Góc nội tiếp | Định nghĩa, số đo, cung bị chắn và ví dụ

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Đây là định nghĩa cơ bản giúp xác định góc nội tiếp là gì trong hình học đường tròn.

Để nhận biết một góc nội tiếp, cần kiểm tra hai đặc điểm: đỉnh của góc nằm trên đường tròn và hai cạnh của góc chứa hai dây cung. Khi đồng thời thỏa mãn hai điều kiện này, góc được xác định là góc nội tiếp.

Góc nội tiếp là gì?

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh của góc chứa hai dây cung của đường tròn đó. [1]

Có thể nhận biết góc nội tiếp dựa vào hai đặc điểm: đỉnh của góc nằm trên đường tròn và hai cạnh của góc chứa hai dây cung. Hai điều kiện này cần đồng thời được thỏa mãn; nếu đỉnh không nằm trên đường tròn hoặc có cạnh không chứa dây cung thì góc đang xét không phải là góc nội tiếp.

Ví dụ về góc nội tiếp

Cho đường tròn tâm \(O\). Trên đường tròn, lấy ba điểm phân biệt \(A, B, C\). Khi nối điểm \(A\) với điểm \(B\) và nối điểm \(A\) với điểm \(C\), tạo thành góc \(\widehat{BAC}\).

Lúc này, xét cấu tạo của góc \(\widehat{BAC}\):

• Đỉnh của góc là điểm \(A\), điểm này nằm trực tiếp trên đường tròn \((O)\).

• Hai cạnh tạo nên góc là tia \(AB\) và tia \(AC\). Tia \(AB\) chứa dây cung \(AB\), còn tia \(AC\) chứa dây cung \(AC\).

  \(\rightarrow\) Kết luận: \(\widehat{BAC}\) chính là một góc nội tiếp của đường tròn \((O)\).

Các trường hợp không phải là góc nội tiếp

Để tránh nhầm lẫn khi nhận biết góc nội tiếp, học sinh cần kiểm tra đầy đủ vị trí của đỉnh và đặc điểm của hai cạnh của góc trong các trường hợp sau:

1. Đỉnh không nằm trên đường tròn: Nếu đỉnh góc nằm bên trong hình tròn (không chạm viền) hoặc nằm hẳn bên ngoài hình tròn, thì đó không phải là góc nội tiếp.

2. Cạnh không chứa dây cung: Nếu đỉnh góc nằm trên đường tròn nhưng một trong hai cạnh của góc lại là một đường tiếp tuyến (đi ra ngoài đường tròn) thay vì cắt đường tròn để tạo thành dây cung, thì góc đó được gọi là "góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung", nên không phải là góc nội tiếp.

Cung bị chắn của góc nội tiếp là gì?

Với mỗi góc nội tiếp, phần cung nằm bên trong góc được gọi là cung bị chắn. Hai đầu mút của cung bị chắn nằm trên hai cạnh của góc. [1]

Ví dụ xác định cung bị chắn:

Trong ví dụ góc \(\widehat{BAC}\) ở phần trên, hai cạnh của góc chứa các dây cung \(AB\) và \(AC\). Phần cung nối từ điểm \(B\) đến điểm \(C\) và nằm bên trong góc \(\widehat{BAC}\) được gọi là cung bị chắn.

Có thể nói góc \(\widehat{BAC}\) chắn cung \(BC\), kí hiệu là \(\overparen{BC}\). Trong trường hợp này, góc \(\widehat{BAC}\) là góc chắn cung \(BC\), còn \(\overparen{BC}\) là cung bị chắn.

Tương tự, nếu trên đường tròn \((O)\) có góc \(\widehat{MNP}\), thì phần cung tròn nối giữa hai điểm \(M\) và \(P\) (nằm bên trong góc \(N\)) chính là cung bị chắn \(\overparen{MP}\). Kỹ năng xác định đúng cung bị chắn là bước cần thiết để học sinh áp dụng đúng các định lí tính toán số đo góc ở phần sau.

Định lí về số đo góc nội tiếp

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn. [1]

Định lí về số đo góc nội tiếp thiết lập mối liên hệ giữa số đo của góc và số đo của cung bị chắn, từ đó làm cơ sở cho các bài toán tính số đo góc, số đo cung và chứng minh hình học.

