Đơn thức là gì? Cách thu gọn, tính bậc và nhân đơn thức

Đơn thức là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán 7, giúp học sinh làm quen với các biểu thức đại số và tạo nền tảng để học đa thức. Khi tìm hiểu đơn thức là gì, học sinh cần nắm được khái niệm đơn thức, cách nhận biết và thu gọn đơn thức, xác định hệ số, phần biến, bậc của đơn thức cũng như cách nhân đơn thức với đơn thức.

Bài viết hệ thống lý thuyết về đơn thức lớp 7, cách thu gọn, xác định bậc, thực hiện phép nhân đơn thức và các dạng bài tập minh họa có lời giải chi tiết.

Đơn thức là gì?

Đơn thức là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến, hoặc có dạng tích của những số và biến. [1]

Chú ý: Số 0 được gọi là đơn thức không. Mọi số thực bất kỳ (như 3, -8, \(\frac{2}{5}\), \(\sqrt{2}\)) đều được tính là một đơn thức.

Trong đơn thức, giữa các biến chỉ xuất hiện phép nhân hoặc phép nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương. Nếu trong biểu thức xuất hiện phép cộng, phép trừ hoặc phép chia có chứa biến ở mẫu thức thì biểu thức đó không phải là đơn thức.

Đơn thức thu gọn là gì?

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm một số, hoặc có dạng tích của một số với những biến, mỗi biến chỉ xuất hiện một lần và đã được nâng lên luỹ thừa với số mũ nguyên dương. [1]

Trong một đơn thức thu gọn:

• Số đứng trước được gọi là hệ số.

• Tích của các biến còn lại gọi là phần biến.

Tính chất:

Để đưa một đơn thức chưa thu gọn về dạng đơn thức thu gọn, người học áp dụng các tính chất căn bản của phép nhân và phép nâng lên lũy thừa:

• Tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân: \(a \cdot b = b \cdot a\) và \[(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\]

• Quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số: \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\) (với \(m, n \in \mathbb{N}^*\)).

Các bước thu gọn một đơn thức chưa ở dạng thu gọn

Bước 1: Nhóm các hệ số

Gom tất cả các hệ số bằng số lại với nhau và thực hiện phép tính nhân.

Bước 2: Nhóm các biến giống nhau

Gom các biến cùng tên lại thành từng nhóm và áp dụng công thức \(x^m \cdot x^n = x^{m+n}\) để thu gọn số mũ.

Bước 3: Viết kết quả

Đặt hệ số đã tính được ở trước, tiếp theo là phần biến sắp xếp theo thứ tự bảng chữ cái (\(x, y, z,\dots\)).

Ví dụ minh họa

Thu gọn đơn thức: \(A = 4x^2y \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot x y^3 z\).

Cách làm:

Học sinh tiến hành thực hiện các bước thu gọn như sau:

Bước 1: Nhóm hệ số

\(\left[4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\right] = -2\).

Bước 2: Nhóm các biến \(x\)

\(x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3\).

Bước 3: Nhóm các biến \(y\)

\(y \cdot y^3 = y^{1+3} = y^4\).

Bước 4: Nhóm các biến \(z\)

Biến \(z\) chỉ xuất hiện một lần nên giữ nguyên \(z\).

Kết quả thu gọn: \(A = -2x^3y^4z\)

Cách nhân đơn thức với đơn thức

Để nhân đơn thức với đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, sau đó nhân các phần biến với nhau. Với những biến cùng cơ số, áp dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số bằng cách cộng các số mũ.

Ví dụ: Nhân hai đơn thức \(3x^2y\) và \(-2xy^3\):

\[(3x^2y)(-2xy^3)=-6x^3y^4\]

Vậy tích của hai đơn thức là \(-6x^3y^4\).

Hệ số, phần biến và bậc của đơn thức

Cách xác định hệ số của đơn thức thu gọn

Hệ số là phần số thực nhân với phần biến trong một đơn thức đã thu gọn.

Với đơn thức có dạng \(a \cdot X\) (với \(X\) là phần biến), hệ số chính là số thực \(a\).

Nếu đơn thức không viết phần số đằng trước (như \(x^2y\)), hệ số được quy ước là \(1\).

Nếu đơn thức chỉ có dấu trừ đằng trước (như \(-x^3y\)), hệ số được quy ước là \(-1\).

Ví dụ:

• Đơn thức \(-7x^2y^3\) có hệ số là \(-7\).

• Đơn thức \(xy^4\) có hệ số là \(1\).

• Đơn thức \(-x^3z\) có hệ số là \(-1\).

Cách xác định phần biến của đơn thức thu gọn

Phần biến của đơn thức thu gọn là tích của tất cả các biến cùng với số mũ tương ứng của từng biến trong đơn thức đó.

Ví dụ: Trong đơn thức \(-5x^2y^3z\), phần biến là \(x^2y^3z\).

