Đa thức là gì? Bậc của đa thức, hệ số cao nhất và bài tập lớp 8

Trong chương trình Toán 8, đa thức là kiến thức nền tảng giúp học sinh mở rộng từ đơn thức và đa thức sang các biểu thức đại số phức tạp hơn.

Bài viết làm rõ đa thức là gì, khái niệm và các hạng tử của đa thức, đa thức một biến, bậc của đa thức, cách xác định bậc, thu gọn và sắp xếp đa thức, kèm ví dụ về đa thức và các dạng bài tập vận dụng thường gặp.

Đa thức là gì?

Đa thức được định nghĩa là một tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng đó được gọi là một hạng tử của đa thức. Nói cách khác, đa thức là biểu thức đại số bao gồm các phép tính cộng, trừ giữa các đơn thức với nhau.

Lưu ý: Số 0 cũng được coi là một đa thức đặc biệt và được gọi là đa thức không. Ngoài ra, mỗi đơn thức cũng được coi là một dạng đa thức chỉ có duy nhất một hạng tử.

Ví dụ minh họa:

Xét đa thức \(P=3x^2{}y-5xy+2x-7\). Để xác định chính xác các hạng tử, cần chú ý đến dấu của từng số hạng:

• Hạng tử thứ nhất là đơn thức \(3x^2y\).

• Hạng tử thứ hai là đơn thức \(-5xy\) (chú ý bao gồm cả dấu trừ).

• Hạng tử thứ ba là đơn thức \(2x\).

• Hạng tử thứ tư là đơn thức hằng số \(-7\).

Như vậy, đa thức P nêu trên bao gồm tất cả 4 hạng tử liên kết với nhau bằng các phép toán đại số.

Đa thức một biến là gì?

Đa thức một biến là đa thức trong đó các hạng tử chỉ chứa cùng một biến và các hằng số. Ví dụ, \(P(x)=3x^3-2x+5\) là đa thức một biến x, gồm các hạng tử \(3x^3,\ -2x,\ 5\). Bậc của đa thức này là 3.

Hệ số cao nhất của đa thức là gì?

Hệ số cao nhất của đa thức một biến là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất sau khi đa thức đã được thu gọn và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến.

Ví dụ:

\[P(x)=3x^3-2x+5\]

Hạng tử có bậc cao nhất là \(3x^3\), nên hệ số cao nhất của đa thức \(P(x)\) là 3. Trong đó, 5 là hệ số tự do.

Đơn thức và mối quan hệ với đa thức

Đơn thức là biểu thức đại số gồm một số, một biến hoặc tích của các số và các biến với số mũ nguyên không âm. Mỗi đơn thức cũng có thể xem là một đa thức chỉ gồm một hạng tử.

Vì đa thức được tạo thành từ tổng các đơn thức nên việc nhận biết đơn thức giúp học sinh xác định chính xác các hạng tử, thu gọn đa thức và tìm bậc của đa thức.

Cách thu gọn đa thức

Trong một đa thức, các hạng tử đồng dạng chính là những đơn thức đồng dạng có phần biến giống hệt nhau (có cùng các biến và cùng số mũ tương ứng của từng biến). Việc thu gọn đa thức là quá trình thực hiện các phép tính cộng, trừ các hạng tử đồng dạng đó để đưa đa thức về dạng đơn giản, thu gọn nhất.

Các bước rút gọn một đa thức bao gồm:

• Bước 1: Nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau bằng cách sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng.

• Bước 2: Thực hiện phép cộng hay trừ các hệ số của các hạng tử đồng dạng trong từng nhóm và giữ nguyên phần biến.

• Bước 3: Viết lại đa thức kết quả dưới dạng tổng của các đơn thức đã được thu gọn.

Ví dụ minh họa: Thu gọn đa thức \(Q=4x^2{}y+3xy^2{}-2x^2{}y+5-xy^2{}+1\) như sau:

Bước 1: Thực hiện nhóm các hạng tử đồng dạng:

\[Q=(4x^2{}y-2x^2{}y)+(3xy^2{}-xy^2{})+(5+1)\]

Bước 2: Tính tổng hệ số của các nhóm:

\[Q=(4-2)x^2y+(3-1)xy^2{}+6\]\[Q=2x^2y+2xy^2{}+6\]

Bước 3: Viết lại đa thức thu gọn: \(Q=2x^2y+2xy^2{}+6\).

Đa thức Q sau khi thu gọn chỉ còn 3 hạng tử và không còn bất kỳ hai hạng tử nào đồng dạng với nhau.

Bậc của đa thức là gì?

Bậc của một đa thức khác 0 là bậc lớn nhất của các hạng tử trong dạng thu gọn của đa thức đó. Việc tìm bậc đòi hỏi phải đưa đa thức về dạng thu gọn trước tiên, tránh xét trực tiếp khi các hạng tử còn đồng dạng.

Các bước xác định bậc của đa thức:

• Bước 1: Thu gọn đa thức nếu đa thức chưa ở dạng thu gọn.

• Bước 2: Xác định bậc của từng hạng tử xuất hiện trong đa thức đã thu gọn (bậc của một hạng tử là tổng các số mũ của tất cả các biến có trong hạng tử đó).

• Bước 3: So sánh bậc của các hạng tử và chọn ra số lớn nhất. Số lớn nhất đó chính là bậc của đa thức cần tìm.

Ví dụ minh họa: Xét bậc của đa thức nhiều biến \(N=2x^3y^2-5x^2y^2+7x^4-9\) như sau:

So sánh bậc của các hạng tử: Các hạng tử có bậc lần lượt là 5, 4, 4, 0. Giá trị lớn nhất là 5. Do đó, bậc của đa thức N bằng 5.

