Chỉnh hợp | Công thức tính toán và cách bấm máy tính lớp 10

Chỉnh hợp là một nội dung trọng tâm trong chương Đại số tổ hợp của môn Toán 10, thường xuất hiện trong các bài toán đếm và sắp xếp có xét thứ tự. Trong thực tế, các bài toán chỉnh hợp có thể gặp khi phân công công việc, sắp xếp vị trí hoặc lựa chọn một số phần tử theo thứ tự nhất định. Thay vì liệt kê và đếm thủ công, công thức chỉnh hợp giúp xác định nhanh số cách sắp xếp và lựa chọn. Vậy chỉnh hợp là gì, cách tính chỉnh hợp như thế nào? Hãy cùng tìm hiểu khái niệm, kí hiệu và công thức chỉnh hợp lớp 10 ngay dưới đây.

Chỉnh hợp là gì?

Một chỉnh hợp chập k của n là một cách sắp xếp có thứ tự k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, \(1\le k\le n\)) [1]

Kí hiệu số các chỉnh hợp chập \(k\)của \(n\) phần tử là \(A_{n}^{k}\).

Ví dụ 1

Cô giáo đã biên soạn 10 câu hỏi trắc nghiệm. Từ 10 câu hỏi này, cô giáo chọn ra 6 câu hỏi và sắp xếp theo thứ tự để tạo nên một đề trắc nghiệm. Cô giáo có thể tạo bao nhiêu đề kiểm tra trắc nghiệm khác nhau?

Lời giải

Mỗi đề được tạo ra là một chỉnh hợp chập 6 của 10 câu hỏi. Do đó, số đề có thể được tạo ra là:

\[A_{10}^6 = \frac{10!}{4!} = 151200\]

Công thức tính chỉnh hợp

Công thức tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử theo giai thừa

Số các chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\), kí hiệu là\(A_n^k\), được tính bằng công thức:

\[A_n^k = n \cdot (n - 1) \cdots (n - k + 1) \text{ hay } A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!} \quad (1 \le k \le n).\]

Khi k = n thì \[A_n^n = P_n = n!\]

Điều kiện của k và n để công thức có nghĩa

Để công thức tính số chỉnh hợp \(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\)có nghĩa, hai đại lượng n và k phải thỏa mãn các điều kiện toán học sau:

• n và k phải là các số tự nhiên (\(n, k \in \mathbb{N}\)): Bạn chỉ có thể chọn ra một số lượng nguyên vẹn các phần tử (như 1 người, 2 đồ vật) từ một tập hợp cũng chứa số lượng nguyên vẹn các phần tử.

• \(1 \le k \le n\): Số phần tử được chọn ra (k) tối thiểu là 1 và tuyệt đối không được vượt quá tổng số lượng phần tử ban đầu đang có trong tập hợp (n).

Ví dụ 2

Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{P_{n+2}}{A_{n-1}^{n-4} \cdot P_3} = 210\)

b) \(2(A_{n}^3+3A_{n}^2)=P_{n+1}\)

Lời giải:

a) Điều kiện: \(n \ge 4, n \in \mathbb{N}\)

Ta có:

\[\frac{P_{n+2}}{A_{n-1}^{n-4} P_3} = 210 \Leftrightarrow \frac{(n+2)!}{\frac{(n-1)!}{3!} \cdot 3!} = 210 \Leftrightarrow \frac{(n+2)!}{(n-1)!} = 210\]

\[\Leftrightarrow A_{n+2}^3=A_7^3\Leftrightarrow n+2=7\Leftrightarrow n=5\] (thỏa mãn)

b) Điều kiện: \(n\ge3,n\in\mathbb{N}\)

\[2(A_n^3 + 3A_n^2) = P_{n+1} \Leftrightarrow 2 \cdot \frac{n!}{(n-3)!} + 6 \cdot \frac{n!}{(n-2)!} = (n+1)n! \Leftrightarrow \frac{2}{(n-3)!} + \frac{6}{(n-2)!} = n + 1\]

• Với n > 4

  \[\begin{cases} VT = \frac{2}{(n-3)!} + \frac{6}{(n-2)!} < \frac{2}{1!} + \frac{6}{2!} = 2 + 3 = 5 \\ VP = n + 1 > 5 \end{cases} \Rightarrow \text{vô nghiệm}\]