Công thức toán học:

Nếu góc \(\widehat{BAC}\) chắn cung \(BC\), có hệ thức sau:

\(\widehat{BAC} = \frac{1}{2} \text{sđ}\,\overparen{BC}\)

(Lưu ý: Kí hiệu "sđ" có nghĩa là "số đo").

Phát biểu tương đương (mối liên hệ với góc ở tâm):

Góc nội tiếp chắn cung nhỏ có số đo bằng một nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn cung đó.

\[\widehat{BAC} = \frac{1}{2} \widehat{BOC}\](Trong đó, \(\widehat{BOC}\) là góc ở tâm chắn cung \(BC\)).

Ví dụ áp dụng tính toán trực tiếp:

• Trường hợp 1 (Biết cung, tìm góc): Cho đường tròn \((O)\) và góc \(\widehat{MNP}\) chắn cung \(MP\). Nếu đề bài cho biết số đo cung \(MP\) là \(80^\circ\) (\(\text{sđ}\,\overparen{MP} = 80^\circ\)), tính số đo của góc \(\widehat{MNP}\).

  • Cách giải: Áp dụng định lí về số đo góc nội tiếp:

  \[\widehat{MNP} = \frac{1}{2} \text{sđ}\,\overparen{MP} = \frac{1}{2} \times 80^\circ = 40^\circ\]

• Trường hợp 2 (Biết góc, tìm cung ngược lại): Cho đường tròn \((O)\), \(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung \(AC\). Nếu dùng thước đo góc đo được \(\widehat{ABC} = 35^\circ\), thì số đo của cung \(AC\) là bao nhiêu?

  • Cách giải: Từ công thức gốc, suy ra: \[\text{sđ}\,\overparen{AC} = 2 \times \widehat{ABC} = 2 \times 35^\circ = 70^\circ\]

• Trường hợp 3 (Biết góc ở tâm, tìm góc trên viền): Cho góc ở tâm \(\widehat{BOC} = 120^\circ\). Lấy một điểm \(A\) bất kỳ nằm trên phần cung lớn \(BC\). Tính \(\widehat{BAC}\).

  • Cách giải: Vì góc \(\widehat{BAC}\) và góc ở tâm \(\widehat{BOC}\) cùng chắn một cung \(BC\), nên \[\widehat{BAC} = \frac{1}{2}\]\[\widehat{BOC}=\frac12\times120^{\circ}=60^{\circ}\]

Các hệ quả của góc nội tiếp

Từ định lí về số đo góc nội tiếp có thể suy ra các hệ quả thường dùng để tính số đo góc, số đo cung và chứng minh các quan hệ hình học. Trong một đường tròn, các hệ quả chính được trình bày dưới đây.

Các góc nội tiếp bằng nhau thì chắn các cung bằng nhau (và ngược lại)

Số đo của góc nội tiếp bằng một nửa số đo cung bị chắn, vì vậy các góc nội tiếp có số đo bằng nhau sẽ chắn các cung có số đo bằng nhau.

• Nếu đề bài cho biết hai góc nội tiếp \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{DEF}\) có số đo bằng nhau (ví dụ cùng bằng \(40^\circ\)), thì có thể suy ra hai cung bị chắn tương ứng của chúng bằng nhau: \[\overparen{AC} = \overparen{DF}\]

• Chiều ngược lại cũng luôn đúng: Nếu trên đường tròn có hai dây cung bằng nhau, chắn hai cung bằng nhau, thì các góc nội tiếp chắn hai cung đó có số đo bằng nhau.

Các góc nội tiếp cùng chắn một cung (hoặc chắn các cung bằng nhau) thì bằng nhau

Hệ quả này thường được vận dụng trong các bài toán chứng minh các góc bằng nhau, chứng minh tứ giác nội tiếp hoặc chứng minh hai tam giác đồng dạng.

Nếu hai góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn hai cung bằng nhau thì số đo của hai góc đó bằng nhau. Đây là hệ quả trực tiếp của định lí số đo góc nội tiếp.

