Nhị thức Newton | Công thức, cách khai triển và bài tập

Nhị thức Newton lớp 10 là nội dung quan trọng trong phần Đại số tổ hợp, giúp học sinh nắm công thức nhị thức Newton, cách khai triển nhị thức Newton và xác định số hạng tổng quát trong khai triển \((a+b)^{n}\). Kiến thức này còn được vận dụng để tìm hệ số, số hạng chứa lũy thừa cho trước và giải các bài tập nhị thức Newton từ cơ bản đến nâng cao.

Bài viết tổng hợp lý thuyết nhị thức Newton, công thức khai triển tổng quát, hệ số tổ hợp, cách xác định số hạng tổng quát, khai triển nhị thức Newton mũ 4, mũ 5 và các dạng bài tập nhị thức Newton lớp 10 thường gặp.

Nhị thức Newton là gì?

Nhị thức Newton là công thức khai triển lũy thừa của một tổng dạng \(\left(a+b\right)^{n}\), với n là số nguyên dương. Trong chương trình Nhị thức Newton lớp 10, công thức này giúp xác định nhanh từng số hạng và hệ số mà không cần nhân đa thức nhiều lần.

Với n là một số nguyên dương (n ∈ ℕ*), khai triển của biểu thức \(\left(a+b\right)^{n}\) được biểu diễn theo công thức Nhị thức Newton tổng quát như sau: \[\left(a+b\right)^{n}=C_{n}^0a^{n}+C_{n}^1a^{n-1}b+C_{n}^2a^{n-2}b^2+\cdots+C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}+\cdots+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+C_{n}^{n}b^{n}\]

Nhị thức Newton cũng có thể viết gọn bằng ký hiệu tổng có quy luật \(\sum\)(xích ma) như sau:\[\left(a+b\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}\]

Trong đó, \(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\) biểu diễn số tổ hợp chập k của n phần tử [1].

Số hạng tổng quát của Nhị thức Newton và cách xác định số hạng thứ m

Trong khai triển Nhị thức Newton, số hạng đứng ở vị trí thứ (k + 1) được gọi là số hạng tổng quát, ký hiệu là \(T_{k+1}\):

\(T_{k+1}=C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}\) (với \(k ∈ ℕ, 0 ≤ k ≤ n\))

Để xác định số hạng thứ m bất kỳ trong khai triển Nhị thức Newton, cần lưu ý mối liên hệ giữa vị trí số hạng m và chỉ số k:

• Số hạng thứ 1 ứng với \(k = 0\): \(T_1=C_{n}^0a^{n}\).

• Số hạng thứ 2 ứng với \(k = 1\): \(T_2=C_{n}^1a^{n-1}b\).

• Tổng quát, số hạng thứ m trong khai triển sẽ ứng với chỉ số \(k = m - 1\). Ví dụ, để tìm số hạng thứ 4 trong khai triển Nhị thức Newton, chỉ số k cần chọn là \(k = 3\).

Một số tính chất và kết quả cơ bản của khai triển Newton

Khai triển Nhị thức Newton có các tính chất đặc trưng cơ bản như sau:

• Số lượng các số hạng: Khai triển \(\left(a+b\right)^{n}\) có tất cả (n + 1) số hạng.

• Quy luật biến thiên số mũ: Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, trong khi số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Tổng các số mũ của a và b ở mỗi số hạng luôn bằng n.

• Tính đối xứng của hệ số: Do đẳng thức \(C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}\), các hệ số của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau.

