Diện tích hình thang | Công thức tính, cách tính và bài tập

Trong chương trình Toán lớp 5, diện tích hình thang là nội dung giúp học sinh hiểu diện tích hình thang là gì, nắm công thức tính diện tích hình thang \(S=(a+b)\times h:2\), xác định đáy lớn, đáy bé và chiều cao, đồng thời biết cách tính diện tích hình thang, hình thang vuông, hình thang cân và vận dụng vào các dạng bài tập, bài toán thực tế.

Hình thang là gì?

Hình thang là hình tứ giác có một cặp cạnh đối diện song song với nhau.[1]

Đặc điểm hình thang

• Hai cạnh song song với nhau được gọi là hai cạnh đáy, hai cạnh còn lại được gọi là hai cạnh bên. Nếu hai đáy có độ dài khác nhau, cạnh đáy ngắn hơn được gọi là đáy nhỏ (hoặc đáy bé), cạnh đáy dài hơn được gọi là đáy lớn.

• Đoạn thẳng vuông góc nối hai đáy gọi là đường cao của hình thang, độ dài của đường cao chính là chiều cao của hình thang.

Hình thang ABCD có:

• Đáy nhỏ: AB.

• Đáy lớn: CD.

• Cạnh bên: AD và BC.

• Đường cao: AH.

Các dạng hình thang

Hình thang vuông

Hình thang vuông là hình thang có một cạnh bên vuông góc với hai đáy.

Hình thang vuông ABCD có cạnh bên AD vuông góc với hai cạnh đáy AB và CD. Lúc này, cạnh bên AD cũng chính là đường cao của hình thang, độ dài cạnh AD là chiều cao của hình thang vuông ABCD.

Các hình đặc biệt

Các hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật và hình vuông đều là hình thang vì các hình này đều có ít nhất một cặp cạnh đối song song với nhau.

Diện tích hình thang là gì?

Diện tích hình thang là độ lớn phần mặt phẳng nằm bên trong hình thang. Để tính diện tích hình thang, cần xác định độ dài hai đáy và chiều cao tương ứng của hình.

Công thức tính diện tích hình thang

Muốn tính diện tích hình thang, ta lấy tổng độ dài hai đáy nhân với chiều cao (cùng một đơn vị đo) rồi chia cho 2. \[S=\dfrac{\left(a+b\right)\times h}{2}\]

Nói cách khác, diện tích hình thang bằng trung bình cộng độ dài hai đáy nhân với chiều cao.

Trong đó:

• S là diện tích.

• a và b là độ dài hai đáy.

• h là chiều cao.

Chứng minh:

Nhìn vào hình trên, ta thấy rằng diện tích hình thang ABCD bằng tổng diện tích tam giác ADH cộng diện tích tam giác BCK cộng diện tích hình chữ nhật ABKH. Ta có:

• Diện tích tam giác ADH là: \(\dfrac{DH\times AH}{2}\).

• Diện tích tam giác BCK là:\[\dfrac{CK\times BK}{2}=\dfrac{CK\times AH}{2}\]

(AH = BK = h vì đều là chiều cao của hình thang).

• Diện tích hình chữ nhật ABKH là:\[AB\times AH=\dfrac{AB\times AH}{2}+\dfrac{AB\times AH}{2}=\dfrac{HK\times AH}{2}+\dfrac{AB\times AH}{2}\]

(AB = HK = a vì ABKH là hình chữ nhật).

Ta thu được diện tích hình thang ABCD là: \(\dfrac{DH\times AH}{2}\) + \(\dfrac{CK\times AH}{2}\) + \[\dfrac{HK\times AH}{2}+\dfrac{AB\times AH}{2}\] \[=\dfrac{\left(DH+HK+CK+AB\right)\times AH}{2}=\dfrac{\left(CD+AB\right)\times AH}{2}\]

Mà AB = a, CD = b, AH = h.

Suy ra diện tích hình thang ABCD là: \(S=\dfrac{\left(a+b\right)\times h}{2}\).

Lưu ý khi tính diện tích hình thang

• Người học cần quy đổi độ dài hai đáy và chiều cao về cùng một đơn vị đo độ dài (cm, dm, m, …).