• Với n < 4

  \[\begin{cases} VT = \frac{2}{(n-3)!} + \frac{6}{(n-2)!} > \frac{2}{1!} + \frac{6}{2!} = 2 + 3 = 5 \\ VP = n + 1 < 5 \end{cases} \Rightarrow \text{vô nghiệm}\]

• Với n = 4 thì:

  \[\begin{cases}VT=\frac{2}{(n-3)!}+\frac{6}{(n-2)!}=\frac{2}{1!}+\frac{6}{2!}=2+3=5\\ VP=n+1=5\end{cases}\Rightarrow\text{PT có nghiệm n}=4\]

  Vậy phương trình có nghiệm n = 4

Phân biệt chỉnh hợp với hoán vị và tổ hợp

Hoán vị

Một hoán vị của một tập hợp có n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự n phần tử đó (với n là một số tự nhiên, \(n \ge 1\)).

Số các hoán vị của tập hợp có \(n\) phần tử, kí hiệu là \(P_n\), được tính bằng công thức:

\[P_n = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdots 2 \cdot 1.\]

Tổ hợp

Một tổ hợp chập k của n là một cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử (với k, n là các số tự nhiên, \(0 \le k \le n\)).

Số các tổ hợp chập k của n, kí hiệu là \(C_n^k\), được tính bằng công thức:

\[C_n^k = \frac{n!}{(n - k)!k!} \quad (0 \le k \le n).\]

Chú ý

• \(C_{n}^{k}=\frac{A_{n}^{k}}{k!}\)

• Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ, chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

Ví dụ phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp

Trong một lớp học có 20 học sinh. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ra một số học sinh để thành lập ban cán sự lớp.

a) Thầy giáo cần chọn ra 3 học sinh bất kỳ để thành lập ban cán sự của lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

b) Thầy giáo cần chọn ra 3 học sinh và phân công cho họ 3 chức vụ cụ thể: 1 Lớp trưởng, 1 Lớp phó và 1 Thư ký. Hỏi có bao nhiêu cách phân công ban cán sự lớp?

Lời giải

a) Phân tích tình huống :

• Tính thứ tự: Thứ tự chọn không quan trọng. Nếu chọn bạn A, sau đó đến bạn B, rồi đến bạn C, kết quả vẫn là một đội gồm 3 người {A, B, C}. Việc chọn C, đến A, rồi đến B cũng không tạo ra một đội mới.

• Dấu hiệu: "Chọn ngẫu nhiên", “chọn một nhóm”

Đây là một bài toán Tổ hợp

Số cách chọn là tổ hợp chập 3 của 20 phần tử, ký hiệu là \(C_{20}^3\).

\[C_{20}^3 = \frac{20!}{3! \times (20 - 3)!} = \frac{20!}{3! \times 17!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140 \text{ cách}.\]

b) Phân tích tình huống :

• Tính thứ tự: Thứ tự chọn và phân công là cực kỳ quan trọng. Nếu chọn bạn A làm Lớp trưởng, bạn B làm Lớp phó, bạn C làm Thư ký (theo thứ tự (A, B, C)) thì kết quả này khác hoàn toàn so với việc chọn bạn B làm Lớp trưởng, bạn C làm Lớp phó, bạn A làm Thư ký (theo thứ tự (B, C, A)).

• Dấu hiệu: "Sắp xếp," "phân công chức vụ," "xếp hàng," "đánh số," "lập số."

  Số cách phân công là chỉnh hợp chập 3 của 20 phần tử, ký hiệu là \(A_{20}^3\)

  \[A_{20}^3 = \frac{20!}{(20 - 3)!} = \frac{20!}{17!} = 20 \times 19 \times 18 = 6840 \text{ cách}.\]

  Điểm mấu chốt để phân biệt giữa tổ hợp và chỉnh hợp là xem xét xem "thứ tự của các phần tử sau khi chọn có tạo ra sự khác biệt hay không". Nếu thay đổi thứ tự mà kết quả vẫn như cũ, ta dùng tổ hợp; nếu thay đổi thứ tự mà tạo ra kết quả mới, ta dùng chỉnh hợp.

Cách tính chỉnh hợp bằng máy tính cầm tay

Giới thiệu chức năng tính chỉnh hợp có sẵn trên máy tính cầm tay

Hầu hết các dòng máy tính khoa học cầm tay phổ biến hiện nay (như Casio fx-580VN X, fx-880BTG, Vinacal...) đều được tích hợp sẵn công cụ giúp bạn tính nhanh các bài toán đếm mà không cần phải khai triển công thức.