Đồng thời, một số kết quả cơ bản từ công thức khai triển Newton mà học sinh cần ghi nhớ bao gồm:

• Kết quả cơ bản 1:

  \[C_{n}^0+C_{n}^1+C_{n}^2+\cdots+C_{n}^{n}=2^{n}\]

Chứng minh: Áp dụng khai triển Newton cho \(\left(a+b\right)^{n}\) với a và b bằng 1 thu được: \[\left(1+1\right)^{n}=C_{n}^0\cdot1^{n}+C_{n}^1\cdot1^{n-1}\cdot1+\cdots+C_{n}^{n}\cdot1^{n}\]

Rút gọn 2 vế thu được:\[C_{n}^0+C_{n}^1+C_{n}^2+\cdots+C_{n}^{n}=2^{n}\]

• Kết quả cơ bản 2: \[C_{2n}^0+C_{2n}^2+\cdots+C_{2n}^{2n}=C_{2n}^1+C_{2n}^3+\cdots+C_{2n}^{2n-1}=2^{2n-1}\]

Chứng minh: Áp dụng khai triển Newton cho \(\left(a+b\right)^{2n}\) với \(a=1,b=-1\) thu được \[\left(1-1\right)^{2n}=C_{2n}^0\cdot1^{2n}-C_{2n}^1\cdot1^{2n-1}\cdot1+\cdots-C_{2n}^{2n-1}\cdot1\cdot1^{2n-1}+C_{2n}^{2n}\cdot1^{2n}\]

Rút gọn 2 vế thu được: \[0=C_{2n}^0-C_{2n}^1+\cdots-C_{2n}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}\]

Tức là \[C_{2n}^0+C_{2n}^2+\cdots+C_{2n}^{2n}=C_{2n}^1+C_{2n}^3+\cdots+C_{2n}^{2n-1}\]

Đồng thời, từ kết quả 1 thì \[\left(C_{2n}^0+C_{2n}^2+\cdots+C_{2n}^{2n}\right)+\left(C_{2n}^1+C_{2n}^3+\cdots+C_{2n}^{2n-1}\right)=C_{2n}^0+C_{2n}^1+C_{2n}^2+\cdots+C_{2n}^{2n}=2^{2n}\]

Do đó hai tổng \(C_{2n}^0+C_{2n}^2+\cdots+C_{2n}^{2n}\) và \(C_{2n}^1+C_{2n}^3+\cdots+C_{2n}^{2n-1}\) bằng nhau và cùng bằng một nửa tổng của chúng, tức là \(2^{2n}\div2=2^{2n-1}\).

• Kết quả cơ bản 3:

  \[C_{2n+1}^0+C_{2n+1}^2+\cdots+C_{2n+1}^{2n}=C_{2n+1}^1+C_{2n+1}^3+\cdots+C_{2n+1}^{2n+1}=2^{2n}\]

Chứng minh: Hoàn toàn tương tự với kết quả số 2, học sinh có thể tự chứng minh được kết quả này khi khai triển \(\left(a+b\right)^{2n+1}\) với \(a=1,b=-1\).

Cơ sở của công thức khai triển Nhị thức Newton lớp 10

Trong chương trình Toán THCS ở lớp 8, học sinh đã học và làm quen với bảy hằng đẳng thức đáng nhớ. Trong số đó, hai công thức khai triển lũy thừa của một tổng hai số hạng mang tính chất nền tảng nhất là bình phương của một tổng và lập phương của một tổng.

Công thức bình phương của một tổng hai số hạng được phát biểu như sau:\[(a+b)^2{}=a^2+2ab+b^2\]

Công thức lập phương của một tổng hai số hạng được biểu diễn dưới dạng:\[(a+b)^3{}=a^3+3a^2{}b+3ab^2{}+b^3\]

Nhận xét quy luật số mũ của a và b trong các khai triển này: Khi phân tích cấu trúc của các hằng đẳng thức trên, dễ dàng nhận thấy những quy luật hệ thống rất rõ ràng liên quan đến số mũ của hai biến a và b:

• Quy luật số mũ của biến a: Trong khai triển \((a+b)^2\), số mũ của biến a giảm dần từ 2 xuống 1 và về 0 (\(a^0{}=1\)). Tương tự với khai triển \((a+b)^3\), số mũ của biến a giảm dần lần lượt từ 3 xuống 2, 1 rồi đến 0.

