Cách chứng minh hình thang cân lớp 8 và bài tập có lời giải

Cách chứng minh hình thang cân lớp 8 gồm hai hướng cơ bản: chứng minh hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau hoặc hai đường chéo bằng nhau. Khi chứng minh một tứ giác là hình thang cân, học sinh cần xác định một cặp cạnh đối song song trước khi áp dụng các dấu hiệu nhận biết.

Bài viết hướng dẫn các cách chứng minh hình thang cân, cách trình bày lời giải có căn cứ và vận dụng đường cao để chứng minh góc, đoạn thẳng bằng nhau, kèm bài tập có lời giải chi tiết.

Hình thang cân là gì?

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song. Hình thang cân được định nghĩa là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. [1]

Xét tứ giác ABCD, nếu AB // CD thì ABCD là hình thang. Nếu hình thang ABCD có thêm \(\widehat{C} = \widehat{D}\) (hoặc \(\widehat{A} = \widehat{B}\)), tứ giác ABCD là hình thang cân.

Định nghĩa này cung cấp cơ sở trực tiếp nhất để nhận biết hình thang cân. Khi đã xác định tứ giác có hai cạnh đối song song và hai góc kề một đáy bằng nhau, người học khẳng định ngay hình dạng tứ giác.

Tính chất của hình thang cân và mối liên hệ với hình thang

Hình thang cân là một dạng hình thang đặc biệt, do đó thừa hưởng toàn bộ tính chất cơ bản của hình thang thông thường.

Hai cạnh đáy của hình thang cân luôn song song với nhau. Trong hình thang cân ABCD với hai đáy AB và CD, người học luôn có AB // CD.

Bên cạnh tính chất chung, hình thang cân sở hữu các tính chất đặc trưng riêng biệt: hai góc kề một đáy bằng nhau, hai cạnh bên bằng nhau và hai đường chéo bằng nhau. [1]

Trong hình thang cân ABCD (AB // CD), hai cạnh bên AD và BC bằng nhau, đồng thời hai đường chéo AC và BD có độ dài bằng nhau (AC = BD).

Phân biệt tính chất và dấu hiệu nhận biết để chứng minh hình thang cân

Tính chất (Chiều suy luận xuôi): Áp dụng khi đề bài đã cho sẵn tứ giác là hình thang cân. Mục đích của tính chất là giúp học sinh suy ra các yếu tố bằng nhau như hai góc kề một đáy bằng nhau, hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau,… để phục vụ cho bài toán tính toán hoặc chứng minh đoạn thẳng và góc trung gian.

Dấu hiệu nhận biết (Chiều suy luận ngược): Áp dụng khi đề bài yêu cầu chứng minh một tứ giác hoặc hình thang là hình thang cân. Mục đích của dấu hiệu là làm căn cứ để đưa ra kết luận tên hình sau khi đã chứng minh đủ điều kiện.

So sánh trực tiếp giữa Tính chất và Dấu hiệu nhận biết:

Lưu ý: Hai cạnh bên bằng nhau là tính chất, chưa đủ để nhận biết hình thang cân theo định nghĩa hình thang có một cặp cạnh đối song song. Phản ví dụ là hình bình hành không phải hình chữ nhật: hai cạnh bên bằng nhau nhưng hai góc kề một đáy không bằng nhau. Hình chữ nhật vẫn là hình thang cân theo định nghĩa này.

Có mấy cách chứng minh hình thang cân?

Có 2 cách chứng minh hình thang cân cơ bản ở lớp 8: dùng hai góc kề một đáy bằng nhau hoặc hai đường chéo bằng nhau. Cả hai cách đều cần xác định tứ giác là hình thang trước khi kết luận. [1]

Cách 1: Chứng minh hai góc kề một đáy bằng nhau

• Điều kiện áp dụng: Tứ giác đã được chứng minh là hình thang (có hai cạnh đối song song).

• Phương pháp: Sử dụng định nghĩa hình thang cân.

• Trường hợp áp dụng: Thường dùng khi đề bài cung cấp số đo các góc hoặc cho trước quan hệ song song giúp suy ra các góc đồng vị, so le trong bằng nhau.

