Nhân đơn thức với đa thức | Quy tắc, cách làm và bài tập lớp 8

Trong Toán 8, nhân đơn thức với đa thức là phép toán cơ bản dựa trên tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng. Bài viết giúp học sinh nắm quy tắc nhân đơn thức với đa thức, cách nhân đơn thức với đa thức bằng cách nhân đơn thức với từng hạng tử rồi thu gọn các hạng tử đồng dạng, đồng thời hệ thống các dạng bài tập nhân đơn thức với đa thức, ví dụ minh họa và những lỗi thường gặp khi thực hiện phép tính.

Kiến thức cần nhớ về đơn thức và đa thức

Đơn thức là gì?

Đơn thức là một biểu thức đại số chỉ gồm một số thực hoặc một biến (a, b, x, y, …), hoặc có dạng tích của những số và biến. [1]

Ví dụ:

• Các biểu thức \(1,x,2y,-10z^5,\frac{xy^2}{2},x2y\) và \(\left(1+\sqrt2\right)x\) là các đơn thức.

• Các biểu thức \(x+1,2y-3z,xy+5z\) không phải là đơn thức vì có chứa phép cộng.

• Biểu thức

  \(2x\sqrt{y}\) không phải là đơn thức vì có chứa căn bậc hai của biến.

Đơn thức thu gọn là gì?

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm một số hoặc một biến, hoặc có dạng tích của một số với các biến, trong đó mỗi biến chỉ xuất hiện một lần và đã được nâng lên luỹ thừa với số mũ nguyên dương. [1] Trong một đơn thức thu gọn, phần số được gọi là hệ số, phần còn lại gọi là phần biến.

Đa thức là gì?

Đa thức là tổng của các đơn thức; trong đó mỗi đơn thức gọi là một hạng tử của đa thức đó. [1]

Chú ý: Mỗi đơn thức cũng được coi là một đa thức.

Ví dụ:

• Biểu thức \(C=x^2-2xy+y^2-1\) là một đa thức.

• Đa thức C có 4 hạng tử là \(x^2,2xy,y^2\) và \(-1\).

Quy tắc nhân đơn thức với đa thức

Công thức tổng quát: \[A(B + C) = AB + AC\]

Quy tắc: Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các kết quả lại với nhau.

Ví dụ: Thực hiện phép nhân \(\left(-5x^2y\right)\cdot(2xy^2-xy+2x)\).

Lời giải:

\[\left(-5x^2y\right)\cdot\left(2xy^2-xy+2x)=\left(-5x^2y\right)\cdot\left(2xy^2\right)+\left(-5x^2y\right.\right)\cdot\left(-xy)+\left(-5x^2y\right)\cdot\left(2x\right)\right.\]

\[=\left(-5\right)\cdot2\cdot\left(x^2\cdot x\right)\cdot\left(y\cdot y^2\right)+\left(-5\right)\cdot\left(-1\right)\cdot\left(x^2\cdot x\right)\cdot\left(y\cdot y\right)+\left(-5\right)\cdot2\cdot\left(x^2\cdot x\right)\cdot y\]

\[=-10x^3y^3+5x^3y^2-10x^3y\]

Nhận xét: Tích của một đơn thức với một đa thức cũng là một đa thức.

Cách nhân đơn thức với đa thức

Bước 1: Nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức.
Bước 2: Thực hiện phép nhân hệ số và phần biến.
Bước 3: Thu gọn các hạng tử đồng dạng nếu có.

Do tính chất giao hoán của phép nhân, nhân đa thức với đơn thức được thực hiện tương tự.

Quy tắc thu gọn đơn thức

Ta có thể thu gọn một đơn thức bằng cách áp dụng các tính chất của phép nhân (phép giao hoán và phép kết hợp) cùng với phép nâng lên luỹ thừa (\(a^m*a^n=a^{m+n}\)).

Ví dụ, ta có thể rút gọn đơn thức \(B=3x^2y(-3)x\) như sau:

\[B=3x^2y\left(-3)x=3\cdot\left(-3\right)\cdot\left(x^2\cdot x\right.\right)\cdot y=-9x^3y\]

Chú ý:

• Khi viết một đơn thức thu gọn, ta thường viết hệ số trước, phần biến sau; các biến viết theo thứ tự bảng chữ cái.

• Với các đơn thức có hệ số là 1 hoặc -1, ta không viết phần hệ số. Ví dụ, ta viết xy thay vì 1xy; -y² thay vì -1y².

Bài tập nhân đơn thức với đa thức lớp 8

Các bài tập nhân đơn thức với đa thức lớp 8 thường gồm thực hiện phép tính, rút gọn biểu thức, tìm x và chứng minh đẳng thức.

Dạng 1: Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức

Đề bài: Rút gọn biểu thức \(A=3x(2x^2-x+4)-2x(x^2+3x-1)\).