Tham khảo thêm:

• Nhân đơn thức với đa thức | Quy tắc, cách làm và bài tập lớp 8.

• Phân tích đa thức thành nhân tử | Các phương pháp và bài tập có đáp án.

Những nhầm lẫn thường gặp khi xác định đa thức

Trong quá trình làm bài tập Toán 8, học sinh thường mắc phải một số sai sót phổ biến sau đây:

Nhầm lẫn giữa biểu thức chứa phân thức và đa thức

Lỗi sai này xuất phát từ việc hiểu nhầm rằng biểu thức nào chứa phép chia cũng không phải đa thức. Tuy nhiên, nếu mẫu thức chỉ là một hằng số như \(\frac{x+y}{3}\) thì đó vẫn là đa thức vì có thể viết lại thành \(\frac13x+\frac13y\). Nếu biểu thức chứa biến ở mẫu thức như \(\frac{x}{3y}\), biểu thức đó không phải là đa thức mà thuộc dạng phân thức.

Nhầm lẫn khi xác định bậc của đa thức chưa thu gọn

Đây là lỗi sai rất phổ biến xảy ra khi học sinh quên rút gọn đa thức trước khi xét bậc. Ví dụ đa thức \(A=x^5{}{}+x^2{}y+1-x^5\). Nếu không rút gọn đa thức trên mà kết luận ngay bậc bằng 5 do có hạng tử \(x^5\) là sai. Thực tế sau khi thu gọn, đa thức thu được chỉ còn \(A=x^2y+1\), bậc chính xác của đa thức A phải là 3 (bậc của hạng tử \(x^2y\)).

Lưu ý đặc biệt về đa thức không

Đa thức không (số 0) là một trường hợp ngoại lệ. Quy ước toán học nêu rõ: Đa thức không không có bậc. Do đó không được ghi bậc của đa thức không bằng 0.

Bài tập đa thức lớp 8 có lời giải

Để củng cố lý thuyết trong chương trình Kết nối tri thức, học sinh cần rèn luyện các dạng bài tập dưới đây:

Bài tập 1: Nhận biết đa thức và các hạng tử

Cho các biểu thức sau: \(A=2x^2y-3x+\frac{1}{y}\); \(B=4x^3{}-2xy+5y^2{}-1\). Biểu thức nào là đa thức? Nếu là đa thức, hãy liệt kê các hạng tử.

Lời giải:

Phân tích đề bài: Đây là dạng bài cơ bản, học sinh chỉ cần nắm chắc định nghĩa và đặc điểm của đa thức để chỉ ra đâu là đa thức, đâu không phải là đa thức, đồng thời rút ra hạng tử của đa thức đó.

Vì biểu thức A chứa \(\frac{1}{y}\) (có biến y ở mẫu thức) nên A không phải là đa thức.

Vì biểu thức B chỉ chứa các phép toán cộng, trừ, nhân giữa các số và các biến với số mũ nguyên không âm. Do đó B là đa thức.

Các hạng tử của đa thức B là: \(4x^3{},-2xy,5y^2{},-1\).

Bài tập 2: Thu gọn đa thức và tìm bậc

Cho đa thức \(M=5x^2y-3xy+2x^2{}y+4xy-7+xy\). Hãy thu gọn M và tìm bậc của đa thức sau khi thu gọn.

Lời giải:

Phân tích đề bài: Bài tập này yêu cầu thu gọn đa thức, rồi tìm bậc. Do đó cần nhóm các hạng tử đồng dạng với nhau, sau đó thực hiện tính toán phần hệ số của các biến rồi thu được đa thức đã thu gọn.

Tiến hành nhóm các hạng tử đồng dạng trong M sau đó thu gọn:\[M=(5x^2y+2x^2{}y)+(-3xy+4xy+xy)-7\]\[M=(5+2)x^2y+(-3+4+1)xy-7\]\[M=7x^2{}y+2xy-7\]

Xét bậc của các hạng tử trong M đã thu gọn:

• Hạng tử \(7x^2y\) có bậc là\(2 + 1 = 3\).

• Hạng tử \(2xy\) có bậc là \(1 + 1 = 2\).

• Hạng tử -7 có bậc là 0.

Vậy bậc của đa thức M sau khi thu gọn là 3.

Bài tập 3: Tính giá trị của đa thức

Tính giá trị của đa thức \(H=2x^2{}-3xy+y^2{}\) tại \(x = 2\) và \(y = -1\).

Lời giải:

Phân tích đề bài: Bài tập yêu cầu tính giá trị của đa thức khi đã biết giá trị của các biến. Như vậy, học sinh chỉ cần thay giá trị của các biến vào đa thức và thực hiện tính toán biểu thức như bình thường.

Thay giá trị \(x = 2\) và \(y = -1\) vào biểu thức H, thu được:\[H=2\cdot2^2{}-3\cdot2\cdot(-1)+(-1)^2{}\]\[H=2\cdot4-(-6)+1\]\[H = 8 + 6 + 1 = 15\]

Vậy giá trị của đa thức H tại \(x = 2, y = -1\) là 15.

Bài viết trên đây đã hệ thống hóa toàn bộ các kiến thức nền tảng về đa thức như khái niệm, cách nhận biết đơn thức và đa thức, phương pháp nhóm hạng tử đồng dạng để thu gọn cũng như quy tắc xác định bậc của đa thức.

Việc thực hành thường xuyên các bài tập vận dụng sẽ giúp học sinh nắm vững nội dung chủ đề đa thức nói riêng và kĩ năng biến đổi đại số nói chung. Kiến thức về đa thức nhất định sẽ tạo bước đệm vững chắc cho học sinh trong các chương học tiếp theo. Để hệ thống thêm kiến thức liên quan, học sinh có thể tham khảo chuyên đề Toán 8 tại ZIM Academy.