Nhân đa thức với đa thức | Quy tắc, cách làm và bài tập lớp 8

Trong chương trình Toán 8, học sinh cần nắm chắc nhân đa thức với đa thức cùng các quy tắc liên quan như nhân đơn thức với đa thức và nhân đơn thức với đơn thức. Đây là kiến thức nền tảng giúp thực hiện đúng phép nhân đa thức, vận dụng công thức nhân đa thức với đa thức, rút gọn biểu thức và giải các dạng bài tập nhân đa thức với đa thức lớp 8.

Khi thực hiện, học sinh cần chú ý cách nhân từng hạng tử, dấu của các hạng tử, quy tắc về lũy thừa và bước thu gọn các hạng tử đồng dạng để áp dụng đúng quy tắc nhân đa thức với đa thức và hạn chế sai sót trong tính toán.

Nhân đa thức với đa thức là gì?

Nhân đa thức với đa thức được thực hiện bằng cách nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia, sau đó cộng các tích nhận được. Kết quả của phép nhân hai đa thức cũng là một đa thức [1].

Trong Toán 8, phép nhân đa thức được giới thiệu thông qua một tình huống hình học quen thuộc: tính diện tích hình chữ nhật khi độ dài các cạnh được biểu diễn bởi những đa thức.

Chẳng hạn, nếu hai cạnh của hình chữ nhật lần lượt có độ dài là: x + 3 và x + 2 thì diện tích hình chữ nhật là:

S = (x + 3)(x + 2)

Muốn tính diện tích, ta có thể chia hình chữ nhật thành các phần nhỏ tương ứng với từng hạng tử của hai biểu thức:

S = x.(x+2) + 3.(x+2)

= \(x^2\) + 2x + 3x + 6

= \(x^2\) + 5x +6

Bài 4 trong SGK Toán 8 Kết nối tri thức tập trung vào hai nội dung chính là nhân đơn thức với đa thức và nhân đa thức với đa thức; trong đó phép nhân hai đơn thức là bước chuẩn bị quan trọng để học sinh thực hiện các phép nhân phức tạp hơn [1].

Ba dạng phép nhân đa thức

Có thể ghi nhớ ba dạng phép nhân đa thức như sau:

Khi thực hiện phép nhân đa thức, học sinh nên chú ý hai bước:

B1: Thực hiện đầy đủ các phép nhân cần thiết

B2: Thu gọn các hạng tử đồng dạng

Chỉ cần bỏ sót một tích hoặc cộng nhầm các hạng tử đồng dạng, kết quả cuối cùng sẽ bị sai.

Quy tắc nhân đơn thức với đơn thức

Cách thực hiện phép nhân đơn thức với đơn thức

Trước khi thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, học sinh cần nắm chắc cách nhân hai đơn thức. Theo SGK, muốn nhân hai đơn thức, ta nhân hai hệ số với nhau và nhân hai phần biến với nhau [1].

Khi nhân các lũy thừa có cùng cơ số, ta cộng các số mũ:

\(x^{m}\).\(x^{n}\) = \(x^{m+n}\)

Ví dụ:

2\(x^2y\).3x\(y^2\)

= (2 . 3)(\(x^2\) . x)(y . \(y^2\))

= 6\(x^3\)\(y^3\)

Như vậy

2\(x^2\)y . 3x\(y^2\) = 6\(x^3\)\(y^3\)

Ví dụ phép nhân đơn thức với đơn thức

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính

(3\(x^2\)y)(-4x\(y^3\))

= [3. (-4)](\(x^2\) . x)(y . \(y^3\))

= -12\(x^3\)\(y^4\)

Vậy:

(3\(x^2\)y)(-4x\(y^3\)) = -12\(x^3\)\(y^4\)

Ví dụ 2: Thực hiện phép tính (-2\(a^2\)b\(c^3\))(5a\(b^2\)c)

Lời giải

(-2\(a^2\)b\(c^3\))(5a\(b^2\)c)

= (-2 . 5)(\(a^2\) . a)(b . \(b^2\))(\(c^3\) . c)

= -10\(a^3\)\(b^3\)\(c^4\)

Vậy

(-2\(a^2\)b\(c^3\))(5a\(b^2\)c) = -10\(a^3\)\(b^3\)\(c^4\)

Lưu ý:

• Khi nhân hai đơn thức, ngoài việc tính đúng hệ số và số mũ, học sinh cần đặc biệt chú ý đến dấu.