• Đơn vị đo diện tích là \(\operatorname{\mathrm{cm}}^2\), \(\operatorname{d\mathrm{m}}^2\) hay \(\operatorname{\mathrm{m}}^2\),…

• Người học cần chú ý khi quy đổi các đơn vị diện tích, hãy ghi nhớ rằng 1 m² = 100 dm² = 10000 cm².

• Không nhầm cạnh bên với chiều cao; chiều cao phải vuông góc với hai đáy của hình thang.

• Sau khi lấy tổng độ dài hai đáy nhân với chiều cao, cần chia kết quả cho 2.

Công thức và cách tính diện tích hình thang vuông

Vì cạnh bên AD cũng chính là đường cao của hình thang vuông ABCD, nên diện tích hình thang vuông ABCD được tính như sau: \[S=\dfrac{(AB+CD)\times AD}{2}\]

Công thức và cách tính diện tích hình thang cân

Diện tích hình thang cân vẫn được tính theo công thức chung của hình thang:

\[S=\dfrac{(a+b)\times h}{2}\]

Trong đó, a và b là độ dài hai đáy, h là chiều cao của hình thang cân. Nếu đề bài chưa cho chiều cao, cần xác định chiều cao từ các dữ kiện đã biết trước khi áp dụng công thức.

Ví dụ minh họa về cách tính diện tích hình thang có đáp án

Trường hợp các số liệu cùng đơn vị đo

Ví dụ: Tính diện tích hình thang biết độ dài hai đáy lần lượt là 9 cm và 11 cm; chiều cao là 5 cm.

Lời giải: Người học áp dụng công thức diện tích hình thang: \(S=\dfrac{\left(a+b\right)\times h}{2}\), thu được: \(S=\dfrac{\left(9+11\right)\times5}{2}=50\) (\(\operatorname{\mathrm{cm}}^2\)).

Kết luận: Diện tích hình thang là 50 \(\operatorname{\mathrm{cm}}^2\).

Trường hợp các số liệu khác đơn vị đo

Ví dụ: Tính diện tích hình thang biết độ dài hai đáy lần lượt là 5 cm và 15 cm; chiều cao là 1 dm.

Lời giải:

Nhận thấy rằng độ dài hai đáy và chiều cao khác đơn vị đo, bước đầu tiên người học cần quy đổi chúng về cùng một đơn vị đo. Ta chọn quy đổi chiều cao về đơn vị cm, thu được h = 10 cm.

Tiếp theo, người học áp dụng cách tính diện tích hình thang: \(S=\dfrac{\left(a+b\right)\times h}{2}\), thu được: \(S=\dfrac{\left(5+15\right)\times10}{2}=100\) (\(\operatorname{\mathrm{cm}}^2\)).

Kết luận: Diện tích hình thang là 100 \(\operatorname{\mathrm{cm}}^2\).

Các dạng bài tập thường gặp ở chủ đề diện tích hình thang

Cách tính diện tích hình thang khi biết độ dài hai đáy và chiều cao

Đề bài: Tính diện tích hình thang biết độ dài hai đáy lần lượt là a, b và chiều cao là h.

Phương pháp giải: Người học áp dụng trực tiếp công thức tính diện tích hình thang \(S=\dfrac{\left(a+b\right)\times h}{2}\).

Ví dụ: Tính diện tích hình thang biết hai đáy có tổng độ dài là 10 cm và chiều cao là 6 cm.

Lời giải: Ở bài toán này, đề bài đã cho tổng độ dài hai đáy là 10 cm, tức là a + b = 10 cm. Người học áp dụng công thức tính diện tích hình thang \[S=\dfrac{\left(a+b\right)\times h}{2}=\dfrac{10\times6}{2}=30\]

(cm²).

Kết luận: Diện tích hình thang là 30 cm².

Tìm chiều cao khi biết diện tích và độ dài hai đáy

Đề bài: Cho hình thang có diện tích là S và độ dài hai đáy lần lượt là a, b. Tìm chiều cao h của hình thang.