• Quy luật số mũ của biến b: Ngược lại với biến a, số mũ của biến b tăng dần từ 0 lên 1 và đạt đến 2 trong \((a+b)^2\). Trong khai triển \((a+b)^3\), số mũ của biến b bắt đầu từ 0, tăng dần lên 1, 2 và kết thúc ở 3.

• Tổng số mũ trong mỗi số hạng: Trong mọi số hạng của khai triển, tổng số mũ của a và b luôn luôn bằng đúng số mũ n của lũy thừa ban đầu. Ví dụ trong \((a+b)^3\), số hạng \(3a^2b\) có tổng số mũ là \(2 + 1 = 3\); số hạng \(3ab^2\) có tổng số mũ là \(1 + 2 = 3\).

• Số lượng các số hạng trong kết quả: Khai triển \((a+b)^2\) thu được 3 số hạng (2 + 1). Khai triển \((a+b)^3\) thu được 4 số hạng (3 + 1). Số lượng số hạng thu được luôn lớn hơn số mũ của lũy thừa đúng 1 đơn vị.

Vấn đề được đặt ra khi cần khai triển \((a+b)^{n}\) với số mũ n lớn hơn 3: Khi gặp các biểu thức lũy thừa có số mũ lớn hơn như \((a+b)^4\), \((a+b)^5\) hay tổng quát là \((a+b)^{n}\) với n là số tự nhiên bất kỳ, việc nhân đa thức thủ công theo cách thông thường trở nên rất phức tạp và tốn thời gian.

Do đó, việc tìm kiếm một công thức khai triển tổng quát giúp xác định chính xác các hệ số và số hạng là vô cùng cần thiết. Công thức tổng quát đó chính là khai triển Nhị thức Newton.

Tam giác Pascal và hệ số của Nhị thức Newton

Tam giác Pascal là một cách xác định nhanh các hệ số trong khai triển Nhị thức Newton. Mỗi hàng của tam giác tương ứng với dãy hệ số của một khai triển \((a+b)^{n}\). Chẳng hạn, hàng ứng với \(n=4\) có các hệ số \(1,4,6,4,1\), nên \[(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\]

Tương tự, với \(n=5\), dãy hệ số là \(1,5,10,10,5,1\). Các giá trị này cũng chính là các hệ số tổ hợp \(C_{n}^0,C_{n}^1,\ldots,C_{n}^{n}\) trong công thức khai triển Nhị thức Newton.

Cách khai triển Nhị thức Newton mũ 4 và mũ 5 bằng sơ đồ cây

Để tìm quy luật hệ số trong khai triển mà không phải nhân trực tiếp từng đa thức, việc ứng dụng sơ đồ hình cây là một phương pháp trực quan sinh động. Phương pháp này liên kết chặt chẽ kiến thức khai triển đại số với lý thuyết tổ hợp trong chủ đề Nhị thức Newton.

Cách sử dụng sơ đồ hình cây để tìm các đơn thức trong khai triển tích

Xây dựng sơ đồ hình cây cơ bản nhất với tích của 2 nhị thức: \(\left(a+b\right)\left(c+d\right)\) được thực hiện như sau:

• Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên ứng với 1 đơn thức của nhị thức thứ nhất là a và b. Từ ngọn của các mũi tên này, tiếp tục vẽ các mũi tên ứng với đơn thức của nhị thức thứ 2 là c và d.

• Tại ngọn của các mũi tên cuối cùng, điền tích của tất cả các đơn thức xuất hiện kể từ điểm gốc ban đầu cho đến ngọn mũi tên cuối cùng đó.

• Khi đó, tổng của tất cả các tích thu được cuối cùng chính là khai triển của tích \(\left(a+b\right)\left(c+d\right)\)[1].

Xây dựng sơ đồ hình cây cho biểu thức dạng \(\left(a+b\right)^{n}\): Tương tự như việc xây dựng sơ đồ hình cây cơ bản như trên, có thể tiếp tục xây dựng các mũi tên tiếp theo cho các nhị thức thứ 3, thứ 4,…

Khi đó số hạng tử ở ngọn mũi tên cuối cùng sẽ là \(2^{n}\). Mỗi hạng tử sẽ có dạng \(a^{n-k}b^{k}\), và tần số xuất hiện của các hạng tử này chính là cách chọn k phần tử b từ n phần tử (a+b) ban đầu, chính là tổ hợp chập k của n, kí hiệu \(C_{n}^{k}\).

