Hằng đẳng thức | 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và công thức lớp 8

Hằng đẳng thức là nội dung quan trọng trong Chương 2 Toán 8 Kết nối tri thức, được vận dụng để khai triển, rút gọn biểu thức, tính nhanh và phân tích đa thức thành nhân tử. Bài viết hệ thống 7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8, các công thức hằng đẳng thức, cách nhận dạng và áp dụng từng công thức, đồng thời tổng hợp lỗi thường gặp và bài tập về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ có lời giải.

Hằng đẳng thức là gì?

Hằng đẳng thức là một đẳng thức mà hai vế luôn nhận cùng một giá trị khi thay các chữ trong đẳng thức bằng những số tùy ý thích hợp [1].

Ví dụ:

\[a(b + c) = ab + ac\]

Đẳng thức trên luôn đúng với mọi giá trị của a, b, c nên là một hằng đẳng thức. Ngược lại:

\[x + 1 = 3x − 1\]

không phải là hằng đẳng thức. Chẳng hạn, thay x = 1 thì vế trái bằng 2 còn vế phải cũng bằng 2, nhưng thay x = 2 thì vế trái bằng 3 còn vế phải bằng 5. Chỉ cần tìm được một giá trị làm hai vế khác nhau là có thể kết luận đẳng thức đó không phải hằng đẳng thức.

Phân biệt hằng đẳng thức và phương trình

Lưu ý: Thay một vài giá trị và thấy hai vế bằng nhau chưa đủ để chứng minh một đẳng thức là hằng đẳng thức. Để khẳng định, cần biến đổi đại số hoặc dựa vào tính chất đã biết để chứng minh hai vế luôn bằng nhau.

7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8 và công thức

Các hằng đẳng thức đáng nhớ là nhóm công thức quan trọng trong chương trình Toán 8, thường được sử dụng để khai triển, rút gọn và phân tích đa thức thành nhân tử.

Có bao nhiêu hằng đẳng thức đáng nhớ?

Trong chương trình Toán 8, 7 hằng đẳng thức đáng nhớ gồm bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu, hiệu hai bình phương, lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương. Các công thức hằng đẳng thức được tổng hợp như sau:

Hằng đẳng thức số 1 và 2: Bình phương của một tổng và một hiệu

Hai hằng đẳng thức này xuất hiện thường xuyên khi khai triển biểu thức bậc hai hoặc nhận dạng một tam thức là bình phương hoàn chỉnh.

Hằng đẳng thức số 1: Bình phương của một tổng

\[(A+B)^2=A^2+2AB+B^2\]

Có thể ghi nhớ bằng lời: bình phương số thứ nhất + hai lần tích hai số + bình phương số thứ hai.

Hằng đẳng thức số 2: Bình phương của một hiệu

\[(A-B)^2=A^2-2AB+B^2\]

Hai bình phương ở đầu và cuối đều mang dấu dương; chỉ hạng tử giữa mang dấu âm.

Mẹo nhận dạng

Nếu một tam thức có dạng \(A^2 + 2AB + B^2\), có thể viết thành \((A + B)^2\). Nếu hạng tử giữa là −2AB thì viết thành \((A − B)^2\).

Ví dụ:

\[9x^2 + 12x + 4 = (3x + 2)^2\]

Hằng đẳng thức số 3: Hiệu hai bình phương

\[A^2-B^2=(A-B)(A+B)\]

Công thức hiệu hai bình phương thường được sử dụng để tính nhanh và phân tích đa thức thành nhân tử.

Ví dụ tính nhanh

Tính \(101^2 − 99^2.\)

Áp dụng hiệu hai bình phương:

\[101^2 − 99^2 = (101 − 99)(101 + 99)\]

\[=2\times200=400\]

Cách này ngắn hơn việc tính riêng \(101^2\) và \(99^2\).

Ví dụ phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích \(x^2 − 25\) thành nhân tử.

Ta nhận ra \(25 = 5^2\):

\[x^2 − 25 = x^2 − 5^2 = (x − 5)(x + 5)\]

Khi sử dụng công thức, cần chắc chắn hai hạng tử đều là bình phương và giữa chúng là dấu trừ. Biểu thức \(A^2+B^2\) không thể áp dụng trực tiếp công thức hiệu hai bình phương trong phạm vi số thực.

Hằng đẳng thức số 4 và 5: Lập phương của một tổng và một hiệu

Bài 7 Toán 8 Kết nối tri thức mở rộng từ bình phương sang lập phương. Hai công thức có bốn hạng tử và cần đặc biệt chú ý hệ số 3.

Hằng đẳng thức số 4: Lập phương của một tổng

\[(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3\]

Có thể ghi nhớ theo thứ tự: lập phương A; 3 lần A bình phương nhân B; 3 lần A nhân B bình phương; lập phương B.

Hằng đẳng thức số 5: Lập phương của một hiệu

\[(A-B)^3=A^3-3A^2B+3AB^2-B^3\]

Dấu của các hạng tử lần lượt là +, −, +, −.

Hằng đẳng thức số 6 và 7: Tổng và hiệu hai lập phương

Bài 8 hoàn thiện hệ thống 7 hằng đẳng thức đáng nhớ bằng hai công thức phân tích tổng hoặc hiệu hai lập phương thành tích.

Hằng đẳng thức số 6: Tổng hai lập phương

\[A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)\]

Ví dụ: Phân tích \(8x^3 + 27\) thành nhân tử.

Ta có \(8x^3 = (2x)^3\) và \(27 = 3^3\).

\[8x^3 + 27 = (2x + 3)(4x^2 − 6x + 9)\]

Hằng đẳng thức số 7: Hiệu hai lập phương

\[A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)\]

Ví dụ: Phân tích \(64x^3-125\) thành nhân tử.