• Nếu hai hệ số cùng dấu thì tích mang dấu dương:

Ví dụ: (−3\(x^2\))(−2\(x^4\)) = 6\(x^6\)

• Nếu hai hệ số trái dấu thì tích mang dấu âm:

Ví dụ: (−3\(x^2\))(2\(x^4\)) = −6\(x^6\)

Cách ghi nhớ nhanh

• (+) · (+) = (+)

• (−) · (−) = (+)

• (+) · (−) = (−)

• (−) · (+) = (−)

Đây là bước nhỏ nhưng rất quan trọng. Một bài toán có thể thực hiện đúng toàn bộ phần biến nhưng vẫn cho kết quả sai nếu học sinh xác định nhầm dấu của hệ số.

Quy tắc nhân đơn thức với đa thức

Cách thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức

Theo SGK, muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau. Tích của một đơn thức với một đa thức cũng là một đa thức [1].

Có thể biểu diễn quy tắc tổng quát như sau:

A(B + C + D) = AB + AC + AD

Trong đó, A là đơn thức còn B, C, D là các hạng tử của đa thức.

Ví dụ phép nhân đơn thức với đa thức

Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân 2xy(3\(x^2\) − 4xy + \(y^2\) − 5)

Lời giải

2xy(3\(x^2\) − 4xy + \(y^2\) − 5)

= 2xy · 3\(x^2\) + 2xy · (−4xy) + 2xy · \(y^2\) + 2xy · (−5)

= 6\(x^3\)y − 8\(x^2\)\(y^2\) + 2x\(y^3\) − 10xy

Vậy

2xy(3\(x^2\) − 4xy + \(y^2\)− 5)

= 6\(x^3\)y − 8\(x^2\)\(y^2\) + 2x\(y^3\) − 10xy

Trong ví dụ trên, đơn thức 2xy phải được nhân lần lượt với cả bốn hạng tử của đa thức. Không được chỉ nhân với hạng tử đầu tiên hoặc cuối cùng.

Một cách làm giúp hạn chế bỏ sót là viết các tích thành từng dòng:

• 2xy · 3\(x^2\) = 6\(x^3\)y

• 2xy · (−4xy) = −8\(x^2\)\(y^2\)

• 2xy · \(y^2\) = 2x\(y^3\)

• 2xy · (−5) = −10xy

Sau đó mới ghép các kết quả lại.

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

A = x(\(x^2\) − y) − \(x^2\)(x + y) + xy(x − 1)

Lời giải

A = \(x^3\) − xy − \(x^3\) − \(x^2\)y + \(x^2\)y − xy

= −2xy

Vậy:

A = −2xy

Trong bài toán này, sau khi thực hiện phép nhân, một số hạng tử bị triệt tiêu:

\(x^3\) − \(x^3\) = 0

−\(x^2\)y + \(x^2\)y = 0

Chỉ còn:

−xy − xy = −2xy

Điều đó cho thấy sau khi nhân, học sinh cần tiếp tục thu gọn biểu thức thay vì dừng lại ngay khi đã thực hiện xong phép nhân.

Quy tắc nhân đa thức với đa thức

Cách nhân đa thức với đa thức

Khi nhân hai đa thức, số lượng phép nhân cần thực hiện sẽ nhiều hơn so với trường hợp đơn thức nhân đa thức. Theo SGK, muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau [1].

Công thức nhân đa thức với đa thức trong trường hợp hai nhị thức có thể viết như sau:

(A + B)(C + D)

ta thực hiện:

(A + B)(C + D)

= AC + AD + BC + BD

Nói cách khác, mỗi hạng tử ở đa thức thứ nhất phải được nhân với tất cả các hạng tử ở đa thức thứ hai.