Ví dụ: với sơ đồ hình cây cho \(\left(a+b\right)^4\): Sơ đồ trải qua 4 bước nối tiếp nhau. Tại mỗi bước, từ mỗi nút sẽ rẽ ra 2 nhánh tương ứng với a hoặc b.

• Tổng số nhánh ở hàng cuối cùng của sơ đồ hình cây là \(2^4{}=16\) nhánh, tương ứng với 16 tích đơn thức nhận được.

• Mỗi kết quả là một tích có dạng \(a^{4-k}b^{k}\), trong đó k là số lần chọn phần tử b (với k chạy từ 0 đến 4).

• Số cách chọn k phần tử b từ 4 thừa số ban đầu chính là số tổ hợp chập k của 4 phần tử, ký hiệu là \(C_4^{k}\). Đây chính là hệ số của đơn thức \(a^{4-k}b^{k}\) trong Nhị thức Newton bậc 4.

Kết quả khai triển (a + b)⁴ và (a + b)⁵

Dựa trên sơ đồ hình cây và các phép tính tổ hợp, có thể tính được kết quả khai triển chuẩn xác của hai lũy thừa \(\left(a+b\right)^4\) và \(\left(a+b\right)^5\) như sau:

Đối với Nhị thức Newton mũ 4, kết quả khai triển hoàn chỉnh là:\[\left(a+b\right)^4=a^4{}+4a^3{}b+6a^2{}b^2{}+4ab^3{}+b^4{}\]

Trong đó, các hệ số trong khai triển này tương ứng với các giá trị tổ hợp: \[C_4^0{}=1,C_4^1{}{}=4,C_4^2{}{}=6,C_4^3{}{}=4,C_4^4{}{}=1\]

Đối với Nhị thức Newton mũ 5, kết quả khai triển hoàn chỉnh là: \[(a+b)^5{}=a^5{}+5a^4{}b+10a^3{}b^2{}+10a^2{}b^3+5ab^4+b^5\]

Trong đó, các hệ số trong khai triển này tương ứng với các giá trị tổ hợp: \[C_5^0=1,C_5^1=5,C_5^2=10,C_5^3=10,C_5^4=5,C_5^5=1\]

Nhận xét về quy luật số mũ và hệ số trong khai triển (a + b)⁴ và (a + b)⁵

Từ kết quả trên, có thể rút ra những nhận xét quan trọng về bài toán Nhị thức Newton:

• Nhận xét về quy luật số mũ: Tương tự với những nhận xét ở bên trên về số mũ của a và b trong khai triển \(\left(a+b\right)^2\) và \(\left(a+b\right)^3\), trong khai triển \(\left(a+b\right)^4\) thì số mũ của a giảm dần từ 4 về 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến 4. Trong \(\left(a+b\right)^5\), số mũ của a giảm dần từ 5 về 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến 5. Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng số mũ của lũy thừa.

• Nhận xét về quy luật hệ số: Dãy hệ số của khai triển bậc 4 là (1, 4, 6, 4, 1) và của khai triển bậc 5 là (1, 5, 10, 10, 5, 1). Các hệ số này có tính đối xứng: hệ số của các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. Dãy hệ số này tuân theo quy luật hệ số tổ hợp của Nhị thức Newton.

Ứng dụng nhị thức Newton để tính giá trị gần đúng

Một trong những ứng dụng thực tế quan trọng của Nhị thức Newton là giúp tính giá trị gần đúng của các lũy thừa biểu thức số mà không cần sử dụng đến máy tính bỏ túi.