Cách 2: Chứng minh hai đường chéo bằng nhau

Điều kiện áp dụng: Tứ giác đã được xác định là hình thang. Phương pháp: Chứng minh hai đường chéo bằng nhau rồi áp dụng dấu hiệu nhận biết hình thang cân. Phương pháp này phù hợp khi đề bài cho độ dài đường chéo hoặc có thể chứng minh hai tam giác chứa chúng bằng nhau. [1]

Hướng mở rộng cho học sinh lớp 9

Trong chương trình Hình học lớp 9, khi học về đường tròn và tứ giác nội tiếp, người học có thêm kết quả mở rộng: Trong một đường tròn, hình thang nội tiếp đường tròn luôn là hình thang cân.

Nếu hình thang ABCD có AB // CD và nội tiếp đường tròn thì \(\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ\). Đồng thời, \(\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ\) do hai đáy song song. Suy ra \(\widehat{A}=\widehat{B}\), nên ABCD là hình thang cân. Đây là hướng mở rộng cho cách chứng minh hình thang cân lớp 9; không cần dùng kiến thức đường tròn trong bài lớp 8.

Lưu ý: Dù chọn phương pháp nào, người học cũng phải thực hiện bước chứng minh tứ giác là hình thang trước khi xét đến yếu tố góc kề đáy hoặc đường chéo.

Cách chứng minh tứ giác là hình thang cân theo từng bước

Quy trình lập luận chuẩn tự luận gồm 4 bước:

1. Chứng minh tứ giác là hình thang bằng cách chỉ ra một cặp cạnh đối song song.

2. Lựa chọn dấu hiệu nhận biết phù hợp với dữ kiện giả thiết.

3. Lập luận chi tiết để chứng minh các yếu tố bằng nhau.

4. Rút ra kết luận tứ giác là hình thang cân.

Ở mỗi bước, học sinh cần nêu căn cứ như dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, hai tam giác bằng nhau hoặc tính chất tam giác cân. Nếu đề đã cho hình thang, có thể bắt đầu ngay bằng việc lựa chọn dấu hiệu nhận biết hình thang cân. [1]

Ví dụ 1: Chứng minh bằng hai góc kề một đáy bằng nhau

Đề bài: Cho tứ giác EFGH có \(\widehat{E} = \widehat{H}\) và EH // FG. Chứng minh tứ giác EFGH là hình thang cân.

Lời giải:

Xét tứ giác EFGH, có:

EH // FG (giả thiết).

Suy ra tứ giác EFGH là hình thang có hai đáy là EH và FG.

Mặt khác, hình thang EFGH có \(\widehat{E} = \widehat{H}\) (giả thiết).

Mà \(\widehat{E}\) và \(\widehat{H}\) là hai góc kề với đáy EH.

Vậy EFGH là hình thang cân (theo định nghĩa).

Ví dụ 2: Chứng minh hình thang cân bằng hai đường chéo bằng nhau

Đề bài: Cho tam giác ABC cân tại A, AB = AC = 9 cm và BC = 12 cm. Lấy M, N lần lượt trong các cạnh AB, AC sao cho AM = AN = 3 cm. Chứng minh BMNC là hình thang cân bằng hai đường chéo bằng nhau; sau đó tính chu vi BMNC.

Lời giải:

Vì \(\triangle ABC\) cân tại A (giả thiết) nên:\[\widehat{B} = \frac{180^\circ - \widehat{A}}{2} \quad (1)\]

Mặt khác, AM = AN (giả thiết) nên \(\triangle AMN\) cân tại A, suy ra:\[\widehat{AMN} = \frac{180^\circ - \widehat{A}}{2} \quad (2)\]

Từ (1) và (2), suy ra \(\widehat{AMN} = \widehat{B}\).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị đối với hai đường thẳng MN và BC.

Suy ra MN // BC.

Tứ giác BMNC có MN // BC nên BMNC là hình thang.

Xét \(\triangle AMC\) và \(\triangle ANB\), có:

\[\begin{aligned} AM&=AN,\\ AC&=AB,\\ \widehat{MAC}&=\widehat{NAB}.\end{aligned}\]

Do đó \(\triangle AMC = \triangle ANB\) (c-g-c).

Suy ra MC = NB (hai cạnh tương ứng).

Hình thang BMNC có hai đường chéo MC = NB.

Vậy BMNC là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).

Do MN // BC, định lí Thalès cho \(MN/BC=AM/AB=1/3\), suy ra MN = 4 cm. Có BM = CN = 9 − 3 = 6 cm, nên chu vi BMNC bằng 6 + 4 + 6 + 12 = 28 cm. Phần tính độ dài vận dụng kiến thức Thalès học sau Bài 11.

Các lỗi thường gặp:

• Bỏ qua bước chứng minh hai cạnh đối song song mà vội vã kết luận hình thang cân.

