Tổ hợp | Công thức tổ hợp và cách tính Toán 10

Trong chương trình Toán 10, tổ hợp là nội dung quan trọng của đại số tổ hợp, thường xuất hiện trong các bài toán chọn phần tử, chia nhóm, bốc thăm và xác suất. Học sinh cần nắm được tổ hợp là gì, công thức tổ hợp, cách tính tổ hợp, các tính chất cơ bản và cách phân biệt tổ hợp với chỉnh hợp. Việc hiểu đúng tổ hợp lớp 10 cũng giúp học sinh vận dụng hiệu quả vào các bài toán đếm, ứng dụng tổ hợp và tính xác suất.

Tổ hợp là gì?

Cho tập hợp A gồm n \(\left(n\ge1\right)\) phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử \((0 ≤ k ≤ n)\) được lấy ra từ n phần tử của tập hợp A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó. [1]

Trong các bài toán tổ hợp lớp 10, đặc điểm cốt lõi để nhận biết là chọn ra k phần tử từ n phần tử mà không xét thứ tự sắp xếp của k phần tử đó. Dù các phần tử được hoán đổi vị trí cho nhau trong tập hợp con thì tập hợp đó vẫn chỉ được tính là một kết quả duy nhất.

Ví dụ minh họa: Cho tập hợp gồm 4 học sinh A, B, C, D. Cần chọn ra một nhóm gồm 2 học sinh để tham gia làm vệ sinh lớp học.

Khi chọn ra hai học sinh là {A, B}, thì hoàn toàn giống việc chọn hai học sinh là {B, A} vì cả hai đều thực hiện nhiệm vụ chung như nhau, không có sự phân công vị trí hay thứ tự trước sau. Do đó, nhóm 2 học sinh {A; B} này chính là một tổ hợp chập 2 của 4 phần tử.

Công thức tổ hợp và cách tính tổ hợp

Để tính số các tổ hợp chập k của n phần tử (với \(0 ≤ k ≤ n\)), kí hiệu là \(C_{n}^{k}\), học sinh áp dụng công thức toán học sau [1]:

\[C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\]

Ngoài kí hiệu \(C_n^k\), số tổ hợp còn thường được viết dưới dạng \(\binom{n}{k}\); trên máy tính, chức năng tổ hợp được kí hiệu là nCr.

Trong đó:

• Kí hiệu giai thừa (!): Ở cấp độ THPT, số \(n!\) với (\(n\in N\)) được định nghĩa là tích của các số nguyên dương liên tiếp từ 1 đến n:

  \[n!=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot\left(n-1\right)\cdot n\]

• Riêng với số 0, các nhà toán học quy ước \(0!=1\).

Chứng minh công thức

Gọi các phần tử được chọn là \(x_1,x_2,\ldots,x_{k}\).

Có n phần tử, khi chọn phần tử thứ nhất thì có n cách chọn. Khi chọn phần tử thứ 2, chỉ còn \(\left(n-1\right)\) cách chọn do phần tử thứ 2 không được trùng với phần tử thứ nhất. Cứ như vậy đến phần tử thứ k thì chỉ còn \(n-k+1\) cách chọn. Theo quy tắc nhân, số cách chọn k phần tử từ n phần tử theo thứ tự sẽ là:

\[A_{n}^{k}=n\cdot\left(n-1\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot\ldots\cdot\left(n-k+1\right)=\frac{1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot\left(n-k\right)\cdot\left(n-k+1\right)\cdot\ldots n}{1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot\left(n-k\right)}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}\]

Tuy nhiên, trong phép đếm trên sẽ luôn có các cách chọn bị trùng nhau, chẳng hạn chọn phần tử \(x_1\) trước, \(x_2\) sau thu được tổ hợp \(\left\lbrace x_1,x_2\right\rbrace\) và chọn \(x_2\) trước, \(x_1\) sau thu được tổ hợp \(\left\lbrace x_2;x_1\right\rbrace\). Về mặt bản chất, nếu thứ tự sắp xếp trước sau không ảnh hưởng tới kết quả chọn sau cùng thì các tổ hợp này là một và bị trùng lặp trong phép đếm ở trên.

Do đó, để tính số tổ hợp chập k của n thì cần loại bỏ các trường hợp mà các phần tử \(x_1,x_2,\ldots,x_{k}\) hoán vị cho nhau trong con số \(\frac{n!}{\left(n-k\right)!}\) bằng cách chia cho số hoán vị của \(x_1,x_2,\ldots,x_{k}\):

\[C_{n}^{k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}\]

Công thức của số tổ hợp đã được chứng minh.