Bậc của đơn thức

Bậc của đơn thức có hệ số khác \(0\) là tổng số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức thu gọn đó.

Cách tính: Người học lấy tổng tất cả các số mũ của từng biến xuất hiện trong đơn thức đã thu gọn, nếu biến không ghi số mũ thì mặc định số mũ là \(1\).

Trường hợp đặc biệt:

• Bất kỳ số thực khác \(0\) nào cũng được coi là đơn thức bậc 0.

• Số 0 (đơn thức không) không có bậc.

Ví dụ:

• Đơn thức thu gọn \(4x^3y^2z\) có các số mũ của \(x, y, z\) lần lượt là \(3, 2, 1\). Do đó, bậc của đơn thức là \(3 + 2 + 1 = 6\).

• Đơn thức \(-9\) là một số thực khác \(0\) nên có bậc bằng \(0\).

Đơn thức đồng dạng và cách cộng trừ đơn thức đồng dạng

Đơn thức đồng dạng là gì?

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.

Chú ý: Tất cả các số thực khác 0 đều được coi là những đơn thức đồng dạng với nhau.

Ví dụ:

• Các đơn thức \(3x^2y^3\), \(-\frac{2}{3}x^2y^3\) và \(x^2y^3\) là các đơn thức đồng dạng với nhau vì đều có phần biến là \(x^2y^3\).

• Các đơn thức \(2x^2y\) và \(2xy^2\) không đồng dạng vì phần biến \(x^2y\) khác với \(xy^2\), mặc dù chúng có hệ số giống nhau.

Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng

Để cộng hay trừ các đơn thức đồng dạng, người học thực hiện theo quy tắc:

• Cộng hoặc trừ các hệ số với nhau.

• Giữ nguyên phần biến.

Công thức tổng quát:

\[A \cdot M + B \cdot M = (A + B) \cdot M\]

\[A \cdot M - B \cdot M = (A - B) \cdot M\]

Với A, B là các hệ số thực, M là phần biến chung.

Ví dụ minh họa:

Tính tổng và hiệu của hai đơn thức \(7x^3y^2\) và \(-3x^3y^2\).

• Tính tổng: \[7x^3y^2 + (-3x^3y^2) = [7 + (-3)]x^3y^2 = 4x^3y^2\]

• Tính hiệu: \[7x^3y^2 - (-3x^3y^2) = [7 - (-3)]x^3y^2 = (7 + 3)x^3y^2 = 10x^3y^2\]

Tổng hợp kiến thức về đơn thức cần nhớ

Phần tổng hợp dưới đây giúp hệ thống lại những kiến thức quan trọng về đơn thức, gồm cách nhận biết đơn thức, thu gọn đơn thức, xác định hệ số, phần biến, bậc và đơn thức đồng dạng. Học sinh có thể dựa vào sơ đồ để ôn nhanh lý thuyết trước khi làm bài tập về đơn thức.

Bài tập vận dụng về đơn thức

Dạng 1: Nhận biết đơn thức và dạng thu gọn

Bài 1: Trong các biểu thức đại số sau, biểu thức nào là đơn thức? Trong các đơn thức tìm được, đơn thức nào đã ở dạng thu gọn?

\[A = -5x^2y; \quad B = 2x + 3y; \quad C = \frac{4}{7}x^3 y^2 z; \quad D = -2x^2 y \cdot 3x y^2; \quad E = \frac{x + 1}{y}\]

Lời giải chi tiết:

Các biểu thức là đơn thức gồm: \(A = -5x^2y\), \(C = \frac{4}{7}x^3 y^2 z\) và \(D = -2x^2 y \cdot 3x y^2\).

• Biểu thức \(B = 2x + 3y\) không phải đơn thức vì chứa phép cộng.

• Biểu thức \(E = \frac{x + 1}{y}\) không phải đơn thức vì chứa phép cộng ở tử và biến \(y\) ở mẫu.

Trong các đơn thức A, C, D:

• Đơn thức \(A = -5x^2y\) và \(C = \frac{4}{7}x^3 y^2 z\) là các đơn thức đã thu gọn vì mỗi biến chỉ xuất hiện một lần dưới dạng nâng lên lũy thừa.

• Đơn thức \(D = -2x^2 y \cdot 3x y^2\) chưa thu gọn vì biến \(x\) và \(y\) xuất hiện nhiều lần và hệ số chưa được nhân gọn.

Dạng 2: Thu gọn đơn thức và xác định hệ số, phần biến, bậc

Bài 2: Cho các đơn thức chưa thu gọn sau:

1. \(M = -\frac{1}{3} x^2 y \cdot 6 x y^3\)

2. \(N = (-2 x y^2)^2 \cdot \left(-\frac{1}{4} x^3 y\right)\)

Hãy thu gọn các đơn thức trên, sau đó chỉ rõ hệ số, phần biến và bậc của từng đơn thức thu gọn thu được.