• Dùng sai dấu hiệu: Tự thừa nhận "hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân".

• Lập luận cảm tính, công nhận góc bằng nhau dựa vào hình vẽ trực quan.

Để củng cố kiến thức hỗ trợ, học sinh có thể ôn tập đường trung bình của tam giác.

Cách chứng minh đường cao trong hình thang cân và các yếu tố liên quan

Để chứng minh một đoạn thẳng là đường cao của hình thang, cần chỉ ra đoạn đó nối một đỉnh với đường thẳng chứa đáy đối diện và vuông góc với hai đáy. Chẳng hạn, nếu H thuộc CD và \(\widehat{AHC}=90^\circ\), thì AH là đường cao; từ AB // CD suy ra AH cũng vuông góc AB. [1]

Kỹ thuật kẻ đường cao và chứng minh đoạn thẳng bằng nhau

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Từ hai đỉnh A và B của đáy nhỏ, người học kẻ hai đường cao \(AH \perp CD\) tại H và \(BI \perp CD\) tại I.

Xét hai tam giác vuông \(\triangle AHD\) (vuông tại H) và \(\triangle BIC\) (vuông tại I), có:

• AD = BC (tính chất hai cạnh bên của hình thang cân);

• \(\widehat{D} = \widehat{C}\) (tính chất hai góc kề đáy của hình thang cân).

Do đó, \(\triangle AHD = \triangle BIC\) (trường hợp cạnh huyền - góc nhọn).

Suy ra DH = CI và AH = BI (các cạnh tương ứng). Với AB < CD, thứ tự các điểm trên đáy lớn là D, H, I, C. Hai đoạn ở hai đầu bằng nhau là DH và CI; không có nghĩa DH = HI = IC.

Tứ giác ABIH có AB // HI, AH // BI và một góc vuông nên là hình chữ nhật, suy ra HI = AB.

Từ CD = DH + HI + IC và DH = CI, suy ra:\[DH=CI=\frac{CD-AB}{2}\]

Ngoài ra:\[DI=CH=\frac{CD+AB}{2}\]

Các công thức này dùng cho hình thang cân có AB // CD và AB < CD như giả thiết trên.

Ứng dụng tính toán độ dài và chiều cao

Các công thức trên chuyển bài toán hình thang về tam giác vuông. Phần tính chiều cao và cạnh bên sử dụng định lí Pythagore, là nội dung ôn tập vận dụng sau khi học định lí này. [2]

• Tính độ dài đoạn thẳng và chiều cao: Khi đề bài cho độ dài hai đáy (AB, CD) và cạnh bên AD, học sinh tính được DH. Sau đó, áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông \(\triangle AHD\) để tìm chiều cao AH:\[AH = \sqrt{AD^2 - DH^2}\]

• Tính độ dài cạnh bên: Nếu đề bài cho chiều cao AH và độ dài hai đáy, người học tính DH rồi áp dụng định lí Pythagore để tìm cạnh bên \(AD = \sqrt{AH^2 + DH^2}\).

Cách kẻ thêm đường phụ trong các dạng bài nâng cao

Đối với các dạng bài có đường thẳng song song hoặc yêu cầu chứng minh nâng cao, học sinh có thể áp dụng hai cách kẻ đường phụ sau:

• Kẻ đường thẳng song song với cạnh bên: Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD tại E (AE // BC). Tứ giác ABCE là hình bình hành nên AB = CE và AE = BC. Do AD = BC nên AD = AE, suy ra tam giác ADE cân tại A.

• Kẻ đường thẳng song song với đáy: Kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt hai cạnh bên AD và BC lần lượt tại M và N nằm trong các cạnh AD, BC (MN // CD). Tứ giác ABNM và MNCD thu được đều là các hình thang cân mới, giúp người học dễ dàng chuyển đổi các góc và đoạn thẳng bằng nhau.

Để củng cố kiến thức hỗ trợ, học sinh có thể ôn tập định lí Pythagore.

Bài tập chứng minh hình thang cân có đáp án và chiến thuật làm bài

Các bài tập dưới đây vận dụng định nghĩa, tính chất và dấu hiệu nhận biết hình thang cân [1]; bài tính chiều cao sử dụng định lí Pythagore. [2]

Dạng 1: Nhận biết hình thang cân

Bài 1: Cho tứ giác ABCD có \(\widehat{A} = 108^\circ\), \(\widehat{B} = 108^\circ\), \(\widehat{C} = 72^\circ\). Hỏi ABCD có phải là hình thang cân không? Vì sao?