Cách dùng hai số hạng đầu của khai triển để ước lượng giá trị của một lũy thừa:

Xét biểu thức số có dạng \((1+x)^{n}\) với x là số thực có giá trị tuyệt đối rất nhỏ so với 1 (|\(x| ≪ 1\)). Sử dụng công thức khai triển Newton thu được: \[\left(1+x\right)^{n}=C_{n}^01^{n}+C_{n}^11^{n-1}x+C_{n}^21^{n-2}x^2+\cdots+C_{n}^{n}x^{n}\]\[\left(1+x\right)^{n}=1+nx+C_{n}^2x^2+\cdots+C_{n}^{n}x^{n}\]

Khi x có giá trị rất nhỏ thì các hạng tử \(C_{n}^2x^2,C_{n}^3x^3\ldots C_{n}^{n}x^{n}\) có giá trị cực kỳ nhỏ và có thể bỏ qua khi tính toán ước lượng giá trị gần đúng. Do đó, có thể dùng hai số hạng đầu của khai triển để xấp xỉ giá trị lũy thừa: \((1+x)^{n}{}\thickapprox1+nx\)

Ví dụ minh họa: Tính giá trị gần đúng của \(P=1,02^5\)

Hướng dẫn giải:

Biến đổi biểu thức \(1,02 = 1 + 0,02\). Khi đó \(P=(1+0,02)^5\).

Do \(\left|0,02\right|\ll1\) nên áp dụng được công thức tính gần đúng: \[P=(1+0,02)^5\approx1+5\cdot0,02=1,1\]

Nhận xét: Công thức tính xấp xỉ trên áp dụng với giả định rằng \(C_{n}^2x^2+\cdots+C_{n}^{n}x^{n}\) rất nhỏ và có thể bỏ qua. Tuy nhiên nếu như cần tính toán với độ chính xác cao hơn, học sinh có thể lấy xấp xỉ tới 3 hoặc 4 số hạng đầu tiên trong khai triển Newton, chẳng hạn nếu lấy tới 3 số hạng đầu thì:

\[P=(1+0,02)^5\approx1+5\cdot0,02+C_5^2\cdot0,02^2=1,104\]

So sánh với giá trị chính xác của \(1,02^5\) là 1,1040808032, có thể thấy việc dùng hai hoặc ba số hạng đầu trong khai triển Newton để tính giá trị xấp xỉ của \((1+x)^{n}\) đem lại sự tiện lợi trong tính toán mà vẫn đảm bảo tính chính xác tương đối.

Bài tập Nhị thức Newton lớp 10 và các dạng thường gặp

Các dạng bài tập về Nhị thức Newton khá đa dạng, từ kiến thức cơ bản lớp 10 đến một số dạng vận dụng nâng cao.

Dạng 1: Khai triển một nhị thức cho trước theo công thức tổng quát

Phương pháp giải: Xác định đúng các phần tử a, b và số mũ n trong biểu thức \(\left(a+b\right)^{n}\). Áp dụng công thức tổng quát tương ứng để viết đầy đủ khai triển. Lưu ý nếu biểu thức có dạng hiệu \((a-b)^{n}\) thì đổi thành \([a+(-b)]^{n}\) trước khi áp dụng công thức.

Bài tập 1: Khai triển biểu thức \((2x-3)^4\).

Phân tích đề bài: Đây là dạng bài cơ bản nhất áp dụng trực tiếp công thức của nhị thức Newton để ra kết quả. Học sinh chỉ cần tính toán cẩn thận và chính xác các hệ số trong khai triển.

Lời giải: Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton cho \(\left(a+b\right)^4\) với \(a = 2x, b = -3\):

\[\left(2x-3\right)^4=C_4^0\left(2x\right)^4+C_4^1\left(2x\right)^3\cdot\left(-3\right)+C_4^2\left(2x\right)^2\cdot\left(-3\right)^2+C_4^3\left(2x\right)^{}\cdot\left(-3\right)^3+C_4^4\cdot\left(-3\right)^4\]\[\left(2x-3\right)^4=16x^4+4\cdot8x^3\cdot\left(-3\right)+6\cdot4x^2\cdot\left(-3\right)^2+4\cdot\left(2x\right)^{}\cdot\left(-3\right)^3+\left(-3\right)^4\]\[\left(2x-3\right)^4=16x^4-96x^3+216x^2-216x+81\]

Bài tập 2: Khai triển biểu thức \((x+\frac{1}{x})^5\) (với \(x ≠ 0\)).