Một số tính chất cơ bản của số tổ hợp

• \(C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}=\frac{n!}{\left(n-k\right)!k!}\). Diễn giải theo bản chất toán học, việc chọn k phần tử trong n phần tử (\(C_{n}^{k}\)) và việc chọn \(n-k\) phần tử để loại bỏ ra không chọn (\(C_{n}^{n-k}\)) là một.

• Đặc biệt:

  \(C_{n}^0=C_{n}^{n}=1\); \(C_{n}^1=C_{n}^{n-1}=n\).

• Công thức tháp: \(k\cdot C_{n}^{k}=nC_{n-1}^{k-1}\) (Học sinh có thể tự chứng minh bằng cách biến đổi công thức).

• Công thức Pascal: \(C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}\). Bên cạnh chứng minh bằng biến đổi công thức, có thể chứng minh công thức Pascal bằng bản chất toán học như sau: Để chọn k người từ n người, có thể chọn ra một người đặc biệt A. Có 2 trường hợp xảy ra: hoặc A được chọn (cần chọn thêm \(k-1\) người từ \(n-1\) người còn lại), hoặc A không được chọn (cần chọn đủ k người từ \(n-1\) người còn lại).

Ví dụ: Tính số cách chọn 3 học sinh từ một nhóm gồm 5 học sinh để đi biểu diễn văn nghệ.

Lời giải: Đây là bài toán tính số tổ hợp chập 3 của 5 phần tử. Áp dụng công thức tính số tổ hợp với n = 5 và k = 3:

\[C_5^3=\frac{5!}{\left(5-3\right)!\cdot3!}=\frac{120}{2\cdot6}=10\]

Vậy số cách chọn 3 học sinh từ nhóm 5 học sinh là 10 cách chọn.

Phân biệt tổ hợp với hoán vị và chỉnh hợp

Để giải chính xác các bài toán đại số đếm, học sinh cần phân biệt rõ ràng ba khái niệm cơ bản: hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp dựa trên các tiêu chí so sánh trong bảng dưới đây:

Dấu hiệu nhận biết: Bài toán yêu cầu sử dụng tổ hợp khi chỉ quan tâm đến việc gom nhóm, chọn lọc đối tượng mà không phân công vai trò, không cần sắp xếp, không đánh số thứ tự. Ngược lại, nếu việc thay đổi vị trí giữa các đối tượng tạo ra một kết quả mới (ví dụ: xếp hàng ngang, phân công khác nhau, tạo số tự nhiên), bài toán đó phải sử dụng chỉnh hợp hoặc hoán vị.

Ví dụ so sánh: Cho tập hợp 5 học sinh A, B, C, D, E.

• Tình huống 1 (Tổ hợp): Chọn 2 học sinh đi làm công tác xã hội. Số cách chọn là \(C_5^2=10\) cách. Khi chọn A trước B sau {A, B} hay B trước A sau {B, A} thì cũng đều là một nhóm học sinh duy nhất thực hiện công việc.

• Tình huống 2 (Chỉnh hợp): Chọn 2 học sinh làm cán bộ lớp, trong đó 1 học sinh làm lớp trưởng và 1 học sinh làm lớp phó. Số cách chọn là \(A_5^2=20\) cách. Nếu chọn A làm lớp trưởng, B làm lớp phó sẽ khác hoàn toàn với việc chọn B làm lớp trưởng, A làm lớp phó. Kết quả của chỉnh hợp gấp k! (ở đây là \(2! = 2\)) lần kết quả của tổ hợp.

Cách bấm máy tính tổ hợp

Sử dụng máy tính cầm tay (như Casio fx-570VN Plus, fx-580VN X hay fx-880BTG) giúp học sinh tính nhanh giá trị tổ hợp. Chức năng tính tổ hợp trên máy tính được kí hiệu là nCr; vị trí phím hoặc menu có thể khác nhau tùy dòng máy.

Các bước thực hiện:

• Bước 1: Nhập giá trị n (tổng số phần tử).

• Bước 2: Chọn chức năng nCr trên máy tính.

• Bước 3: Nhập giá trị k (số phần tử được chọn).

• Bước 4: Nhấn phím = để nhận kết quả.