Lời giải:

Tổng bốn góc trong tứ giác ABCD bằng \(360^\circ\), suy ra:\[\widehat{D} = 360^\circ - (108^\circ + 108^\circ + 72^\circ) = 72^\circ\]

Có \(\widehat{A} + \widehat{D} = 108^\circ + 72^\circ = 180^\circ\).

Mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía.

Do đó AB // CD.

Tứ giác ABCD có AB // CD nên là hình thang.

Hình thang ABCD có \(\widehat{A} = \widehat{B} = 108^\circ\) (hai góc kề đáy AB bằng nhau).

Vậy ABCD là hình thang cân.

Bài 2: Cho tứ giác PQRS có PQ // RS, \(PR=8\text{ cm}\), \(QS = 8\text{ cm}\). Tứ giác PQRS là hình gì? Vì sao?

Lời giải:

Tứ giác PQRS có PQ // RS nên là hình thang.

Hình thang PQRS có hai đường chéo \(PR = QS = 8\text{ cm}\).

Vậy PQRS là hình thang cân (theo dấu hiệu nhận biết hình thang cân).

Bài 3: Cho tứ giác \(MNPQ\) có \(MN // PQ\), \(\widehat{M} = 74^\circ\), \(\widehat{P} = 106^\circ\). Tứ giác \(MNPQ\) có phải hình thang cân không?

Lời giải:

Vì \(MN // PQ\) nên \(MNPQ\) là hình thang có hai đáy là \(MN\) và \(PQ\).

Do \(MN // PQ\) nên \(\widehat{N} + \widehat{P} = 180^\circ\) (hai góc trong cùng phía).

Suy ra \(\widehat{N} = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ\).

Hình thang \(MNPQ\) có \(\widehat{M} = \widehat{N} = 74^\circ\) (hai góc kề đáy \(MN\) bằng nhau).

Vậy \(MNPQ\) là hình thang cân.

Dạng 2: Chứng minh tứ giác là hình thang cân

Bài 1: Chứng minh bằng góc kề đáy

Cho tam giác ABC cân tại A có BC = 14 cm. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh BDEC là hình thang cân và tính độ dài đáy DE.

Lời giải chi tiết:

Xét tam giác ABC, có:

D là trung điểm của AB (theo giả thiết);

E là trung điểm của AC (theo giả thiết).

Do đó DE là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra DE // BC.

Tứ giác BDEC có DE // BC nên BDEC là hình thang.

Mặt khác, tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{B} = \widehat{C}\).

Hình thang BDEC có hai góc kề đáy BC bằng nhau (\(\widehat{B} = \widehat{C}\)).

Vậy BDEC là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân).

Vì DE là đường trung bình của tam giác ABC nên DE = BC/2 = 7 cm. Bài này vận dụng đường trung bình, phù hợp để ôn tập sau khi học chuyên đề đó.

Bài 2: Chứng minh bằng hai đường chéo bằng nhau

Cho tứ giác lồi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Biết OA = OB = 4 cm, OC = OD = 7 cm và \(\widehat{AOB}=100^\circ\). Chứng minh ABCD là hình thang cân và tính độ dài hai đường chéo.

Lời giải: Tam giác AOB cân tại O nên \(\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=40^\circ\). Vì \(\widehat{COD}=\widehat{AOB}=100^\circ\) (đối đỉnh) và OC = OD, tam giác COD cân tại O, suy ra \(\widehat{OCD}=\widehat{ODC}=40^\circ\).

Có \(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\) là hai góc so le trong nên AB // CD. Tứ giác ABCD là hình thang. Mặt khác, AC = OA + OC = 11 cm và BD = OB + OD = 11 cm. Do hai đường chéo bằng nhau, ABCD là hình thang cân.

Dạng 3: Chứng minh các yếu tố trong hình thang cân

Bài 1: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Biết AC = 15 cm và OC = 9 cm. Chứng minh OA = OB, OC = OD rồi tính OA, OB, OD.

Gợi ý: Sử dụng tính chất của hình thang cân để chứng minh \(\triangle ADC = \triangle BCD\), từ đó suy ra các góc kề đường chéo bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

Xét \(\triangle ADC\) và \(\triangle BCD\), có:

\[\begin{aligned} AD&=BC,\\ \widehat{ADC}&=\widehat{BCD},\\ CD&=DC.\end{aligned}\]

Do đó \(\triangle ADC = \triangle BCD\) (c-g-c).