• Ví dụ: Cho bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng nằm trên đường tròn \((O)\), trong đó \(A\) và \(D\) nằm trên cùng một cung có hai đầu mút \(B, C\). Khi đó các góc \(\widehat{BAC}\) và \(\widehat{BDC}\) cùng chắn cung \(BC\) không chứa \(A, D\), nên \(\widehat{BAC}=\widehat{BDC}\).

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

Hệ quả góc nội tiếp chắn nửa đường tròn thường được sử dụng để xác định góc vuông, chứng minh các đường thẳng vuông góc và giải các bài toán liên quan đến đường kính.

• Đường kính chia đường tròn thành hai nửa bằng nhau, mỗi nửa đường tròn có số đo cung là \(180^\circ\).

• Nếu một góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh của góc đi qua hai đầu mút của một đường kính, thì góc đó đang chắn cung nửa đường tròn.

• Theo định lí về số đo góc nội tiếp: Số đo góc = \(\frac{1}{2} \times 180^\circ = 90^\circ\) (góc vuông).

• Ứng dụng: Khi \(AB\) là đường kính và \(M\) là điểm trên đường tròn khác \(A, B\), thì góc \(\widehat{AMB}\) là góc vuông. Hệ quả này có thể được sử dụng để chứng minh tam giác vuông, xác định đường cao hoặc tính độ dài cạnh bằng định lí Pythagore.

  

Phân biệt góc nội tiếp chắn cung nhỏ và chắn cung lớn

Khi giải bài tập, cần xác định chính xác cung bị chắn vì hai điểm trên đường tròn thường chia đường tròn thành một cung nhỏ và một cung lớn. Việc nhầm giữa hai cung sẽ dẫn đến sai số đo khi áp dụng định lí về góc nội tiếp.

Quy tắc xác định nhanh:

• Định lí về số đo góc nội tiếp được áp dụng với cung bị chắn nằm bên trong góc.

• Góc nhọn (\(< 90^\circ\)): Nếu góc nội tiếp là góc nhọn thì cung bị chắn có số đo nhỏ hơn 180°, nên đó là cung nhỏ. Số đo của góc sẽ bằng một nửa số đo cung nhỏ.

• Góc tù (\(> 90^\circ\)): Nếu góc nội tiếp là góc tù thì cung bị chắn có số đo lớn hơn 180°. Khi đó, cung bị chắn là cung lớn; vị trí của tâm \(O\) không làm thay đổi định lí về số đo góc nội tiếp. Số đo của góc sẽ bằng một nửa số đo cung lớn.

• Góc vuông (\(= 90^\circ\)): Góc nội tiếp vuông chắn đúng nửa đường tròn (cung \(180^\circ\)).

Lưu ý khi làm bài: Khi kí hiệu một cung bị chắn bằng hai chữ cái, cần dựa vào hình vẽ và ngữ cảnh để xác định đó là cung nhỏ hay cung lớn. Nếu cần chỉ rõ cung lớn, có thể dùng thêm một điểm nằm trên cung, chẳng hạn cung \(BmC\), hoặc ghi rõ bằng chữ “cung lớn \(BC\)”. Khi giải bài, cần xác định chính xác vị trí của đỉnh góc và phần cung nằm bên trong góc để áp dụng đúng công thức.

Bài tập vận dụng về góc nội tiếp (có hướng dẫn chi tiết)

Phần bài tập vận dụng tập trung vào các dạng thường gặp: tính số đo góc qua góc ở tâm và cung bị chắn, vận dụng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn và sử dụng hệ quả các góc cùng chắn một cung.

Tính số đo góc thông qua góc ở tâm và cung bị chắn

Đề bài: Cho đường tròn tâm \(O\). Hai điểm \(B, C\) nằm trên đường tròn sao cho góc ở tâm \(\widehat{BOC} = 100^\circ\). Lấy một điểm \(A\) bất kỳ nằm trên cung lớn \(BC\).

a) Tính số đo cung nhỏ \(BC\).

b) Tính số đo của góc \(\widehat{BAC}\).

Phân tích đề:

Bài toán cho biết số đo góc ở tâm và yêu cầu tìm số đo cung nhỏ và số đo góc nằm trên đường tròn. Cả hai yếu tố này đều có mối liên hệ mật thiết với nhau.