Chức năng tính chỉnh hợp trên máy tính được kí hiệu là nPr (với \(P\)là viết tắt của Permutation - nghĩa là Chỉnh hợp/Hoán vị trong tiếng Anh). Thông thường, kí hiệu nPr được in màu vàng phía trên phím nhân ×. Do đó, để kích hoạt lệnh này, bạn sẽ cần dùng đến phím bổ trợ SHIFT.

Các bước nhập giá trị n và k rồi thực hiện phép tính chỉnh hợp

Bước 1: Nhập giá trị số nguyên n vào máy, lưu ý n là số nguyên

Bước 2: Nhấn SHIFT

Bước 3: Nhấn dấu nhân (X)

Bước 4: Nhập giá trị số nguyên k, kiểm tra xem n và k có thỏa mãn điều kiện \(n \ge k \ge 1\) hay không

Bước 5: Nhấn dấu "=" để hiển thị kết quả.

Ví dụ 3

Tính chỉnh hợp chập 4 của 9 \(A_{9}^4\)

Nhập số 9 vào máy → Nhấn SHIFT → Nhấn dấu nhân (X) → Nhập 4 → Nhấn dấu "=" để hiển thị kết quả.

Bài tập vận dụng về chỉnh hợp

Bài tập tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử theo công thức

Ví dụ 5

Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

• Chọn có thứ tự 3 nam trong tổng số 10 nam, ta sẽ có \(A_{10}^3\) cách chọn

• Chọn có thứ tự 3 nữ trong tổng số 6 nữ, ta sẽ có \(A_6^3\) cách chọn

  Vậy có \(A_{10}^3\cdot A_6^3\) cách chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp.

Ví dụ 6

Chứng minh rằng

a) \(P_n - P_{n-1} = (n-1)P_{n-1}\)

b) \[P_n = (n-1)P_{n-1} + (n-2)P_{n-2} + ... + 2P_2 + P_1 + 1\]

c) \(\frac{n^2}{n!} = \frac{1}{(n-1)!} + \frac{1}{(n-2)!}\)

Lời giải:

a) Ta có \[P_n - P_{n-1} = n! - (n-1)! = (n-1)!(n-1) = (n-1)P_{n-1}\]

\[\Leftrightarrow P_n - P_{n-1} = (n-1)P_{n-1}\]

b) Từ câu a, ta có:\[P_{i}-P_{i-1}=(i-1)P_{i-1}\Rightarrow P_{i}=P_{i-1}+(i-1)P_{i-1}\]

Áp dụng cho \(i = \overline{1, n}\):

\[\begin{cases} P_n = P_{n-1} + (n-1)P_{n-1} \\ P_{n-1} = P_{n-2} + (n-2)P_{n-2} \\ P_{n-2} = P_{n-3} + (n-3)P_{n-3} \\ ... \\ P_2 = P_1 + 1 \end{cases}\]

\[\Rightarrow P_n = (n-1)P_{n-1} + (n-2)P_{n-2} + ... + 2P_2 + P_1 + 1\]

c) Ta có \[\frac{n^2}{n!} = \frac{1}{(n-1)!} + \frac{1}{(n-2)!} \Leftrightarrow \frac{n^2}{n!} = \frac{1+n-1}{(n-1)!} \Leftrightarrow n^2.(n-1)! = n.n! \Leftrightarrow n.n! = n.n!\]

Bài tập đếm số cách sắp xếp có thứ tự trong tình huống thực tế như trao giải, xếp hàng

Ví dụ 7

Xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp:

a) Nam nữ đứng xen kẽ

b) Nữ luôn đứng cạnh nhau

c) Không có 2 nam nào đứng cạnh nhau

Lời giải

a) Trường hợp 1: Bạn nam đứng đầu có 5 cách chọn, kế đến là bạn nữ có 5 cách chọn, kế đến là bạn nam có 4 cách chọn, kế đến là 1 bạn nữ có 4 cách chọn, ... cuối cùng xếp 1 bạn nữ có 1 cách chọn.

Suy ra tổng số cách xếp \(5!.5!\) cách.

Trường hợp 2: Bạn nữ đứng đầu, xếp hoàn toàn tương tự như trường hợp 1, suy ra tổng số cách xếp của trường hợp này là\(5!.5!\)

Kết luận theo quy tắc cộng tổng số cách xếp nam nữ xen kẽ nhau là\(5!.5!+5!.5!=28800\text{ }\)

b) Gọi nhóm bạn nữ là nhóm X. Số cách xếp 5 bạn nam và X là 6! cách

ứng với mỗi cách xếp trên có 5! cách xếp 5 bạn nữ trong nhóm X.