Phương pháp giải: Từ công thức diện tích hình thang \(S=\dfrac{\left(a+b\right)\times h}{2}\), ta thu được công thức tính chiều cao của hình thang là \(h=\dfrac{2\times S}{a+b}\).

Ví dụ: Cho hình thang có diện tích là 100 cm², độ dài hai đáy lần lượt là 5 cm và 20 cm. Tìm chiều cao của hình thang.

Lời giải: Người học áp dụng công thức \(h=\dfrac{2\times S}{a+b}\), thu được \(h=\dfrac{2\times100}{5+20}=8\) (cm).

Kết luận: Chiều cao của hình thang là 8 cm.

Tìm tổng độ dài hai đáy khi biết diện tích và chiều cao

Đề bài: Cho hình thang có diện tích là S và chiều cao là h. Tìm tổng độ dài hai đáy (tức là a + b) của hình thang.

Phương pháp giải: Từ công thức tính diện tích hình thang \(S=\dfrac{\left(a+b\right)\times h}{2}\), ta thu được công thức tính tổng độ dài hai đáy của hình thang là \(a+b=\dfrac{2\times S}{h}\).

Ví dụ: Cho hình thang có diện tích 15 dm² và chiều cao là 30 cm. Tìm tổng độ dài hai đáy của hình thang.

Lời giải:

Đầu tiên, người học cần quy đổi diện tích hình thang về đơn vị cm², thu được diện tích hình thang là 1500 cm².

Tiếp theo, người học áp dụng công thức \(a+b=\dfrac{2\times S}{h}\), thu được \(a+b=\dfrac{2\times1500}{30}=100\) (cm).

Kết luận: Tổng độ dài hai đáy của hình thang là 100 cm.

Cách tính diện tích đất hình thang và bài toán thực tế

Ví dụ: Một khu vườn có dạng hình thang với độ dài hai đáy là 30 m và 20 m, chiều cao là 15 m. Biết rằng mỗi mét vuông cỏ có giá tiền là 40000 đồng, tính số tiền mua cỏ để vừa đủ phủ kín khu vườn.

Lời giải:

Đầu tiên, người học cần tính diện tích khu vườn có dạng hình thang, ta áp dụng công thức:\(S=\dfrac{\left(a+b\right)\times h}{2}\), thu được \(S=\dfrac{\left(30+20\right)\times15}{2}=375\) m².

Số tiền mua cỏ bằng diện tích khu vườn nhân với giá tiền mỗi mét vuông cỏ, bằng \[375\times40000=15000000\]

(đồng)

Kết luận: Số tiền mua cỏ để phủ kín khu vườn là 15 triệu đồng.

Để hệ thống lại các công thức liên quan trước khi làm bài tập, người học có thể tham khảo thêm công thức tính diện tích các hình, bao gồm cách tính diện tích các hình phẳng thường gặp và các trường hợp vận dụng cơ bản.

Bài tập diện tích hình thang có lời giải

Bài tập 1: Mức độ cơ bản - Tính diện tích hình thang với số liệu đầy đủ

Đề bài: Cho hình thang có độ dài đáy bé 5 dm và chiều cao là 4 dm. Tính diện tích hình thang biết đáy lớn có độ dài gấp đôi đáy bé.

Lời giải:

Bước 1: Người học đi tìm độ dài đáy lớn. Theo đề bài, ta có độ dài đáy lớn là \(5\times2=10\) (dm).

Bước 2: Áp dụng công thức tính diện tích hình thang \(S=\dfrac{\left(a+b\right)\times h}{2}\), thu được \(S=\dfrac{\left(5+10\right)\times4}{2}=30\) (dm²).

Kết luận: Diện tích hình thang là 30 dm².

Bài tập 2: Mức độ trung bình - Tính diện tích hình ghép từ hình thang và hình tam giác, hình chữ nhật

Đề bài: Tính diện tích con thuyền dưới đây, biết mỗi ô vuông có cạnh dài 1 cm.

Lời giải:

Quan sát thấy thân con thuyền có dạng hình thang và hai cánh buồm có dạng hình tam giác vuông.