Lưu ý quan trọng: Khi tính \(C_n^k\), cần nhập n trước, chọn chức năng nCr rồi nhập k; đồng thời bảo đảm \(0\le k\le n\) và n, k là các số nguyên.

Ví dụ: Tính nhanh giá trị \(C_{18}^4\) bằng máy tính cầm tay.

Thực hành: Nhập 18 → chọn chức năng nCr → nhập 4 → nhấn =. Máy tính cho kết quả 3060. Trên các dòng máy có nCr ở chức năng phụ của phím ÷, có thể sử dụng tổ hợp phím tương ứng để gọi nCr.

Ứng dụng tổ hợp trong bài toán thực tế

Kiến thức tổ hợp được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực đời sống, kinh tế, thể thao và khoa học kỹ thuật:

Bài toán chọn nhóm người hoặc chọn đội thi đấu

Trong các giải đấu thể thao dạng thi đấu vòng tròn hoặc thành lập đội tuyển đại diện, việc tính toán số lượng trận đấu hay số cách lập đội hình hoàn toàn dựa vào lý thuyết tổ hợp. Chiêu mộ nhân sự, phân chia ca trực bệnh viện hay lập hội đồng đánh giá đều áp dụng công thức đếm này.

Bài toán chọn đồ vật không phân biệt thứ tự

Việc lấy ngẫu nhiên các viên bi từ túi, rút các lá bài từ bộ bài 52 lá, chọn các mẫu hàng hóa kiểm tra chất lượng trong nhà máy sản xuất, hay phối hợp các nguyên liệu trong chế biến thực phẩm đều đòi hỏi tính toán số tổ hợp.

Bài toán tính xác suất của biến cố

Khi biết được tổng số trường hợp có thể xảy ra và số trường hợp mà một biến cố A xảy ra trong đó thì có thể xác định xác suất của biến cố A. Tổ hợp cũng thường được vận dụng trong các bài toán về biến cố đối.

Bài toán số cách chia đồ vật ra số phần cố định

Dạng mở rộng của tính tổ hợp, còn gọi là bài toán chia kẹo Euler. Dạng bài tập này được áp dụng trong trường hợp chia n đồ vật giống nhau thành k phần, tùy theo việc mỗi phần có thể bằng 0 hay bắt buộc lớn hơn 0 mà số cách chia sẽ khác nhau.

Ví dụ: Một siêu thị điện máy cần chọn ra 4 sản phẩm gia dụng từ danh mục 10 sản phẩm khuyến mãi để tặng cho khách hàng may mắn trong chương trình tri ân. Hỏi ban tổ chức có bao nhiêu cách lựa chọn 4 sản phẩm tặng thưởng đó?

Phân tích và lời giải: Do 4 sản phẩm được chọn không phân biệt thứ tự nhận trước hay nhận sau, số cách chọn chính là tổ hợp chập 4 của 10.

Số cách siêu thị có thể lựa chọn sản phẩm là: \(C_{10}^4=210\) cách chọn khác nhau.

Bài tập tổ hợp có lời giải

Bài tập 1 (Tính biểu thức chứa tổ hợp - Cơ bản)

Tính giá trị của biểu thức \(A=C_8^3+C_8^5-C_7^4\) mà không dùng máy tính cầm tay.

Phân tích đề bài: Đây là dạng bài cơ bản, chỉ yêu cầu học sinh thuộc công thức số tổ hợp và cách tính giai thừa để có thể thực hiện tính toán bằng tay không cần dùng tới máy tính.

Lời giải:

Áp dụng công thức giai thừa đối với từng số hạng tổ hợp:

• \[C_8^3=\frac{8!}{5!\cdot3!}=\frac{5!\cdot6\cdot7\cdot8}{5!\cdot6}=7\cdot8=56\]

• \(C_8^5=C_8^3=56\) (Áp dụng tính chất \(C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}\))

• \[C_7^4=\frac{7!}{4!\cdot3!}=\frac{4!\cdot5\cdot6\cdot7}{4!\cdot6}=5\cdot7=35\]

Do đó, giá trị biểu thức \(A = 56 + 56 - 35 = 77\).

Bài tập 2 (Tính biểu thức chứa tổ hợp - Nâng cao)

Tính giá trị của biểu thức \(C_3^3+C_4^3+C_5^3+\cdots+C_{100}^3\).