Phân tích đề bài: Với dạng bài mà một trong hai số hạng của tổng \(a+b\) có chứa biến ở mẫu, bên cạnh việc tính toán hệ số chính xác thì học sinh cũng cần lưu ý rằng các hạng tử có dạng \(x^{n-k}\cdot\frac{1}{x^k}\) sau khi khai triển có thể rút gọn.

Lời giải: Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton cho \(\left(a+b\right)^5\) với \(a=x\) và \(b=\frac{1}{x}\):\[\left(x+\frac{1}{x}\right)^5=C_5^0x^5+C_5^1x^4\cdot\frac{1}{x}+C_5^2x^3\cdot\frac{1}{x^2}+C_5^3x^2\cdot\frac{1}{x^3}+C_5^4x\cdot\frac{1}{x^4}+C_5^5\cdot\frac{1}{x^5}\]\[\left(x+\frac{1}{x}\right)^5=x^5+5x^3+10x+\frac{10}{x}+\frac{5}{x^3}+\frac{1}{x^5}\]

Dạng 2: Tìm hệ số hoặc số hạng cụ thể trong khai triển

Phương pháp giải: Lập số hạng tổng quát \(T_{k+1}=C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}\) trong khai triển. Sau đó rút gọn \(a^{n-k}b^{k}\) nếu có thể. Với số n biết trước và bậc của số hạng cần tìm theo đề bài, giải giá trị của k phù hợp.

Bài tập 1: Tìm hệ số của \(x^6\) trong khai triển biểu thức \(\left(3x^2-2\right)^5\).

Phân tích đề bài: Đây là dạng bài cơ bản nhất trong khi tìm hệ số của 1 số hạng, chỉ yêu cầu học sinh nắm vững cách lập số hạng tổng quát.

Lời giải: Số hạng tổng quát trong khai triển của biểu thức là: \[T_{k+1}=C_5^{k}\left(3x^2\right)^{5-k}\cdot\left(-2\right)^{k}\] (với \(k ∈ ℕ, 0 ≤ k ≤ 5\)).

Để tìm hệ số của số hạng chứa \(x^6\) thì số mũ của \(\left(3x^2\right)^{5-k}\) phải bằng 6: \(2\left(5-k\right)=6\Leftrightarrow2k=4\Leftrightarrow k=2\) (thỏa mãn điều kiện).

Thay k = 2 vào phần hệ số của số hạng tổng quát, số hạng chứa\(x^6\) là: \[C_5^2\left(3x^2\right)^3\cdot\left(-2\right)^2=1080x^6\]

Vậy hệ số của \(x^6\) trong khai triển biểu thức \(\left(3x^2-2\right)^5\) là 1080.

Bài tập 2: Tìm số hạng không chứa x (số hạng tự do) trong khai triển biểu thức \((2x^3{}-\frac{1}{x^2})^5\) (với \(x ≠ 0\)).

Phân tích đề bài: Với bài tập này, số hạng b có chứa biến x ở dưới mẫu số, cho nên các hạng tử dạng \(a^{n-k}b^{k}\) có thể rút gọn. Tương tự với bài 1, học sinh có thể tìm hệ số của 1 số hạng bất kì, trong đó riêng với yêu cầu tìm số hạng không chứa x thì học sinh cần tìm số hạng có số mũ của x là 0 (do \(x^0=1\) nên số hạng đó không còn biến x) và giải k tương ứng.

Lời giải: Số hạng tổng quát trong khai triển là \[T_{k+1}=C_5^{k}\left(2x^3\right)^{5-k}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)^{k}=C_5^{k}\cdot2^{5-k}\cdot\left(-1\right)^{k}\cdot x^{15-5k}\]

(với \(k ∈ ℕ, 0 ≤ k ≤ 5\)).