Ví dụ phép nhân đa thức với đa thức

Ví dụ 1: Thực hiện phép nhân (2x + 3y)(\(x^2\) − 5xy + 4\(y^2\))

Lời giải

(2x + 3y)(\(x^2\) − 5xy + 4\(y^2\))

= 2x · \(x^2\) + 2x · (−5xy) + 2x · 4\(y^2\) + 3y · \(x^2\) + 3y · (−5xy) + 3y · 4\(y^2\)

= 2\(x^3\) − 10\(x^2\)y + 8x\(y^2\) + 3\(x^2\)y − 15x\(y^2\) + 12\(y^3\)

Tiếp tục thu gọn các hạng tử đồng dạng:

= 2\(x^3\) − 7\(x^2\)y − 7x\(y^2\) + 12\(y^3\)

Vậy

(2x + 3y)(\(x^2\) - 5xy + 4\(y^2\))

= 2\(x^3\) - 7\(x^2\)y − 7x\(y^2\) + 12\(y^3\)

Ở đây, −10\(x^2\)y và 3\(x^2\)y là hai hạng tử đồng dạng nên có thể cộng lại:

−10\(x^2\)y + 3\(x^2\)y = −7\(x^2\)y

Tương tự:

8x\(y^2\) − 15x\(y^2\) = −7x\(y^2\)

Ví dụ 2: Thực hiện phép nhân: (\(x^2\) − xy + \(y^2\))(xy + 2)

Lời giải

(\(x^2\) − xy + \(y^2\))(xy + 2)

= \(x^2\) · xy + \(x^2\) · 2 + (− xy) · xy + (−xy) · 2 + \(y^2\) · xy + \(y^2\) · 2

= \(x^3\)y + 2\(x^2\) − \(x^2y^2\) − 2xy + x\(y^3\) + 2\(y^2\)

Sắp xếp lại:

= \(x^3\)y − \(x^2\)\(y^2\) + x\(y^3\) + 2\(x^2\) − 2xy + 2\(y^2\)

Vậy:

(\(x^2\) − xy + \(y^2\))(xy + 2)

= \(x^3\)y − \(x^2y^2\) + x\(y^3\) + 2\(x^2\) − 2xy + 2\(y^2\)

Ngoài quy tắc trên, phép nhân đa thức cũng có các tính chất tương tự phép nhân số, như tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối đối với phép cộng [1]. Nhờ đó, học sinh có thể lựa chọn cách biến đổi phù hợp để tính toán thuận tiện hơn.

Lưu ý và lỗi thường gặp khi thực hiện phép nhân đa thức

Khi thực hiện phép nhân đa thức, học sinh không chỉ cần nắm đúng quy tắc nhân mà còn phải chú ý đến dấu của các hạng tử, số lượng phép nhân, việc thu gọn các hạng tử đồng dạng và quy tắc về lũy thừa. Đây là những bước dễ phát sinh sai sót, đặc biệt khi biểu thức có nhiều hạng tử hoặc chứa cả số âm và số dương.

Việc kiểm tra từng bước sau khi tính toán giúp hạn chế lỗi và bảo đảm kết quả cuối cùng ở dạng thu gọn.

Lưu ý về dấu khi nhân hạng tử trong phép nhân đa thức

Khi nhân các hạng tử của đa thức, dấu của tích được xác định theo quy tắc về dấu của phép nhân số nguyên: hai thừa số cùng dấu cho tích dương, hai thừa số trái dấu cho tích âm. Đối với phép nhân đa thức, quy tắc này cần được áp dụng cho từng cặp hạng tử [1], .

Ví dụ minh họa phép nhân đa thức có dấu âm

Chẳng hạn, xét biểu thức:

−2x(\(x^2\) − 3x + 1)

Cần phân phối đơn thức −2x cho từng hạng tử trong ngoặc:

(−2x) · \(x^2\) = (−2\(x^3\))

(−2x) · (−3x) = +6\(x^2\)

(−2x) · 1 = (−2x)

Điểm dễ nhầm nằm ở tích (−2x) · (−3x). Hai thừa số đều mang dấu âm nên tích phải mang dấu dương. Nếu bỏ qua dấu âm của −3x, học sinh có thể viết thành −6x², làm thay đổi hoàn toàn kết quả.