Lời giải:

Đầu tiên, ta thực hiện nhân đơn thức với đa thức và nhân đa thức với đa thức:

\[A=(3x\cdot2x^2-3x\cdot x+3x\cdot4)-(2x\cdot x^2+2x\cdot3x+2x\cdot1)\]

Tiếp theo, phá ngoặc và đổi dấu các hạng tử phía sau:

\[=6x^3-3x^2+12x-2x^3-6x^2+2x\]

Cuối cùng, nhóm các đơn thức đồng dạng và thu gọn:

\[A=4x^3-9x^2+14x\]

Kết luận: Vậy \(A=4x^3-9x^2+14x\).

Dạng 2: Rút gọn biểu thức bằng phép nhân đơn thức với đa thức

Đề bài: Rút gọn biểu thức:

\[A=3x(2x^2-x+4)-2x(x^2+3x-1)\]

Lời giải:

Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức, ta nhân mỗi đơn thức với từng hạng tử của đa thức tương ứng:

\[A=6x^3-3x^2+12x-2x^3-6x^2+2x\]

Nhóm các hạng tử đồng dạng:

\[A=(6x^3-2x^3)+(-3x^2-6x^2)+(12x+2x)\]

Thu gọn biểu thức:

\[A=4x^3-9x^2+14x\]

Kết luận: Vậy \(A=4x^3-9x^2+14x\).

Dạng 3: Tìm x bằng phép nhân đơn thức với đa thức

Đề bài: Tìm \(x\), biết:

\[3x(x+2)-3x(x-1)=18\]

Lời giải:

Thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức:

\[3x^2+6x-3x^2+3x=18\]

Thu gọn các hạng tử đồng dạng:

\[9x=18\]

Suy ra:

\[x=2\]

Kết luận: Vậy nghiệm của phương trình là \(x=2\).

Dạng 4: Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến

Đề bài: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến \(x\):

\[B=x(2x+1)-x^2(x+2)+(x^3-x+3)\]

Lời giải:

Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức:

\[B=2x^2+x-(x^3+2x^2)+x^3-x+3\]

Phá ngoặc và thu gọn:

\[B=2x^2+x-x^3-2x^2+x^3-x+3\]

\[B=(2x^2-2x^2)+(-x^3+x^3)+(x-x)+3=3\]

Kết luận: Vì \(B=3\) với mọi giá trị của \(x\), nên giá trị của biểu thức \(B\) không phụ thuộc vào biến \(x\).

Dạng 5: Chứng minh đẳng thức bằng phép nhân đơn thức với đa thức

Đề bài: Chứng minh đẳng thức:

\[x(x^2+2x+1)-x^2(x+2)=x\]

Lời giải:

Biến đổi vế trái:

\[VT=x(x^2+2x+1)-x^2(x+2)\]

Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức:

\[VT=x^3+2x^2+x-x^3-2x^2\]

Thu gọn:

\[VT=x\]

Mà:

\[VP=x\]

Do đó:

\[VT=VP\]

Kết luận: Đẳng thức đã được chứng minh.

Tham khảo thêm: Phân tích đa thức thành nhân tử | Các phương pháp và bài tập có đáp án.

Một số lỗi thường gặp khi nhân đơn thức với đa thức

Bỏ sót hạng tử khi nhân với đa thức có nhiều số hạng

Khi nhân đơn thức với đa thức, học sinh cần nhân đơn thức với tất cả các hạng tử của đa thức. Nếu đa thức có 3 hạng tử thì phải thực hiện đủ 3 phép nhân trước khi thu gọn.

Cách khắc phục: Luôn kiểm tra số lượng số hạng trước khi rút gọn bằng quy tắc nhân số lượng phần tử. Vì (3 hạng tử) x (3 hạng tử) = 9 hạng tử, nên sau khi khai triển phá ngoặc, học sinh hãy đếm đủ đúng 9 hạng tử rồi mới tiến hành nhóm các đơn thức đồng dạng để rút gọn.

Sai dấu khi nhân với hạng tử âm

Học sinh thường quên đổi dấu khi phía trước dấu ngoặc là dấu trừ hoặc khi nhân hai số âm.

Ví dụ: \(-2x(x - 3) = -2x^2 + 6x\), học sinh thường mắc lỗi thành \(-2x^2 - 6x\).

Nhầm lẫn giữa cộng số mũ và nhân số mũ khi nhân các lũy thừa cùng biến

Khi nhân các biến cùng cơ số, ta cộng các số mũ (\(x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5\)), học sinh hay nhầm lẫn thành nhân số mũ (\(x^2 \cdot x^3 = x^6\)).

Phép nhân đơn thức và đa thức là công cụ cơ bản nhất mở đầu cho toàn bộ chương trình Đại số lớp 8. Để làm chủ dạng toán này, học sinh chỉ cần ghi nhớ chính xác quy tắc phân phối, quy tắc cộng số mũ cùng mẹo đếm đủ số lượng hạng tử trước khi thu gọn. Việc rèn luyện thường xuyên các dạng bài tìm x, rút gọn biểu thức và chứng minh đẳng thức sẽ giúp học sinh nâng cao tốc độ tính toán, hạn chế sai sót và vận dụng kiến thức linh hoạt hơn. Để ôn tập thêm các nội dung liên quan, học sinh có thể tham khảo chuyên đề Toán 8 tại ZIM Academy.