Phân tích đề bài: Đây là dạng bài nâng cao tính tổng các biểu thức số tổ hợp có quy luật. Tùy thuộc vào dạng đề bài mà học sinh cần tiếp cận bài toán bằng các góc độ khác nhau như áp dụng công thức tháp, công thức Pascal hoặc nhị thức Newton. Đối với bài toán này, vì các số hạng có dạng \(C_{n}^3\) với n tăng dần, nên có thể nghĩ đến việc áp dụng công thức Pascal và tính tổng tịnh tiến.

Lời giải:

Nhận xét: \(C_3^3=C_4^4=1\). Nếu thay \(C_3^3\) bởi \(C_4^4\) thì tổng \(C_4^4+C_4^3\) có thể dùng công thức Pascal \(C_{n}^{k}=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}\). Sau đó số tổ hợp mới thu được có thể tiếp tục nhóm với \(C_5^3\) để tiếp tục áp dụng công thức Pascal:

• \(C_3^3+C_4^3=C_4^4+C_4^3=C_5^4\)

• \(C_5^4+C_5^3=C_6^4\)

• Cứ thực hiện liên tục như vậy, cuối cùng thu được: \(C_{100}^4+C_{100}^3=C_{101}^4=4.082.925\)

Ngoài ra, học sinh có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh rằng:

\[C_3^3+C_4^3+C_5^3+\cdots+C_{n}^3=C_{n+1}^4\forall n\in N,n\ge3\]

Nếu không muốn thực hiện tính tổng tịnh tiến.

Bài tập 3 (Bài toán đếm - Cơ bản)

Một câu lạc bộ truyền thông của trường THPT có 12 học sinh, gồm 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Cần lập một ban sự kiện gồm 5 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách lập ban sự kiện nếu như:

a. Cần đúng 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ.

b. Cần tối thiểu 3 học sinh nam.

Phân tích đề bài: Đây là dạng bài tính số cách chọn bằng tổ hợp cơ bản, bên cạnh việc tính riêng lẻ số cách chọn các học sinh nam và các học sinh nữ, học sinh cần áp dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân một cách phù hợp.

Lời giải:

a. Quá trình lập ban sự kiện bao gồm hai công đoạn liên tiếp:

• Công đoạn 1: Chọn 3 học sinh nam từ 7 học sinh nam → tổ hợp chập 3 của 7. Số cách chọn là \(C_7^3=35\) (cách).

• Công đoạn 2: Chọn 2 học sinh nữ từ 5 học sinh nữ → tổ hợp chập 2 của 5. Số cách chọn là \(C_5^2=10\) (cách).

Áp dụng quy tắc nhân đối với các công đoạn nối tiếp, tổng số cách thành lập ban sự kiện đáp ứng đúng yêu cầu đề bài là: \(N = 35 × 10 = 350\) (cách).

b. Quá trình lập ban sự kiện có thể được thực hiện bởi 1 trong 3 trường hợp sau:

• Chọn 3 học sinh nam, 2 học sinh nữ → ở phần a, bằng cách áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn là 350 cách.

• Chọn 4 học sinh nam, 1 học sinh nữ → tương tự với phần a, số cách chọn là \(C_7^4\cdot C_5^1=35\cdot5=175\) (cách).

• Chọn 5 học sinh nam, không có học sinh nữ → số cách chọn là \(C_7^5=21\) (cách).

Áp dụng quy tắc cộng đối với 3 trường hợp trên, tổng số cách thành lập ban sự kiện đáp ứng đúng yêu cầu đề bài là: \(350+175+21=546\) (cách).

Bài tập 4 (Bài toán đếm - Nâng cao)

Cho đa giác lồi 100 cạnh. Biết trong đa giác này, 3 đường chéo không cùng chứa 1 đỉnh thì không đồng quy. Tính số đường chéo của đa giác và tính số giao điểm bên trong đa giác (không phải đỉnh) của các đường chéo.

Phân tích đề bài: Tuy rằng đề bài không nhắc đến việc chọn cái gì trong nhóm nào để hình thành tổ hợp, nhưng có thể thấy rằng mỗi một đường chéo luôn ứng với 2 đỉnh không kề nhau, và mỗi 1 giao điểm cũng được tạo ra bởi 2 đường chéo cắt nhau.

Như vậy, sự “chọn” ẩn đi trong bài toán này chính là việc chọn 2 đỉnh trong tổng số các đỉnh có sẵn để tính số đường chéo, và chọn 4 đỉnh trong số các đỉnh có sẵn để tìm số giao điểm. Học sinh cũng cần lưu ý với các trường hợp cần loại bỏ ra như 2 đỉnh kề nhau không tạo đường chéo, 2 đường chéo cùng 1 đỉnh thì không tạo giao điểm bên trong đa giác.