Vì vậy, khi thực hiện phép nhân, nên giữ nguyên dấu của từng hạng tử trong bước phân phối thay vì bỏ dấu để tính phần hệ số trước. Sau khi hoàn thành các phép nhân, có thể kiểm tra lại dấu của từng tích một lần nữa.

Do đó:

−2x(\(x^2\) − 3x + 1) = −2\(x^3\) + 6\(x^2\) − 2x

Lỗi bỏ sót hạng tử khi thực hiện phép nhân đa thức

Đối với phép nhân hai đa thức, mỗi hạng tử của đa thức thứ nhất phải được nhân với tất cả các hạng tử của đa thức thứ hai, sau đó cộng các tích thu được [1], .

Ví dụ bỏ sót hạng tử khi thực hiện phép nhân đa thức

(x + 2)(x² + 3x + 1)

Đa thức thứ nhất có 2 hạng tử, còn đa thức thứ hai có 3 hạng tử. Vì vậy, cần thực hiện đầy đủ 2 × 3 = 6 phép nhân, gồm:

• x · \(x^2\)

• x · 3x

• x · 1

• 2 · \(x^2\)

• 2 · 3x

• 2 · 1

Thực hiện:

(x + 2)(x² + 3x + 1)

= \(x^3\) + 3\(x^2\) + x + 2\(x^2\) + 6x + 2

Sau đó mới tiếp tục thu gọn:

= \(x^3\) + 5\(x^2\) + 7x + 2

Trong thực tế, lỗi bỏ sót thường xảy ra khi học sinh tính nhẩm hoặc thực hiện phép nhân theo nhiều dòng nhưng không kiểm tra xem mỗi hạng tử đã được nhân đầy đủ hay chưa. Một cách kiểm tra đơn giản là đếm số phép nhân cần thực hiện trước khi bắt đầu, đặc biệt đối với những đa thức có nhiều hạng tử.

Lỗi quên thu gọn các hạng tử đồng dạng trong phép nhân đa thức

Sau khi thực hiện toàn bộ các phép nhân, biểu thức thu được chưa nhất thiết là kết quả cuối cùng. Nếu xuất hiện các hạng tử đồng dạng, cần tiếp tục cộng hoặc trừ các hệ số của chúng để đưa đa thức về dạng thu gọn [1], .

Hai hạng tử được gọi là đồng dạng khi có cùng phần biến, tức là có cùng biến với cùng số mũ. Khi đó, chỉ cần cộng hoặc trừ các hệ số và giữ nguyên phần biến [1], .

Ví dụ quên thu gọn hạng tử đồng dạng khi thực hiện phép nhân đa thức

(x + 2)(x + 3)

Thực hiện phép nhân:

= \(x^2\) + 3x + 2x + 6

Trong biểu thức trên, 3x và 2x là hai hạng tử đồng dạng vì đều có phần biến là x. Do đó:

3x + 2x = 5x

Suy ra:

(x + 2)(x + 3) = \(x^2\) + 5x + 6

Nếu dừng lại ở bước x² + 3x + 2x + 6, phép tính về cơ bản đã đúng nhưng kết quả chưa được thu gọn. Vì vậy, sau khi nhân, học sinh nên quan sát toàn bộ biểu thức để xác định các hạng tử có cùng phần biến và thực hiện thu gọn trước khi kết luận.

Lỗi cộng nhầm các hạng tử không đồng dạng trong phép nhân đa thức

Một lỗi khác thường gặp là cho rằng mọi hạng tử đều có thể cộng hoặc trừ với nhau. Tuy nhiên, chỉ các hạng tử đồng dạng mới được phép thu gọn bằng cách cộng hoặc trừ hệ số [1], .

Ví dụ cộng nhầm hạng tử khi thực hiện phép nhân đa thức

Chẳng hạn:

3\(x^2\)y + 5\(x^2\)y = 8\(x^2\)y

Hai hạng tử trên có cùng phần biến \(x^2\)y, nên có thể cộng các hệ số 3 và 5.

Ngược lại:

3\(x^2\)y + 5x\(y^2\)

không thể gộp thành một hạng tử duy nhất. Mặc dù cả hai đều chứa x và y, nhưng phần biến của chúng khác nhau: hạng tử thứ nhất có \(x^2\)y, còn hạng tử thứ hai có x\(y^2\). Số mũ của các biến không giống nhau nên chúng không phải là hạng tử đồng dạng.