Hướng dẫn tư duy:

• Câu a: Theo tính chất góc ở tâm, số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó. Ở đây, \(\widehat{BOC}\) chắn cung nhỏ \(BC\).

• Câu b: Đỉnh \(A\) nằm trên đường tròn, hai cạnh của góc chứa các dây cung \(AB\) và \(AC\), nên \(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp. Góc \(\widehat{BAC}\) và góc ở tâm \(\widehat{BOC}\) đều cùng chắn cung nhỏ \(BC\). Áp dụng hệ quả: góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.

Bài giải chi tiết:

a) Góc ở tâm \(\widehat{BOC} = 100^\circ\) chắn cung nhỏ \(BC\).

Theo định lí về góc ở tâm, số đo cung bị chắn bằng số đo góc ở tâm.

Vậy: \(\text{sđ}\,\overparen{BC} (\text{nhỏ}) = \widehat{BOC} = 100^\circ\).

b) Xét đường tròn \((O)\), có \(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung nhỏ \(BC\).

Theo định lí về số đo góc nội tiếp, có hai cách trình bày:

• Cách 1 (Tính qua cung): \[\widehat{BAC}=\frac{1}{2}\,\text{sđ}\,\widehat{BC}=\frac{1}{2}\times100^\circ=50^\circ\]

• Cách 2 (Tính qua góc ở tâm): \[\widehat{BAC} = \frac{1}{2} \widehat{BOC} = \frac{1}{2} \times 100^\circ = 50^\circ\]

  Đáp số: a) \(\text{sđ}\,\overparen{BC} = 100^\circ\); b) \(\widehat{BAC} = 50^\circ\).

Vận dụng hệ quả góc chắn nửa đường tròn để chứng minh hình học

Đề bài: Cho tam giác \(ABC\) nhọn. Vẽ đường tròn tâm \(O\) đường kính \(BC\), đường tròn này cắt cạnh \(AB\) tại điểm \(D\), cắt cạnh \(AC\) tại điểm \(E\). Chứng minh rằng \(CD \perp AB\) và \(BE \perp AC\).

Phân tích đề:

Đề bài yêu cầu chứng minh sự vuông góc (\(\perp\)). Trong hình học lớp 9, khi bài toán xuất hiện tổ hợp dữ kiện "đường tròn" + "đường kính" + "yêu cầu chứng minh vuông góc", có thể vận dụng hệ quả góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

Hướng dẫn tư duy:

• Bước 1: Xác định đường kính. Đề cho đường tròn \((O)\) có đường kính là đoạn thẳng \(BC\).

• Bước 2: Xác định các điểm nằm trên đường tròn. Đề cho đường tròn cắt \(AB\) tại \(D\) và \(AC\) tại \(E\). Do đó, điểm \(D\) và điểm \(E\) đang nằm trên đường tròn \((O)\).

• Bước 3: Nối điểm với đầu mút đường kính. Nối \(D\) với \(B\) và \(C\) tạo thành \(\widehat{BDC}\). Nối \(E\) với \(B\) và \(C\) tạo thành \(\widehat{BEC}\).

• Bước 4: Nhận diện hệ quả. Cả hai góc \(\widehat{BDC}\) và \(\widehat{BEC}\) đều có đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh đi qua hai đầu mút của đường kính \(BC\). Theo hệ quả góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, hai góc này đều là góc vuông. Từ đó, có thể suy ra các đường thẳng tương ứng vuông góc với nhau.

Bài giải chi tiết:

Xét đường tròn \((O)\) có đường kính \(BC\):

• Có điểm \(D\) nằm trên đường tròn \((O)\).

  Góc \(\widehat{BDC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do chắn đường kính \(BC\)).

  Suy ra: \(\widehat{BDC} = 90^\circ\)

  Vì \(\widehat{BDC} = 90^\circ\) nên đoạn thẳng \(CD\) vuông góc với đoạn thẳng \(DB\).

  Mặt khác, điểm \(D\) nằm trên cạnh \(AB\), do đó \(CD\) vuông góc với \(AB\) (đpcm).

• Tương tự, có điểm \(E\) nằm trên đường tròn \((O)\).