Theo quy tắc nhân có 6!.5! = 86400 cách xếp.

c) Bước đầu tiên xếp 5 bạn nữ đứng kề nhau có 5! cách xếp. Để các bạn nam không đứng kế nhau ta xen các bạn nam vào giữa các bạn nữ.

Giữa 5 bạn nữ có 4 vị trí và thêm 2 vị trí đầu và cuối, tổng cộng có 6 vị trí để xếp 5 bạn nam.

Chọn 5 vị trí trong 6 vị trí để xếp các bạn nam có \(A_{6}^5\) cách.

Theo quy tắc nhân có \(5!.A_{6}^5 = 86400\) cách xếp thỏa yêu cầu bài toán.

Ví dụ 8

Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn sao cho không có hai học sinh nữ nào cạnh nhau? (Nếu có hai cách sắp xếp mà cách xếp này quay quanh vòng tròn được cách sắp xếp kia thì ta coi chỉ là một cách sắp xếp).

Lời giải

Giả sử đã xếp chỗ cho 5 học sinh nam. Vì ba học sinh nữ không ngồi cạnh nhau nên họ được chọn 3 trong năm vị trí xen kẽ giữa các học sinh nam, số cách chọn là \(A_{5}^{3}\). Vì hai cách xếp vị trí cho 8 người với cùng một thứ tự quanh bàn tròn được coi là một nên ta có thể chọn trước vị trí cho một học sinh nam nào đó, số hoán vị của 4 học sinh nam còn lại vào các vị trí là 4!

Theo quy tắc nhân, số khả năng phải tìm là \(4! \cdot A_{5}^{3} = 1440\)(cách)

Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn là: 1440 cách.

Bài tập lập mật mã hoặc số có các chữ số khác nhau bằng chỉnh hợp

Ví dụ 9

a) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?

b) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và số đó là số chẵn?

c) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và số đó là số lẻ?

Lời giải

a) Gọi \(M = \overline{abcde} \ (a \neq 0)\)là số có 5 chữ số khác nhau.

Ta có a có 9 cách chọn nên có\(A_9^4\) cách chọn 4 số xếp vào 4 vị trí \(\overline{bcde}\)

Vậy có\(9 \cdot A_9^4 = 27216\) số.

b) Gọi \(A = \overline{abcde}\) là số có 5 chữ số và A là số chẵn.

Ta có a có 9 cách chọn; chọn b,c,d mỗi số có 10 cách chọn; e có 5 cách chọn.

Vậy có \(9 \cdot 10^3 \cdot 5 = 45000\) số.

c) Gọi\(B = \overline{abcde}\) là số có 5 chữ số và B là số lẻ.

Ta có e có 5 cách chọn; abcó 8 cách chọn; có \(A_8^3\) cách chọn chữ số xếp vào ba vị trí b,c,d.

Vậy có \(5 \cdot 8 \cdot A_8^3 = 13440\) số.
Ví dụ 10

Có thể lập ra được bao nhiêu số điện thoại di động có 10 chữ số bắt đầu là 0908, các chữ số còn lại khác nhau đôi một, khác với 4 chữ số đầu và phải có mặt chữ số 6.

Lời giải

Gọi số điện thoại có dạng \(\overline{0908abcdef}\)

Chọn 1 vị trí trong 6 vị trí \(\overline{abcdef}\)để xếp chữ số 6 có 6 cách chọn.

Chọn 5 chữ số trong 6 chữ số là \(\{1, 2, 3, 4, 5, 7\}\) để xếp vào 5 vị trí còn lại, có \(A_{6}^5\) cách.

Kết luận có \(6.A_{6}^5 = 4320\) số điện thoại thỏa yêu cầu.

Bài tập luyện thêm có lời giải

Bài 1. Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có bao nhiêu cách chọn nếu:

a) Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn).

b) Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4.

Lời giải

a) Chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu, phải bố trí người từ quả số 1 đến quả số 5.

Chọn có thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ: \(A_{11}^5 = 55440\)

b) Có 3 cầu thủ bị thương → Còn lại: 11 - 3 = 8 cầu thủ

Bố trí cầu thủ A đá quả số 1, cầu thủ B đá quả số 4 nên còn lại 6 cầu thủ cho 3 vị trí. Chọn có thứ tự 3 cầu thủ trong 6 cầu thủ, ta có: \(A_6^3 = 120\) cách chọn.

