnh C xuống cạnh AB.
Để vẽ đường cao xuất phát từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC, học sinh thực hiện các bước kẻ đường cao tương tự như trong tam giác nhọn (đặt êke vuông góc với cạnh huyền BC và đi qua đỉnh A).

Cách vẽ đường cao trong tam giác tù

Đối với tam giác tù, hai đường cao xuất phát từ hai đỉnh góc nhọn sẽ có chân đường cao nằm bên ngoài đoạn thẳng cạnh đối diện, nói cách khác là nằm trên đường thẳng kéo dài của cạnh.

Giả sử tam giác ABC có góc B là góc tù (\(\widehat{B} > 90^\circ\)). Để kẻ đường cao từ đỉnh A xuống cạnh BC:

Bước 1: Kéo dài đoạn thẳng BC qua B.

Bước 2: Đặt một cạnh góc vuông của êke trùng với đường thẳng kéo dài BC.

Bước 3: Di chuyển êke sao cho cạnh góc vuông còn lại đi qua đỉnh A.

Bước 4: Kẻ đoạn thẳng từ A vuông góc với đường thẳng BC tại H. Đoạn thẳng AH là đường cao ứng với cạnh BC, và điểm H nằm ngoài đoạn thẳng BC.

Lưu ý quan trọng khi kẻ đường cao

Khi kẻ đường cao trong tam giác tù, học sinh không kéo dài đường cao để cắt đoạn thẳng cạnh đối diện, mà phải kéo dài cạnh đối diện để hứng đường cao từ đỉnh chiếu xuống.
Ký hiệu góc vuông bắt buộc phải được đánh dấu rõ ràng tại chân đường cao sau khi hoàn thành nét vẽ.

Công thức tính chiều cao tam giác

Công thức tính chiều cao khi biết diện tích và cạnh đáy

Nếu tam giác có diện tích S, cạnh đáy a và chiều cao tương ứng h: \(S=\frac{1}{2}ah\).

Suy ra: \(h=\frac{2S}{a}\).

Công thức tính đường cao trong tam giác cân

Tam giác cân có cạnh bên a, cạnh đáy b: \(h=\sqrt{a^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2}\) hoặc \(h=\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}\).

Công thức tính đường cao trong tam giác đều

Tam giác đều cạnh a: \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Những nhầm lẫn thường gặp về đường cao trong tam giác

Trong quá trình học và làm bài kiểm tra, học sinh thường mắc phải một số sai sót về mặt lý thuyết và kỹ năng vẽ hình liên quan đến đường cao:

Nhầm lẫn giữa đường cao với đường trung tuyến, đường trung trực hoặc đường phân giác

Nguyên nhân: Học sinh thường ngầm hiểu đường cao bao giờ cũng đi qua trung điểm của cạnh đối diện.
Khắc phục: Người học cần nhớ rằng đường cao chỉ yêu cầu điều kiện vuông góc, không yêu cầu đi qua trung điểm (trừ trường hợp đường cao ứng với cạnh đáy của tam giác cân hoặc tam giác đều).

Đường	Đặc điểm
Đường cao	Qua đỉnh và vuông góc với đường thẳng chứa cạnh đối diện
Đường trung tuyến	Qua đỉnh và trung điểm cạnh đối diện
Đường phân giác	Chia góc ở đỉnh thành hai góc bằng nhau
Đường trung trực	Vuông góc với một cạnh tại trung điểm của cạnh đó

Nhầm lẫn khi xác định chân đường cao trong tam giác tù

Nguyên nhân: Khi vẽ đường cao từ đỉnh góc nhọn trong tam giác tù, học sinh hay cố vẽ chân đường cao ép vào bên trong cạnh đối diện, dẫn đến góc vẽ không vuông.
Khắc phục: Học sinh phải luôn nhớ kéo dài cạnh đối diện trước khi hạ đường vuông góc từ đỉnh góc nhọn.