Bước 1: Người học đếm các ô vuông để xác định độ dài các cạnh của hai tam giác vuông, độ dài hai cạnh đáy và chiều cao của hình thang.

• Hai tam giác vuông giống nhau có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 3 cm và 4 cm.

• Hình thang có độ dài hai cạnh đáy lần lượt là 5 cm và 11 cm, chiều cao là 3 cm.

Bước 2: Tính diện tích hai tam giác vuông

Người học áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông \(S=\dfrac{a\times b}{2}\), với a, b là độ dài hai cạnh góc vuông, thu được diện tích mỗi tam giác vuông là \(S=\dfrac{3\times4}{2}=6\) (cm²).

Suy ra tổng diện tích hai tam giác vuông là \(6\times2=12\) (cm²).

Bước 3: Tính diện tích hình thang

Người học áp dụng công thức tính diện tích hình thang \(S=\dfrac{\left(a+b\right)\times h}{2}\), thu được \(S=\dfrac{\left(5+11\right)\times3}{2}=24\) (cm²).

Bước 4: Tính tổng diện tích con thuyền

Diện tích con thuyền bằng tổng diện tích hai tam giác vuông cộng với diện tích hình thang, bằng 12 + 24 = 36 (cm²).

Kết luận: Diện tích con thuyền là 36 cm².

Bài tập 3: Mức độ khó - Bài toán thực tế kết hợp diện tích hình ghép

Đề bài: Cho bản vẽ thiết kế của một ngôi nhà trên mảnh đất có dạng hình thang vuông có diện tích 120 m². Biết mỗi mét vuông cỏ có giá tiền là 35 nghìn đồng, tính số tiền mua cỏ để vừa đủ phủ kín khu vườn.

Lời giải:

Bước 1: Xác định yêu cầu bài toán và các giá trị cần tìm.

Để tính số tiền mua cỏ, đầu tiên ta cần xác định diện tích khu vườn. Quan sát được khu vườn có dạng hình tam giác vuông có độ dài một cạnh góc vuông là 2 m, người học cần tìm độ dài cạnh góc vuông còn lại. Đó cũng chính là chiều cao của hình thang vuông (hai cạnh có độ dài bằng nhau vì là cặp cạnh đối của hình chữ nhật).

Như vậy, người học cần tìm chiều cao của hình thang vuông.

Bước 2: Tính chiều cao của hình thang vuông

Đề bài đã cho diện tích và độ dài đáy bé, để tính được chiều cao ta cần xác định độ dài đáy lớn của hình thang. Quan sát hình vẽ, ta thấy đáy lớn có độ dài bằng tổng độ dài cạnh góc vuông của tam giác vuông và cạnh hình chữ nhật.

Cạnh góc vuông dài 2 m, còn cạnh hình chữ nhật dài bằng đáy bé của hình thang, suy ra đáy lớn hình thang có độ dài là 2 + 7 = 9 (m).

Người học áp dụng công thức \(h=\dfrac{2\times S}{a+b}\), thu được \(h=\dfrac{2\times120}{7+9}=15\) (m).

Bước 3: Tính diện tích khu vườn

Diện tích khu vườn bằng diện tích hình tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt là 2 m và 15 m, bằng \(\dfrac{2\times15}{2}=15\) (m²).

Bước 4: Tính số tiền mua cỏ

Số tiền mua cỏ bằng diện tích khu vườn nhân với giá tiền mỗi mét vuông cỏ, bằng \(15\times35000=525000\) (đồng).

Kết luận: Số tiền mua cỏ để phủ kín khu vườn là 525 nghìn đồng.

Bài viết đã hệ thống công thức tính diện tích hình thang cùng các công thức liên quan, đồng thời hướng dẫn cách giải các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Người học cần đặc biệt chú ý việc quy đổi các số liệu về cùng một đơn vị đo độ dài trước khi tính toán, cũng như luôn ghi nhớ rằng 1 m² = 100 dm² = 10000 cm². Hãy thường xuyên rèn luyện giải bài tập để ghi nhớ công thức, làm chủ các bài toán về hình thang và củng cố thêm kiến thức Toán học liên quan tại ZIM Academy nhé!