Để tìm cho số hạng không chứa x thì \(15-5k\) phải bằng 0 (khi đó \(x^{15-5k}=x^0=1\), số hạng không còn chứa x).

Do đó \(k=3\). Số hạng không chứa x là \(C_5^3\cdot2^{5-3}\cdot\left(-1\right)^3=-40\)

Bài tập 3: Tìm hệ số của \(x^3\) trong khai triển biểu thức \(\left(x^2+x+1\right)^3\).

Phân tích đề bài: Với các bài tập khai triển lũy thừa mà biểu thức gốc có chứa 3 hoặc nhiều hơn số hạng, việc cần làm là tách ra nhiều lần tổng và thực hiện khai triển Newton cho từng phần. Với \(\left(x^2+x+1\right)^3\), có thể đặt \(a=x^2+1\) và \(b=x\) để khai triển nhị thức Newton, sau đó tiếp tục khai triển các lũy thừa của \(x^2+1\) xuất hiện trong kết quả.

Lời giải: Đặt \(a=x^2+1\) và \(b=x\). Số hạng tổng quát trong khai triển của biểu thức là: \(T_{k+1}=C_3^{k}\left(x^2+1\right)^{3-k}\cdot x^{k}\)(với \(k\in\mathbb{N},0\le k\le3\)).

• Với \(k=0\), hạng tử \(\left(x^2+1\right)^3\) không chứa \(x^3\) nào.

• Với \(k=1\), hạng tử \(3\left(x^2+1\right)^2\cdot x\) có chứa \(6x^3\) (\(3\cdot2x^2\cdot x\)).

• Với \(k=2\), hạng tử \(3\left(x^2+1\right)\cdot x^2\) không chứa \(x^3\) nào.

• Với \(k=3\), hạng tử \(x^3\) chỉ chứa \(1\cdot x^3\).

Do đó, trong khai triển \(\left(x^2+x+1\right)^3\), hệ số của \(x^3\) là \(6+1=7\).

Dạng 3: Vận dụng các kết quả cơ bản của Nhị thức Newton trong các bài toán đếm và xác suất

Phương pháp giải: Áp các kết quả tính toán tổ hợp đã biết từ khai triển Newton vào trong các bài toán đếm. Sự vận dụng nhị thức Newton trong bài toán đếm này không chỉ gói gọn ở các kết quả cơ bản của chương trình lớp 10 mà còn áp dụng với các kết quả nâng cao ở lớp 11 và 12.

Bài tập 1: Bạn An đang xem chương trình ảo thuật. Ảo thuật gia chuẩn bị sẵn một chiếc lồng chứa 20 con thỏ. Anh ta chọn ngẫu nhiên một trong các tập con khác rỗng của 20 con thỏ, các cách chọn được xem là đồng khả năng, rồi tạm thời không tiết lộ cho khán giả. Bạn An đoán rằng số con thỏ được chọn ra là 4.

a. Có tổng cộng bao nhiêu cách chọn thỏ khác nhau? Tính xác suất bạn An đoán đúng.

b. Giả sử ảo thuật gia bắt buộc phải chọn một số chẵn con thỏ. Lúc này xác suất bạn An đoán đúng là bao nhiêu?

Phân tích đề bài: Đây là bài toán đếm số cách chọn thỏ mà không quan tâm thứ tự (các “nhóm” chỉ quan tâm các con thỏ, không quan tâm chúng được chọn trước hay sau), do đó các phép tính số cách chọn được thể hiện bằng phép toán tổ hợp \(C_{n}^{k}\). Bài tập này yêu cầu vận dụng các kết quả đặc biệt của tổng các \(C_{n}^{k}\) suy ra được từ nhị thức Newton để tính toán.