Bài tập vận dụng có lời giải

Bài tập 1: Nhận biết đường cao và xác định trực tâm

Đề bài: Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ hai đường cao BD (\(D \in AC\)) và CE (\(E \in AB\)). Gọi H là giao điểm của BD và CE.

a) Điểm H được gọi là gì của tam giác ABC?

b) Đường thẳng AH cắt cạnh BC tại điểm F. Chứng minh rằng \(AF \perp BC\).

Lời giải:

Nhận biết đường cao và xác định trực tâm — Bài tâp tính toán đường cao và trực tâm tam giác

a) Xét tam giác ABC:

BD là đường cao xuất phát từ đỉnh B (\(BD \perp AC\)).
CE là đường cao xuất phát từ đỉnh C (\(CE \perp AB\)).
H là giao điểm của hai đường cao BD và CE.
Theo tính chất đồng quy của ba đường cao trong tam giác, giao điểm của các đường cao là trực tâm. Vậy điểm H là trực tâm của tam giác ABC.

b) Vì H là trực tâm của tam giác ABC, đường thẳng đi qua đỉnh A và trực tâm H hay đoạn thẳng AH chính là đường cao thứ ba của tam giác ABC.

Do AH cắt BC tại F, đoạn thẳng AF chính là đường cao xuất phát từ đỉnh A ứng với cạnh BC.

Suy ra \(AF \perp BC\) tại F (điều phải chứng minh).

Bài tập 2: Đường cao trong tam giác cân và tính độ dài

Đề bài: Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AH xuất phát từ đỉnh A (\(H \in BC\)).

a) Chứng minh rằng H là trung điểm của cạnh BC.

b) Cho biết \(AB = 5\text{ cm}\) và \(BC = 6\text{ cm}\). Tính độ dài đường cao AH.

Lời giải:

Đường cao trong tam giác cân và tính độ dài — Bài tập đường cao trong tam giác cân

a) Xét hai tam giác vuông: \(\Delta\)AHB vuông tại H và \(\Delta\)AHC vuông tại H:

Cạnh huyền AB = AC ( \(\Delta\)ABC cân tại A).
Cạnh góc vuông AH là cạnh chung.
Do đó, \(\Delta AHB = \Delta AHC\) (trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra \(HB=HC\) (hai cạnh tương ứng).
Vì \(H \in BC\) và \(HB = HC\) nên điểm H chính là trung điểm của đoạn thẳng BC (điều phải chứng minh).

b) Vì H là trung điểm của BC, ta có:

\[HB = HC = \frac{BC}{2} = \frac{6}{2} = 3\text{ cm}\]

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H, áp dụng định lý Pitago ta có:

\[AB^2 = AH^2 + HB^2\]

Thay số:

\[5^2 = AH^2 + 3^2\]

\[25 = AH^2 + 9\]

\[AH^2 = 25 - 9 = 16\]

\[AH = \sqrt{16} = 4\text{ cm}\]

Vậy độ dài đường cao AH là \(4\text{ cm}\).

Bài tập 3: Chứng minh tam giác cân dựa vào đường cao

Đề bài: Cho tam giác ABC có đường cao AH (\(H \in BC\)) đồng thời là đường phân giác của góc \(\widehat{BAC}\). Chứng minh tam giác ABC cân tại A.

Xét hai tam giác vuông AHB và AHC:

Ta có \(\widehat{AHB} = \widehat{AHC} = 90^\circ\) (do \(AH \perp BC\)).
AH là cạnh chung.
\(\widehat{BAH} = \widehat{CAH}\) (do \(AH\) là đường phân giác của góc \(\widehat{BAC}\)).

Do đó, \(\Delta AHB = \Delta AHC\) (trường hợp góc nhọn - cạnh góc vuông).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A (điều phải chứng minh).

Nắm vững khái niệm, cách vẽ đường cao và tính chất trực tâm giúp học sinh dễ dàng giải quyết các bài toán chứng minh vuông góc hay tính độ dài đoạn thẳng. Việc phân biệt chính xác đường cao với đường trung tuyến và đường trung trực giúp học sinh tránh nhầm lẫn khi làm bài, đồng thời củng cố kiến thức trong các chuyên đề Toán 7 tại ZIM Academy.