Lời giải chi tiết:

1. Thu gọn đơn thức \(M\):

\[M = \left[-\frac{1}{3} \cdot 6\right] \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y^3)\]

\[M = -2 \cdot x^{2+1} \cdot y^{1+3} = -2 x^3 y^4\]

• Hệ số: \(-2\)

• Phần biến: \(x^3 y^4\)

• Bậc: Tổng số mũ của các biến là \(3 + 4 = 7\).

2. Thu gọn đơn thức \(N\):

   Học sinh xử lý lũy thừa của tích trước: \[(-2 x y^2)^2 = (-2)^2 \cdot x^2 \cdot (y^2)^2 = 4 x^2 y^4\]

   Thế vào đơn thức \(N\):

\[N = (4 x^2 y^4) \cdot \left(-\frac{1}{4} x^3 y\right)\]

\[N = \left[4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)\right] \cdot (x^2 \cdot x^3) \cdot (y^4 \cdot y)\]

\[N = -1 \cdot x^{2+3} \cdot y^{4+1} = -x^5 y^5\]

• Hệ số: \(-1\)

• Phần biến: \(x^5 y^5\)

• Bậc: Tổng số mũ của các biến là \(5 + 5 = 10\).

Dạng 3: Đơn thức đồng dạng và thực hiện phép tính cộng, trừ

Bài 3:

1. Cho các đơn thức sau: \[2 x^2 y^3; \quad -3 x y^2; \quad \frac{5}{2} x^2 y^3; \quad 7 x y^2; \quad -\frac{1}{2} x^2 y^3\]Hãy xếp các đơn thức đã cho thành từng nhóm các đơn thức đồng dạng.

2. Tính tổng \(S\) của các đơn thức trong nhóm đồng dạng thứ nhất và tính hiệu \(H\) của hai đơn thức trong nhóm đồng dạng thứ hai.

Lời giải chi tiết:

Phân nhóm các đơn thức đồng dạng:

• Nhóm 1 (các đơn thức có phần biến \(x^2 y^3\)): \(2 x^2 y^3; \quad \frac{5}{2} x^2 y^3; \quad -\frac{1}{2} x^2 y^3\).

• Nhóm 2 (các đơn thức có phần biến \(x y^2\)): \(-3xy^2;\quad7xy^2\).

Thực hiện phép tính:

• Tính tổng \(S\) các đơn thức ở Nhóm 1:

  \[S = 2 x^2 y^3 + \frac{5}{2} x^2 y^3 + \left(-\frac{1}{2} x^2 y^3\right)\]

  \[S = \left(2 + \frac{5}{2} - \frac{1}{2}\right) x^2 y^3\]

  \[S = (2 + 2) x^2 y^3 = 4 x^2 y^3\]

• Tính hiệu \(H\) giữa đơn thức \(7 x y^2\) và đơn thức \(-3 x y^2\) ở Nhóm 2:

  \[H = 7 x y^2 - (-3 x y^2)\]

  \[H = [7 - (-3)] x y^2 = (7 + 3) x y^2 = 10 x y^2\]

Dạng 4: Tính giá trị của đơn thức tại giá trị cho trước của biến

Bài 4: Cho đơn thức \(P = -\frac{2}{5} x^3 y^2 \cdot \frac{5}{4} x y\).

1. Thu gọn đơn thức \(P\) và xác định bậc của \(P\).

2. Tính giá trị của đơn thức \(P\) tại \(x = -1\) và \(y = 2\).

Lời giải chi tiết:

a. Thu gọn đơn thức \(P\):

\[P = \left(-\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4}\right) \cdot (x^3 \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y)\]

\[P = -\frac{1}{2} x^4 y^3\]

• Đơn thức \(P\) có bậc là \(4 + 3 = 7\).

b. Tính giá trị của \(P\) tại \(x = -1\) và \(y = 2\):

Thay \(x = -1\) và \(y = 2\) vào biểu thức thu gọn \(P = -\frac{1}{2} x^4 y^3\):

\[P = -\frac{1}{2} \cdot (-1)^4 \cdot 2^3\]

\[P = -\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 8 = -4\]

Vậy giá trị của đơn thức \(P\) tại \(x = -1\) và \(y = 2\) bằng \(-4\).

Tham khảo thêm: Đa thức là gì? Bậc của đa thức, hệ số cao nhất và bài tập lớp 8.

Nắm chắc khái niệm đơn thức, kỹ năng thu gọn cùng cách xác định hệ số, phần biến và bậc là nền tảng quan trọng trong chương trình Toán 8. Làm chủ tốt kiến thức cơ bản này sẽ giúp học sinh dễ dàng tiếp thu các phép toán tiếp theo và tự tin chinh phục trọn vẹn chương Đa thức.