Tương tự:

2\(x^2\) + 3x

cũng không thể viết thành 5x² hoặc 5x. Hai hạng tử này có cùng biến x nhưng số mũ khác nhau, do đó không thể cộng trực tiếp.

Khi thu gọn đa thức, học sinh nên kiểm tra cả biến và số mũ của từng biến, thay vì chỉ nhìn xem các hạng tử có xuất hiện cùng một chữ cái hay không.

Lỗi nhầm quy tắc về số mũ

Trong quá trình nhân các đơn thức, học sinh cần phân biệt giữa nhân các lũy thừa cùng cơ số và nhân các số mũ. Khi nhân hai lũy thừa có cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ:

\(x^{m}\) . \(x^{n}\) = \(x^{m+n}\)

Ví dụ nhầm quy tắc số mũ trong phép nhân đa thức

\(x^3\) · \(x^2\) = \(x^5\)

Quy tắc này có thể hiểu từ dạng khai triển của lũy thừa. Ta có:

x³ · x² = (x · x · x)(x · x)

Sau khi ghép các thừa số giống nhau, có tất cả 5 thừa số x, nên kết quả là x⁵.

Nhân x mũ 2 với x mũ 3 tạo ra 5 thừa số x lặp lại, nên ta cộng các số mũ.

Một lỗi thường gặp là viết:

\(x^3\) · \(x^2\) = \(x^6\)

Cách tính này xuất phát từ việc lấy 3 × 2 = 6, nhưng 3 và 2 là các số mũ chứ không phải các thừa số cần nhân với nhau. Quy tắc nhân số mũ không áp dụng trong trường hợp này.

Vì vậy, khi gặp phép nhân các lũy thừa cùng cơ số, học sinh cần ghi nhớ: giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ. Việc phân biệt rõ quy tắc này giúp tránh sai sót khi thực hiện phép nhân các đơn thức và đa thức có chứa lũy thừa.

Bài tập nhân đa thức với đa thức và nhân đơn thức với đa thức

Bài tập nhân đơn thức với đa thức

Dạng 1: Tính tích của đơn thức với đa thức nhiều hạng tử

Bài tập 1: Thực hiện phép nhân:

−3\(x^2\)y(2xy − \(x^2\) + 4\(y^2\) − 5)

Lời giải:

−3\(x^2\)y(2xy − \(x^2\) + 4\(y^2\) − 5)

= −3\(x^2\)y · 2xy + (−3\(x^2\)y)(−\(x^2\)) + (−3\(x^2\)y) · 4\(y^2\) + (−3\(x^2\)y)(−5)

= −6\(x^3\)\(y^2\) + 3\(x^4\)y − 12\(x^2\)\(y^3\) + 15\(x^2\)y

Sắp xếp các hạng tử:

= 3\(x^4\)y − 6\(x^3\)\(y^2\) − 12\(x^2\)\(y^3\) + 15\(x^2\)y

Vậy:

−3\(x^2\)y(2xy − \(x^2\) + 4\(y^2\) − 5) = 3\(x^4\)y − 6\(x^3\)\(y^2\) − 12\(x^2\)\(y^3\) + 15\(x^2\)y

Bài tập 2: Thực hiện phép nhân:

4\(a^2\)b(3a − 2b + a\(b^2\) − 5)

Lời giải:

4\(a^2\)b(3a − 2b + a\(b^2\) − 5)

= 4\(a^2\)b · 3a + 4\(a^2\)b · (−2b) + 4\(a^2\)b · a\(b^2\) + 4\(a^2\)b · (−5)

= 12\(a^3\)b − 8\(a^2b^2\) + 4\(a^3b^3\)− 20\(a^2\)b

Vậy:

4\(a^2\)b(3a − 2b + a\(b^2\) − 5)

= 12\(a^3\)b − 8\(a^2b^2\) + 4\(a^3b^3\) − 20\(a^2\)b

Bài tập 3: Thực hiện phép nhân:

−2x\(y^2\)(3\(x^2\) − 4xy + 2\(y^2\) − 6x + 1)

Lời giải:

−2x\(y^2\)(3\(x^2\)− 4xy + 2\(y^2\) − 6x + 1)

= −6\(x^3y^2\) + 8\(x^2y^3\) − 4x\(y^4\)+ 12\(x^2y^2\)− 2x\(y^2\)

Vậy:

−2x\(y^2\)(3\(x^2\) − 4xy + 2\(y^2\) − 6x + 1)

= −6\(x^3y^2\) + 8\(x^2y^3\)− 4x\(y^4\)+ 12\(x^2y^2\)− 2x\(y^2\)

Dạng 2: Rút gọn biểu thức có chứa phép nhân đơn thức với đa thức

Bài tập 4: Rút gọn biểu thức:

A = 2x(x² − 3y) − x(2x² − 5y) + 3xy

Lời giải:

A = 2\(x^3\) − 6xy − 2\(x^3\)+ 5xy + 3xy

= (2\(x^3\) − 2\(x^3\)) + (−6xy + 5xy + 3xy)

= 2xy

Vậy:

A = 2xy

Bài tập 5: Rút gọn biểu thức:

B = 3x(\(x^2\) − 2x + 1) − 2x(\(x^2\)− 3x + 2)

Lời giải:

B = 3\(x^3\) − 6\(x^2\) + 3x − 2\(x^3\) + 6\(x^2\) − 4x

= \(x^3\) − x

Vậy:

B = \(x^3\) − x

Bài tập 6: Rút gọn biểu thức:

C = 2a(\(a^2\) − ab + \(b^2\)) − a(2a² − 3ab + 4b²)

Lời giải:

C = 2\(a^3\) − 2\(a^2\)b + 2a\(b^2\) − 2\(a^3\) + 3\(a^2\)b − 4a\(b^2\)

= \(a^2\)b − 2a\(b^2\)

Vậy:

C = \(a^2\)b − 2a\(b^2\)

Qua các bài tập trên, học sinh cần thực hiện lần lượt hai bước: trước hết phân phối đơn thức cho từng hạng tử của đa thức, sau đó thu gọn các hạng tử đồng dạng. Đặc biệt, cần chú ý dấu của các hạng tử khi đơn thức đứng trước ngoặc mang hệ số âm.

Bài tập nhân đa thức với đa thức

Các bài tập nhân đa thức với đa thức lớp 8 dưới đây tập trung vào cách nhân hai đa thức, thu gọn các hạng tử đồng dạng và vận dụng phép nhân đa thức trong biến đổi biểu thức.

Dạng 1: Thực hiện phép nhân hai đa thức và thu gọn kết quả

Bài tập 7: Thực hiện phép nhân:

(3x − 2y)(\(x^2\) + xy − 4\(y^2\))

Lời giải:

(3x − 2y)(\(x^2\) + xy − 4\(y^2\))

= 3x · \(x^2\) + 3x · xy + 3x · (−4\(y^2\)) + (−2y) · \(x^2\) + (−2y) · xy + (−2y)(−4\(y^2\))

= 3\(x^3\) + 3\(x^2\)y − 12x\(y^2\) − 2\(x^2\)y − 2x\(y^2\) + 8\(y^3\)

= 3\(x^3\) + \(x^2\)y − 14x\(y^2\) + 8\(y^3\)

Vậy:

(3x − 2y)(\(x^2\) + xy − 4\(y^2\))

= 3\(x^3\)+ \(x^2\)y − 14x\(y^2\) + 8\(y^3\)

Bài tập 8: Thực hiện phép nhân:

(x + 2y)(3\(x^2\) − xy + 4\(y^2\))

Lời giải:

(x + 2y)(3\(x^2\) − xy + 4\(y^2\))

= x · 3\(x^2\) + x · (−xy) + x · 4\(y^2\) + 2y · 3\(x^2\) + 2y · (−xy) + 2y · 4\(y^2\)

= 3\(x^3\) − \(x^2\)y + 4x\(y^2\) + 6\(x^2\)y − 2x\(y^2\) + 8\(y^3\)

= 3\(x^3\)+ 5\(x^2\)y + 2x\(y^2\) + 8\(y^3\)

Vậy:

(x + 2y)(3\(x^2\) − xy + 4\(y^2\))

= 3\(x^3\)+ 5\(x^2\)y + 2x\(y^2\)+ 8\(y^3\)

Bài tập 9: Thực hiện phép nhân:

(2a − b)(\(a^2\) + 3ab − 2\(b^2\))

Lời giải:

(2a − b)(\(a^2\) + 3ab − 2\(b^2\))

= 2a · \(a^2\) + 2a · 3ab + 2a · (−2\(b^2\)) − b · \(a^2\) − b · 3ab − b · (−2\(b^2\))

= 2\(a^3\) + 6\(a^2\)b − 4a\(b^2\) − \(a^2\)b − 3a\(b^2\) + 2\(b^3\)

= 2\(a^3\) + 5\(a^2\)b − 7a\(b^2\) + 2\(b^3\)

Vậy:

(2a − b)(\(a^2\) + 3ab − 2\(b^2\))

= 2\(a^3\) + 5\(a^2\)b − 7a\(b^2\) + 2\(b^3\)

Dạng 2: Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

Bài tập 10: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

A = (2x + 2026)(1 − \(x^2\)) + x(2\(x^2\)− 2 + 2026x)

Lời giải:

Khai triển tích thứ nhất:

(2x + 2026)(1 − \(x^2\))

= 2x − 2\(x^3\) + 2026 − 2026\(x^2\)

Khai triển tích thứ hai:

x(2\(x^2\) − 2 + 2026x)

= 2\(x^3\)− 2x + 2026\(x^2\)

Do đó:

A = 2x − 2\(x^3\) + 2026 − 2026\(x^2\)+ 2\(x^3\) − 2x + 2026\(x^2\)

Các hạng tử chứa x triệt tiêu:

A = 2026

Vậy giá trị của biểu thức luôn bằng 2026 và không phụ thuộc vào giá trị của x.

Bài tập 11: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

B = (x + 3)(x − 3) − \(x^2\)

Lời giải:

B = \(x^2\) − 3x + 3x − 9 − \(x^2\)

= −9

Vậy giá trị của B luôn bằng −9, không phụ thuộc vào giá trị của x.

Bài tập 12: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

C = (x + 2)(\(x^2\) − 2x + 4) − \(x^3\)

Lời giải:

Khai triển tích (x + 2)(x² − 2x + 4):

(x + 2)(x² − 2x + 4) = x · \(x^2\)+ x · (−2x) + x · 4 + 2 · \(x^2\)+ 2 · (−2x) + 2 · 4

= \(x^3\) − 2\(x^2\)+ 4x + 2\(x^2\) − 4x + 8

=\(x^3\) + 8

Do đó:

C = \(x^3\) + 8 − \(x^3\)

= 8

Vậy giá trị của C luôn bằng 8 và không phụ thuộc vào giá trị của x.

Qua dạng bài này, học sinh cần khai triển và thu gọn biểu thức một cách đầy đủ. Nếu tất cả các hạng tử chứa biến đều triệt tiêu và chỉ còn lại một hằng số, có thể kết luận giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến.

Qua các bài tập trên, học sinh có thể củng cố kỹ năng thực hiện phép nhân đa thức, đồng thời rèn luyện khả năng thu gọn và kiểm tra kết quả của biểu thức đại số.

Đọc thêm:

• Bậc của đa thức | Cách tìm bậc và hệ số của đa thức.

• Phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8 | Phương pháp và bài tập.

• Hằng đẳng thức | 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và công thức lớp 8.

Phép nhân đa thức với đa thức là kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 8, được xây dựng từ những thao tác cơ bản đến phức tạp hơn. Học sinh cần ghi nhớ: khi nhân hai đơn thức - nhân các hệ số và các phần biến; khi nhân đơn thức với đa thức - nhân đơn thức với từng hạng tử rồi cộng các tích; khi nhân hai đa thức - nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích.

Bên cạnh việc nhớ quy tắc, học sinh cần luyện tập thường xuyên để hạn chế lỗi sai về dấu, số mũ, bỏ sót tích và không thu gọn hạng tử đồng dạng, đồng thời củng cố kiến thức trong chuyên đề Toán 8 tại ZIM Academy.