Lời giải:

a. Số cách chọn đúng 1 con thỏ trong 20 con thỏ là \(C_{20}^1\); Số cách chọn đúng 2 con thỏ trong 20 con thỏ là \(C_{20}^2\),…Số cách chọn đúng 20 con thỏ trong 20 con thỏ là \(C_{20}^{20}\)

Do đó số cách chọn thỏ là \(C_{20}^1+C_{20}^2+\cdots+C_{20}^{20}\). Mà từ kết quả cơ bản của nhị thức Newton thì \[C_{20}^0+C_{20}^1+C_{20}^2+\cdots+C_{20}^{20}=2^{20}\]

, trong đó \(C_{20}^0=1\).

Vậy số cách chọn thỏ là \(2^{20}-1=1048575\).

Số cách chọn đúng 4 con thỏ trong 20 con thỏ là \(C_{20}^4=\frac{20!}{4!\cdot16!}=4845\).

Vậy xác suất để ảo thuật gia bốc đúng 4 con thỏ là \(\frac{4845}{1048575}\). Đây cũng là xác suất mà bạn An đoán đúng.

b. Số cách chọn thỏ mà số con thỏ là chẵn sẽ là: \(C_{20}^2+C_{20}^4+\cdots+C_{20}^{20}\).

Mà từ kết quả cơ bản của nhị thức Newton thì\[C_{20}^0+C_{20}^2+C_{20}^4+\cdots+C_{20}^{20}=2^{19}\]

trong đó \(C_{20}^0=1\).

Do đó số cách chọn thỏ mà số con thỏ chẵn là \(2^{19}-1=524287\). Xác suất ảo thuật gia bốc đúng 4 con thỏ lúc này là \(\frac{4845}{524287}\).

Vậy xác suất bạn An đoán đúng nếu biết ảo thuật gia phải chọn số chẵn con thỏ là \(\frac{4845}{524287}\).

Câu hỏi thường gặp về Nhị thức Newton

Công thức Nhị thức Newton mũ 4 và mũ 5 là gì?

Với mũ 4, ta có \[(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\]Với mũ 5, ta có \[(a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5\]

Cách bấm máy tính Nhị thức Newton như thế nào?

Máy tính cầm tay có thể hỗ trợ tính nhanh hệ số tổ hợp \(C_{n}^{k}\) trong công thức Nhị thức Newton bằng chức năng nCr. Để tính \(C_{n}^{k}\), học sinh nhập giá trị \(n\), chọn lệnh nCr, nhập \(k\) rồi bấm dấu bằng. Sau khi tìm được hệ số, thay kết quả vào số hạng tổng quát \(T_{k+1}=C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}\) để xác định số hạng cần tìm. Trên các dòng máy Casio phổ biến như fx-580VN X hoặc fx-880BTG, vị trí lệnh nCr có thể khác nhau nhưng cách tính Nhị thức Newton vẫn dựa trên việc xác định đúng \(n\), \(k\) và hệ số tổ hợp.

Nhị thức Newton học ở lớp 10 hay lớp 11?

Trong Chương trình giáo dục phổ thông 2018, Nhị thức Newton thuộc nội dung Toán 10; với bộ Kết nối tri thức, đây là Bài 25. Một số tài liệu theo chương trình cũ xếp chủ đề này ở lớp 11, vì vậy người học có thể gặp cả hai cách gọi “Nhị thức Newton lớp 10” và “Nhị thức Newton lớp 11”.

Tổng kết lại, bài viết đã hệ thống đầy đủ công thức khai triển Nhị thức Newton, phương pháp xác định số hạng tổng quát và các ứng dụng cũng như bài tập. Việc thành thạo các dạng bài tập này đóng vai trò rất quan trọng giúp học sinh đạt kết quả cao trong chương trình Toán 10 nói riêng và chương trình Toán THPT nói chung.

Học sinh nên luyện tập thường xuyên các dạng toán về Nhị thức Newton để xây dựng nền tảng vững chắc cho kiến thức đại số tổ hợp nâng cao trong chuyên đề Toán 10 tại ZIM Academy, từ đó đạt kết quả tốt trong các bài kiểm tra và kỳ thi.