Diện tích toàn phần hình lập phương và diện tích xung quanh lớp 5

Sau khi học diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật, học sinh tiếp tục tìm hiểu hình lập phương – một hình khối quen thuộc và đặc biệt trong chương trình Kết nối tri thức với cuộc sống. Bài viết sẽ giúp học sinh nắm vững diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình lập phương, cách tính diện tích một mặt và vận dụng công thức vào các ví dụ, bài tập thực tế.

Hình lập phương là gì?

Hình lập phương là một trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước bằng nhau (chiều dài = chiều rộng = chiều cao).

Một hình lập phương bao gồm:

• 6 mặt: Cả 6 mặt đều là các hình vuông bằng nhau.

• 12 cạnh: Tất cả 12 cạnh đều có độ dài bằng nhau.

• 8 đỉnh.

Cạnh và diện tích một mặt của hình lập phương

• Cạnh của hình lập phương: Thường được ký hiệu là \(a\).

• Diện tích một mặt (\(S_{1m}\)): Do mỗi mặt của hình lập phương là một hình vuông có cạnh \(a\), nên diện tích một mặt được tính bằng công thức diện tích hình vuông: \[S_{1m} = a \times a\]Chính nhờ đặc điểm "tất cả các mặt đều là hình vuông bằng nhau", việc tính toán diện tích xung quanh và diện tích toàn phần hình lập phương trở nên đơn giản và nhanh chóng hơn nhiều so với hình hộp chữ nhật!

Công thức tính diện tích toàn phần hình lập phương

Ta có công thức tổng quát tính diện tích toàn phần hình lập phương như sau: [1]\[S_{tp} = a \times a \times 6\]Trong đó:

• \(S_{tp}\): Diện tích toàn phần của hình lập phương.

• \(a\): Độ dài cạnh của hình lập phương.

Diện tích toàn phần của hình lập phương là tổng diện tích của toàn bộ 6 mặt (bao gồm 4 mặt bên và 2 mặt đáy). Tương tự như diện tích xung quanh, do cả 6 mặt đều bằng nhau, ta có quy tắc đơn giản sau:

Quy tắc: Muốn tính diện tích toàn phần của hình lập phương, ta lấy diện tích một mặt nhân với 6. [1]

Ví dụ minh họa

Bài toán: Một khối gỗ hình lập phương có cạnh bằng \(8\text{ dm}\). Tính diện tích toàn phần của khối gỗ đó.

Bài giải:

• Diện tích toàn phần của khối gỗ hình lập phương là: \[S_{tp} = 8 \times 8 \times 6 = 384\text{ (dm}^2\text{)}\]

• Đáp số: \(384\text{ dm}^2\).

Công thức tính diện tích xung quanh hình lập phương

Ta có công thức tổng quát tính diện tích xung quanh hình lập phương như sau: [1]

\[S_{xq} = a \times a \times 4\]Trong đó:

• \(S_{xq}\): Diện tích xung quanh của hình lập phương.

• \(a\): Độ dài cạnh của hình lập phương.

Diện tích xung quanh của hình lập phương chính là tổng diện tích của 4 mặt bên. Vì 4 mặt bên này đều là các hình vuông bằng nhau có diện tích là \(a \times a\), nên ta có quy tắc:

Quy tắc: Muốn tính diện tích xung quanh hình lập phương, ta lấy diện tích một mặt nhân với 4. [1]

Ví dụ minh họa:

Bài toán: Tính diện tích xung quanh của một hình lập phương có độ dài cạnh là \(5\text{ cm}\).

Bài giải:

• Diện tích một mặt của hình lập phương là: \[5 \times 5 = 25\text{ (cm}^2\text{)}\]

• Diện tích xung quanh của hình lập phương là: \[25 \times 4 = 100\text{ (cm}^2\text{)}\]

  (Hoặc tính gộp: \(S_{xq} = 5 \times 5 \times 4 = 100\text{ cm}^2\))

• Đáp số: \(100\text{ cm}^2\).