Suy ra \(\widehat{ACD} = \widehat{BDC}\) (hai góc tương ứng).

Do đó tam giác OCD cân tại O, suy ra OC = OD.

Mặt khác, AC = BD (tính chất hình thang cân ABCD).

Suy ra:\[OA = AC - OC = BD - OD = OB\]

Vậy OA = OB và OC = OD.

Vì OA = AC − OC nên OA = OB = 6 cm; OD = OC = 9 cm.

Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AB = 8 cm, CD = 20 cm, AD = BC = 10 cm. Hạ AH, BI vuông góc CD tại H, I. Tính DH, CI và chiều cao AH.

Lời giải: Hai tam giác vuông AHD và BIC bằng nhau theo cạnh huyền – góc nhọn, nên DH = CI và AH = BI. Tứ giác ABIH là hình chữ nhật nên HI = AB = 8 cm.

Do CD = DH + HI + IC, suy ra:\[DH=CI=\frac{20-8}{2}=6\text{ cm}\]

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông AHD:\[AH=\sqrt{10^2-6^2}=8\text{ cm}\]

Vậy DH = CI = 6 cm và chiều cao AH = 8 cm.

Dạng 4: Tính số đo góc, độ dài trong hình thang cân

Bài 1: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có \(\widehat{A} = 116^\circ\). Tính số đo các góc còn lại của hình thang.

Lời giải:

Vì ABCD là hình thang cân có AB // CD nên hai góc kề đáy AB bằng nhau:\[\widehat{B} = \widehat{A} = 116^\circ\]

Do AB // CD nên \(\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ\) (hai góc trong cùng phía).

Suy ra:\[\widehat{D} = 180^\circ - 116^\circ = 64^\circ\]

Vì ABCD là hình thang cân nên hai góc kề đáy CD bằng nhau:\[\widehat{C} = \widehat{D} = 64^\circ\]

Vậy \(\widehat{B} = 116^\circ\), \(\widehat{C} = 64^\circ\), \(\widehat{D}=64^{\circ}\).

Bài 2: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có \(\widehat{C}=68^{\circ}\). Tính số đo các góc còn lại của hình thang.

Lời giải:

Vì ABCD là hình thang cân có AB // CD nên hai góc kề đáy CD bằng nhau:\[\widehat{D} = \widehat{C} = 68^\circ\]

Do AB // CD nên \(\widehat{A} + \widehat{D} = 180^\circ\) (hai góc trong cùng phía).

Suy ra:\[\widehat{A} = 180^\circ - 68^\circ = 112^\circ\]

Vì ABCD là hình thang cân nên hai góc kề đáy AB bằng nhau:\[\widehat{B} = \widehat{A} = 112^\circ\]

Vậy \(\widehat{A} = 112^\circ\), \(\widehat{B} = 112^\circ\), \(\widehat{D} = 68^\circ\).

Chiến thuật làm bài chứng minh hình học

Chiến thuật cho học sinh:

• Vẽ hình chính xác: Dựng hình đúng theo giả thiết, đánh dấu đầy đủ các góc bằng nhau và các đoạn thẳng bằng nhau lên hình vẽ.

• Tóm tắt đề bài: Viết rõ phần Giả thiết (GT) và Kết luận (KL) trước khi giải.

• Phân tích ngược: Xuất phát từ điều cần chứng minh, tìm cặp tam giác bằng nhau hoặc mối quan hệ song song trung gian.

• Trình bày chặt chẽ: Viết lời giải từng dòng có xuống dòng rõ ràng, mỗi bước suy luận đều đính kèm căn cứ lý thuyết trong ngoặc đơn.

Để củng cố kiến thức hỗ trợ, học sinh có thể ôn tập kiến thức đường trung bình.

Cách chứng minh hình thang cân gồm hai hướng cơ bản: chứng minh hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau hoặc hai đường chéo bằng nhau. Nếu đề chưa cho hình thang, học sinh cần chứng minh một cặp cạnh đối song song trước khi áp dụng dấu hiệu nhận biết.

Khi luyện tập, học sinh cần chọn phương pháp phù hợp với giả thiết, nêu rõ căn cứ từng bước và tránh suy luận chỉ dựa vào hình vẽ. Thực hành các dạng bài này giúp củng cố kiến thức Toán 8 và rèn kỹ năng trình bày lời giải hình học chặt chẽ.