Bài 2. Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:

a) Người đó có 6 pho tượng khác nhau?

b) Người đó có 4 pho tượng khác nhau?

c) Người đó có 8 pho tượng khác nhau?

Lời giải

a) Sắp xếp 6 pho tượng khác nhau vào 1 dãy có 6 chỗ trống

Có \(A_6^6=6!=720\) cách xếp

b) Chọn có thứ tự 4 pho tượng xếp vào 6 dãy chỗ trống:

Có \(A_6^4=360\) cách xếp

c) Chọn có thứ tự 6 pho tượng trong 8 pho tượng khác nhau:

\(\Rightarrow A_8^6=20160\) cách xếp.

Bài 3.Tìm các số âm trong dãy số \(x_1, x_2, x_3, ..., x_n\) với: \[x_n = \frac{A_{n+4}^n}{P_{n+2}} - \frac{143}{4.P_n} \quad (n = 1, 2, 3, ...)\]

Lời giải

Ta có \[x_n = \frac{A_{n+4}^n}{P_{n+2}} - \frac{143}{4.P_n} < 0 \Leftrightarrow \frac{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)}{(n+2)(n+1)n!} - \frac{143}{4n!} < 0 \Leftrightarrow (n+4)(n+3) - \frac{143}{4} < 0\]

\[\Leftrightarrow n^2 + 7n - \frac{95}{4} < 0 \Leftrightarrow -\frac{19}{2} < n < \frac{5}{2}\]

Kết hợp với điều kiện suy ra n = 1và n= 2 là giá trị cần tìm.

• Với n = 1 thì \(x_1 = -\frac{63}{4}\)

• Với n = 2 thì \(x_2 = -\frac{23}{8}\)

Bài 4. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau sao cho:

a) Là số bất kỳ?

b) Là số chẵn?

c) Là số chia hết cho 5?

d) Hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau?

Lời giải

a) Mỗi số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ 7 chữ số đã cho là một chỉnh hợp chập 5 của 7 phần tử.

Số các số thỏa mãn là: \(A_7^5 = 2520\) số.

b) Gọi số cần tìm là \(\overline{abcde}\) với \(a, b, c, d, e \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) và đôi một khác nhau.

Vì là số chẵn nên chữ số tận cùng \(e \in \{2, 4, 6\}\) (có 3 cách chọn).

Chọn 4 chữ số còn lại từ 6 chữ số còn lại và sắp xếp vào 4 vị trí: \(A_6^4\) cách.

Số các số chẵn là: \(3 \cdot A_6^4 = 1080\)số.

c) Vì chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng e = 5 (có 1 cách chọn).

Chọn và sắp xếp 4 chữ số còn lại từ 6 chữ số còn lại:\(A_6^4\)cách.

Số các số chia hết cho 5 là: \(1 \cdot A_6^4 = 360\)số.

d)

Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ 7 chữ số đã cho là\(A_7^5 = 2520\) số.

Các số mà chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau: coi cặp (1, 2)hoặc (2,1) là một phần tử X. Khi đó ta chọn 4 phần tử từ 6 phần tử còn lại và sắp xếp, ta có \(2! \cdot A_6^4 = 720\) số.

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu (1 và 2 không đứng cạnh nhau) là:

\(2520 - 720 = 1800\) số.

Bài 5. Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các vecto khác vecto-không. Hỏi có thể có bao nhiêu vecto?

Lời giải

Vì vecto có chiều và khác không, nên từ 4 điểm A, B, C, D đã cho ta lập các vecto khác vecto không cũng tương đương với việc chọn có thứ tự 2 điểm trong 4 điểm đã cho.

\(\Rightarrow A_4^2=12\) vecto

Tóm lại, chỉnh hợp chập k của n phần tử là việc chọn ra k đối tượng từ một tập hợp và sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định. Tổng số cách sắp xếp này được tính toán chính xác bằng công thức \(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\). Trong chương trình Toán 10, chỉnh hợp đóng vai trò là một công cụ đếm vô cùng quan trọng. Nó giúp giải quyết nhanh gọn các bài toán thực tế đòi hỏi tính thứ tự nghiêm ngặt như lập số tự nhiên, tạo mật mã hay phân công nhiệm vụ, đồng thời xây dựng nền tảng vững chắc để học sinh tiếp tục củng cố kiến thức trong chuyên đề Toán 10.