Lời giải:

Cứ chọn 2 đỉnh trong 100 đỉnh thì tạo ra được cạnh của đa giác hoặc đường chéo, trong đó chỉ có 100 cạnh, còn lại là đường chéo. Như vậy số đường chéo là \(C_{100}^2-100=4850\) đường chéo.

Cứ chọn 4 đỉnh thì chắc chắn tạo được 2 đường chéo cắt nhau và hình thành giao điểm. Theo đề bài thì các giao điểm không trùng nhau nên số giao điểm là \(C_{100}^4=3.921.225\) giao điểm.

Bài tập 5 (Bài toán chia kẹo Euler)

Có 7 chiếc kẹo chia cho 3 người.

a. Số cách chia kẹo sao cho mỗi người có ít nhất 1 chiếc kẹo là bao nhiêu?

b. Số cách chia kẹo sao cho có thể có người không có kẹo là bao nhiêu?

c. Xây dựng công thức tổng quát khi chia n chiếc kẹo cho k người trong cả 2 trường hợp: mỗi người có ít nhất 1 chiếc kẹo và có thể có người không được chiếc kẹo nào.

Phân tích đề bài: Bài toán chia kẹo Euler là một dạng mở rộng của dạng toán tính số tổ hợp, tuy nhiên việc “chọn” cái gì trong nhóm nào là dữ kiện bị ẩn đi và đòi hỏi học sinh vận dụng kiến thức về tổ hợp một cách linh hoạt.

Lời giải:

a. Xếp 7 chiếc kẹo theo hàng ngang. Giữa 2 chiếc kẹo liên tiếp sẽ có 1 khoảng trống → có tổng cộng 6 khoảng trống.

Giả sử mỗi chiếc kẹo nằm trong 1 ô vuông, và mỗi khoảng trống là 1 ô vuông trống.

Khi đặt 2 vách ngăn vào 2 khoảng trống khác nhau trong 6 khoảng trống này, số kẹo đã được chia thành 3 phần cho 3 người sao cho mỗi người có ít nhất 1 chiếc kẹo. Như vậy, mỗi cách đặt 2 vách ngăn ứng với 1 cách chia kẹo thỏa mãn đề bài.

Số cách chọn 2 khoảng trống trong 6 khoảng trống để đặt vách là \(C_6^2=15\) cách → có 15 cách chia kẹo thỏa mãn.

b. Tương tự như phần a, chỉ cần đặt 2 vách ngăn là sẽ chia được kẹo cho 3 người. Tuy nhiên khi cho phép có người không có kẹo nào, hai vách ngăn có thể đứng liền kề nhau hoặc đứng ở hai đầu. Vậy với mỗi cách sắp xếp 7 chiếc kẹo cùng 2 vách ngăn thì thu được 1 cách chia kẹo khác nhau.

Lưu ý rằng các viên kẹo là giống hệt nhau và chỉ quan tâm tới số kẹo mà 2 vách ngăn chia ra, cho nên số cách mà 2 vách ngăn này chia số kẹo ra khác nhau chính là số cách chọn vị trí của 2 vách ngăn trong 9 vị trí (gồm kẹo và vách ngăn): \(C_9^2=36\) cách.

c. Từ phần a và b rút ra được rằng:

• Nếu cần chia n chiếc kẹo cho k người, mỗi người ít nhất 1 kẹo thì phải đặt \(k-1\) vách ngăn vào \(n-1\) ô trống → có \(C_{n-1}^{k-1}\) cách.

• Nếu cần chia n chiếc kẹo cho k người, có thể có người không có kẹo thì phải đặt \(k-1\) vách ngăn vào \(n+k-1\) vị trí → có \(C_{n+k-1}^{k-1}\) cách.

Bài viết trên đã hệ thống những kiến thức trọng tâm về tổ hợp, gồm khái niệm, công thức tổ hợp, cách tính tổ hợp, cách bấm máy tính tổ hợp và các bài tập vận dụng. Việc nắm vững cách tính số tổ hợp giúp học sinh giải hiệu quả các bài toán đếm, xác suất và củng cố kiến thức trong chương trình Toán 10 tại ZIM Academy, đồng thời tạo nền tảng cho các nội dung đại số tổ hợp nâng cao.