So sánh diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình lập phương và hình hộp chữ nhật

Để tránh nhầm lẫn khi làm bài tập tổng hợp, học sinh cần phân biệt rõ diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật với các công thức tính diện tích của hình lập phương.

Điểm giống nhau

• Đều có 6 mặt, 12 cạnh và 8 đỉnh.

• Diện tích xung quanh gồm 4 mặt bên, diện tích toàn phần gồm tổng diện tích cả 6 mặt.

Điểm khác nhau

Lưu ý quan trọng khi giải toán

1. Hình lập phương là hình hộp chữ nhật đặc biệt: Vì vậy, ta có thể áp dụng công thức hình lập phương để tính nhanh hơn mà không cần tính chu vi đáy hay diện tích đáy riêng rẽ.

2. So sánh mối quan hệ diện tích: Trong cùng một hình lập phương, tỉ số giữa diện tích xung quanh và diện tích toàn phần luôn là:

\[\frac{S_{xq}}{S_{tp}} = \frac{a \times a \times 4}{a \times a \times 6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]Đây là chìa khóa quan trọng để giải các bài toán nâng cao đòi hỏi tư duy tỉ số.

Ứng dụng công thức trong các bài toán thực tế

Hình lập phương xuất hiện rất nhiều trong cuộc sống hàng ngày như con xúc xắc, hộp quà, thùng carton, bể nước, khối Rubik... Các bài toán thực tế trong sách Kết nối tri thức thường gắn liền với các tình huống sinh động.

Dạng 1: Bài toán sơn, dán giấy hoặc bọc quà hình lập phương

Ví dụ 1: Bạn Nam làm một chiếc hộp quà bằng bìa cứng dạng hình lập phương không có nắp, độ dài cạnh là \(15\text{ cm}\). Hỏi diện tích bìa dùng để làm chiếc hộp đó là bao nhiêu xăng-ti-mét vuông (không tính mép dán)?

Bài giải

• Phân tích: Vì chiếc hộp không có nắp, nên hộp chỉ có 5 mặt (4 mặt bên và 1 mặt đáy).

• Lời giải:

  Diện tích bìa dùng để làm hộp là: \[15 \times 15 \times 5 = 1125\text{ (cm}^2\text{)}\]

  Đáp số: \(1125\text{ cm}^2\).

Dạng 2: Bài toán về sự thay đổi diện tích khi thay đổi kích thước cạnh

Ví dụ 2: Nếu gấp cạnh của một hình lập phương lên \(3\) lần thì diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lập phương đó thay đổi như thế nào?

Bài giải

• Phân tích:

  • Gọi cạnh ban đầu là \(a\). Diện tích một mặt ban đầu là \(a \times a\).

  • Cạnh mới sau khi gấp 3 lần là: \(a \times 3\).

  • Diện tích một mặt mới là: \((a \times 3) \times (a \times 3) = (a \times a) \times 9\).

  • Như vậy, diện tích một mặt tăng lên \(9\) lần.

• Kết luận: Khi cạnh của hình lập phương gấp lên \(3\) lần thì cả diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lập phương đó đều gấp lên \(9\) lần (\(3 \times 3 = 9\)).

Bài tập vận dụng tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần

Dưới đây là các dạng bài tập tự luyện từ cơ bản đến nâng cao bám sát chương trình Toán lớp 5 sách Kết nối tri thức, kèm theo hướng dẫn giải chi tiết.