Ta có \(64x^3=(4x)^3\) và \(125=5^3\).

\[64x^3-125=(4x-5)(16x^2+20x+25)\]

Cách áp dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và lỗi thường gặp

Bỏ mất hạng tử giữa khi bình phương

Sai:

\[(A+B)^2\ne A^2+B^2\]

Đúng:

\[(A+B)^2=A^2+2AB+B^2\]

Hạng tử \(2AB\) xuất hiện khi khai triển \((A+B)(A+B)\).

Nhầm dấu của B² trong bình phương của một hiệu

Sai:

\[(A − B)^2 = A^2 − 2AB − B^2\]

Đúng:

\[(A − B)^2 = A^2 − 2AB + B^2\]

Lý do là \((-B)^2=B^2\), nên hạng tử cuối trong bình phương của một hiệu vẫn mang dấu dương.

Nhầm dấu trong lập phương của một hiệu

Với \((A-B)^3\), dấu phải luân phiên: +, −, +, −

Đặc biệt, hạng tử \(3AB^2\) mang dấu dương vì B được bình phương.

Nhầm dấu trong tổng và hiệu hai lập phương

Hai công thức dễ nhớ bằng quy luật:

• Tổng hai lập phương: nhân tử thứ nhất là A + B, còn tam thức có dấu giữa là −AB.

• Hiệu hai lập phương: nhân tử thứ nhất là A − B, còn tam thức có dấu giữa là +AB.

Có thể nhớ ngắn: ngoài cùng dấu, trong đổi dấu đối với tổng; ngoài trừ, trong đều cộng đối với hiệu.

Không xác định đúng A và B

Trong biểu thức \((2x + 3y)^2\), cần xem A = 2x và B = 3y, không phải A = x và B = y. Vì vậy:

\[(2x+3y)^2=4x^2+12xy+9y^2\]

Trước khi thay vào công thức, nên khoanh hoặc ghi riêng A và B để hạn chế sai hệ số.

Bài tập về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8 có lời giải

Bài 1: Khai triển bình phương của một tổng

Khai triển \((x + 5)^2\).

Lời giải:

\[(x + 5)^2 = x^2 + 2 × x × 5 + 25 = x^2 + 10x + 25\]

Bài 2: Khai triển bình phương của một hiệu

Khai triển \((4x-3)^2\).

Lời giải:

\[(4x − 3)^2 = 16x^2 − 24x + 9\]

Bài 3: Tính nhanh bằng hiệu hai bình phương

Tính \(75^2 − 25^2\).

Lời giải:

\[75^2 − 25^2 = (75 − 25)(75 + 25) = 50 × 100 = 5000\]

Bài 4: Tính nhanh bằng bình phương một tổng

Tính \(102^2\).

Lời giải:

\[102^2=(100+2)^2=10000+400+4=10404\]

Bài 5: Khai triển lập phương

Khai triển \((x − 3)^3\).

Lời giải:

\[(x − 3)^3 = x^3 − 9x^2 + 27x − 27\]

Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử

Phân tích \(27x^3 + 8\) thành nhân tử.

Lời giải:

\(27x^3 = (3x)^3\) và \(8 = 2^3\).

\[27x^3 + 8 = (3x + 2)(9x^2 − 6x + 4)\]

Bài 7: Rút gọn biểu thức

Rút gọn:

\(A = (x + 2)^2 − (x − 2)^2\).

Lời giải:

\[A = (x^2 + 4x + 4) − (x^2 − 4x + 4) = 8x\]

Cũng có thể xem đây là hiệu hai bình phương:

\[A = [(x + 2) − (x − 2)][(x + 2) + (x − 2)] = 4 × 2x = 8x\]

Bài 8: Nhận dạng hằng đẳng thức

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là hằng đẳng thức?

1. \(2x(x + 1) = 2x^2 + 2x\)

2. \(x + 3 = 2x + 1\)

Lời giải:

a) Là hằng đẳng thức vì dùng tính chất phân phối:

\(2x(x + 1) = 2x^2 + 2x\) với mọi x.

b) Không phải hằng đẳng thức. Chẳng hạn x = 0 thì hai vế lần lượt bằng 3 và 1.

Bài 9: Bài tổng hợp nhiều biến

Phân tích \(9x^2-16y^2\) thành nhân tử.

Lời giải:

\[9x^2 − 16y^2 = (3x)^2 − (4y)^2\]

\[= (3x − 4y)(3x + 4y)\]

Bài 10: Nhận dạng bình phương hoàn chỉnh

Viết \(25x^2-20xy+4y^2\) dưới dạng bình phương của một hiệu.

Lời giải:

\(25x^2 = (5x)^2, 4y^2 = (2y)^2\) và:

\[20xy = 2 × 5x × 2y\]

Do đó:

\[25x^2 − 20xy + 4y^2 = (5x − 2y)^2\]

Hằng đẳng thức giúp học sinh lớp 8 khai triển, rút gọn, tính nhanh và phân tích đa thức thành nhân tử hiệu quả hơn. Bảy công thức đáng nhớ gồm bình phương của tổng và hiệu, hiệu hai bình phương, lập phương của tổng và hiệu, tổng và hiệu hai lập phương. Khi làm bài, cần xác định đúng A, B và đặc biệt chú ý hệ số cùng dấu. Việc luyện nhiều dạng bài và tự kiểm tra từng bước sẽ giúp ghi nhớ công thức bền vững hơn. Học sinh có thể tham khảo thêm các chuyên đề Toán 8 tại ZIM Academy để củng cố kiến thức và luyện tập thêm các dạng bài liên quan.