  Góc \(\widehat{BEC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (do chắn đường kính \(BC\)).

  Suy ra: \(\widehat{BEC} = 90^\circ\)

  Vì \(\widehat{BEC} = 90^\circ\) nên đoạn thẳng \(BE\) vuông góc với đoạn thẳng \(EC\).

  Mặt khác, điểm \(E\) nằm trên cạnh \(AC\), do đó \(BE\) vuông góc với \(AC\) (đpcm).

Ghi chú: Trong bài toán này, \(CD\) và \(BE\) đóng vai trò là hai đường cao của tam giác \(ABC\). Kết quả này cho thấy tính chất góc nội tiếp có thể được vận dụng để xác định đường cao của tam giác.

Bài tập tổng hợp hệ quả các góc cùng chắn một cung

Đề bài: Cho đường tròn \((O)\). Từ một điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn, vẽ hai cát tuyến \(MAB\) và \(MCD\) cắt đường tròn (điểm \(A\) nằm giữa \(M\) và \(B\); điểm \(C\) nằm giữa \(M\) và \(D\)). Chứng minh rằng hai tam giác \(\triangle MAC\) và \(\triangle MDB\) đồng dạng với nhau.

Hướng dẫn tư duy:

• Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, có thể sử dụng trường hợp góc – góc (g.g) bằng cách xác định hai cặp góc tương ứng bằng nhau.

• Xét \(\triangle MAC\) và \(\triangle MDB\):

  • Hai góc tại \(M\) của hai tam giác bằng nhau vì các tia \(MA, MB\) trùng nhau và các tia \(MC, MD\) trùng nhau.

  • Cần xác định thêm một cặp góc tương ứng bằng nhau. Vì \(A, B, C, D\) cùng nằm trên đường tròn, có thể sử dụng định lí góc nội tiếp kết hợp với tính chất thẳng hàng của hai cát tuyến.

  • Sau khi xác định hai cặp góc tương ứng bằng nhau, có thể kết luận hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

Bài giải chi tiết:

Xét hai tam giác \(\triangle MAC\) và \(\triangle MDB\).

Vì \(M, A, B\) thẳng hàng nên hai tia \(MA\) và \(MB\) trùng nhau. Tương tự, do \(M, C, D\) thẳng hàng nên hai tia \(MC\) và \(MD\) trùng nhau. Do đó:

\(\widehat{AMC}=\widehat{DMB}\).

Tiếp theo, hai góc nội tiếp \(\widehat{BAC}\) và \(\widehat{BDC}\) có đỉnh nằm trên hai cung khác nhau tạo bởi hai điểm \(B, C\). Hai cung bị chắn tương ứng có tổng số đo bằng \(360^\circ\), nên:

\(\widehat{BAC}+\widehat{BDC}=180^\circ\)

Mặt khác, vì \(M, A, B\) thẳng hàng nên \(\widehat{MAC}+\widehat{BAC}=180^\circ\). Suy ra \(\widehat{MAC}=\widehat{BDC}\).

Do \(M, C, D\) thẳng hàng nên \(\widehat{MDB}=\widehat{CDB}\). Vì \(\widehat{CDB}=\widehat{BDC}\) chỉ là cùng một góc tại \(D\), nên \(\widehat{MAC}=\widehat{MDB}\).

Vậy hai tam giác \(\triangle MAC\) và \(\triangle MDB\) có hai cặp góc tương ứng bằng nhau, do đó:

\(\triangle MAC \sim \triangle MDB\) (theo trường hợp góc – góc).

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó. Số đo góc nội tiếp bằng một nửa số đo của cung bị chắn tương ứng; đây là cơ sở để xác định số đo góc, số đo cung và giải các bài toán liên quan đến hình học đường tròn.

Các hệ quả của góc nội tiếp, đặc biệt là tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông, thường được vận dụng trong các bài toán chứng minh và tính toán. Việc nắm vững định nghĩa, số đo góc nội tiếp, cung bị chắn và các hệ quả giúp học sinh vận dụng kiến thức chính xác trong các dạng bài liên quan. Người học có thể tham khảo thêm các chuyên đề Toán 9 để hệ thống kiến thức về đường tròn và các nội dung hình học liên quan.