Dạng 1: Bài tập tính trực tiếp \(S_{xq}\) và \(S_{tp}\) khi biết độ dài cạnh

Bài 1 (Nhận biết): Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình lập phương có cạnh:

a) \(6\text{ cm}\)

b) \(2{,}5\text{ m}\)

c) \(\frac{2}{5}\text{ dm}\)

Hướng dẫn giải:

a) Với cạnh \(a = 6\text{ cm}\):

• \(S_{xq} = 6 \times 6 \times 4 = 144\text{ (cm}^2\text{)}\)

• \(S_{tp} = 6 \times 6 \times 6 = 216\text{ (cm}^2\text{)}\)

b) Với cạnh \(a = 2{,}5\text{ m}\):

• \(S_{xq} = 2{,}5 \times 2{,}5 \times 4 = 25\text{ (m}^2\text{)}\)

• \(S_{tp} = 2{,}5 \times 2{,}5 \times 6 = 37{,}5\text{ (m}^2\text{)}\)

c) Với cạnh \(a = \frac{2}{5}\text{ dm}\):

• \(S_{xq} = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} \times 4 = \frac{16}{25}\text{ (dm}^2\text{)}\)

• \(S_{tp} = \frac{2}{5} \times \frac{2}{5} \times 6 = \frac{24}{25}\text{ (dm}^2\text{)}\)

Dạng 2: Bài toán ngược — Tìm độ dài cạnh khi biết diện tích

Bài 2 (Thông hiểu): Một hình lập phương có diện tích xung quanh là \(36\text{ cm}^2\). Tính độ dài cạnh và diện tích toàn phần của hình lập phương đó.

Hướng dẫn giải:

• Bước 1: Tìm diện tích một mặt của hình lập phương.

  Vì \(S_{xq} = \text{Diện tích } 1 \text{ mặt} \times 4\), nên: \[\text{Diện tích một mặt} = 36 : 4 = 9\text{ (cm}^2\text{)}\]

• Bước 2: Tìm độ dài cạnh.

  Vì diện tích một mặt bằng \(\text{cạnh} \times \text{cạnh}\), mà \(9 = 3 \times 3\), nên độ dài cạnh hình lập phương là \(3\text{ cm}\).

• Bước 3: Tính diện tích toàn phần. \[S_{tp} = 9 \times 6 = 54\text{ (cm}^2\text{)}\]

• Đáp số: Cạnh: \(3\text{ cm}\); \(S_{tp} = 54\text{ cm}^2\).

Dạng 3: Bài toán thực tế tổng hợp

Bài 3 (Vận dụng): Người ta sơn toàn bộ mặt ngoài của một chiếc thùng sắt hình lập phương không có nắp có cạnh \(1{,}2\text{ m}\).

a) Tính diện tích cần quét sơn.

b) Biết rằng cứ sơn \(1\text{ m}^2\) thì hết \(0{,}5\text{ kg}\) sơn. Hỏi người ta cần bao nhiêu ki-lô-gam sơn để sơn xong chiếc thùng đó?

Hướng dẫn giải:

a) Chiếc thùng không có nắp nên gồm 5 mặt.

• Diện tích một mặt của thùng sắt là: \[1{,}2 \times 1{,}2 = 1{,}44\text{ (m}^2\text{)}\]

• Diện tích cần quét sơn là: \[1{,}44 \times 5 = 7{,}2\text{ (m}^2\text{)}\]

b) Số ki-lô-gam sơn cần dùng để sơn chiếc thùng là:

\[7{,}2 \times 0{,}5 = 3{,}6\text{ (kg)}\]

Đáp số: a) \(7{,}2\text{ m}^2\); b) \(3{,}6\text{ kg}\) sơn.

Qua bài viết này, học sinh đã nắm trọn vẹn hai công thức cốt lõi: Diện tích xung quanh hình lập phương = \(a \times a \times 4\) và Diện tích toàn phần hình lập phương = \(a \times a \times 6\). Việc ghi nhớ đặc điểm hình lập phương giúp học sinh dễ dàng biến tấu linh hoạt trong các bài toán thực tế như sơn thùng không nắp, bọc quà hay tìm cạnh hình lập phương. Hãy luyện tập thường xuyên các dạng bài tập Toán lớp 5 để đạt điểm cao trong các bài kiểm tra nhé! Để tiếp tục ôn tập và hệ thống hóa kiến thức một cách hiệu quả, học sinh có thể tham khảo thêm các bài giảng Toán tại ZIM Academy.